Proportionnalité et Pourcentages | 2nde Bac Pro
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Proportionnalité et modèle : C1–C2 | Pourcentages et évolutions : C3–C5 et C8 | Problèmes, mélanges et échelles : C6–C7.
Pour un entraînement ciblé et progressif, utiliser la page Exercices par capacités. Les 53 numéros restent stables ; certains énoncés et corrigés ont été précisés et quelques questions complémentaires ajoutées le 8 septembre 2026.
Reconnaître avant de calculer : 1-1, puis 2-1 et 2-6. Retrouver une valeur initiale : 1-13 c (guidé), puis 2-12 e et 3-9 b. Pour les problèmes à plusieurs étapes, 2-19 prépare le travail sur les échelles ; 3-8 ajoute une décision à justifier.
Un menuisier agenceur utilise de la colle à bois. La quantité de colle est proportionnelle à la surface à encoller. Pour 4 m², il utilise 1,2 litre de colle.
Étape 1 : Calculer le coefficient \(k = \dfrac{\text{colle}}{\text{surface}}\).
Étape 2 : Pour chaque surface, multiplier par \(k\).
| Surface (m²) | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Colle (L) | ...... | 1,2 | ...... | ...... |
Étape 1 : \(k = \dfrac{1{,}2}{4} = \) ...... L/m²
Étape 2 :
Étape 3 — Reconnaître une proportionnalité : pour une autre colle, on relève les consommations suivantes.
| Surface (m²) | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| Autre colle (L) | 0,8 | 1,6 | 3,0 |
Calculer \(0{,}8 \div 2\), \(1{,}6 \div 4\) et \(3{,}0 \div 6\). Les trois rapports sont-ils égaux ? Ce second tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier.
\(k = \dfrac{1{,}2}{4} = \mathbf{0{,}3}\) L/m²
Étape 2 : Tableau complété :| Surface (m²) | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Colle (L) | 0,6 | 1,2 | 1,8 | 3,0 |
Détail : \(2 \times 0{,}3 = 0{,}6\) | \(6 \times 0{,}3 = 1{,}8\) | \(10 \times 0{,}3 = 3{,}0\)
Étape 3 : L'autre colle :Les rapports valent \(0{,}8 \div 2 = 0{,}4\), \(1{,}6 \div 4 = 0{,}4\) et \(3{,}0 \div 6 = 0{,}5\) L/m². Ils ne sont pas tous égaux : ce second tableau n'est pas proportionnel. Deux rapports égaux ne suffisent pas ; il faut vérifier toutes les colonnes.
Un métreur sait que 12 m² de panneaux isolants coûtent 396 €. Il dispose d’un budget de 660 €.
Prix/m² \(= \dfrac{396}{12} =\) ...... €/m²
Surface \(= \dfrac{660}{......} =\) ...... m²
\(\dfrac{396}{12} = \mathbf{33\,\text{€/m}^2}\)
b. Surface avec 660 € :\(\dfrac{660}{33} = \mathbf{20\,\text{m}^2}\)
Un dessinateur technique représente une armoire électrique à l’échelle 1:20. Cela signifie que 1 cm sur le plan représente 20 cm en réalité.
| Sur le plan (cm) | 3 | 5 | ...... |
|---|---|---|---|
| En réalité (cm) | ...... | ...... | 180 |
Calcul amorcé : \(3 \times 20 =\) ...... cm
Calcul amorcé : \(5 \times 20 =\) ...... cm
Calcul amorcé : \(\dfrac{180}{20} =\) ...... cm
\(3 \times 20 = \mathbf{60\,\text{cm}}\)
b. Longueur réelle du rail de fixation :\(5 \times 20 = \mathbf{100\,\text{cm}}\) (soit 1 m)
c. Hauteur sur le plan :\(\dfrac{180}{20} = \mathbf{9\,\text{cm}}\)
Tableau complété :| Sur le plan (cm) | 3 | 5 | 9 |
|---|---|---|---|
| En réalité (cm) | 60 | 100 | 180 |
Un artisan menuisier reçoit une facture de 350 € HT pour des fournitures. La TVA est de 20 %.
TVA \(= 350 \times \dfrac{20}{100} = 350 \times\) ...... \(=\) ...... €
Prix TTC \(= 350 +\) ...... \(=\) ...... €
Prix TTC \(= 350 \times\) ...... \(=\) ...... €
\(350 \times 0{,}20 = \mathbf{70\,\text{€}}\)
b. Prix TTC :\(350 + 70 = \mathbf{420\,\text{€}}\)
c. Vérification avec le coefficient :\(350 \times 1{,}20 = \mathbf{420\,\text{€}}\) ✓
Un maçon prépare du mortier. Pour 1 sac de ciment, il ajoute 100 kg de sable. La masse de sable est proportionnelle au nombre de sacs de ciment.
| Ciment (sacs) | 1 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Sable (kg) | 100 | ...... | ...... | ...... |
Étape 1 : \(k = \dfrac{100}{1} = \) ...... kg/sac
Étape 2 :
\(k = \dfrac{100}{1} = \mathbf{100}\) kg/sac
Étape 2 : Tableau complété :| Ciment (sacs) | 1 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Sable (kg) | 100 | 200 | 400 | 600 |
Détail : \(2 \times 100 = 200\) | \(4 \times 100 = 400\) | \(6 \times 100 = 600\)
Ordre de grandeur du métier : ici le coefficient se compte en kilogrammes de sable par sac de ciment — d'où 100 kg/sac. Un sac de ciment pesant 25 kg, cela revient à mettre environ 4 fois plus de sable que de ciment, ce qui est bien le dosage d'un mortier de maçonnerie. Six sacs de ciment appellent donc 600 kg de sable, soit un peu plus d'une demi-tonne : on comprend pourquoi le sable est livré en big-bag et non en sacs.
Un carreleur achète du carrelage. 8 m² de carrelage coûtent 120 €. Le prix est proportionnel à la surface.
Prix/m² \(= \dfrac{120}{8} =\) ...... €/m²
Prix \(= 20 \times\) ...... \(=\) ...... €
\(\dfrac{120}{8} = \mathbf{15\,\text{€/m}^2}\)
b. Prix pour 20 m² :\(20 \times 15 = \mathbf{300\,\text{€}}\)
Un chef de chantier commande des parpaings pour un montant de 480 €. Le fournisseur accorde une remise de 10 %.
Remise \(= 480 \times \dfrac{10}{100} = 480 \times\) ...... \(=\) ...... €
Prix payé \(= 480 -\) ...... \(=\) ...... €
\(480 \times 0{,}10 = \mathbf{48\,\text{€}}\)
b. Prix après remise :\(480 - 48 = \mathbf{432\,\text{€}}\)
On pouvait aussi calculer directement : \(480 \times 0{,}90 = 432\,\text{€}\).
Un dessinateur en bâtiment dessine le plan d’une maison à l’échelle 1:100. Cela signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm (soit 1 m) en réalité.
| Sur le plan (cm) | 4 | 6 | ...... |
|---|---|---|---|
| En réalité (cm) | ...... | ...... | 800 |
Calcul amorcé : \(4 \times 100 =\) ...... cm
Calcul amorcé : \(6 \times 100 =\) ...... cm
Calcul amorcé : \(\dfrac{800}{100} =\) ...... cm
\(4 \times 100 = \mathbf{400\,\text{cm}}\) (soit 4 m)
b. Longueur réelle du 2e mur :\(6 \times 100 = \mathbf{600\,\text{cm}}\) (soit 6 m)
c. Longueur sur le plan :\(\dfrac{800}{100} = \mathbf{8\,\text{cm}}\)
Tableau complété :| Sur le plan (cm) | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|
| En réalité (cm) | 400 | 600 | 800 |
Un technicien chauffagiste achète des radiateurs pour un montant de 200 € HT. Le fournisseur accorde une remise de 15 %.
Calcul amorcé : \(200 \times \dfrac{15}{100} = 200 \times\) ...... \(=\) ...... €
Prix remisé = Prix initial − Remise = \(200 -\) ...... \(=\) ...... €
Prix TTC = Prix HT remisé \(\times\) ...... \(=\) ...... \(\times 1{,}20 =\) ...... €
\(200 \times \dfrac{15}{100} = 200 \times 0{,}15 = \mathbf{30\,\text{€}}\)
b. Prix HT après remise :\(200 - 30 = \mathbf{170\,\text{€}}\)
c. Prix TTC :\(170 \times 1{,}20 = \mathbf{204\,\text{€}}\)
Un installateur thermique constate que le prix du kWh d’électricité augmente de 8 %. Le prix actuel est de 0,25 € le kWh.
CM \(= 1 + \dfrac{8}{100} = 1 +\) ...... \(=\) ......
Nouveau prix \(= 0{,}25 \times\) ...... \(=\) ...... €
CM \(= 1 + 0{,}08 = \mathbf{1{,}08}\)
b. Nouveau prix du kWh :\(0{,}25 \times 1{,}08 = \mathbf{0{,}27\,\text{€}}\)
c. Montant de la hausse :\(0{,}27 - 0{,}25 = \mathbf{0{,}02\,\text{€}}\) (ou \(0{,}25 \times 0{,}08 = 0{,}02\,\text{€}\))
Une chaudière a consommé 400 kWh en janvier et 480 kWh en février.
Variation \(= 480 - 400 =\) ...... kWh
\(t = \dfrac{......}{400} \times 100 =\) ...... %
\(480 - 400 = \mathbf{80\,\text{kWh}}\)
b. Taux d’évolution :\(t = \dfrac{80}{400} \times 100 = 0{,}20 \times 100 = \mathbf{+20\,\%}\)
c.Le taux est positif : c’est une hausse de 20 %.
Un client achète une pompe à chaleur affichée à 6 000 €. Le vendeur accorde une remise de 15 %.
CM \(= 1 - \dfrac{15}{100} = 1 -\) ...... \(=\) ......
Prix remisé \(= 6\,000 \times\) ...... \(=\) ...... €
CM \(= 1 - 0{,}15 = \mathbf{0{,}85}\)
b. Prix après remise :\(6\,000 \times 0{,}85 = \mathbf{5\,100\,\text{€}}\)
c. Montant de la remise :\(6\,000 - 5\,100 = \mathbf{900\,\text{€}}\) (ou \(6\,000 \times 0{,}15 = 900\,\text{€}\))
Un magasin de bricolage affiche une réduction de 25 % sur tous les outils électriques. Une perceuse coûte 84 €.
| Outil | Prix connu | Réduction |
|---|---|---|
| Première perceuse (a et b) | 84 € avant réduction | 25 % |
| Autre perceuse (c) | 54 € après réduction | 25 % |
Réduction \(= 84 \times \dfrac{25}{100} = 84 \times\) ...... \(=\) ...... €
Nouveau prix \(= 84 -\) ...... \(=\) ...... €
Aide : après la réduction, il reste \(100 - 25 =\) ...... % du prix initial. Compléter : prix initial \(= 54 \div 0{,}75 =\) ...... €. Vérifier en appliquant la réduction au prix retrouvé.
\(84 \times 0{,}25 = \mathbf{21\,\text{€}}\)
b. Nouveau prix :\(84 - 21 = \mathbf{63\,\text{€}}\)
On pouvait aussi calculer directement : \(84 \times 0{,}75 = 63\,\text{€}\).
c. Prix initial de l'autre perceuse :Il reste 75 % du prix initial, soit un coefficient de 0,75. Prix initial : \(54 \div 0{,}75 = \mathbf{72\,\text{€}}\). Vérification : \(72 \times 0{,}75 = 54\,\text{€}\). On divise par 0,75 ; ajouter 25 % à 54 € ne permet pas de revenir au prix initial.
Un sportif boit 0,75 litre d’eau toutes les 30 minutes pendant l’effort. La consommation est proportionnelle au temps.
| Temps (min) | 30 | 60 | 90 | 120 |
|---|---|---|---|---|
| Eau (L) | 0,75 | ...... | ...... | ...... |
\(k = \dfrac{0{,}75}{30} =\) ...... L/min
\(k = \dfrac{0{,}75}{30} = \mathbf{0{,}025}\) L/min
b. Tableau complété :| Temps (min) | 30 | 60 | 90 | 120 |
|---|---|---|---|---|
| Eau (L) | 0,75 | 1,50 | 2,25 | 3,00 |
\(150 \times 0{,}025 = \mathbf{3{,}75\,\text{L}}\)
Le prix du litre d’essence était de 1,80 € en janvier et de 1,71 € en février.
Variation \(= 1{,}71 - 1{,}80 =\) ......
\(t = \dfrac{......}{1{,}80} \times 100 =\) ...... %
\(1{,}71 - 1{,}80 = \mathbf{-0{,}09}\) €
b. Taux d’évolution :\(t = \dfrac{-0{,}09}{1{,}80} \times 100 = \mathbf{-5\,\%}\)
c.Le taux est négatif : c’est une baisse de 5 %.
Une recette de pâte à crêpes est donnée pour 4 personnes. On veut préparer la même pâte pour 10 personnes. Les quantités sont proportionnelles au nombre de personnes.
| Ingrédient | Pour 4 personnes | Pour 10 personnes |
|---|---|---|
| Farine | 250 g | …… |
| Lait | 500 mL | …… |
| Œufs | 4 | …… |
| Sucre | 40 g | …… |
\(k = \dfrac{10}{4} = \mathbf{2{,}5}\). On passe de 4 personnes à 10 personnes en multipliant par 2,5.
b. Quantités pour 10 personnes :| Ingrédient | Pour 4 personnes | Calcul | Pour 10 personnes |
|---|---|---|---|
| Farine | 250 g | \(250 \times 2{,}5\) | 625 g |
| Lait | 500 mL | \(500 \times 2{,}5\) | 1 250 mL (soit 1,25 L) |
| Œufs | 4 | \(4 \times 2{,}5\) | 10 œufs |
| Sucre | 40 g | \(40 \times 2{,}5\) | 100 g |
\(k' = \dfrac{6}{4} = \mathbf{1{,}5}\).
Farine : \(250 \times 1{,}5 = \mathbf{375\ \text{g}}\) | Lait : \(500 \times 1{,}5 = \mathbf{750\ \text{mL}}\) | Œufs : \(4 \times 1{,}5 = \mathbf{6\ \text{œufs}}\) | Sucre : \(40 \times 1{,}5 = \mathbf{60\ \text{g}}\)
d. Avec 500 g de farine :Farine pour 1 personne : \(\dfrac{250}{4} = 62{,}5\) g.
Nombre de personnes : \(\dfrac{500}{62{,}5} = \mathbf{8\ \text{personnes}}\).
Vérification : \(8 \times 62{,}5 = 500\) g ✓. On peut aussi remarquer que 500 g, c'est \(500 \div 250 = 2\) fois la recette de 4 personnes, donc \(4 \times 2 = 8\) personnes — même résultat par une autre route.
Sur un paquet de biscuits, le tableau nutritionnel donne toujours les quantités pour 100 g de produit. À côté, l'étiquette indique souvent un pourcentage : c'est la part de l'apport de référence d'un adulte-type (2 000 kcal par jour) que le produit apporte. Ce n'est pas une consigne personnelle, c'est un repère pour situer un aliment.
| Pour 100 g de biscuits | Quantité | Apport de référence pour la journée |
|---|---|---|
| Sucres | 36 g | 90 g |
| Matières grasses | 21 g | 70 g |
| Sel | 0,6 g | 6 g |
Une portion de 4 biscuits pèse 50 g.
Le coefficient est \(k = \dfrac{50}{100} = 0{,}5\) : on divise chaque quantité par 2.
| Pour 100 g | Calcul | Pour une portion (50 g) | |
|---|---|---|---|
| Sucres | 36 g | \(36 \times 0{,}5\) | 18 g |
| Matières grasses | 21 g | \(21 \times 0{,}5\) | 10,5 g |
| Sel | 0,6 g | \(0{,}6 \times 0{,}5\) | 0,3 g |
\(\dfrac{18}{90} \times 100 = 0{,}2 \times 100 = \mathbf{20\ \%}\).
Une portion de 4 biscuits apporte donc un cinquième du repère journalier en sucres.
c. Matières grasses et sel :Matières grasses : \(\dfrac{10{,}5}{70} \times 100 = 0{,}15 \times 100 = \mathbf{15\ \%}\).
Sel : \(\dfrac{0{,}3}{6} \times 100 = 0{,}05 \times 100 = \mathbf{5\ \%}\).
d. Trois portions dans la journée :Masse de sucres : \(3 \times 18 = \mathbf{54\ \text{g}}\).
Pourcentage : \(\dfrac{54}{90} \times 100 = \mathbf{60\ \%}\).
Plus rapide : les pourcentages sont proportionnels au nombre de portions, donc \(3 \times 20\ \% = 60\ \%\) — même résultat sans repasser par les grammes.
L'écart vaut \(90 - 54 = \mathbf{36\ \text{g}}\), soit \(100 - 60 = 40\ \%\) du repère. Les autres aliments ne sont pas comptés : ce résultat n'indique pas une quantité de sucres que Léa devrait encore manger.
À savoir : les 90 g de « sucres » du repère comptent tous les sucres de la journée — ceux des biscuits, mais aussi ceux des fruits, du lait ou d'un jus. C'est pour cela qu'une seule portion à 20 % pèse déjà lourd dans la journée.
Un artisan menuisier achète des panneaux de bois. Voici deux tableaux de prix relevés chez deux fournisseurs.
Fournisseur A :
| Nombre de panneaux | 2 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 18 | 45 | 72 | 90 |
Fournisseur B :
| Nombre de panneaux | 2 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 25 | 50 | 75 | 90 |
Guide de résolution :
Fournisseur A : \(\dfrac{18}{2} = 9\) ; \(\dfrac{45}{5} = 9\) ; \(\dfrac{72}{8} = 9\) ; \(\dfrac{90}{10} = 9\). Rapport constant = 9.
Fournisseur B : \(\dfrac{25}{2} = 12{,}5\) ; \(\dfrac{50}{5} = 10\) ; \(\dfrac{75}{8} = 9{,}375\) ; \(\dfrac{90}{10} = 9\). Rapport non constant.
b. Fournisseur proportionnel :Le fournisseur A propose un tarif proportionnel car le rapport prix/nombre est constant (= 9 pour toutes les colonnes).
c. Coefficient de proportionnalité :\(k = 9\) €/panneau. Il représente le prix unitaire d'un panneau.
d. Prix de 15 panneaux :\(15 \times 9 = \mathbf{135\,\text{€}}\)
Sur un chantier de rénovation, une technicienne d'études relève un placard technique existant. Sur place, elle note les mesures sur un croquis à main levée : ce croquis n'est pas à l'échelle, seules les cotes écrites comptent. De retour au bureau, elle redessine le placard à l'échelle 1:25 (1 cm sur le dessin représente 25 cm en réalité) avant de l'intégrer à la maquette numérique du bâtiment. Le dessin respecte les proportions réelles : les dimensions sont proportionnelles.
Un collègue contrôle le dessin : il mesure les traits au réglet, reconvertit à l'échelle, puis compare le résultat à la cote écrite sur le croquis.
| Dimension | Largeur | Hauteur | Profondeur |
|---|---|---|---|
| Sur le dessin à l'échelle (cm) | 8 | ? | 2,4 |
| En réalité (cm) | ? | 200 | ? |
Seule la hauteur réelle (200 cm) est une cote écrite sur le croquis ; les deux autres dimensions réelles sont à retrouver par le calcul.
\(8 \times 25 = \mathbf{200\,\text{cm}}\) (soit 2 m).
b. Hauteur sur le dessin :\(\dfrac{200}{25} = \mathbf{8\,\text{cm}}\).
c. Profondeur réelle :\(2{,}4 \times 25 = \mathbf{60\,\text{cm}}\).
d. Quatrième proportionnelle :On connaît trois nombres du tableau (par exemple : 1 cm sur le dessin → 25 cm réels, et 8 cm sur le dessin). Le quatrième nombre cherché — la largeur réelle — est la quatrième proportionnelle : \(\dfrac{25 \times 8}{1} = 200\,\text{cm}\). La règle de trois sert précisément à calculer cette quatrième proportionnelle.
Tableau complété :| Dimension | Largeur | Hauteur | Profondeur |
|---|---|---|---|
| Sur le dessin à l'échelle (cm) | 8 | 8 | 2,4 |
| En réalité (cm) | 200 | 200 | 60 |
Le placard mesure donc 2,00 m de large, 2,00 m de haut et 0,60 m de profondeur.
e. Le contrôle :Hauteur réelle correspondant à la mesure du collègue : \(7{,}9 \times 25 = \mathbf{197{,}5\,\text{cm}}\).
Écart avec la cote du croquis : \(200 - 197{,}5 = \mathbf{2{,}5\,\text{cm}}\).
À l'échelle 1:25, 1 mm sur le dessin correspond à 2,5 cm en réalité. L'écart peut venir de la lecture, du tracé ou d'une reproduction du plan à une mauvaise échelle : le calcul ne permet pas d'en connaître la cause. On ne peut ni valider le dessin ni décider de le refaire avec ces seules informations. Il faut vérifier la mesure et l'échelle de reproduction, puis connaître la tolérance admise pour conclure.
Le réflexe de métier : on ne relève jamais une dimension en mesurant sur un dessin — c'est la cote écrite (ici 200 cm) qui fait foi. La mesure au réglet sert à contrôler, pas à coter.
Une entreprise d'installations électriques suit le prix d'un lot de câble en cuivre, qui valait 1 200 € en 2024. Ce prix subit une hausse de 10 % en 2025, puis une baisse de 5 % en 2026 (appliquée sur le prix de 2025).
Guide de résolution :
\(1\,200 \times 1{,}10 = \mathbf{1\,320\,\text{€}}\)
b. Prix après baisse 2026 (−5 %) :\(1\,320 \times 0{,}95 = \mathbf{1\,254\,\text{€}}\)
c. Coefficient multiplicateur global :\(1{,}10 \times 0{,}95 = \mathbf{1{,}045}\)
Vérification directe : \(1\,200 \times 1{,}045 = 1\,254\,\text{€}\) ✔
d. Taux d'évolution global :\(t = (1{,}045 - 1) \times 100 = \mathbf{+4{,}5\,\%}\)
Non, ce n'est pas égal à \(10 - 5 = 5\,\%\). On ne peut pas additionner (ou soustraire) les taux successifs : la baisse de 5 % s'applique sur un prix déjà augmenté (1 320 € et non 1 200 €). Il faut multiplier les coefficients : \(1{,}10 \times 0{,}95 = 1{,}045\), soit +4,5 %.
Un menuisier débite une planche de chêne de 300 cm de long. Il y découpe 5 tablettes identiques de 51 cm chacune. Le reste part en chutes (bois inutilisable).
Guide de résolution :
\(5 \times 51 = \mathbf{255\,\text{cm}}\)
b. Longueur des chutes :\(300 - 255 = \mathbf{45\,\text{cm}}\)
c. Pourcentage de chutes :\(\dfrac{45}{300} \times 100 = \mathbf{15\,\%}\)
d. Pourcentage de bois utilisé :\(\dfrac{255}{300} \times 100 = \mathbf{85\,\%}\) (ou directement : \(100 - 15 = 85\,\%\)).
Un métreur doit calculer la surface d'isolant nécessaire pour une façade. La façade mesure 8 m de large et 3,2 m de haut. Elle comporte 3 fenêtres identiques de 1,2 m × 0,9 m.
\(S_{\text{façade}} = 8 \times 3{,}2 = \mathbf{25{,}6\,\text{m}^2}\)
b. Surface des 3 fenêtres :\(S_{\text{fenêtres}} = 3 \times (1{,}2 \times 0{,}9) = 3 \times 1{,}08 = \mathbf{3{,}24\,\text{m}^2}\)
c. Surface nette à isoler :\(S_{\text{nette}} = 25{,}6 - 3{,}24 = \mathbf{22{,}36\,\text{m}^2}\)
d. Proportion des fenêtres :\(p = \dfrac{3{,}24}{25{,}6} \times 100 \approx \mathbf{12{,}66\,\%}\)
Les fenêtres représentent environ 12,7 % de la surface de façade.
Le coût des matériaux d'isolation est proportionnel à la surface à couvrir. Pour 50 m², le coût est de 320 €.
\(k = \dfrac{320}{50} = 6{,}4\,\text{€/m}^2\)
a. Coût pour 75 m² :\(C = 6{,}4 \times 75 = \mathbf{480\,\text{€}}\)
b. Coût pour 120 m² :\(C = 6{,}4 \times 120 = \mathbf{768\,\text{€}}\)
c. Surface maximale avec 500 € :\(S = \dfrac{500}{6{,}4} = \mathbf{78{,}125\,\text{m}^2}\)
Avec 500 €, on peut couvrir au maximum 78,125 m² (soit environ 78 m² en pratique).
d. Lecture graphique — coût 400 € :\(S = \dfrac{400}{6{,}4} = \mathbf{62{,}5\,\text{m}^2}\)
Sur le graphique, on part de 400 € sur l'axe vertical : on lit une abscisse comprise entre 60 et 65 m². Le calcul donne la valeur exacte : \(400 \div 6{,}40 = \mathbf{62{,}5}\) m².
e. Reconnaissance graphique :La courbe du coût est une droite passant par l'origine. Ces deux caractéristiques sont nécessaires : une droite ne passant pas par l'origine ne représente pas une proportionnalité. Les traits horizontaux à 400 € et 500 € sont seulement des repères de lecture.
Un conducteur de travaux relève le prix du m³ de béton prêt à l'emploi : il était de 120 € en 2024 et de 138 € en 2026.
Formule du taux d'évolution :
\(138 - 120 = \mathbf{18\,\text{€}}\) par m³.
b. Taux d'évolution :\(t = \dfrac{138 - 120}{120} \times 100 = \dfrac{18}{120} \times 100 = \mathbf{+15\,\%}\)
Le taux est positif : c'est une hausse de 15 %.
c. Surcoût sur 25 m³ :\(25 \times 18 = \mathbf{450\,\text{€}}\) de surcoût total par rapport au prix de 2024.
d. Prix après une nouvelle hausse de 15 % :\(138 \times 1{,}15 = \mathbf{158{,}70\,\text{€}}\) le m³.
Un peintre en bâtiment sait que la quantité de peinture est proportionnelle à la surface à peindre. Sur un premier mur, il a utilisé 3 litres de peinture pour couvrir 36 m².
Guide de résolution :
\(\dfrac{36}{3} = \mathbf{12\,\text{m}^2\text{/L}}\) : un litre couvre 12 m².
b. Peinture pour 84 m² :Règle de trois : \(\dfrac{3 \times 84}{36} = \dfrac{252}{36} = \mathbf{7\,\text{L}}\)
On peut aussi utiliser le rendement : \(\dfrac{84}{12} = 7\,\text{L}\).
c. Nombre de pots :\(\dfrac{7}{5} = 1{,}4\) : un seul pot (5 L) ne suffit pas, il faut donc 2 pots (soit 10 L).
d. Coût de la peinture :\(2 \times 32 = \mathbf{64\,\text{€}}\)
Pour remplir un circuit de chauffage, un installateur thermique prépare, selon la recette donnée pour cet exercice, un mélange contenant 30 % de produit antigel et 70 % d'eau, en volume. On suppose que les volumes s'additionnent. Il s'agit de la proportion de produit dans le mélange final, pas de sa concentration en substance active.
Pour 60 litres de mélange final dans le circuit, il faut donc 18 litres de produit antigel, complétés par de l'eau jusqu'à 60 litres : on n'ajoute pas le produit à 60 litres d'eau. Le dosage est une donnée de calcul, pas une consigne applicable à tous les produits.
| Volume du circuit (L) | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 |
|---|---|---|---|---|---|
| Antigel nécessaire (L) | ? | 18 | ? | ? | 36 |
Guide de résolution :
\(k = \dfrac{18}{60} = \mathbf{0{,}3}\) (soit 30 % — cohérent avec la concentration !)
b. Tableau complété :| Volume du circuit (L) | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 |
|---|---|---|---|---|---|
| Antigel nécessaire (L) | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
Détail : \(40 \times 0{,}3 = 12\) | \(80 \times 0{,}3 = 24\) | \(100 \times 0{,}3 = 30\)
Vérification : \(120 \times 0{,}3 = 36\) ✔
c. Circuit de 150 litres :\(150 \times 0{,}3 = \mathbf{45\,\text{L}}\) d'antigel.
Contrôle graphique :En plaçant les cinq colonnes du tableau dans un repère, on obtient des points alignés avec l'origine : c'est la signature d'une situation de proportionnalité.
Un plombier chauffagiste établit un devis pour la pose du tube d'un plancher chauffant. Le prix HT est proportionnel à la longueur posée. Pour 20 m de tube, le coût est de 240 € HT.
\(\dfrac{240}{20} = \mathbf{12\,\text{€/m}}\)
b. Prix HT pour 220 m :\(220 \times 12 = \mathbf{2\,640\,\text{€ HT}}\)
c. Prix TTC :\(2\,640 \times 1{,}10 = \mathbf{2\,904\,\text{€ TTC}}\)
d. Avec remise de 5 % sur le HT :HT remisé : \(2\,640 \times 0{,}95 = 2\,508\,\text{€}\)
TTC : \(2\,508 \times 1{,}10 = \mathbf{2\,758{,}80\,\text{€}}\)
Contrôle de vraisemblance : \(2\,640\,\text{€ HT}\) pour 33 m² font environ 80 €/m² de plancher chauffant posé — c'est bien l'ordre de grandeur du métier.
Un technicien de maintenance énergétique réalise 40 interventions en janvier et 50 interventions en février.
Formule du taux d'évolution :
\(t = \dfrac{50 - 40}{40} \times 100 = \dfrac{10}{40} \times 100 = \dfrac{1}{4} \times 100 = \mathbf{+25\,\%}\)
b. Interprétation :C'est une hausse de 25 %. Le technicien a réalisé 25 % d'interventions de plus en février qu'en janvier.
c. Mars — baisse de 10 % par rapport à février :\(50 \times (1 - 0{,}10) = 50 \times 0{,}90 = \mathbf{45}\)
Soit 45 interventions en mars.
Le prix HT d'une pompe de circulation est de 480 € en 2022. Le fabricant annonce une hausse de 8 % en 2023, puis une nouvelle hausse de 5 % en 2024 (appliquée sur le prix 2023).
| Modèle | Prix connu | Évolution |
|---|---|---|
| Première pompe (a à d) | 480 € HT en 2022 | +8 % en 2023, puis +5 % en 2024 |
| Autre pompe (e) | 630 € HT après la hausse | Une seule hausse de 5 % |
\(480 \times 1{,}08 = \mathbf{518{,}40\,\text{€}}\)
b. Prix après hausse 2024 (+5 %) :\(518{,}40 \times 1{,}05 = \mathbf{544{,}32\,\text{€}}\)
On peut aussi calculer directement : \(480 \times 1{,}08 \times 1{,}05 = 480 \times 1{,}134 = 544{,}32\,\text{€}\)
c. Taux global d'augmentation :\(t = \dfrac{544{,}32 - 480}{480} \times 100 = \dfrac{64{,}32}{480} \times 100 = \mathbf{13{,}4\,\%}\)
d. Comparaison avec 8+5 = 13 % :Non, le taux global est 13,4 % et non 13 %. L'erreur vient du fait que la hausse de 5 % de 2024 s'applique sur un prix déjà augmenté (518,40 € et non 480 €). L'écart est : \(1{,}08 \times 1{,}05 = 1{,}134 \neq 1{,}13\).
e. Prix initial de l'autre modèle :Coefficient de la hausse : \(1 + 0{,}05 = 1{,}05\). Prix initial : \(630 \div 1{,}05 = \mathbf{600\,\text{€ HT}}\). Vérification : \(600 \times 1{,}05 = 630\,\text{€ HT}\).
Deux fournisseurs proposent des boîtes de connecteurs électriques :
X : \(\dfrac{14{,}40}{200} = 0{,}072\) € = 7,2 centimes/connecteur
Y : \(\dfrac{32{,}50}{500} = 0{,}065\) € = 6,5 centimes/connecteur
b.Le fournisseur Y est moins cher à l'unité (6,5 ct < 7,2 ct).
c. Coût pour 1 200 connecteurs :X : \(\dfrac{1200}{200} = 6\) boîtes → \(6 \times 14{,}40 = \mathbf{86{,}40\,\text{€}}\) → 1 200 connecteurs livrés, 0 en stock.
Y : \(\dfrac{1200}{500} = 2{,}4\) : deux boîtes ne suffisent pas (1 000 < 1 200), il faut donc 3 boîtes → \(3 \times 32{,}50 = \mathbf{97{,}50\,\text{€}}\) → 1 500 connecteurs livrés, 300 restent en stock.
d. Économie pour le même besoin de 1 200 connecteurs :Les deux dépenses couvrent exactement le même besoin : 86,40 € chez X contre 97,50 € chez Y.
\(\dfrac{97{,}50 - 86{,}40}{97{,}50} \times 100 \approx \mathbf{11{,}4\,\%}\) d'économie en choisissant X.
Malgré un prix unitaire plus élevé, X revient moins cher parce que ses boîtes de 200 tombent juste : 6 boîtes font pile 1 200.
e. Prix payé par connecteur livré :X : \(\dfrac{86{,}40}{1\,200} = 0{,}072\,\text{€} = \) 7,2 centimes | Y : \(\dfrac{97{,}50}{1\,500} = 0{,}065\,\text{€} = \) 6,5 centimes.
On retrouve exactement les prix unitaires de la question a : c'est normal, on a acheté des boîtes entières et rien n'est perdu.
Conclusion : pour couvrir le besoin immédiat, X demande la plus petite dépense : 86,40 € contre 97,50 €. Y conserve le meilleur prix unitaire, mais impose ici d'acheter 300 connecteurs supplémentaires. Ce stock peut être intéressant s'il répond à des besoins futurs réels.
À retenir : on peut comparer les dépenses nécessaires pour satisfaire le même besoin, même si les quantités livrées diffèrent. Le prix unitaire permet une autre comparaison, à quantité égale : ce sont deux critères distincts.
Le prix d'un panneau de contreplaqué était de 42 € en 2023. Il a augmenté de 6 % en 2024, puis de 4 % en 2025.
\(42 \times 1{,}06 = \mathbf{44{,}52\,\text{€}}\)
b. Prix 2025 :\(44{,}52 \times 1{,}04 = 46{,}3008\,\text{€} \approx \mathbf{46{,}30\,\text{€}}\).
c. CM global :\(1{,}06 \times 1{,}04 = \mathbf{1{,}1024}\)
d. Taux global :\(t = (1{,}1024 - 1) \times 100 = \mathbf{10{,}24\,\%}\)
e.Non, le taux global (10,24 %) est supérieur à 10 %. La hausse de 4 % en 2025 s'applique sur un prix déjà augmenté de 6 % : on ne peut pas additionner les taux, il faut multiplier les coefficients.
Le budget mensuel d'un ménage est de 2 400 €. La répartition est la suivante :
| Poste | Logement | Alimentation | Énergie | Transport | Autres |
|---|---|---|---|---|---|
| Part (%) | 35 | 20 | 12 | 15 | 18 |
Logement : \(2\,400 \times 0{,}35 = \mathbf{840\,\text{€}}\)
Alimentation : \(2\,400 \times 0{,}20 = \mathbf{480\,\text{€}}\)
Énergie : \(2\,400 \times 0{,}12 = \mathbf{288\,\text{€}}\)
Transport : \(2\,400 \times 0{,}15 = \mathbf{360\,\text{€}}\)
Autres : \(2\,400 \times 0{,}18 = \mathbf{432\,\text{€}}\)
b. Vérification :\(35 + 20 + 12 + 15 + 18 = 100\,\%\) ✓
c. Nouveau montant énergie (+15 %) :\(288 \times 1{,}15 = \mathbf{331{,}20\,\text{€}}\)
d. Nouvelle part :\(\dfrac{331{,}20}{2\,400} \times 100 = \mathbf{13{,}8\,\%}\) du budget total.
Pour maintenir le budget total à 2 400 €, il faudra réduire un ou plusieurs autres postes de \(331{,}20 - 288 = \mathbf{43{,}20\,\text{€}}\) au total.
Les étiquettes des boissons indiquent toujours la teneur en sucres pour 100 mL. La masse de sucres contenue dans un contenant est proportionnelle au volume bu.
| Boisson | Sucres pour 100 mL |
|---|---|
| Cola | 10,6 g |
| Jus d'orange (100 % pur jus) | 9,0 g |
| Thé glacé | 5,0 g |
Repère utilisé pour le calcul : selon l'OMS, « Alimentation saine » (26 janvier 2026), 50 g de sucres libres correspondent à 10 % d'un apport de 2 000 kcal par jour. Ce repère dépend de l'apport énergétique : ce n'est ni un objectif à atteindre ni une limite personnalisée pour chaque élève. Les sucres libres comprennent notamment les sucres ajoutés et ceux des jus de fruits ; ils ne se confondent pas avec tous les sucres de l'alimentation.
50 cL = 500 mL, soit \(500 \div 100 = 5\) fois la portion de référence de 100 mL. On multiplie donc chaque teneur par 5 (coefficient de proportionnalité).
Cola : \(10{,}6 \times 5 = \mathbf{53\,\text{g}}\) | Jus d'orange : \(9{,}0 \times 5 = \mathbf{45\,\text{g}}\) | Thé glacé : \(5{,}0 \times 5 = \mathbf{25\,\text{g}}\)
b. Canette de 33 cL de cola :33 cL = 330 mL, soit \(330 \div 100 = 3{,}3\) fois 100 mL.
Règle de trois : \(\dfrac{10{,}6 \times 330}{100} = 34{,}98\), soit environ \(\mathbf{35{,}0\,\text{g}}\) de sucres.
Part du repère journalier : \(\dfrac{34{,}98}{50} \times 100 = 69{,}96\), soit environ \(\mathbf{70{,}0\,\%}\).
Une seule canette apporte donc plus des deux tiers du repère conseillé pour toute la journée.
c. Taux d'évolution de la teneur :Variation : \(8{,}5 - 10{,}6 = -2{,}1\) g pour 100 mL.
\(t = \dfrac{V_{\text{final}} - V_{\text{initial}}}{V_{\text{initial}}} \times 100 = \dfrac{-2{,}1}{10{,}6} \times 100 \approx \mathbf{-19{,}8\,\%}\)
Le taux est négatif : c'est bien une baisse d'environ 19,8 %.
d. Baisse exacte ou arrondie :Une baisse de 20 % correspond au coefficient multiplicateur \(1 - \dfrac{20}{100} = 0{,}80\).
Teneur qu'on obtiendrait : \(10{,}6 \times 0{,}80 = \mathbf{8{,}48\,\text{g}}\) pour 100 mL.
Or la nouvelle recette en contient 8,5 g, c'est-à-dire 0,02 g de plus que ces 8,48 g : la baisse réelle (19,8 %) est donc légèrement inférieure à 20 %.
Le pourcentage de réduction vaut environ 19,8113 %, soit 20 % arrondi à l'unité. « Environ 20 % » est donc un résumé mathématique correct, mais la baisse n'est pas exactement de 20 %. Ce calcul ne valide pas une allégation commerciale.
e. Canette de 33 cL avec la nouvelle recette :\(\dfrac{8{,}5 \times 330}{100} = 28{,}05\), soit environ \(\mathbf{28{,}1\,\text{g}}\) de sucres.
Part du repère : \(\dfrac{28{,}05}{50} \times 100 = \mathbf{56{,}1\,\%}\).
Vérification par le coefficient multiplicateur : \(34{,}98 \times 0{,}8019 \approx 28{,}05\) g ✓ — et \(70{,}0 \times 0{,}8019 \approx 56{,}1\,\%\) ✓ (la part du repère baisse dans la même proportion que la teneur, puisque le repère de 50 g n'a pas changé).
Conclusion : même reformulée, une canette couvre encore plus de la moitié du repère journalier de sucres libres.
Dans un club de basket, l'entraîneur note les lancers francs tentés et réussis par deux joueuses sur l'ensemble du premier trimestre.
| Joueuse | Lancers tentés | Lancers réussis |
|---|---|---|
| Léa | 40 | 26 |
| Inès | 60 | 38 |
Guide de résolution :
Léa : \(\dfrac{26}{40} \times 100 = 0{,}65 \times 100 = \mathbf{65{,}0\ \%}\)
Inès : \(\dfrac{38}{60} \times 100 \approx 0{,}6333 \times 100 \approx \mathbf{63{,}3\ \%}\)
b. Qui est la plus adroite ?Inès a réussi 38 lancers contre 26 pour Léa, mais elle en a aussi tenté beaucoup plus (60 contre 40). Ce sont les proportions qu'il faut comparer : \(65{,}0\ \% \gt 63{,}3\ \%\).
C'est donc Léa qui est la plus adroite, malgré un nombre de réussites plus faible.
c. Objectif de 75 % :\(75\ \%\) de 40 \(= 40 \times \dfrac{75}{100} = 40 \times 0{,}75 = \mathbf{30\ \text{lancers}}\).
Léa en réussit 26 : il lui en manque \(30 - 26 = \mathbf{4}\).
d. « Léa progresse de 6 % » :Taux d'évolution : \(t = \dfrac{71 - 65}{65} \times 100 = \dfrac{6}{65} \times 100 \approx \mathbf{9{,}2\ \%}\).
Le titre est trompeur. La réussite a bien augmenté de 6 unités de pourcentage (on dit : 6 points de pourcentage), en passant de 65 % à 71 %. Mais l'évolution relative, celle qu'on appelle « augmentation de \(x\ \%\) », vaut environ 9,2 %.
À retenir : « passer de 65 % à 71 % » = + 6 points et + 9,2 %. Les deux phrases décrivent la même progression, mais elles ne se disent pas de la même façon.
e. Sur la saison :\(65\ \%\) de 240 \(= 240 \times 0{,}65 = \mathbf{156\ \text{lancers réussis}}\).
Vérification de l'ordre de grandeur : 65 %, c'est un peu moins des deux tiers ; les deux tiers de 240 valent 160, et 156 en est bien proche ✓.
En travaux pratiques, une classe dispose de quatre morceaux d'un même métal, de tailles différentes. Pour chacun, on mesure le volume (par déplacement d'eau dans une éprouvette graduée), puis la masse (à la balance).
| Morceau | n° 1 | n° 2 | n° 3 | n° 4 |
|---|---|---|---|---|
| Volume \(V\) (cm³) | 10 | 25 | 40 | 60 |
| Masse \(m\) (g) | 27 | 67,5 | 108 | 162 |
Masses volumiques de quelques métaux, en grammes par centimètre cube :
| Métal | Aluminium | Zinc | Fer | Cuivre | Plomb |
|---|---|---|---|---|---|
| Masse volumique (g/cm³) | 2,70 | 7,13 | 7,87 | 8,96 | 11,35 |
\(\dfrac{27}{10} = 2{,}7\) | \(\dfrac{67{,}5}{25} = 2{,}7\) | \(\dfrac{108}{40} = 2{,}7\) | \(\dfrac{162}{60} = 2{,}7\)
Le rapport \(\dfrac{m}{V}\) est le même pour les quatre morceaux : la masse est bien proportionnelle au volume.
b. Coefficient de proportionnalité :\(k = \mathbf{2{,}7\ \text{g/cm}^3}\). C'est la masse d'un centimètre cube de ce métal : c'est sa masse volumique.
c. Identification du métal :Dans le tableau, la valeur 2,70 g/cm³ correspond à l'aluminium.
d. Masse d'un morceau de 150 cm³ :\(m = V \times k = 150 \times 2{,}7 = \mathbf{405\ \text{g}}\)
e. Volume d'un morceau de 351 g :On fait l'opération inverse : \(V = \dfrac{m}{k} = \dfrac{351}{2{,}7} = \mathbf{130\ \text{cm}^3}\)
Vérification : \(130 \times 2{,}7 = 351\) g ✓
f. Le morceau de 20 cm³ et 178 g :S'il était en aluminium, sa masse serait \(20 \times 2{,}7 = 54\) g. Or on mesure 178 g : ce n'est pas de l'aluminium, il est bien trop lourd.
Sa masse volumique vaut \(\dfrac{178}{20} = 8{,}9\) g/cm³. La valeur la plus proche du tableau est 8,96 g/cm³ : il s'agit très probablement de cuivre.
Un technicien d'études prépare le dossier de permis de construire d'une maison individuelle. Il travaille sur le plan de masse : le dessin qui montre le terrain vu du dessus, avec la construction posée dessus. Ce plan est dessiné à l'échelle 1:500 — 1 cm sur le plan représente 500 cm en réalité, soit 5 m.
| Sur le plan (cm) | 1 | 2,4 | ? |
|---|---|---|---|
| En réalité (m) | 5 | ? | 25 |
\(2{,}4 \times 5 = 12\) et \(25 \div 5 = 5\).
| Sur le plan (cm) | 1 | 2,4 | 5 |
|---|---|---|---|
| En réalité (m) | 5 | 12 | 25 |
Longueur : \(2{,}4 \times 5 = \mathbf{12\,\text{m}}\) | largeur : \(1{,}8 \times 5 = \mathbf{9\,\text{m}}\).
Emprise au sol : \(12 \times 9 = \mathbf{108\,\text{m}^2}\).
Attention : on convertit d'abord les longueurs, puis on calcule la surface avec les longueurs réelles. On ne multiplie pas par 500 une surface mesurée sur le plan.
c. Surface réelle du terrain :Longueur : \(8{,}4 \times 5 = \mathbf{42\,\text{m}}\) | largeur : \(5{,}0 \times 5 = \mathbf{25\,\text{m}}\).
Surface : \(42 \times 25 = \mathbf{1\,050\,\text{m}^2}\).
d. Respect de la règle des 20 % :Part du terrain occupée par la maison : \(\dfrac{108}{1\,050} \times 100 \approx \mathbf{10{,}3\,\%}\).
\(10{,}3\,\% < 20\,\%\) : le projet respecte la règle.
Autre méthode : 20 % de 1 050 m² \(= 1\,050 \times 0{,}20 = 210\,\text{m}^2\). L'emprise autorisée est de 210 m², la maison n'en occupe que 108 : c'est bien conforme.
e. Recul de 5,00 m, mesuré sur le plan :\(5 \div 5 = \mathbf{1\,\text{cm}}\). Le technicien doit vérifier qu'il y a au moins 1 cm entre la maison et la limite du terrain côté voie publique.
f. Largeur réelle de l'allée :\(7\,\text{mm} = 0{,}7\,\text{cm}\), donc \(0{,}7 \times 5 = \mathbf{3{,}5\,\text{m}}\).
\(3{,}5\,\text{m} \geqslant 3{,}00\,\text{m}\) : l'allée est assez large pour les véhicules de secours.
En classe, le débat est lancé. Ilyes soutient que c'est au football qu'on court le plus, « parce que le terrain est bien plus grand ». Léa répond que c'est au basket, « parce que ça enchaîne les sprints sans arrêt ».
Pour trancher, on utilise les données de suivi publiées par les ligues professionnelles. Attention : les deux sports n'ont pas la même durée de jeu. Un match de football dure 90 min et un joueur de champ les joue en entier ; un match de basket dure 48 min, mais un joueur titulaire n'est pas sur le terrain tout le temps.
| Joueur | Distance moyenne par match | Temps passé sur le terrain |
|---|---|---|
| Football — milieu de terrain (Ligue 1) | 10,6 km | 90 min |
| Football — gardien de but | 4,0 km | 90 min |
| Basket — joueur titulaire (NBA) | 4,3 km | 36 min |
D'où viennent ces chiffres ? Football : statistiques de distance parcourue publiées par la Ligue de football professionnel (rubrique « Data zone » de ligue1.com) et études de l'Observatoire du football CIES — un joueur de champ de Ligue 1 parcourt entre 9 et 11,5 km par match, les milieux de terrain étant les plus actifs. Basket : suivi optique de la NBA (caméras Second Spectrum, en place dans toutes les salles depuis la saison 2013-2014), qui mesure la position de chaque joueur 25 fois par seconde. Les valeurs ci-dessus sont des moyennes arrondies.
Milieu de terrain 10,6 km > basketteur 4,3 km > gardien 4,0 km.
Sur la seule distance parcourue, c'est donc Ilyes qui a raison : le footballeur de champ court nettement plus. Mais cette comparaison oublie que les temps de jeu sont différents — la suite va le montrer.
b. Distance par minute de jeu :On divise la distance, convertie en mètres, par le temps de jeu.
| Joueur | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Milieu de terrain | \(10\,600 \div 90 \approx 117{,}8\) | 118 m/min |
| Gardien de but | \(4\,000 \div 90 \approx 44{,}4\) | 44 m/min |
| Basketteur | \(4\,300 \div 36 \approx 119{,}4\) | 119 m/min |
L'unité est le mètre par minute (m/min). Ce coefficient dit combien de mètres le joueur avale pour chaque minute passée sur le terrain : c'est sa vitesse moyenne, temps de marche et d'arrêt compris.
Le milieu de terrain et le basketteur sont au coude à coude : 118 contre 119 m/min. Le gardien, lui, est loin derrière — deux fois et demie moins.
c. Le basketteur sur 90 minutes :Méthode 1 — avec le coefficient : \(119{,}4 \times 90 \approx 10\,750\ \text{m}\), soit environ 10,75 km.
Méthode 2 — avec la règle de trois : on passe de 36 min à 90 min, donc le temps est multiplié par \(\dfrac{90}{36} = 2{,}5\). La distance est multipliée par le même nombre :
\(4{,}3 \times 2{,}5 = \mathbf{10{,}75\ \text{km}}\).
Les deux méthodes donnent le même résultat : c'est bien une situation de proportionnalité. Et 10,75 km, c'est un peu plus que les 10,6 km du milieu de terrain.
d. Deux pourcentages à comparer :Part de la distance : \(\dfrac{4{,}3}{10{,}6} \times 100 \approx \mathbf{40{,}6\ \%}\).
Part du temps de jeu : \(\dfrac{36}{90} \times 100 = \mathbf{40\ \%}\).
Le basketteur parcourt 40,6 % de la distance en ne jouant que 40 % du temps. Comme la part de distance est un peu plus grande que la part de temps, son rythme est un peu plus élevé — ce que la question b avait déjà montré avec 119 contre 118 m/min. Les deux calculs se confirment l'un l'autre.
e. Retour sur le débat :Les deux ont raison, mais pas sur la même question. Ilyes a raison sur la distance totale : un footballeur parcourt 10,6 km contre 4,3 km pour un basketteur, soit près de 2,5 fois plus. Léa a raison sur le rythme : ramenés à la minute de jeu, les deux sont à égalité, 119 m/min pour le basketteur contre 118 pour le footballeur. Le footballeur ne court pas plus vite, il court beaucoup plus longtemps.
\(\dfrac{36}{48} \times 100 = \mathbf{75\ \%}\).
Le titulaire joue les trois quarts du match : il est remplacé pendant 12 min, soit 25 % du temps.
Jusqu’ici, on connaissait le prix de départ et on cherchait le prix d’arrivée. Ici, c’est l’inverse : on connaît le prix après l’évolution, et on doit remonter au prix avant.
Un menuisier reçoit une facture de bois. Le fournisseur lui a accordé une remise de 20 %, et le montant facturé est de 1 240 € HT. Le prix catalogue n’est pas écrit sur la facture.
\(1\,488 \times 0{,}80 = 1\,190{,}40\,\text{€}\), et non 1 240 €. Son raisonnement est donc faux : les 20 % qu’il ajoute sont pris sur 1 240 €, alors que la remise avait été prise sur un prix plus élevé.
b. Le bon raisonnement :Une remise de 20 % revient à multiplier par \(1 - 0{,}20 = 0{,}80\). Donc \(p \times 0{,}80 = 1\,240\), d’où :
\(p = \dfrac{1\,240}{0{,}80} = \mathbf{1\,550\,\text{€ HT}}\)
Vérification : \(1\,550 \times 0{,}80 = 1\,240\,\text{€}\) ✓. Le prix catalogue était bien 1 550 €, pas 1 488 €.
c. Le second lot :Une hausse de 12 % revient à multiplier par 1,12. Donc \(p = \dfrac{2\,128}{1{,}12} = \mathbf{1\,900\,\text{€}}\).
Vérification : \(1\,900 \times 1{,}12 = 2\,128\,\text{€}\) ✓
d. La hausse qui compense une baisse de 20 % :Il faut que le coefficient global vaille 1 : \(0{,}80 \times C = 1\), donc \(C = \dfrac{1}{0{,}80} = 1{,}25\), soit une hausse de 25 %.
e. Vérification et explication :\(1\,550 \times 0{,}80 = 1\,240\), puis \(1\,240 \times 1{,}25 = 1\,550\,\text{€}\) ✓
Les deux taux ne se compensent pas parce qu’ils ne portent pas sur la même somme : la baisse de 20 % est prise sur 1 550 €, la hausse sur 1 240 € seulement. Avec deux fois 20 %, on obtiendrait \(0{,}80 \times 1{,}20 = 0{,}96\) : il manquerait 4 %.
Un plaquiste doit préparer 30 mètres de rails de cloison utiles pour un chantier. À cause des découpes et des extrémités abîmées, une partie de chaque rail part en chute (perte). Deux modèles sont disponibles :
| Rail | Longueur brute | Prix HT | Taux de chute |
|---|---|---|---|
| Rail A | 2,50 m | 7,00 € | 20 % |
| Rail B | 4,00 m | 12,00 € | 25 % |
Le plaquiste veut dépenser le moins possible. Quel rail doit-il choisir ? Justifier par le calcul.
Rail A : \(2{,}50 \times (1 - 0{,}20) = 2{,}50 \times 0{,}80 = \mathbf{2{,}00\,\text{m}}\) utiles.
Rail B : \(4{,}00 \times (1 - 0{,}25) = 4{,}00 \times 0{,}75 = \mathbf{3{,}00\,\text{m}}\) utiles.
b. Nombre de rails pour 30 m utiles :Rail A : \(\dfrac{30}{2{,}00} = \mathbf{15}\) rails.
Rail B : \(\dfrac{30}{3{,}00} = \mathbf{10}\) rails.
c. Coût total :Rail A : \(15 \times 7{,}00 = \mathbf{105{,}00\,\text{€}}\)
Rail B : \(10 \times 12{,}00 = \mathbf{120{,}00\,\text{€}}\)
d. Conclusion :Le rail A est le plus économique (105 € < 120 €). Économie : \(120 - 105 = 15\,\text{€}\), soit \(\dfrac{15}{120} \times 100 = \mathbf{12{,}5\,\%}\) de moins.
e. Vérification par le coût du mètre utile :Rail A : \(\dfrac{7{,}00}{2{,}00} = \mathbf{3{,}50\,\text{€/m}}\) utile. Rail B : \(\dfrac{12{,}00}{3{,}00} = \mathbf{4{,}00\,\text{€/m}}\) utile.
Le mètre utile revient moins cher avec le rail A : on retrouve bien la même conclusion. Le rail B cumule en réalité deux désavantages : il est plus cher au mètre brut (\(12{,}00 \div 4{,}00 = 3{,}00\,\text{€/m}\) contre \(7{,}00 \div 2{,}50 = 2{,}80\,\text{€/m}\)) et son taux de chute est plus élevé (25 % contre 20 %).
Un menuisier applique une finition teintée sur un plan de travail. Il prépare son produit en mélangeant deux vernis :
Il doit préparer 10 litres de mélange contenant 30 % de vernis teinté.
Vernis teinté : \(10 \times 0{,}30 = \mathbf{3\,\text{L}}\)
Vernis incolore : \(10 - 3 = \mathbf{7\,\text{L}}\)
b. Coût total :\(7 \times 12 + 3 \times 28 = 84 + 84 = \mathbf{168\,\text{€}}\)
c. Prix moyen/L :\(\dfrac{168}{10} = \mathbf{16{,}80\,\text{€/L}}\)
d. Surface couverte :\(10 \times 8 = 80\,\text{m}^2 > 40\,\text{m}^2\) → Oui, il a largement assez.
Un électricien veut commander 30 bobines de câble de même référence. Deux fournisseurs répondent :
Séduit par « 20 % de remise », l'électricien penche pour Câbles Pro. A-t-il raison ?
Élec Distribution : \(30 \times 40 = \mathbf{1\,200\,\text{€}}\). Câbles Pro : \(30 \times 44 = \mathbf{1\,320\,\text{€}}\).
b. Montant HT après remise :Élec Distribution (−15 %) : \(1\,200 \times 0{,}85 = \mathbf{1\,020\,\text{€}}\)
Câbles Pro (−20 %) : \(1\,320 \times 0{,}80 = \mathbf{1\,056\,\text{€}}\)
c. Le devis le moins cher :Élec Distribution est le moins cher : \(1\,020\,\text{€} < 1\,056\,\text{€}\), soit \(1\,056 - 1\,020 = \mathbf{36\,\text{€}}\) de moins.
d. Pourcentage d’économie :\(\dfrac{36}{1\,056} \times 100 \approx \mathbf{3{,}4\,\%}\) d’économie par rapport au devis le plus cher.
e. Pourquoi la plus grosse remise ne gagne pas :Le pourcentage de remise s’applique à un prix de départ différent. Chez Câbles Pro, la bobine est plus chère (44 € contre 40 €) : la remise de 20 % part d’un montant plus élevé (1 320 €) et n’efface pas cet écart. Il faut toujours comparer le prix final payé, pas le pourcentage affiché.
À titre indicatif, en TTC (TVA 20 %) : Élec Distribution \(1\,020 \times 1{,}20 = 1\,224\,\text{€}\) contre Câbles Pro \(1\,056 \times 1{,}20 = 1\,267{,}20\,\text{€}\).
Un particulier compare deux devis pour un mur de clôture en maçonnerie. La TVA est de 10 % dans les deux cas (travaux de rénovation).
Le particulier hésite : « celui qui fait 12 % de remise est forcément le moins cher ». Vérifions.
\(4\,500 \times (1 - 0{,}12) = 4\,500 \times 0{,}88 = \mathbf{3\,960\,\text{€ HT}}\)
b. Prix TTC de chaque devis (TVA 10 %) :Legrand : \(3\,960 \times 1{,}10 = \mathbf{4\,356\,\text{€ TTC}}\)
Bâti-Ouest : \(3\,900 \times 1{,}10 = \mathbf{4\,290\,\text{€ TTC}}\)
c. Devis retenu et économie :Bâti-Ouest est le moins cher : \(4\,290\,\text{€} < 4\,356\,\text{€}\). Économie : \(4\,356 - 4\,290 = \mathbf{66\,\text{€}}\).
d. Commentaire :Non, la remise de 12 % ne suffit pas. Le devis Legrand part d’un prix plus élevé (4 500 € au lieu de 3 900 €) : même après \(-12\,\%\), son prix (3 960 € HT) reste au-dessus du prix nu de Bâti-Ouest (3 900 € HT). Une remise n’a de valeur que rapportée au prix de départ — c’est le prix final payé qui décide.
Un façadier doit enduire un mur pignon de 12 m de long sur 2,80 m de haut. Le mur comporte 2 fenêtres identiques de 1,40 m × 1,20 m et 1 porte-fenêtre de 2,10 m × 0,90 m, qui ne sont pas enduites.
L’enduit de façade coûte 18 €/m² HT (coût proportionnel à la surface enduite). La TVA est de 10 %.
\(S_{\text{brute}} = 12 \times 2{,}80 = \mathbf{33{,}6\,\text{m}^2}\)
b. Surface des ouvertures :2 fenêtres : \(2 \times (1{,}40 \times 1{,}20) = 2 \times 1{,}68 = 3{,}36\,\text{m}^2\)
1 porte-fenêtre : \(2{,}10 \times 0{,}90 = 1{,}89\,\text{m}^2\)
Total : \(3{,}36 + 1{,}89 = \mathbf{5{,}25\,\text{m}^2}\)
c. Surface nette à enduire :\(S_{\text{nette}} = 33{,}6 - 5{,}25 = \mathbf{28{,}35\,\text{m}^2}\)
d. Proportion des ouvertures :\(p = \dfrac{5{,}25}{33{,}6} \times 100 \approx \mathbf{15{,}6\,\%}\) de la surface brute.
e. Coût de l’enduit :Coût HT : \(28{,}35 \times 18 = \mathbf{510{,}30\,\text{€ HT}}\)
Coût TTC : \(510{,}30 \times 1{,}10 = \mathbf{561{,}33\,\text{€ TTC}}\)
Un technicien travaille sur un plan de masse à l’échelle 1:200 : 1 cm sur le plan représente 200 cm en réalité, soit 2 m. Une parcelle rectangulaire y est dessinée aux dimensions 6 cm × 4,5 cm.
\(6 \times 200 = 1\,200\,\text{cm} = \mathbf{12\,\text{m}}\) et \(4{,}5 \times 200 = 900\,\text{cm} = \mathbf{9\,\text{m}}\)
b. Surface réelle :\(S = 12 \times 9 = \mathbf{108\,\text{m}^2}\)
c. Surface sur le plan :\(s = 6 \times 4{,}5 = \mathbf{27\,\text{cm}^2}\)
d. Le facteur entre les deux surfaces :\(108\,\text{m}^2 = 108 \times 10\,000 = 1\,080\,000\,\text{cm}^2\)
\(\dfrac{1\,080\,000}{27} = \mathbf{40\,000}\). Ce n’est pas 200, c’est \(200 \times 200 = 200^2\).
e. L’erreur de l’élève :Il applique aux aires le facteur prévu pour les longueurs. Or une aire est un produit de deux longueurs : chacune est multipliée par 200, donc l’aire l’est par \(200^2 = 40\,000\).
Règle : à l’échelle \(1:k\), les longueurs réelles valent \(k\) fois celles du plan, et les aires réelles \(k^2\) fois celles du plan.
Son résultat, 0,54 m² pour une parcelle de 12 m sur 9 m, aurait dû l’alerter : c’est la taille d’une table.
f. La terrasse :\(3 \times 40\,000 = 120\,000\,\text{cm}^2 = \mathbf{12\,\text{m}^2}\)
Vérification par les longueurs : une terrasse de 3 cm² sur le plan, par exemple 2 cm × 1,5 cm, mesure en réalité 4 m × 3 m, soit bien 12 m². ✓
Sur un plan à l’échelle 1:100 (1 cm sur le plan représente 100 cm en réalité, soit 1 m), une salle rectangulaire est dessinée aux dimensions 5 cm × 4 cm. On veut préparer le sol avec un produit de ragréage.
Pour l'épaisseur prévue dans cet exercice, la consommation de produit est de 4 kg/m². Il se vend en sacs de 20 kg à 15 € le sac.
| Donnée | Valeur |
|---|---|
| Échelle et dimensions sur le plan | 1:100 ; 5 cm × 4 cm |
| Consommation prévue | 4 kg/m² |
| Conditionnement et prix | 20 kg par sac ; 15 € par sac |
| Réserve demandée uniquement en f | 10 % de la masse calculée en c |
| Budget maximal en f | 70 € |
Longueur : \(5\,\text{cm} \times 100 = 500\,\text{cm} = \mathbf{5\,\text{m}}\)
Largeur : \(4\,\text{cm} \times 100 = 400\,\text{cm} = \mathbf{4\,\text{m}}\)
b. Surface réelle :\(S = 5 \times 4 = \mathbf{20\,\text{m}^2}\)
c. Masse de ragréage (proportionnelle à la surface) :\(20 \times 4 = \mathbf{80\,\text{kg}}\)
d. Nombre de sacs de 20 kg :\(\dfrac{80}{20} = \mathbf{4\,\text{sacs}}\)
e. Coût total :\(4 \times 15 = \mathbf{60\,\text{€}}\)
f. Réserve et budget :Avec la réserve : \(80 \times 1{,}10 = \mathbf{88\,\text{kg}}\). Quatre sacs ne fournissent que 80 kg ; \(88 \div 20 = 4{,}4\), donc il faut acheter 5 sacs, soit 100 kg. Le coût minimal est \(5 \times 15 = \mathbf{75\,\text{€}}\).
Les deux contraintes sont incompatibles : 75 € dépassent le budget de 70 €. Il faut demander au moins 5 € de budget supplémentaire ou revoir une contrainte avec le responsable ; acheter quatre sacs ne respecte pas la réserve demandée.
Un bailleur social lance un appel d’offres pour la rénovation thermique d’un logement de son parc. Trois entreprises répondent :
| Entreprise | Prix annoncé | Remise | TVA donnée |
|---|---|---|---|
| A | 8 500 € HT | Aucune | 10 % |
| B | 9 200 € TTC | Aucune | 20 % |
| C | 9 800 € HT avant remise | 12 % | 10 % |
Modèle simplifié : les taux de TVA ci-dessus sont des données conventionnelles pour travailler les coefficients multiplicateurs ; ils ne décrivent pas les règles d'éligibilité des entreprises. On suppose les prestations comparables et on ne retient ici que le critère du prix. Pour comparer, on calcule le prix TTC final de chaque offre.
\(8\,500 \times 1{,}10 = \mathbf{9\,350\,\text{€ TTC}}\)
b. Prix HT — Entreprise B (TTC = 9 200 €, TVA 20 %) :TVA 20 % ⇒ TTC = HT × 1,20, donc : \(\text{HT} = \dfrac{9\,200}{1{,}20} \approx \mathbf{7\,666{,}67\,\text{€ HT}}\), au centime près.
Prix TTC de B = 9 200 € (donné directement).
c. Prix TTC — Entreprise C :Prix HT après remise 12 % : \(9\,800 \times (1 - 0{,}12) = 9\,800 \times 0{,}88 = 8\,624\,\text{€ HT}\)
Prix TTC avec TVA 10 % : \(8\,624 \times 1{,}10 = \mathbf{9\,486{,}40\,\text{€ TTC}}\)
d. Classement TTC :| Entreprise | Prix TTC | Rang |
|---|---|---|
| Entreprise B | 9 200,00 € | 1re — la moins chère |
| Entreprise A | 9 350,00 € | 2e |
| Entreprise C | 9 486,40 € | 3e — la plus chère |
L’Entreprise B est la moins chère avec 9 200 € TTC, même si son prix de base semblait élevé. Attention au piège : comparer des prix HT directement sans tenir compte des taux de TVA différents est une erreur fréquente !
e. Économie réalisée :\(9\,486{,}40 - 9\,200 = \mathbf{286{,}40\,\text{€}}\)
En choisissant l’Entreprise B plutôt que l’Entreprise C (la plus chère), on réalise une économie de 286,40 €.
La pente d’un cheminement s’exprime en pourcentage : c’est le rapport du dénivelé à la longueur horizontale, multiplié par 100.
\(\text{pente (\%)} = \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{longueur horizontale}} \times 100\)
Pour rendre un établissement accessible, la réglementation impose une pente d’au plus 5 %, avec deux tolérances sur de courtes distances : 8 % sur 2 m et 10 % sur 0,50 m (arrêté du 8 décembre 2014, établissements recevant du public neufs).
L’entrée d’un local présente une marche unique de 18 cm de haut. On veut la remplacer par une rampe.
Dénivelé et longueur dans la même unité : \(18\,\text{cm} = 0{,}18\,\text{m}\).
\(\text{pente} = \dfrac{0{,}18}{2{,}50} \times 100 = 0{,}072 \times 100 = \mathbf{7{,}2\,\%}\)
b. Conformité :7,2 % dépasse la limite de 5 %. La valeur reste sous la tolérance de 8 %, mais celle-ci ne s’applique que sur une longueur d’au plus 2 m, alors que la rampe en mesure 2,50 m. Le projet n’est donc pas conforme.
c. Longueur minimale à 5 % :On cherche \(L\) tel que \(\dfrac{0{,}18}{L} \times 100 = 5\), soit \(\dfrac{0{,}18}{L} = 0{,}05\).
\(L = \dfrac{0{,}18}{0{,}05} = \mathbf{3{,}60\,\text{m}}\). Il faut donc plus d’un mètre de longueur supplémentaire.
d. Dénivelé du couloir :Une pente de 4 % signifie 4 cm de dénivelé par mètre parcouru, soit un coefficient de 0,04 :
\(d = 0{,}04 \times 15 = \mathbf{0{,}60\,\text{m}}\), soit 60 cm.
e. Longueur sur le plan au 1:50 :\(3{,}60\,\text{m} = 360\,\text{cm}\), donc \(\dfrac{360}{50} = \mathbf{7{,}2\,\text{cm}}\) sur le plan.
f. Pente et longueur :Non, ce n’est pas une situation de proportionnalité. En allongeant la rampe de 2,50 m à 3,60 m, la longueur est multipliée par 1,44, mais la pente diminue de 7,2 % à 5 % — elle est divisée par 1,44. Dans une proportionnalité, les deux grandeurs augmentent ensemble ; ici, quand l’une augmente, l’autre diminue.
En revanche, à pente fixée, le dénivelé est bien proportionnel à la longueur : c’est ce qu’on a utilisé à la question d.
Un fournisseur d’électricité facture chaque mois un abonnement de 14,50 €, auquel s’ajoute 0,22 € par kilowattheure consommé.
| Consommation (kWh) | 0 | 100 | 200 | 400 |
|---|---|---|---|---|
| Montant de la facture (€) | …… | …… | …… | …… |
| Consommation (kWh) | 0 | 100 | 200 | 400 |
|---|---|---|---|---|
| Montant (€) | 14,50 | 36,50 | 58,50 | 102,50 |
Détail : \(14{,}50 + 0{,}22 \times 100 = 14{,}50 + 22 = 36{,}50\,\text{€}\), et de même pour les autres colonnes.
b. Les rapports :\(\dfrac{36{,}50}{100} = 0{,}365\) ; \(\dfrac{58{,}50}{200} = 0{,}2925\) ; \(\dfrac{102{,}50}{400} \approx 0{,}256\)
Les trois rapports sont différents, et ils diminuent.
c. Proportionnalité ?Non. Première raison : les rapports de la question b ne sont pas constants, il n’existe donc aucun coefficient de proportionnalité.
Seconde raison, plus rapide : pour 0 kWh consommé, la facture n’est pas nulle, elle vaut 14,50 €. Or dans une situation de proportionnalité, à zéro correspond toujours zéro. Ce seul point suffit à conclure.
d. Ce qui est proportionnel et ce qui ne l’est pas :La partie consommation, \(0{,}22 \times \text{kWh}\), est bien proportionnelle : doubler la consommation double cette partie. L’abonnement de 14,50 € est fixe : il ne dépend pas du tout de la consommation. C’est lui qui casse la proportionnalité de l’ensemble.
e. Le prix moyen réel :Facture : \(14{,}50 + 0{,}22 \times 250 = 14{,}50 + 55 = 69{,}50\,\text{€}\)
Prix moyen : \(\dfrac{69{,}50}{250} = \mathbf{0{,}278\,\text{€/kWh}}\)
Le client a tort : il paie en réalité près de 0,28 € le kWh, soit 26 % de plus que le tarif affiché, parce que l’abonnement se répartit sur les kWh consommés.
f. Évolution du prix moyen :Il diminue quand la consommation augmente : les 14,50 € se répartissent sur de plus en plus de kWh. Il se rapproche de 0,22 € sans jamais l’atteindre, puisque l’abonnement ne disparaît jamais. C’est pourquoi un petit consommateur paie toujours son kWh plus cher qu’un gros.
Un logement consomme 12 000 kWh par an. La répartition par poste est la suivante :
| Poste | Chauffage | Eau chaude | Électroménager | Éclairage |
|---|---|---|---|---|
| Part (%) | 62 | 18 | 14 | 6 |
Le prix moyen de l’énergie est de 0,20 €/kWh.
| Poste | Chauffage | Eau chaude | Électroménager | Éclairage |
|---|---|---|---|---|
| kWh | 7 440 | 2 160 | 1 680 | 720 |
Détail : \(12\,000 \times 0{,}62 = 7\,440\) ; \(12\,000 \times 0{,}18 = 2\,160\) ; \(12\,000 \times 0{,}14 = 1\,680\) ; \(12\,000 \times 0{,}06 = 720\).
b. Vérification :\(62 + 18 + 14 + 6 = 100\,\%\) ✓ (et \(7\,440 + 2\,160 + 1\,680 + 720 = 12\,000\) kWh).
c. Nouvelle consommation de chauffage (−25 %) :\(7\,440 \times (1 - 0{,}25) = 7\,440 \times 0{,}75 = \mathbf{5\,580\,\text{kWh}}\)
d. Énergie et argent économisés :Énergie : \(7\,440 - 5\,580 = \mathbf{1\,860\,\text{kWh}}\)
Argent : \(1\,860 \times 0{,}20 = \mathbf{372\,\text{€}}\) par an.
e. Nouvelle part du chauffage :Nouvelle consommation totale : \(12\,000 - 1\,860 = 10\,140\,\text{kWh}\).
Part du chauffage : \(\dfrac{5\,580}{10\,140} \times 100 \approx \mathbf{55{,}0\,\%}\).
Le chauffage reste le premier poste, mais sa part a baissé (de 62 % à 55 %) grâce à l’isolation.
Un fournisseur de pièces propose à un atelier une remise de 15 % sur son catalogue, puis 5 % supplémentaires sur le reste (remise de fidélité).
Le responsable des achats pense qu’il obtiendrait la même chose avec une remise unique de 20 %.
Prendre un prix catalogue de référence de 1 000 €.
Après 15 % : \(1000 \times 0{,}85 = 850\,\text{€}\)
Après 5 % supplémentaires : \(850 \times 0{,}95 = \mathbf{807{,}50\,\text{€}}\)
Ou directement : \(1000 \times 0{,}85 \times 0{,}95 = 1000 \times 0{,}8075 = 807{,}50\,\text{€}\)
b. Remise unique de 20 % :\(1000 \times 0{,}80 = \mathbf{800\,\text{€}}\)
c. Comparaison — quel est le meilleur deal ?Taux de remise réel des remises en cascade : \(1 - 0{,}8075 = 0{,}1925\) soit 19,25 % de remise réelle.
Comparaison : 807,50 € (cascade) contre 800 € (remise unique).
La remise unique de 20 % est plus avantageuse pour l’atelier (800 € < 807,50 €). La remise en cascade ne vaut que 19,25 % de remise effective.
d. Généralisation :Coefficient multiplicateur : \(\left(1 - \dfrac{r_1}{100}\right) \times \left(1 - \dfrac{r_2}{100}\right)\)
Taux de remise global : \(1 - \left(1 - \dfrac{r_1}{100}\right)\left(1 - \dfrac{r_2}{100}\right)\)
Ici : \(1 - 0{,}85 \times 0{,}95 = 1 - 0{,}8075 = 0{,}1925 = 19{,}25\,\%\). En général, la remise globale est inférieure à la somme \(r_1 + r_2\).
Un fournisseur de quincaillerie propose des remises selon le montant HT commandé :
| Montant HT | Remise |
|---|---|
| Moins de 500 € | 0 % |
| De 500 € à moins de 1 000 € | 5 % |
| De 1 000 € à moins de 2 000 € | 10 % |
| 2 000 € et plus | 15 % |
TTC : \(480 \times 1{,}20 = \mathbf{576\,\text{€}}\)
b. Commande 520 € (5 % de remise) :HT remisé : \(520 \times 0{,}95 = 494\,\text{€}\)
TTC : \(494 \times 1{,}20 = \mathbf{592{,}80\,\text{€}}\)
Le montant commandé avant remise augmente de 40 € HT, mais le prix payé augmente seulement de \(592{,}80 - 576 = \mathbf{16{,}80\,\text{€ TTC}}\), grâce à la remise.
c. Commande 1 800 € (10 %) :HT remisé : \(1\,800 \times 0{,}90 = 1\,620\,\text{€}\)
TTC : \(1\,620 \times 1{,}20 = \mathbf{1\,944\,\text{€}}\)
d. Faut-il compléter sa commande pour atteindre 2 000 € ?Besoin de 1 950 € HT — palier 10 % : \(1\,950 \times 0{,}90 = 1\,755\,\text{€}\) nets.
Commande portée à 2 000 € HT — palier 15 % : \(2\,000 \times 0{,}85 = 1\,700\,\text{€}\) nets.
Il paie 55 € HT de moins (soit 66 € TTC avec la TVA à 20 %) tout en emportant plus de marchandise : compléter la commande réduit ici le prix payé.
e. Le paradoxe expliqué :On paie moins cher en achetant plus parce que le passage du palier « 10 % » au palier « 15 % » fait changer tout le calcul, et pas seulement les 50 € ajoutés : la remise supplémentaire s'applique aussi aux 1 950 € déjà commandés.
Le gain vient donc de \(1\,950\) euros remisés 5 % de plus, soit environ 98 €, contre 50 € de marchandise en plus à payer. Le solde est favorable.
Ce n'est pas propre au commerce : chaque fois qu'un taux change par paliers, il existe juste avant le palier une zone où il vaut mieux franchir le seuil.
Une veste est affichée à 180 €. Pendant les soldes, le magasin applique trois démarques successives, chacune sur le prix déjà réduit : −30 %, puis −25 %, puis −10 % le dernier jour.
Après −30 % : \(180 \times 0{,}70 = \mathbf{126\,\text{€}}\)
Après −25 % : \(126 \times 0{,}75 = \mathbf{94{,}50\,\text{€}}\)
Après −10 % : \(94{,}50 \times 0{,}90 = \mathbf{85{,}05\,\text{€}}\)
b. Coefficient multiplicateur global :\(C = 0{,}70 \times 0{,}75 \times 0{,}90 = \mathbf{0{,}4725}\)
c. Prix final et taux global de réduction :Prix final : \(180 \times 0{,}4725 = \mathbf{85{,}05\,\text{€}}\) (cohérent avec la question a).
Taux global de baisse : \((1 - 0{,}4725) \times 100 = \mathbf{52{,}75\,\%}\).
d. Comparaison avec 30 + 25 + 10 = 65 % :Non, la réduction globale est de 52,75 %, bien moins que 65 %. Chaque démarque s’applique sur un prix déjà réduit, donc retire de moins en moins d’euros. On ne peut pas additionner les taux : il faut multiplier les coefficients (\(0{,}70 \times 0{,}75 \times 0{,}90 = 0{,}4725\)).
Le lycée mène une enquête sur les émissions de dioxyde de carbone (CO₂) liées aux trajets domicile-lycée. Un élève habite à 12 km du lycée et fait l'aller-retour 4 jours par semaine, pendant 36 semaines.
Modèle pédagogique simplifié : on suppose les émissions de CO₂ proportionnelles à la distance. Les valeurs ci-dessous sont des données conventionnelles de l'exercice, conservées pour les calculs ; elles ne constituent pas des facteurs ADEME actualisés. On ne compte ici que les émissions liées à la combustion du carburant pendant le trajet, sans fabrication des véhicules ni production des carburants, et on maintient les facteurs constants.
| Mode de déplacement | CO₂ lié à la combustion — modèle de l'exercice |
|---|---|
| Voiture thermique moyenne | 193 g par km parcouru par la voiture (quel que soit le nombre de personnes à bord) |
| Autocar | 30 g par km et par passager |
| Vélo sans assistance, marche | 0 g dans ce périmètre limité à la combustion d'un carburant |
Distance : \(2 \times 12 = 24\) km.
Émissions : \(24 \times 193 = \mathbf{4\,632\ \text{g}}\), soit \(4\,632 \div 1\,000 = \mathbf{4{,}632\ \text{kg}}\) de CO₂ (environ 4,6 kg).
b. Covoiturage à 4 :La voiture émet toujours 4 632 g pour le trajet ; ces émissions sont partagées entre 4 personnes :
\(\dfrac{4\,632}{4} = \mathbf{1\,158\ \text{g}}\) par passager, soit environ 1,2 kg.
Taux d'évolution : \(t = \dfrac{1\,158 - 4\,632}{4\,632} \times 100 = \dfrac{-3\,474}{4\,632} \times 100 = \mathbf{-75\ \%}\).
C'est logique : diviser par 4 revient à multiplier par \(0{,}25\), c'est-à-dire à baisser de 75 %.
c. En autocar :\(24 \times 30 = \mathbf{720\ \text{g}}\), soit 0,72 kg de CO₂.
\(t = \dfrac{720 - 4\,632}{4\,632} \times 100 = \dfrac{-3\,912}{4\,632} \times 100 \approx \mathbf{-84{,}5\ \%}\)
d. Bilan annuel :Nombre d'aller-retours : \(4 \times 36 = \mathbf{144}\).
| Mode | Par aller-retour | Calcul annuel | Bilan annuel |
|---|---|---|---|
| Voiture seul | 4 632 g | \(4\,632 \times 144\) | 667 008 g ≈ 667 kg |
| Covoiturage à 4 | 1 158 g | \(1\,158 \times 144\) | 166 752 g ≈ 167 kg |
| Autocar | 720 g | \(720 \times 144\) | 103 680 g ≈ 104 kg |
\(667{,}008 - 103{,}68 = \mathbf{563{,}328\ \text{kg}}\), soit environ 563 kg de CO₂ par an — plus d'une demi-tonne pour un seul élève.
Contrôle par le taux : \(-84{,}5\ \%\) de 667 kg donne \(667 \times 0{,}845 \approx 564\) kg ✓ (le petit écart vient de l'arrondi du taux).
f. Objectif de 60 % de réduction :Covoiturage à 3 : chaque passager se voit attribuer \(\dfrac{4\,632}{3} = 1\,544\) g.
\(t = \dfrac{1\,544 - 4\,632}{4\,632} \times 100 = \dfrac{-3\,088}{4\,632} \times 100 \approx \mathbf{-66{,}7\ \%}\)
La baisse (66,7 %) dépasse les 60 % demandés : oui, le covoiturage à 3 suffit.
Règle générale : à \(n\) personnes, chaque passager se voit attribuer \(\dfrac{1}{n}\) des émissions du trajet. Le coefficient multiplicateur est donc \(\dfrac{1}{n}\), et la baisse vaut \(\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \times 100\ \%\) :
à 2 : \(-50\ \%\) | à 3 : \(\approx -66{,}7\ \%\) | à 4 : \(-75\ \%\) | à 5 : \(-80\ \%\).
Remarquable : ce pourcentage ne dépend pas du véhicule ni des 193 g de départ — il ne dépend que du nombre de passagers.
Le lycée organise son cross annuel dans le parc voisin. Le professeur d'EPS a tracé le parcours sur un plan à l'échelle 1:2 500 : 1 cm sur le plan représente 2 500 cm en réalité, soit 25 m. Le parcours est une boucle fermée formée de quatre portions.
| Portion de la boucle | Longueur mesurée sur le plan |
|---|---|
| 1. Ligne droite de départ | 6,0 cm |
| 2. Montée du talus | 3,2 cm |
| 3. Traversée du bois | 8,4 cm |
| 4. Retour vers l'arrivée | 4,4 cm |
Les élèves de 2nde courent 4 boucles.
Longueur de la boucle sur le plan : \(6{,}0 + 3{,}2 + 8{,}4 + 4{,}4 = \mathbf{22{,}0\ \text{cm}}\).
Longueur réelle : chaque centimètre du plan vaut 25 m, donc \(22{,}0 \times 25 = \mathbf{550\ \text{m}}\).
Distance parcourue sur 4 boucles : \(550 \times 4 = \mathbf{2\,200\ \text{m}}\), soit 2,2 km.
b. La montée du talus :Longueur réelle : \(3{,}2 \times 25 = \mathbf{80\ \text{m}}\).
Part de la boucle : \(\dfrac{80}{550} \times 100 \approx \mathbf{14{,}5\ \%}\).
Directement sur le plan : \(\dfrac{3{,}2}{22{,}0} \times 100 \approx 14{,}5\ \%\) — le même résultat.
Pourquoi ? Pour passer du plan au terrain, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre (25). Dans le quotient \(\dfrac{3{,}2 \times 25}{22{,}0 \times 25}\), ce facteur 25 se simplifie : le quotient — donc le pourcentage — ne change pas. Une proportion se lit sur le plan sans conversion ; une longueur, non.
c. Vitesses moyennes :Rappel : \(v = \dfrac{d}{t}\), avec \(d\) en km et \(t\) en heures.
L'an dernier : \(12\ \text{min} = \dfrac{12}{60} = 0{,}2\ \text{h}\), donc \(v_1 = \dfrac{2{,}2}{0{,}2} = \mathbf{11\ \text{km/h}}\).
Cette année : \(11\ \text{min} = \dfrac{11}{60}\ \text{h}\), donc \(v_2 = 2{,}2 \times \dfrac{60}{11} = \dfrac{132}{11} = \mathbf{12\ \text{km/h}}\).
d. Taux d'évolution du temps :\(t = \dfrac{11 - 12}{12} \times 100 = \dfrac{-1}{12} \times 100 \approx \mathbf{-8{,}33\ \%}\) : son temps a baissé d'environ 8,33 %.
e. Taux d'évolution de la vitesse :\(t' = \dfrac{12 - 11}{11} \times 100 = \dfrac{1}{11} \times 100 \approx \mathbf{+9{,}09\ \%}\).
Yanis a tort : sa vitesse n'augmente pas de 8,33 % mais d'environ 9,09 %.
Comparons les coefficients multiplicateurs :
temps : \(\dfrac{11}{12} \approx 0{,}9167\) | vitesse : \(\dfrac{12}{11} \approx 1{,}0909\).
Ces deux coefficients sont inverses l'un de l'autre : \(\dfrac{11}{12} \times \dfrac{12}{11} = 1\). C'est normal — sur la même distance, \(v = \dfrac{d}{t}\) : si le temps est multiplié par \(k\), la vitesse est multipliée par \(\dfrac{1}{k}\).
Baisser de 5 % revient à multiplier par \(1 - 0{,}05 = 0{,}95\).
\(11\ \text{min} = 660\ \text{s}\), donc temps visé : \(660 \times 0{,}95 = 627\ \text{s}\).
\(627 = 10 \times 60 + 27\) : l'objectif est de 10 min 27 s.
Vitesse correspondante : la vitesse est multipliée par \(\dfrac{1}{0{,}95} \approx 1{,}0526\), donc \(12 \times 1{,}0526 \approx \mathbf{12{,}6\ \text{km/h}}\) (soit environ +5,26 %).
Vérification par le calcul direct : \(627\ \text{s} = \dfrac{627}{3\,600}\ \text{h}\), et \(2{,}2 \times \dfrac{3\,600}{627} \approx 12{,}63\) km/h ✓.