Chapitre 8 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Contexte : un installateur d'agencement de l'entreprise « Espace & Design » à Grenoble doit réaménager le showroom d'un magasin de cuisines. Il dispose du plan quadrillé ci-dessous (1 carreau = 0,5 m). Chaque meuble doit être déplacé de sa position actuelle vers sa position finale selon les indications du plan d'architecte.
Voici les positions actuelles des meubles (repérées par leur coin inférieur gauche) et les déplacements à effectuer :
| Meuble | Position actuelle | Position finale |
|---|---|---|
| Ilot central (I) | \(A(2\;;\;1)\) | \(A'(6\;;\;4)\) |
| Buffet (B) | \(C(1\;;\;6)\) | \(C'(5\;;\;9)\) |
| Table (T) | \(E(8\;;\;2)\) | \(E'(10\;;\;6)\) |
| Vitrine (V) | \(G(9\;;\;7)\) | \(G'(13\;;\;10)\) |
Le poseur effectue aussi un déplacement intermédiaire pour la table : il la pousse d'abord de \(E(8\;;\;2)\) au point \(F(10\;;\;3)\), puis de \(F(10\;;\;3)\) au point \(E'(10\;;\;6)\).
Rappel : sur ce plan, l'axe horizontal est l'axe des \(x\) (largeur du showroom) et l'axe vertical est l'axe des \(y\) (profondeur). Les coordonnées sont lues en nombre de carreaux depuis l'origine (coin inférieur gauche).
L'installateur doit déplacer l'ilot central du point \(A(2\;;\;1)\) au point \(A'(6\;;\;4)\).
a) Décrire ce déplacement en mots : dans quelle direction et quel sens l'ilot est-il poussé ? De combien de carreaux horizontalement ? De combien de carreaux verticalement ?
b) La distance parcourue est-elle la même qu'un déplacement uniquement horizontal puis uniquement vertical ? Justifier.
a) L'ilot est déplacé en diagonale vers la droite et vers le haut. Il avance de 4 carreaux vers la droite (de \(x=2\) à \(x=6\)) et de 3 carreaux vers le haut (de \(y=1\) à \(y=4\)).
b) Non. Un déplacement horizontal de 4 carreaux puis vertical de 3 carreaux donnerait une distance totale de \(4 + 3 = 7\) carreaux en marchant le long des murs. Le déplacement en ligne droite est plus court : \(\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5\) carreaux. Le trajet direct est toujours inférieur ou égal à la somme des trajets par axe.
Le déplacement de l'ilot de \(A\) vers \(A'\) peut être représenté par une flèche allant de \(A\) à \(A'\).
a) Quelles sont les trois caractéristiques de cette flèche ? (Préciser pour chacune la valeur lue sur le plan.)
b) En mathématiques, un tel objet ayant une direction, un sens et une longueur s'appelle un vecteur. On le note \(\vec{AA'}\). Recopier et compléter :
Le vecteur \(\vec{AA'}\) a pour direction ........., pour sens ........., et pour longueur (norme) .........
a) Les trois caractéristiques sont :
b) Le vecteur \(\vec{AA'}\) a pour direction la droite \((AA')\), pour sens de \(A\) vers \(A'\), et pour norme \(\|\vec{AA'}\| = 5\) carreaux (2,5 m).
Le poseur remarque que le buffet subit le même type de déplacement que l'ilot : il passe de \(C(1\;;\;6)\) à \(C'(5\;;\;9)\).
a) Calculer le déplacement horizontal et le déplacement vertical du buffet.
b) Comparer ces déplacements avec ceux de l'ilot (question 1). Que constatez-vous ?
c) Deux vecteurs qui ont la même direction, le même sens et la même longueur sont dits égaux. Les vecteurs \(\vec{AA'}\) et \(\vec{CC'}\) sont-ils égaux ? Justifier.
d) Quel est l'intérêt pour l'installateur de repérer des déplacements égaux ?
a) Déplacement horizontal : \(5 - 1 = 4\) carreaux vers la droite. Déplacement vertical : \(9 - 6 = 3\) carreaux vers le haut.
b) Le déplacement de l'ilot est aussi de 4 carreaux vers la droite et 3 carreaux vers le haut. Les deux déplacements sont identiques en direction, sens et longueur.
c) Oui, \(\vec{AA'} = \vec{CC'}\) car ils ont la même direction (parallèles et même sens), le même sens (vers la droite et le haut) et la même norme (\(\sqrt{4^2+3^2}=5\)).
d) Si deux déplacements sont égaux, l'installateur peut utiliser le même guide de marquage (même décalage horizontal et vertical) pour positionner les deux meubles, ce qui accélère le travail.
On peut décrire un vecteur par ses coordonnées : le déplacement horizontal (\(x\)) et le déplacement vertical (\(y\)). On note :
\[\vec{AA'} \begin{pmatrix} x_{A'} - x_A \\ y_{A'} - y_A \end{pmatrix}\]
a) Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AA'}\) (déplacement de l'ilot).
b) Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{CC'}\) (déplacement du buffet).
c) Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{GG'}\) (déplacement de la vitrine).
d) Vérifier que \(\vec{AA'}\) et \(\vec{CC'}\) ont les mêmes coordonnées. Cela confirme-t-il la réponse de la question 3 ?
a) \(\vec{AA'} \begin{pmatrix} 6-2 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\)
b) \(\vec{CC'} \begin{pmatrix} 5-1 \\ 9-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\)
c) \(\vec{GG'} \begin{pmatrix} 13-9 \\ 10-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\)
d) Oui, \(\vec{AA'}\) et \(\vec{CC'}\) ont les mêmes coordonnées \(\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\), ce qui confirme qu'ils sont égaux. On constate même que \(\vec{GG'}\) est aussi égal : les trois meubles subissent le même déplacement.
La table est déplacée en deux étapes :
a) Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{EF}\) (première étape).
b) Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{FE'}\) (seconde étape).
c) En additionnant les coordonnées de \(\vec{EF}\) et \(\vec{FE'}\), calculer les coordonnées du vecteur somme \(\vec{EF} + \vec{FE'}\).
d) Calculer directement les coordonnées du vecteur \(\vec{EE'}\) (déplacement global de \(E\) à \(E'\)).
e) Comparer les résultats des questions c) et d). Que constatez-vous ?
a) \(\vec{EF} \begin{pmatrix} 10-8 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
b) \(\vec{FE'} \begin{pmatrix} 10-10 \\ 6-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)
c) \(\vec{EF} + \vec{FE'} = \begin{pmatrix} 2+0 \\ 1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)
d) \(\vec{EE'} \begin{pmatrix} 10-8 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)
e) On trouve le même résultat : \(\vec{EF} + \vec{FE'} = \vec{EE'}\). Cela signifie que la somme de deux déplacements successifs donne le déplacement global. Cette propriété s'appelle la relation de Chasles : \(\vec{EF} + \vec{FE'} = \vec{EE'}\).
Pour vérifier son travail, l'installateur mesure la distance directe entre la position initiale \(E(8\;;\;2)\) et la position finale \(E'(10\;;\;6)\) de la table.
a) Calculer la norme du vecteur \(\vec{EE'}\), c'est-à-dire \(\|\vec{EE'}\| = \sqrt{x^2+y^2}\) où \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) sont les coordonnées de \(\vec{EE'}\).
b) Calculer la norme de \(\vec{EF}\) puis celle de \(\vec{FE'}\). La somme de ces deux normes est-elle égale à \(\|\vec{EE'}\|\) ? Pourquoi ?
c) Convertir la norme de \(\vec{EE'}\) en mètres (rappel : 1 carreau = 0,5 m). Arrondir au centimètre.
a) \(\|\vec{EE'}\| = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\) carreaux.
b) \(\|\vec{EF}\| = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\) carreaux.
\(\|\vec{FE'}\| = \sqrt{0^2+3^2} = 3\) carreaux.
Somme : \(\sqrt{5} + 3 \approx 5{,}24\) carreaux.
Non, \(5{,}24 \neq 4{,}47\). La somme des normes est supérieure à la norme de la somme. C'est normal : le trajet en deux étapes est plus long que le trajet direct (inégalité triangulaire).
c) \(2\sqrt{5} \times 0{,}5 = \sqrt{5} \approx 2{,}24\) m. La distance directe est d'environ 2,24 m.
Le responsable du showroom demande de vérifier si certains déplacements suivent la même direction (sont parallèles).
On considère les vecteurs :
a) Deux vecteurs sont colinéaires (même direction) si le produit en croix de leurs coordonnées vaut zéro : pour \(\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\), on calcule \(xy' - x'y\). Calculer le produit en croix de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Sont-ils colinéaires ?
b) Calculer le produit en croix de \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\). Sont-ils colinéaires ?
c) Que signifie concrètement le fait que \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) soient colinéaires pour le travail du poseur ?
a) Produit en croix : \(2 \times 3 - 1 \times 4 = 6 - 4 = 2 \neq 0\).
Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires : ils n'ont pas la même direction.
b) Produit en croix : \(2 \times 3 - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0\).
Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont colinéaires. On remarque que \(\vec{w} = 3\vec{u}\) : mêmes coordonnées multipliées par 3.
c) Cela signifie que le déplacement de l'armoire se fait dans la même direction que la première étape du déplacement de la table (parallèle), mais sur une distance trois fois plus grande. L'installateur peut tracer un même alignement au sol pour guider les deux déplacements.
Un nouveau meuble, un présentoir, doit être installé au point \(H(3\;;\;8)\). Le responsable demande qu'il subisse le même déplacement que l'ilot central.
a) Quelles sont les coordonnées du vecteur de déplacement à appliquer ?
b) Calculer les coordonnées du point d'arrivée \(H'\) du présentoir.
c) Vérifier que \(\vec{HH'} = \vec{AA'}\).
d) Rédiger une phrase pour expliquer au responsable comment positionner le présentoir, en utilisant le vocabulaire : vecteur, direction, sens, norme, coordonnées.
a) Le déplacement à appliquer est le même que celui de l'ilot : \(\vec{AA'} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\), soit 4 carreaux vers la droite et 3 carreaux vers le haut.
b) \(H'(3+4\;;\;8+3) = H'(7\;;\;11)\).
c) \(\vec{HH'} \begin{pmatrix} 7-3 \\ 11-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{AA'}\) ✓
d) Le présentoir doit être déplacé selon le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\), c'est-à-dire dans la direction oblique (vers la droite et le haut), dans le sens de \(H\) vers \(H'\), sur une distance (norme) de \(\sqrt{4^2+3^2}=5\) carreaux, soit 2,5 m. Ce vecteur est égal au vecteur de déplacement de l'ilot, ce qui signifie que les deux meubles sont décalés exactement de la même manière.
Compléter les phrases suivantes à l'aide de ce que vous avez découvert dans cette activité :