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Chapitre 7 – Géométrie dans l'espace

1ère Bac Pro | Géométrie | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs du chapitre

Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre, pas des codes officiels. Les formules d'aires et de volumes et les conversions sont des rappels de Seconde : elles sont fournies en évaluation. Les passages hors programme sont signalés « Pour aller plus loin ».

1. Situation professionnelle

Aménagement d'un local professionnel

Un menuisier agenceur doit concevoir un meuble de rangement en forme de parallélépipède rectangle (pavé droit) de dimensions 2,40 m × 0,60 m × 1,80 m. Pour estimer la quantité de bois nécessaire, il doit calculer l'aire totale des faces. Pour vérifier que le meuble rentre dans la pièce, il doit en calculer le volume et anticiper son encombrement dans l'espace.

Un installateur thermique, quant à lui, dimensionne un ballon d'eau chaude cylindrique. Il doit connaître le volume du cylindre pour déterminer la capacité en litres, et l'aire latérale pour estimer la surface d'isolant à poser.

Avant de fabriquer, le menuisier modélise souvent le meuble dans un logiciel 3D : il le fait tourner pour le voir sous tous les angles et visualise les coupes des panneaux.

Ces situations font appel à la géométrie dans l'espace : représenter un solide, l'exploiter pour calculer longueurs, aires et volumes, et réaliser ses sections par un plan.

2. C1 — Représenter un solide usuel : les six solides

Les formules données avec chaque solide sont des rappels de Seconde. Elles servent en C2 et sont fournies en évaluation.

Définition — Solide
Un solide est un objet géométrique de l'espace, délimité par des surfaces. On distingue :

2.1. Le cube

Définition — Cube
Un cube (ou hexaèdre régulier) est un solide dont les 6 faces sont des carrés identiques. Il possède 8 sommets et 12 arêtes de même longueur \(a\).
a a a A B C D E F G H
Formules du cube (arête \(a\))
\[\text{Volume} = a^3 \qquad \text{Aire totale} = 6a^2 \qquad \text{Aire latérale} = 4a^2\]
Application — Aquarium cubique

Un aquarium a la forme d'un cube d'arête 30 cm. Calculer son volume (en litres), puis l'aire totale de ses 6 faces en verre.

2.2. Le pavé droit (parallélépipède rectangle)

Définition — Pavé droit
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide dont les 6 faces sont des rectangles. Il possède 3 dimensions : longueur \(L\), largeur \(\ell\) et hauteur \(h\).
L ℓ h
Formules du pavé droit (\(L \times \ell \times h\))
\[\text{Volume} = L \times \ell \times h \qquad \text{Aire totale} = 2(L\ell + Lh + \ell h)\]

2.3. Le cylindre droit

Définition — Cylindre droit
Un cylindre droit (ou cylindre de révolution) est le solide engendré par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés. Ses deux bases sont des disques de rayon \(r\) ; sa hauteur est \(h\).
r h
Formules du cylindre droit (rayon \(r\), hauteur \(h\))
\[\text{Volume} = \pi r^2 h \qquad \text{Aire latérale} = 2\pi r h \qquad \text{Aire totale} = 2\pi r(r + h)\]

2.4. Le cône de révolution

Définition — Cône de révolution
Un cône de révolution est le solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit. Sa base est un disque de rayon \(r\) ; sa hauteur est \(h\).
h r g S
Formule du cône (rayon \(r\), hauteur \(h\))
\[\text{Volume} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]
Pour aller plus loin
Hors programme : la génératrice \(g\) relie le sommet à un point du bord de la base, \(g = \sqrt{r^2 + h^2}\) (Pythagore), et l'aire latérale du cône vaut \(\pi r g\). L'application suivante les utilise.
Application — Toiture conique d'un kiosque (pour aller plus loin)

Un charpentier couvre la toiture conique d'un kiosque de jardin. Le cône a un rayon de base \(r = 2\) m et une hauteur \(h = 1{,}5\) m. Calculer la génératrice \(g\), puis l'aire latérale à couvrir de tuiles.

2.5. La pyramide

Définition — Pyramide
Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet commun appelé apex. La hauteur \(h\) est la distance perpendiculaire de l'apex à la base.
h S
Formule de la pyramide (aire de base \(\mathcal{A}_b\), hauteur \(h\))
\[\text{Volume} = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_b \times h\]

2.6. La boule (sphère)

Définition — Boule et sphère
La sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance \(R\) de \(O\). La boule est le solide délimité par la sphère (sphère + intérieur).
Formules de la boule (rayon \(R\))
\[\text{Volume} = \frac{4}{3}\pi R^3 \qquad \text{Aire de la sphère} = 4\pi R^2\]
Application — Réservoir sphérique de gaz

Un installateur en énergie dimensionne un réservoir de gaz de forme sphérique, de rayon \(R = 1{,}5\) m. Calculer son volume en m³, puis sa contenance en litres.

3. C1 — Lire une représentation en perspective

Définition — Perspective cavalière
La perspective cavalière est un mode de représentation des solides sur un plan (feuille ou écran). Ses règles sont :
Attention
En perspective cavalière, les angles ne sont pas conservés : un angle droit dans l'espace peut ne pas apparaître droit sur le dessin. De même, les longueurs en profondeur sont réduites. Il ne faut pas mesurer directement sur le dessin !
Rappel du collège — Patron d'un solide
Le patron d'un solide est un dessin à plat qui, une fois plié, reconstitue le solide. Chaque face du solide apparaît en vraie grandeur sur le patron. Le patron permet de calculer l'aire totale du solide.
Méthode — Lire une représentation en perspective
Pour exploiter une représentation d'un solide :
1 Identifier le type de solide (cube, pavé, cylindre, etc.)
2 Repérer les arêtes cachées (pointillés) et visibles (traits pleins)
3 Identifier les faces parallèles et les faces perpendiculaires
4 Lire les dimensions indiquées (attention au coefficient de réduction en profondeur)
Exemple — Arêtes et faces

Dans le pavé ci-dessus, \((AB)\) est parallèle à \((DC)\), \((EF)\) et \((HG)\). Les faces \(ABCD\) et \(EFGH\) sont parallèles. Les droites \((AB)\) et \((AE)\) se coupent à angle droit, même si l'angle ne paraît pas toujours droit sur un dessin.

Application — Voir sans mesurer

Citer deux arêtes parallèles à \([AE]\), puis une face perpendiculaire à la face \(ABCD\). Expliquer pourquoi mesurer \(BC\) sur le dessin ne donne pas sa longueur réelle.

4. C1 — Construire un solide avec un logiciel

Méthode — Des points au solide (GeoGebra 3D)
Un point de l'espace se repère par trois coordonnées : abscisse \(x\), ordonnée \(y\), altitude \(z\). Pour obtenir un pavé droit :
1 Placer les quatre sommets de la base dans le plan d'altitude 0.
2 Créer la base avec Polygone.
3 Construire le prisme droit de hauteur voulue avec Prisme.
4 Faire tourner la vue pour repérer la base, le dessus et les faces latérales, puis enregistrer le fichier.
Exemple — Le pavé de référence

Saisir chaque ligne dans la zone de saisie (pas dans le calcul formel), puis valider :

A=(0,0,0)
B=(6,0,0)
C=(6,4,0)
D=(0,4,0)
b=Polygone(A,B,C,D)
pave=Prisme(b,3)

Le pavé obtenu a une base de 6 unités sur 4 et une hauteur de 3 unités. Ses sommets du dessus ont une altitude égale à 3 : \(E(0\,;0\,;3)\), \(F(6\,;0\,;3)\), \(G(6\,;4\,;3)\), \(H(0\,;4\,;3)\). Changer le point de vue ne modifie aucune dimension.

Application — Créer un autre pavé

Dans un nouveau fichier, construire un pavé de longueur 5, de largeur 2 et de hauteur 4. Noter les quatre points de la base et la commande du prisme. Faire tourner la vue et nommer deux faces parallèles.

Rappel — Formules d'aires et de volumes

Rappel de Seconde — Volumes et aires des solides usuels (formules fournies en évaluation)

Solide Volume Aire latérale Aire totale
Cube (arête \(a\)) \(a^3\) \(4a^2\) \(6a^2\)
Pavé droit (\(L, \ell, h\)) \(L \times \ell \times h\) \(2h(L+\ell)\) \(2(L\ell + Lh + \ell h)\)
Cylindre (\(r, h\)) \(\pi r^2 h\) \(2\pi r h\) \(2\pi r(r+h)\)
Cône (\(r, h, g\)) \(\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) \(\pi r g\) (pour aller plus loin) \(\pi r(r+g)\) (pour aller plus loin)
Pyramide (\(\mathcal{A}_b, h\)) \(\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_b \times h\) Somme des aires des faces latérales
Boule (\(R\)) \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\) \(4\pi R^2\)

5. C2 — Exploiter une représentation : longueurs, aires, volumes

Méthode — Calculer une diagonale d'un pavé droit
1 Dans la face \(ABCD\), le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) : \(AC^2 = L^2 + \ell^2\).
2 Le triangle \(ACG\) est rectangle en \(C\) : \(AG^2 = AC^2 + h^2\).
3 Le résultat est une longueur, pas un volume. Un petit volume ne garantit pas qu'un objet long entre dans une boîte.
Exemple — Cuve de dimensions intérieures connues

Une cuve mesure 60 cm sur 40 cm et 30 cm de haut. Volume : \(V = 60 \times 40 \times 30 = 72\,000\) cm³ \(= 72\) L.

Diagonale du fond : \(AC = \sqrt{60^2 + 40^2} = \sqrt{5\,200} \approx 72{,}1\) cm. Diagonale de la cuve : \(AG = \sqrt{5\,200 + 30^2} = \sqrt{6\,100} \approx 78{,}1\) cm : c'est la plus longue tige qu'on puisse y ranger.

Exemple 1 — Volume d'un ballon d'eau chaude

Un technicien chauffagiste installe un ballon d'eau chaude cylindrique de diamètre 50 cm et de hauteur 1,20 m. Quelle est sa contenance en litres ?

Données : \(r = \frac{50}{2} = 25\) cm \(= 0{,}25\) m, \(h = 1{,}20\) m.

Calcul :

\[V = \pi r^2 h = \pi \times 0{,}25^2 \times 1{,}20 = \pi \times 0{,}0625 \times 1{,}20 = 0{,}075\pi \approx 0{,}2356 \text{ m}^3\]

Conversion : \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}\), donc \(V \approx 0{,}2356 \times 1\,000 \approx \mathbf{235{,}6 \text{ litres}}\).

Exemple 2 — Aire d'un meuble parallélépipédique

Un menuisier agenceur fabrique un caisson de dimensions \(L = 80\) cm, \(\ell = 40\) cm, \(h = 60\) cm. Il doit calculer la surface totale de bois nécessaire (6 faces).

Calcul :

\[\mathcal{A}_{\text{totale}} = 2(L\ell + Lh + \ell h) = 2(80 \times 40 + 80 \times 60 + 40 \times 60)\] \[= 2(3\,200 + 4\,800 + 2\,400) = 2 \times 10\,400 = \mathbf{20\,800 \text{ cm}^2} = \mathbf{2{,}08 \text{ m}^2}\]
Exemple 3 — Volume d'un cône (tas de sable)

Sur un chantier, un tas de sable a la forme d'un cône de rayon 1,50 m et de hauteur 0,80 m. Quel est le volume de sable ?

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 1{,}50^2 \times 0{,}80 = \frac{1}{3}\pi \times 2{,}25 \times 0{,}80 = \frac{1{,}80\pi}{3} = 0{,}6\pi \approx \mathbf{1{,}885 \text{ m}^3}\]
Exemple 4 — Volume d'une boule

Un ballon de sport a un diamètre de 22 cm. Calculer son volume.

\(R = \frac{22}{2} = 11\) cm.

\[V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \times 11^3 = \frac{4}{3}\pi \times 1\,331 = \frac{5\,324\pi}{3} \approx \mathbf{5\,575{,}3 \text{ cm}^3} \approx 5{,}58 \text{ L}\]
Application

Un menuisier agenceur fabrique un tiroir en forme de pavé droit : longueur 60 cm, largeur 40 cm, hauteur 15 cm.

1. Calculer le volume intérieur du tiroir. 2. Calculer l'aire de la face avant (rectangulaire).

6. C2 — Assemblages de solides

Méthode — Calculer le volume d'un solide composé
En situation professionnelle, les objets sont souvent des assemblages de solides simples. Pour calculer le volume total :
1 Décomposer l'objet en solides simples (cylindre + cône, pavé + pyramide, cylindre + demi-boule, etc.)
2 Calculer le volume de chaque partie
3 Additionner les volumes (ou soustraire si un solide est évidé)

⚠️ Un demi-solide compte pour la moitié du solide entier. En particulier, pour une demi-boule de rayon \(R\) : \[V_{\text{demi-boule}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3 \qquad \text{et} \qquad A_{\text{calotte}} = \frac{1}{2} \times 4\pi R^2 = 2\pi R^2\] (la surface plane du disque de rayon \(R\) s'y ajoute si la demi-boule n'est pas posée sur un autre solide).
Exemple 7 — Silo à grain (cylindre + cône)

Un silo à grain est constitué d'un cylindre de rayon 3 m et de hauteur 8 m surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 2 m. Calculer le volume total du silo.

Volume du cylindre :

\[V_{\text{cyl}} = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226{,}2 \text{ m}^3\]

Volume du cône :

\[V_{\text{cône}} = \frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 2 = \frac{18\pi}{3} = 6\pi \approx 18{,}8 \text{ m}^3\]

Volume total :

\[V_{\text{total}} = 72\pi + 6\pi = 78\pi \approx \mathbf{245{,}0 \text{ m}^3}\]
Propriété — Agrandissement et réduction
Si on multiplie toutes les longueurs d'un solide par un même coefficient \(k\) : Un cube d'arête \(2a\) n'a donc pas un volume double de celui d'un cube d'arête \(a\), mais huit fois plus grand.
Pour aller plus loin — Doubler le volume d'un caisson cubique

La racine cubique n'est pas au programme de ce module.

Par quel coefficient faut-il multiplier l'arête d'un cube pour que son volume double ?

On cherche \(k\) tel que \(k^3 = 2\), c'est-à-dire la racine cubique de 2 :

\[k = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\]

Il suffit donc d'augmenter l'arête d'environ 26 % — et non de la doubler. Sur la calculatrice, la racine cubique s'obtient par la touche \(\sqrt[3]{\ }\), ou en calculant \(2^{1/3}\).

Vérification : un cube d'arête 10 cm a un volume de 1 000 cm³ ; avec une arête de \(10 \times 1{,}26 = 12{,}6\) cm, le volume vaut \(12{,}6^3 \approx 2\,000\) cm³.

7. Rappel — Conversions de volumes

Rappel des automatismes — Conversions essentielles

Conversion Valeur
1 m³1 000 L = 1 000 dm³
1 dm³1 L = 1 000 cm³
1 cm³1 mL = 0,001 L
1 L1 000 mL = 1 000 cm³

Règle : pour convertir des m³ en dm³, on multiplie par 1 000 (on décale de 3 rangs). Pour passer de dm³ en cm³, on multiplie encore par 1 000.

Application

Un artisan menuisier taille une pyramide décorative à base carrée de côté 15 cm et de hauteur 20 cm dans un bloc de bois. Il veut savoir si cette pyramide tient dans une boîte cubique de côté 20 cm.

Calculer le volume de la pyramide, puis comparer à celui de la boîte.

8. C3 — Réaliser la section d'un solide par un plan

Définition — Section plane
La section est l'intersection du solide plein avec un plan : c'est la surface que l'on voit si l'on « coupe » le solide. Pour un cylindre coupé parallèlement aux bases, c'est un disque ; le cercle en est le bord. Une sphère (la surface seule) coupée par un plan donne un cercle. Un plan qui ne rencontre pas le solide ne donne pas de section.
Propriété — Sections des solides usuels
Méthode — Réaliser une section avec un logiciel
Dans le fichier du pavé de référence :
1 Saisir p: z=1 : c'est le plan d'altitude 1, parallèle à la base.
2 Saisir section=Intersection(p,pave).
3 Modifier la valeur 1 pour déplacer le plan ; observer la section sous plusieurs angles et utiliser les mesures du logiciel.
Exemple — Ce qui change, ce qui reste

Pour le pavé de base 6 × 4 et de hauteur 3, les coupes d'altitudes 1 ou 2 sont des rectangles de 6 sur 4. À l'altitude 4, le plan ne rencontre plus le pavé : il n'y a pas de section.

8.1. Section d'un cône par un plan parallèle à la base

Propriété — Réduction de la section conique
Si on coupe un cône de sommet \(S\), de rayon \(R\) et de hauteur \(H\) par un plan parallèle à la base situé à la distance \(h\) du sommet, la section est un disque de rayon : \[r = R \times \frac{h}{H}\] Le rapport de réduction est \(\frac{h}{H}\).
h H r R S
Exemple 5 — Section d'un cône

Un cône de hauteur \(H = 12\) cm et de rayon de base \(R = 5\) cm est coupé par un plan parallèle à la base, à \(h = 8\) cm du sommet. Quel est le rayon de la section ?

\[r = R \times \frac{h}{H} = 5 \times \frac{8}{12} = 5 \times \frac{2}{3} \approx \mathbf{3{,}33 \text{ cm}}\]

8.2. Section d'une boule par un plan

Propriété — Section d'une boule
La section d'une boule de centre \(O\) et de rayon \(R\) par un plan situé à la distance \(d\) du centre (\(d \leqslant R\)) est un disque de rayon : \[r = \sqrt{R^2 - d^2}\] Si \(d = 0\) (le plan passe par le centre), la section est un disque de rayon \(R\), limité par un grand cercle.
Exemple 6 — Section d'une boule

Une boule de rayon \(R = 10\) cm est coupée par un plan situé à \(d = 6\) cm de son centre. Calculer le rayon de la section.

\[r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \mathbf{8 \text{ cm}}\]

9. C4 — Construire une section passant par des points donnés

Méthode — Section passant par trois points donnés
1 Trois points non alignés définissent un plan : q=Plan(I,J,K), puis Intersection(q,pave).
2 Les points donnés ne sont pas forcément tous les sommets de la section : contrôler toutes les faces traversées.
3 Sur papier : si le plan coupe deux faces parallèles, les deux côtés obtenus sont parallèles. Les côtés situés dans une face cachée se tracent en pointillés.
Exemple — Une coupe à mi-hauteur

Dans le pavé de référence, saisir I=(0,0,1.5), J=(6,0,1.5), K=(6,4,1.5), puis q=Plan(I,J,K) et Intersection(q,pave). Le quatrième sommet est \(L(0\,;4\,;1{,}5)\) : la section est le rectangle horizontal de dimensions 6 et 4.

Application — Une coupe différente

Dans le pavé de référence, placer U=(3,0,0), V=(0,2,0) et W=(0,0,1.5). Construire le plan \((UVW)\) et la section du pavé. Nommer la figure obtenue et expliquer pourquoi elle diffère de l'exemple précédent.

10. Exercices résolus

Exercice résolu 1 — Conduit de cheminée

Un installateur thermique doit isoler un conduit de cheminée cylindrique de diamètre extérieur 20 cm et de longueur 3 m. Il entoure le conduit d'un isolant vendu au m². Quelle surface d'isolant doit-il prévoir ?

Voir la correction

Le conduit est un cylindre de rayon \(r = \frac{20}{2} = 10\) cm \(= 0{,}10\) m et de hauteur \(h = 3\) m.

L'aire latérale (sans les bases) est :

\[\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \times 0{,}10 \times 3 = 0{,}6\pi \approx \mathbf{1{,}88 \text{ m}^2}\]

Il doit prévoir environ 1,88 m² d'isolant (arrondir à 2 m² en pratique pour les pertes de coupe).

Exercice résolu 2 — Bac de rangement pyramidal

Un ébéniste fabrique un bac décoratif en forme de pyramide à base carrée de côté 30 cm et de hauteur 20 cm. Quel volume de terre pourra-t-on y mettre ?

Voir la correction

La base est un carré de côté 30 cm, donc \(\mathcal{A}_b = 30^2 = 900\) cm².

\[V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_b \times h = \frac{1}{3} \times 900 \times 20 = \frac{18\,000}{3} = \mathbf{6\,000 \text{ cm}^3} = \mathbf{6 \text{ L}}\]
Application

Un artisan menuisier fabrique une cuve cylindrique en bois (sans couvercle) de rayon 25 cm et de hauteur 40 cm pour stocker des copeaux.

1. Calculer le volume de la cuve (en litres). 2. Calculer la surface de bois nécessaire (base + paroi latérale).

Simulation interactive

11. Erreurs fréquentes

❌
Confondre la section et son bord
Un cylindre plein coupé parallèlement à ses bases donne un disque, pas un cercle : le cercle n'en est que le bord. Sur le dessin, ce disque apparaît comme une ellipse.
Conseil : se demander si le solide est plein (boule, cylindre) ou si c'est seulement une surface (sphère).
❌
Mesurer sur une perspective
En perspective cavalière, les fuyantes sont raccourcies et les angles déformés. Une face rectangulaire peut être dessinée comme un parallélogramme.
Conseil : lire les longueurs sur les cotes et se servir du parallélisme, qui est conservé.
❌
Confondre volume et aire
Le volume se mesure en cm³, dm³ ou L. L'aire (surface) se mesure en cm² ou m². Utiliser la mauvaise formule ou la mauvaise unité est une erreur fréquente.
Conseil : vérifier l'homogénéité des unités et se demander si la question porte sur « combien de matière » (volume) ou sur « quelle surface » (aire).
❌
Utiliser le diamètre à la place du rayon
Dans les formules du cylindre, du cône et de la boule, c'est le rayon \(r\) qui intervient, pas le diamètre \(d\). Prendre \(d\) au lieu de \(r\) multiplie par 4 tout ce qui contient \(r^2\) (aire d'un disque, volume du cylindre ou du cône) et par 8 ce qui contient \(r^3\) (volume de la boule).
Conseil : toujours diviser le diamètre par 2 avant d'utiliser les formules : \(r = d / 2\).
❌
Oublier le facteur \(\frac{1}{3}\) pour le cône et la pyramide
Les formules de volume du cône et de la pyramide contiennent un facteur \(\frac{1}{3}\). Ce facteur est souvent omis, ce qui donne un résultat 3 fois trop grand.
Conseil : associer le \(\frac{1}{3}\) à la « pointe » : un cône ou une pyramide occupe un tiers du volume du cylindre ou prisme correspondant.
❌
Mal convertir les unités de volume
1 dm³ = 1 L = 1 000 cm³. Oublier ce facteur 1 000 est fréquent lors de la conversion cm³ → L.
Conseil : pour passer de cm³ à L, diviser par 1 000. Pour passer de m³ à L, multiplier par 1 000.
Exercices Ch07 →