Proportionnalité et Pourcentages | Seconde Pro MA-MA
Dans un magasin de fournitures industrielles, 5 mètres de tuyau flexible coûtent 18 €.
Oui, car le prix est proportionnel à la longueur : doubler la longueur double le prix. Le coefficient de proportionnalité est constant : \(k = \dfrac{18}{5} = 3{,}6\) €/m.
b. Prix de 12 mètres :Règle de trois : \(\dfrac{18 \times 12}{5} = \dfrac{216}{5} = \mathbf{43{,}20\,\text{€}}\)
On peut aussi utiliser le coefficient : \(3{,}6 \times 12 = 43{,}20\,\text{€}\).
c. Longueur pour 45 € :\(L = \dfrac{45}{3{,}6} = \mathbf{12{,}5\,\text{m}}\)
Avec 45 €, on peut acheter 12,5 mètres de tuyau.
Un artisan menuisier achète des panneaux de bois. Voici deux tableaux de prix relevés chez deux fournisseurs.
Fournisseur A :
| Nombre de panneaux | 2 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 18 | 45 | 72 | 90 |
Fournisseur B :
| Nombre de panneaux | 2 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 25 | 50 | 75 | 90 |
1. Fournisseur A : \(\dfrac{18}{2} = 9\) ; \(\dfrac{45}{5} = 9\) ; \(\dfrac{72}{8} = 9\) ; \(\dfrac{90}{10} = 9\). Rapport constant = 9.
Fournisseur B : \(\dfrac{25}{2} = 12{,}5\) ; \(\dfrac{50}{5} = 10\) ; \(\dfrac{75}{8} = 9{,}375\) ; \(\dfrac{90}{10} = 9\). Rapport non constant.
2. Le fournisseur A propose un tarif proportionnel car le rapport prix/nombre est constant (= 9 pour toutes les colonnes).
3. \(k = 9\) €/panneau. Il représente le prix unitaire d’un panneau.
4. Prix de 15 panneaux : \(15 \times 9 = \mathbf{135}\) €.
Un atelier de mécanique achète une pièce d’origine dont le prix HT est 120 €. Le fournisseur accorde une remise de 10 %. La TVA applicable est de 20 %.
\(120 \times 0{,}10 = \mathbf{12\,\text{€}}\)
b. Prix HT après remise :\(120 - 12 = \mathbf{108\,\text{€}}\) (ou directement : \(120 \times 0{,}90 = 108\,\text{€}\))
c. Montant de la TVA (20 % sur le prix remisé) :\(108 \times 0{,}20 = \mathbf{21{,}60\,\text{€}}\)
d. Prix TTC :\(108 + 21{,}60 = \mathbf{129{,}60\,\text{€}}\) (ou : \(108 \times 1{,}20 = 129{,}60\,\text{€}\))
Un menuisier agenceur utilise de la colle à bois. La quantité de colle est proportionnelle à la surface à encoller. Pour 4 m², il utilise 1,2 litre de colle.
| Surface (m²) | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Colle (L) | ...... | 1,2 | ...... | ...... |
Étape 1 : \(k = \dfrac{1{,}2}{4} = \) ...... L/m²
Étape 2 :
\(k = \dfrac{1{,}2}{4} = \mathbf{0{,}3}\) L/m²
Étape 2 : Tableau complété :| Surface (m²) | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Colle (L) | 0,6 | 1,2 | 1,8 | 3,0 |
Détail : \(2 \times 0{,}3 = 0{,}6\) | \(6 \times 0{,}3 = 1{,}8\) | \(10 \times 0{,}3 = 3{,}0\)
Un technicien agenceur achète des planches de chêne pour un montant de 200 € HT. Le fournisseur accorde une remise de 15 %.
Calcul amorcé : \(200 \times \dfrac{15}{100} = 200 \times\) ...... \(=\) ...... €
Prix remisé = Prix initial − Remise = \(200 -\) ...... \(=\) ...... €
Prix TTC = Prix HT remisé \(\times\) ...... \(=\) ...... \(\times 1{,}20 =\) ...... €
\(200 \times \dfrac{15}{100} = 200 \times 0{,}15 = \mathbf{30\,\text{€}}\)
b. Prix HT après remise :\(200 - 30 = \mathbf{170\,\text{€}}\)
c. Prix TTC :\(170 \times 1{,}20 = \mathbf{204\,\text{€}}\)
Un atelier de menuiserie a produit 80 meubles en janvier et 92 meubles en février.
Étape 1 — Variation : \(92 - 80 =\) ......
Étape 2 — Division : \(\dfrac{......}{80} =\) ......
Étape 3 — En pourcentage : \(...... \times 100 =\) ...... %
Coefficient : \(1 - \dfrac{10}{100} =\) ......
Production mars : \(92 \times\) ...... \(=\) ...... meubles
Variation : \(92 - 80 = 12\)
Division : \(\dfrac{12}{80} = 0{,}15\)
En pourcentage : \(0{,}15 \times 100 = \mathbf{+15\,\%}\)
b.Le taux est positif : c’est une hausse de 15 %.
c. Production en mars :Coefficient : \(1 - 0{,}10 = 0{,}90\)
\(92 \times 0{,}90 = \mathbf{82{,}8}\), soit environ 83 meubles.
Un magasin de bricolage affiche une réduction de 25 % sur tous les outils électriques. Une perceuse coûte 84 €.
Réduction \(= 84 \times \dfrac{25}{100} = 84 \times\) ...... \(=\) ...... €
Nouveau prix \(= 84 -\) ...... \(=\) ...... €
\(84 \times 0{,}25 = \mathbf{21\,\text{€}}\)
b. Nouveau prix :\(84 - 21 = \mathbf{63\,\text{€}}\)
On pouvait aussi calculer directement : \(84 \times 0{,}75 = 63\,\text{€}\).
Un artisan menuisier reçoit une facture de 350 € HT pour des fournitures. La TVA est de 20 %.
TVA \(= 350 \times \dfrac{20}{100} = 350 \times\) ...... \(=\) ...... €
Prix TTC \(= 350 +\) ...... \(=\) ...... €
Prix TTC \(= 350 \times\) ...... \(=\) ...... €
\(350 \times 0{,}20 = \mathbf{70\,\text{€}}\)
b. Prix TTC :\(350 + 70 = \mathbf{420\,\text{€}}\)
c. Vérification avec le coefficient :\(350 \times 1{,}20 = \mathbf{420\,\text{€}}\) ✓
Un sportif boit 0,75 litre d’eau toutes les 30 minutes pendant l’effort. La consommation est proportionnelle au temps.
| Temps (min) | 30 | 60 | 90 | 120 |
|---|---|---|---|---|
| Eau (L) | 0,75 | ...... | ...... | ...... |
\(k = \dfrac{0{,}75}{30} =\) ...... L/min
\(k = \dfrac{0{,}75}{30} = \mathbf{0{,}025}\) L/min
b. Tableau complété :| Temps (min) | 30 | 60 | 90 | 120 |
|---|---|---|---|---|
| Eau (L) | 0,75 | 1,50 | 2,25 | 3,00 |
\(150 \times 0{,}025 = \mathbf{3{,}75\,\text{L}}\)
Un ouvrier gagne 1 600 € net par mois. Il obtient une augmentation de 3 %.
CM \(= 1 + \dfrac{3}{100} = 1 +\) ...... \(=\) ......
Nouveau salaire \(= 1\,600 \times\) ...... \(=\) ...... €
CM \(= 1 + 0{,}03 = \mathbf{1{,}03}\)
b. Nouveau salaire :\(1\,600 \times 1{,}03 = \mathbf{1\,648\,\text{€}}\)
c. Montant de l’augmentation :\(1\,648 - 1\,600 = \mathbf{48\,\text{€}}\) (ou \(1\,600 \times 0{,}03 = 48\,\text{€}\))
Le prix du litre d’essence était de 1,80 € en janvier et de 1,71 € en février.
Variation \(= 1{,}71 - 1{,}80 =\) ......
\(t = \dfrac{......}{1{,}80} \times 100 =\) ...... %
\(1{,}71 - 1{,}80 = \mathbf{-0{,}09}\) €
b. Taux d’évolution :\(t = \dfrac{-0{,}09}{1{,}80} \times 100 = \mathbf{-5\,\%}\)
c.Le taux est négatif : c’est une baisse de 5 %.
Un métreur sait que 12 m² de parquet coûtent 396 €. Il dispose d’un budget de 660 €.
Prix/m² \(= \dfrac{396}{12} =\) ...... €/m²
Surface \(= \dfrac{660}{......} =\) ...... m²
\(\dfrac{396}{12} = \mathbf{33\,\text{€/m}^2}\)
b. Surface avec 660 € :\(\dfrac{660}{33} = \mathbf{20\,\text{m}^2}\)
Pour protéger un circuit de refroidissement, on mélange du liquide antigel (concentration 30 %) à de l’eau. La quantité d’antigel à utiliser est proportionnelle au volume total du circuit.
On sait que pour un circuit de 6 litres, il faut 1,8 litre d’antigel.
| Volume du circuit (L) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Antigel nécessaire (L) | ? | 1,8 | ? | ? | 3,6 |
Guide de résolution :
\(k = \dfrac{1{,}8}{6} = \mathbf{0{,}3}\) (soit 30 % — cohérent avec la concentration !)
b. Tableau complété :| Volume du circuit (L) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Antigel nécessaire (L) | 1,2 | 1,8 | 2,4 | 3,0 | 3,6 |
Détail : \(4 \times 0{,}3 = 1{,}2\) | \(8 \times 0{,}3 = 2{,}4\) | \(10 \times 0{,}3 = 3{,}0\)
Vérification : \(12 \times 0{,}3 = 3{,}6\) ✔
c. Circuit de 15 litres :\(15 \times 0{,}3 = \mathbf{4{,}5\,\text{L}}\) d’antigel.
Un technicien de maintenance réalise 45 interventions en janvier et 54 interventions en février.
Formule du taux d’évolution :
\(t = \dfrac{54 - 45}{45} \times 100 = \dfrac{9}{45} \times 100 = \dfrac{1}{5} \times 100 = \mathbf{+20\,\%}\)
b. Interprétation :C’est une hausse de 20 %. Le technicien a réalisé 20 % d’interventions de plus en février qu’en janvier.
c. Mars — baisse de 10 % par rapport à février :\(54 \times (1 - 0{,}10) = 54 \times 0{,}90 = \mathbf{48{,}6}\)
Soit 48 ou 49 interventions (on arrondit au nombre entier le plus proche selon le contexte).
Un métreur doit calculer la surface d’isolant nécessaire pour une façade. La façade mesure 8 m de large et 3,2 m de haut. Elle comporte 3 fenêtres identiques de 1,2 m × 0,9 m.
\(S_{\text{façade}} = 8 \times 3{,}2 = \mathbf{25{,}6\,\text{m}^2}\)
b. Surface des 3 fenêtres :\(S_{\text{fenêtres}} = 3 \times (1{,}2 \times 0{,}9) = 3 \times 1{,}08 = \mathbf{3{,}24\,\text{m}^2}\)
c. Surface nette à isoler :\(S_{\text{nette}} = 25{,}6 - 3{,}24 = \mathbf{22{,}36\,\text{m}^2}\)
d. Proportion des fenêtres :\(p = \dfrac{3{,}24}{25{,}6} \times 100 = \dfrac{3{,}24}{25{,}6} \times 100 \approx \mathbf{12{,}66\,\%}\)
Les fenêtres représentent environ 12,7 % de la surface de façade.
Le coût des matériaux d’isolation est proportionnel à la surface à couvrir. Pour 50 m², le coût est de 320 €.
\(k = \dfrac{320}{50} = 6{,}4\,\text{€/m}^2\)
a. Coût pour 75 m² :\(C = 6{,}4 \times 75 = \mathbf{480\,\text{€}}\)
b. Coût pour 120 m² :\(C = 6{,}4 \times 120 = \mathbf{768\,\text{€}}\)
c. Surface maximale avec 500 € :\(S = \dfrac{500}{6{,}4} = \mathbf{78{,}125\,\text{m}^2}\)
Avec 500 €, on peut couvrir au maximum 78,125 m² (soit environ 78 m² en pratique).
d. Lecture graphique — coût 400 € :\(S = \dfrac{400}{6{,}4} = \mathbf{62{,}5\,\text{m}^2}\)
Sur le graphique, on lit qu’au point d’ordonnée 400 € correspond l’abscisse 62,5 m².
Le prix HT d’une pompe de circulation est de 480 € en 2022. Le fabricant annonce une hausse de 8 % en 2023, puis une nouvelle hausse de 5 % en 2024 (appliquée sur le prix 2023).
\(480 \times 1{,}08 = \mathbf{518{,}40\,\text{€}}\)
b. Prix après hausse 2024 (+5 %) :\(518{,}40 \times 1{,}05 = \mathbf{544{,}32\,\text{€}}\)
On peut aussi calculer directement : \(480 \times 1{,}08 \times 1{,}05 = 480 \times 1{,}134 = 544{,}32\,\text{€}\)
c. Taux global d’augmentation :\(t = \dfrac{544{,}32 - 480}{480} \times 100 = \dfrac{64{,}32}{480} \times 100 = \mathbf{13{,}4\,\%}\)
d. Comparaison avec 8+5 = 13 % :Non, le taux global est 13,4 % et non 13 %. L’erreur vient du fait que la hausse de 5 % de 2024 s’applique sur un prix déjà augmenté (518,40 € et non 480 €). L’écart est : \(1{,}08 \times 1{,}05 = 1{,}134 \neq 1{,}13\).
Un artisan menuisier établit un devis pour la pose de plinthes. Le prix HT est proportionnel à la longueur posée. Pour 8 m de plinthes, le coût est de 96 € HT.
\(\dfrac{96}{8} = \mathbf{12\,\text{€/m}}\)
b. Prix HT pour 22 m :\(22 \times 12 = \mathbf{264\,\text{€ HT}}\)
c. Prix TTC :\(264 \times 1{,}10 = \mathbf{290{,}40\,\text{€ TTC}}\)
d. Avec remise de 5 % sur le HT :HT remisé : \(264 \times 0{,}95 = 250{,}80\,\text{€}\)
TTC : \(250{,}80 \times 1{,}10 = \mathbf{275{,}88\,\text{€}}\)
Deux fournisseurs proposent des boîtes de vis inox :
X : \(\dfrac{14{,}40}{200} = 0{,}072\) € = 7,2 centimes/vis
Y : \(\dfrac{32{,}50}{500} = 0{,}065\) € = 6,5 centimes/vis
b.Le fournisseur Y est moins cher à l’unité (6,5 ct < 7,2 ct).
c. Coût pour 1 200 vis :X : \(\lceil\frac{1200}{200}\rceil = 6\) boîtes → \(6 \times 14{,}40 = \mathbf{86{,}40\,\text{€}}\)
Y : \(\lceil\frac{1200}{500}\rceil = 3\) boîtes → \(3 \times 32{,}50 = \mathbf{97{,}50\,\text{€}}\)
d.Ici, malgré un prix unitaire supérieur, le fournisseur X revient moins cher (86,40 < 97,50) car on achète par boîtes. Économie : \(\dfrac{97{,}50 - 86{,}40}{97{,}50} \times 100 \approx \mathbf{11{,}4\,\%}\).
Le prix d’un panneau de contreplaqué était de 42 € en 2023. Il a augmenté de 6 % en 2024, puis de 4 % en 2025.
\(42 \times 1{,}06 = \mathbf{44{,}52\,\text{€}}\)
b. Prix 2025 :\(44{,}52 \times 1{,}04 = \mathbf{46{,}30\,\text{€}}\)
c. CM global :\(1{,}06 \times 1{,}04 = \mathbf{1{,}1024}\)
d. Taux global :\(t = (1{,}1024 - 1) \times 100 = \mathbf{10{,}24\,\%}\)
e.Non, le taux global (10,24 %) est supérieur à 10 %. La hausse de 4 % en 2025 s’applique sur un prix déjà augmenté de 6 % : on ne peut pas additionner les taux, il faut multiplier les coefficients.
Le budget mensuel d’un ménage est de 2 400 €. La répartition est la suivante :
| Poste | Logement | Alimentation | Énergie | Transport | Autres |
|---|---|---|---|---|---|
| Part (%) | 35 | 20 | 12 | 15 | 18 |
Logement : \(2\,400 \times 0{,}35 = \mathbf{840\,\text{€}}\)
Alimentation : \(2\,400 \times 0{,}20 = \mathbf{480\,\text{€}}\)
Énergie : \(2\,400 \times 0{,}12 = \mathbf{288\,\text{€}}\)
Transport : \(2\,400 \times 0{,}15 = \mathbf{360\,\text{€}}\)
Autres : \(2\,400 \times 0{,}18 = \mathbf{432\,\text{€}}\)
b. Vérification :\(35 + 20 + 12 + 15 + 18 = 100\,\%\) ✓
c. Nouveau montant énergie (+15 %) :\(288 \times 1{,}15 = \mathbf{331{,}20\,\text{€}}\)
d. Nouvelle part :\(\dfrac{331{,}20}{2\,400} \times 100 = \mathbf{13{,}8\,\%}\) du budget total.
Un client commande des travaux de menuiserie. La facture détaille :
\(780 \times (1 - 0{,}08) = 780 \times 0{,}92 = \mathbf{717{,}60\,\text{€}}\)
b. Main d’œuvre :\(12 \times 35 = \mathbf{420\,\text{€}}\)
c. Total HT :\(717{,}60 + 420 = \mathbf{1\,137{,}60\,\text{€}}\)
d. Total TTC :\(1\,137{,}60 \times 1{,}10 = \mathbf{1\,251{,}36\,\text{€}}\)
e. Part de la MO :\(\dfrac{420}{1\,137{,}60} \times 100 \approx \mathbf{36{,}9\,\%}\)
a) Calculer l'intérêt produit au bout de 1 an.
b) Calculer l'intérêt produit au bout de 3 ans.
c) Quelle est la valeur acquise au bout de 3 ans ?
d) Au bout de combien d'années l'intérêt dépassera-t-il 1 000 € ?
a) \(I = 5\,000 \times 0{,}03 \times 1 = \mathbf{150\,€}\)
b) \(I = 5\,000 \times 0{,}03 \times 3 = \mathbf{450\,€}\)
c) \(V_a = 5\,000 + 450 = \mathbf{5\,450\,€}\)
d) \(5\,000 \times 0{,}03 \times n > 1\,000\) → \(150n > 1\,000\) → \(n > 6{,}67\). Au bout de 7 ans.
a) Quel est le capital \(C\) ? → \(C = \ldots\) €
b) Quel est le taux en décimal ? → \(t = \dfrac{4}{100} = \ldots\)
c) Calculer l'intérêt : \(I = \ldots \times \ldots \times \ldots = \ldots\) €
d) Calculer la valeur acquise : \(V_a = \ldots + \ldots = \ldots\) €
a) \(C = 2\,000\) €
b) \(t = \dfrac{4}{100} = 0{,}04\)
c) \(I = 2\,000 \times 0{,}04 \times 2 = \mathbf{160\,€}\)
d) \(V_a = 2\,000 + 160 = \mathbf{2\,160\,€}\)
Un fournisseur de pièces propose à un atelier une remise de 15 % sur son catalogue, puis 5 % supplémentaires sur le reste (remise de fidélité).
Le responsable des achats pense qu’il obtiendrait la même chose avec une remise unique de 20 %.
Prendre un prix catalogue de référence de 1 000 €.
Après 15 % : \(1000 \times 0{,}85 = 850\,\text{€}\)
Après 5 % supplémentaires : \(850 \times 0{,}95 = \mathbf{807{,}50\,\text{€}}\)
Ou directement : \(1000 \times 0{,}85 \times 0{,}95 = 1000 \times 0{,}8075 = 807{,}50\,\text{€}\)
b. Remise unique de 20 % :\(1000 \times 0{,}80 = \mathbf{800\,\text{€}}\)
c. Comparaison — quel est le meilleur deal ?Taux de remise réel des remises en cascade : \(1 - 0{,}8075 = 0{,}1925\) soit 19,25 % de remise réelle.
Comparaison : 807,50 € (cascade) contre 800 € (remise unique).
La remise unique de 20 % est plus avantageuse pour l’atelier (800 € < 807,50 €). La remise en cascade ne vaut que 19,25 % de remise effective.
d. Généralisation :Coefficient multiplicateur : \(\left(1 - \dfrac{r_1}{100}\right) \times \left(1 - \dfrac{r_2}{100}\right)\)
Taux de remise global : \(1 - \left(1 - \dfrac{r_1}{100}\right)\left(1 - \dfrac{r_2}{100}\right)\)
Ici : \(1 - 0{,}85 \times 0{,}95 = 1 - 0{,}8075 = 0{,}1925 = 19{,}25\,\%\). En général, la remise globale est inférieure à la somme \(r_1 + r_2\).
Un bailleur social lance un appel d’offres pour la rénovation thermique d’un immeuble. Trois entreprises répondent :
Pour comparer, on calcule le prix TTC final de chaque offre.
\(8\,500 \times 1{,}10 = \mathbf{9\,350\,\text{€ TTC}}\)
b. Prix HT — Entreprise B (TTC = 9 200 €, TVA 20 %) :TVA 20 % ⇒ TTC = HT × 1,20, donc : \(\text{HT} = \dfrac{9\,200}{1{,}20} = \mathbf{7\,666{,}67\,\text{€ HT}}\)
Prix TTC de B = 9 200 € (donné directement).
c. Prix TTC — Entreprise C :Prix HT après remise 12 % : \(9\,800 \times (1 - 0{,}12) = 9\,800 \times 0{,}88 = 8\,624\,\text{€ HT}\)
Prix TTC avec TVA 10 % : \(8\,624 \times 1{,}10 = \mathbf{9\,486{,}40\,\text{€ TTC}}\)
d. Classement TTC :| Entreprise | Prix TTC | Rang |
|---|---|---|
| Entreprise B | 9 200,00 € | 1re — la moins chère |
| Entreprise A | 9 350,00 € | 2e |
| Entreprise C | 9 486,40 € | 3e — la plus chère |
L’Entreprise B est la moins chère avec 9 200 € TTC, même si son prix de base semblait élevé. Attention au piège : comparer des prix HT directement sans tenir compte des taux de TVA différents est une erreur fréquente !
e. Économie réalisée :\(9\,486{,}40 - 9\,200 = \mathbf{286{,}40\,\text{€}}\)
En choisissant l’Entreprise B plutôt que l’Entreprise C (la plus chère), on réalise une économie de 286,40 €.
Un salarié gagne 1 800 € net/mois. Son salaire est revalorisé de 2 % en 2024. Pendant la même année, les prix augmentent de 4{,}5 %.
\(1\,800 \times 1{,}02 = \mathbf{1\,836\,\text{€}}\)
b. CM des prix :\(1 + 0{,}045 = \mathbf{1{,}045}\)
c. Salaire nécessaire :\(1\,800 \times 1{,}045 = \mathbf{1\,881\,\text{€}}\)
d. Perte de pouvoir d’achat :En euros : \(1\,881 - 1\,836 = \mathbf{45\,\text{€}}\) de moins que nécessaire.
En pourcentage : \(\dfrac{1\,836}{1\,881} \approx 0{,}9761\), soit une perte réelle de \(1 - 0{,}9761 = \mathbf{2{,}4\,\%}\) de pouvoir d’achat.
Autre méthode : \(\dfrac{1{,}02}{1{,}045} \approx 0{,}9761\), évolution réelle ≈ \(-2{,}4\,\%\).
Un fournisseur de quincaillerie propose des remises selon le montant HT commandé :
| Montant HT | Remise |
|---|---|
| Moins de 500 € | 0 % |
| De 500 à 999 € | 5 % |
| De 1 000 à 1 999 € | 10 % |
| 2 000 € et plus | 15 % |
TTC : \(480 \times 1{,}20 = \mathbf{576\,\text{€}}\)
b. Commande 520 € (5 % de remise) :HT remisé : \(520 \times 0{,}95 = 494\,\text{€}\)
TTC : \(494 \times 1{,}20 = \mathbf{592{,}80\,\text{€}}\)
Comparer : même en payant 40 € HT de plus, le TTC (592,80 €) n’est que légèrement supérieur à 576 €.
c. Commande 1 800 € (10 %) :HT remisé : \(1\,800 \times 0{,}90 = 1\,620\,\text{€}\)
TTC : \(1\,620 \times 1{,}20 = \mathbf{1\,944\,\text{€}}\)
d. Seuil de rentabilité du palier 15 % vs 10 % :On cherche le montant \(M\) tel que \(M \times 0{,}85 = 1\,999 \times 0{,}90\) (pire cas du palier précédent).
Le palier 15 % commence à 2 000 €. TTC : \(2\,000 \times 0{,}85 \times 1{,}20 = 2\,040\,\text{€}\).
Au palier 10 % avec 1 999 € : \(1\,999 \times 0{,}90 \times 1{,}20 = 2\,158{,}92\,\text{€}\).
Le palier 15 % est toujours plus avantageux dès qu’on atteint 2 000 € HT.
Le prix d’un matériau a augmenté de 25 %. Le client se demande de quel pourcentage le prix devrait baisser pour revenir au prix initial.
\(100 \times 1{,}25 = \mathbf{125\,\text{€}}\)
b.\(t = \dfrac{125 - 100}{125} \times 100 = \dfrac{25}{125} \times 100 = \mathbf{20\,\%}\) de baisse.
c.La hausse s’applique sur le prix initial (100), mais la baisse s’applique sur le prix augmenté (125). Comme la base est plus grande, il faut un taux de baisse plus petit pour retirer le même montant.
d. Généralisation :Après hausse de \(t\%\), le prix vaut \(V \times (1 + \frac{t}{100})\). Pour revenir à \(V\), on cherche la baisse \(t_r\) :
\(V \times (1 + \frac{t}{100}) \times (1 - \frac{t_r}{100}) = V\)
\(1 - \frac{t_r}{100} = \frac{1}{1 + \frac{t}{100}} = \frac{100}{100 + t}\)
\(t_r = \left(1 - \frac{100}{100+t}\right) \times 100 = \dfrac{t}{100+t} \times 100\)
e. Vérification :\(t = 25\) : \(t_r = \dfrac{25}{125} \times 100 = 20\,\%\) ✓
\(t = 50\) : \(t_r = \dfrac{50}{150} \times 100 \approx 33{,}3\,\%\) ✓
Un peintre mélange deux peintures pour obtenir une teinte particulière :
Il doit préparer 10 litres de mélange contenant 30 % de peinture B.
Peinture B : \(10 \times 0{,}30 = \mathbf{3\,\text{L}}\)
Peinture A : \(10 - 3 = \mathbf{7\,\text{L}}\)
b. Coût total :\(7 \times 12 + 3 \times 28 = 84 + 84 = \mathbf{168\,\text{€}}\)
c. Prix moyen/L :\(\dfrac{168}{10} = \mathbf{16{,}80\,\text{€/L}}\)
d. Surface couverte :\(10 \times 8 = 80\,\text{m}^2 > 40\,\text{m}^2\) → Oui, il a largement assez.
Un marché public de menuiserie est signé avec un prix de base P₀ = 45 000 € HT. Le contrat prévoit une clause de révision de prix :
\(P = P_0 \times (0{,}40 + 0{,}35 \times \dfrac{S}{S_0} + 0{,}25 \times \dfrac{M}{M_0})\)
où \(S_0 = 100\), \(M_0 = 100\) sont les indices initiaux (salaires et matériaux), et \(S\), \(M\) les indices actuels.
Au moment de la facturation : \(S = 105\), \(M = 112\).
Partie fixe : \(0{,}40\)
Partie salaires : \(0{,}35 \times \dfrac{105}{100} = 0{,}35 \times 1{,}05 = 0{,}3675\)
Partie matériaux : \(0{,}25 \times \dfrac{112}{100} = 0{,}25 \times 1{,}12 = 0{,}28\)
b. Coefficient de révision :\(K = 0{,}40 + 0{,}3675 + 0{,}28 = \mathbf{1{,}0475}\)
c. Prix révisé :\(P = 45\,000 \times 1{,}0475 = \mathbf{47\,137{,}50\,\text{€ HT}}\)
d. Taux d’augmentation :\(t = (1{,}0475 - 1) \times 100 = \mathbf{4{,}75\,\%}\)
e. TTC :\(47\,137{,}50 \times 1{,}20 = \mathbf{56\,565\,\text{€ TTC}}\)
Le chiffre d’affaires d’une entreprise de menuiserie évolue sur 4 ans :
| Année | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
|---|---|---|---|---|
| CA (k€) | 280 | 308 | 292,6 | 319,1 |
2021→2022 : \(\dfrac{308-280}{280} \times 100 = \mathbf{+10\,\%}\)
2022→2023 : \(\dfrac{292{,}6-308}{308} \times 100 = \mathbf{-5\,\%}\)
2023→2024 : \(\dfrac{319{,}1-292{,}6}{292{,}6} \times 100 \approx \mathbf{+9{,}06\,\%}\)
b. CM global :\(\dfrac{319{,}1}{280} = \mathbf{1{,}1396}\) (ou \(1{,}10 \times 0{,}95 \times 1{,}0906 \approx 1{,}1396\))
c. Taux global :\(t = (1{,}1396 - 1) \times 100 \approx \mathbf{+13{,}96\,\%}\)
d. Taux annuel moyen :On cherche \(t_m\) tel que \((1 + \frac{t_m}{100})^3 = 1{,}1396\).
\(1 + \frac{t_m}{100} = 1{,}1396^{1/3} = \sqrt[3]{1{,}1396} \approx 1{,}0445\)
\(t_m \approx \mathbf{4{,}45\,\%}\) par an en moyenne.
e. Prévision 2026 :\(319{,}1 \times 1{,}0445^2 \approx 319{,}1 \times 1{,}0910 \approx \mathbf{348{,}1\,\text{k€}}\)