Chapitre 7 – Géométrie dans l'espace

1ère Bac Pro | Géométrie | Mathématiques

Objectifs du chapitre

Reconnaître et nommer les solides usuels (cube, pavé droit, pyramide, cylindre, cône, boule)
Calculer les aires latérales, totales et les volumes de ces solides
Exploiter une représentation en perspective d'un solide ou d'un assemblage de solides
Déterminer et construire la section plane d'un solide par un plan

1. Situation professionnelle

Aménagement d'un local professionnel

Un menuisier agenceur doit concevoir un meuble de rangement en forme de parallélépipède rectangle (pavé droit) de dimensions 2,40 m × 0,60 m × 1,80 m. Pour estimer la quantité de bois nécessaire, il doit calculer l'aire totale des faces. Pour vérifier que le meuble rentre dans la pièce, il doit en calculer le volume et anticiper son encombrement dans l'espace.

Un installateur thermique, quant à lui, dimensionne un ballon d'eau chaude cylindrique. Il doit connaître le volume du cylindre pour déterminer la capacité en litres, et l'aire latérale pour estimer la surface d'isolant à poser.

Ces deux situations font appel à la géométrie dans l'espace : reconnaître les formes, calculer aires et volumes, et lire des plans en perspective.

2. Les solides usuels — Vocabulaire et représentation

Définition — Solide
Un solide est un objet géométrique de l'espace, délimité par des surfaces. On distingue :

Les polyèdres : solides dont toutes les faces sont des polygones (cube, pavé droit, pyramide, prisme)
Les solides de révolution : obtenus par rotation d'une figure plane autour d'un axe (cylindre, cône, boule)

2.1. Le cube

Définition — Cube
Un cube (ou hexaèdre régulier) est un solide dont les 6 faces sont des carrés identiques. Il possède 8 sommets et 12 arêtes de même longueur \(a\).

Formules du cube (arête \(a\))

\[\text{Volume} = a^3 \qquad \text{Aire totale} = 6a^2\]

2.2. Le pavé droit (parallélépipède rectangle)

Définition — Pavé droit
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide dont les 6 faces sont des rectangles. Il possède 3 dimensions : longueur \(L\), largeur \(\ell\) et hauteur \(h\).

Formules du pavé droit (\(L \times \ell \times h\))

\[\text{Volume} = L \times \ell \times h \qquad \text{Aire totale} = 2(L\ell + Lh + \ell h)\]

2.3. Le cylindre droit

Définition — Cylindre droit
Un cylindre droit (ou cylindre de révolution) est le solide engendré par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés. Il possède deux bases circulaires de rayon \(r\) et une hauteur \(h\).

Formules du cylindre droit (rayon \(r\), hauteur \(h\))

\[\text{Volume} = \pi r^2 h \qquad \text{Aire latérale} = 2\pi r h \qquad \text{Aire totale} = 2\pi r(r + h)\]

2.4. Le cône de révolution

Définition — Cône de révolution
Un cône de révolution est le solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit. Il possède une base circulaire de rayon \(r\), une hauteur \(h\) et une génératrice (apothème) \(g\).

Formules du cône (rayon \(r\), hauteur \(h\), génératrice \(g\))

\[\text{Volume} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \qquad \text{Aire latérale} = \pi r g \qquad g = \sqrt{r^2 + h^2}\]

2.5. La pyramide

Définition — Pyramide
Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet commun appelé apex. La hauteur \(h\) est la distance perpendiculaire de l'apex à la base.

Formule de la pyramide (aire de base \(\mathcal{A}_b\), hauteur \(h\))

\[\text{Volume} = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_b \times h\]

2.6. La boule (sphère)

Définition — Boule et sphère
La sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance \(R\) de \(O\). La boule est le solide délimité par la sphère (sphère + intérieur).

Formules de la boule (rayon \(R\))

\[\text{Volume} = \frac{4}{3}\pi R^3 \qquad \text{Aire de la sphère} = 4\pi R^2\]

3. Tableau récapitulatif des formules

À retenir — Volumes et aires des solides usuels

Solide	Volume	Aire latérale	Aire totale
Cube (arête \(a\))	\(a^3\)	\(4a^2\)	\(6a^2\)
Pavé droit (\(L, \ell, h\))	\(L \times \ell \times h\)	\(2h(L+\ell)\)	\(2(L\ell + Lh + \ell h)\)
Cylindre (\(r, h\))	\(\pi r^2 h\)	\(2\pi r h\)	\(2\pi r(r+h)\)
Cône (\(r, h, g\))	\(\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\)	\(\pi r g\)	\(\pi r(r+g)\)
Pyramide (\(\mathcal{A}_b, h\))	\(\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_b \times h\)	Somme des aires des faces latérales
Boule (\(R\))	\(\dfrac{4}{3}\pi R^3\)	\(4\pi R^2\)

4. Représentation en perspective

Définition — Perspective cavalière
La perspective cavalière est un mode de représentation des solides sur un plan (feuille ou écran). Ses règles sont :

Les arêtes parallèles dans l'espace restent parallèles sur le dessin
Les dimensions des faces de face sont conservées (pas de déformation)
Les dimensions en profondeur sont réduites d'un coefficient (souvent \(\frac{1}{2}\)) et tracées avec un angle de fuite (souvent 30° ou 45°)
Les arêtes cachées sont tracées en pointillés

Attention
En perspective cavalière, les angles ne sont pas conservés : un angle droit dans l'espace peut ne pas apparaître droit sur le dessin. De même, les longueurs en profondeur sont réduites. Il ne faut pas mesurer directement sur le dessin !

Propriété — Patron d'un solide
Le patron d'un solide est un dessin à plat qui, une fois plié, reconstitue le solide. Chaque face du solide apparaît en vraie grandeur sur le patron. Le patron permet de calculer l'aire totale du solide.

Méthode — Lire une représentation en perspective
Pour exploiter une représentation d'un solide :

1 Identifier le type de solide (cube, pavé, cylindre, etc.)

2 Repérer les arêtes cachées (pointillés) et visibles (traits pleins)

3 Identifier les faces parallèles et les faces perpendiculaires

4 Lire les dimensions indiquées (attention au coefficient de réduction en profondeur)

5. Exemples de calculs

Exemple 1 — Volume d'un ballon d'eau chaude

Un technicien chauffagiste installe un ballon d'eau chaude cylindrique de diamètre 50 cm et de hauteur 1,20 m. Quelle est sa contenance en litres ?

Données : \(r = \frac{50}{2} = 25\) cm \(= 0{,}25\) m, \(h = 1{,}20\) m.

Calcul :

\[V = \pi r^2 h = \pi \times 0{,}25^2 \times 1{,}20 = \pi \times 0{,}0625 \times 1{,}20 = 0{,}075\pi \approx 0{,}2356 \text{ m}^3\]

Conversion : \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}\), donc \(V \approx 0{,}2356 \times 1\,000 \approx \mathbf{235{,}6 \text{ litres}}\).

Exemple 2 — Aire d'un meuble parallélépipédique

Un menuisier agenceur fabrique un caisson de dimensions \(L = 80\) cm, \(\ell = 40\) cm, \(h = 60\) cm. Il doit calculer la surface totale de bois nécessaire (6 faces).

Calcul :

\[\mathcal{A}_{\text{totale}} = 2(L\ell + Lh + \ell h) = 2(80 \times 40 + 80 \times 60 + 40 \times 60)\] \[= 2(3\,200 + 4\,800 + 2\,400) = 2 \times 10\,400 = \mathbf{20\,800 \text{ cm}^2} = \mathbf{2{,}08 \text{ m}^2}\]

Exemple 3 — Volume d'un cône (tas de sable)

Sur un chantier, un tas de sable a la forme d'un cône de rayon 1,50 m et de hauteur 0,80 m. Quel est le volume de sable ?

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 1{,}50^2 \times 0{,}80 = \frac{1}{3}\pi \times 2{,}25 \times 0{,}80 = \frac{1{,}80\pi}{3} = 0{,}6\pi \approx \mathbf{1{,}885 \text{ m}^3}\]

Exemple 4 — Volume d'une boule

Un ballon de sport a un diamètre de 22 cm. Calculer son volume.

\(R = \frac{22}{2} = 11\) cm.

\[V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \times 11^3 = \frac{4}{3}\pi \times 1\,331 = \frac{5\,324\pi}{3} \approx \mathbf{5\,575{,}3 \text{ cm}^3} \approx 5{,}58 \text{ L}\]

Application

Un menuisier agenceur fabrique un tiroir en forme de pavé droit : longueur 60 cm, largeur 40 cm, hauteur 15 cm.

1. Calculer le volume intérieur du tiroir. 2. Calculer l'aire de la face avant (rectangulaire).

6. Sections planes de solides

Définition — Section plane
La section d'un solide par un plan est la figure obtenue par l'intersection du solide avec ce plan. C'est la forme que l'on voit si l'on « coupe » le solide.

Propriété — Sections des solides usuels

Cube / Pavé droit : la section par un plan parallèle à une face est un rectangle (ou un carré)
Cylindre : la section par un plan parallèle aux bases est un cercle ; par un plan contenant l'axe, c'est un rectangle
Cône : la section par un plan parallèle à la base est un cercle de rayon plus petit
Boule : toute section par un plan est un cercle (grand cercle si le plan passe par le centre)
Pyramide : la section par un plan parallèle à la base est un polygone semblable à la base, réduit

Méthode — Construire une section plane
Pour construire la section d'un solide par un plan passant par des points donnés :

1 Repérer les points de la section qui sont sur les arêtes du solide

2 Utiliser la règle fondamentale : si deux faces ont un plan sécant commun, l'intersection est une droite

3 Chercher les intersections du plan sécant avec chaque face

4 Relier les points d'intersection obtenus pour tracer la section

6.1. Section d'un cône par un plan parallèle à la base

Propriété — Réduction de la section conique
Si on coupe un cône de sommet \(S\), de rayon \(R\) et de hauteur \(H\) par un plan parallèle à la base situé à la distance \(h\) du sommet, la section est un cercle de rayon : \[r = R \times \frac{h}{H}\] Le rapport de réduction est \(\frac{h}{H}\).

Exemple 5 — Section d'un cône

Un cône de hauteur \(H = 12\) cm et de rayon de base \(R = 5\) cm est coupé par un plan parallèle à la base, à \(h = 8\) cm du sommet. Quel est le rayon de la section ?

\[r = R \times \frac{h}{H} = 5 \times \frac{8}{12} = 5 \times \frac{2}{3} \approx \mathbf{3{,}33 \text{ cm}}\]

6.2. Section d'une boule par un plan

Propriété — Section d'une boule
La section d'une boule de centre \(O\) et de rayon \(R\) par un plan situé à la distance \(d\) du centre (\(d \leqslant R\)) est un cercle de rayon : \[r = \sqrt{R^2 - d^2}\] Si \(d = 0\) (le plan passe par le centre), la section est un grand cercle de rayon \(R\).

Exemple 6 — Section d'une boule

Une boule de rayon \(R = 10\) cm est coupée par un plan situé à \(d = 6\) cm de son centre. Calculer le rayon de la section.

\[r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \mathbf{8 \text{ cm}}\]

7. Assemblages de solides

Méthode — Calculer le volume d'un solide composé
En situation professionnelle, les objets sont souvent des assemblages de solides simples. Pour calculer le volume total :

1 Décomposer l'objet en solides simples (cylindre + cône, pavé + pyramide, etc.)

2 Calculer le volume de chaque partie

3 Additionner les volumes (ou soustraire si un solide est évidé)

Exemple 7 — Silo à grain (cylindre + cône)

Un silo à grain est constitué d'un cylindre de rayon 3 m et de hauteur 8 m surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 2 m. Calculer le volume total du silo.

Volume du cylindre :

\[V_{\text{cyl}} = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226{,}2 \text{ m}^3\]

Volume du cône :

\[V_{\text{cône}} = \frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 2 = \frac{18\pi}{3} = 6\pi \approx 18{,}8 \text{ m}^3\]

Volume total :

\[V_{\text{total}} = 72\pi + 6\pi = 78\pi \approx \mathbf{245{,}0 \text{ m}^3}\]

8. Conversions de volumes

À retenir — Conversions essentielles

Conversion	Valeur
1 m³	1 000 L = 1 000 dm³
1 dm³	1 L = 1 000 cm³
1 cm³	1 mL = 0,001 L
1 L	1 000 mL = 1 000 cm³

Règle : pour convertir des m³ en dm³, on multiplie par 1 000 (on décale de 3 rangs). Pour passer de dm³ en cm³, on multiplie encore par 1 000.

Application

Un artisan menuisier taille une pyramide décorative à base carrée de côté 15 cm et de hauteur 20 cm dans un bloc de bois. Il veut savoir si ce bloc tient dans une boîte cubique de côté 20 cm.

Calculer le volume de la pyramide, puis comparer à celui de la boîte.

9. Exercices résolus

Exercice résolu 1 — Conduit de cheminée

Un installateur thermique doit isoler un conduit de cheminée cylindrique de diamètre extérieur 20 cm et de longueur 3 m. Il entoure le conduit d'un isolant vendu au m². Quelle surface d'isolant doit-il prévoir ?

Voir la correction

Le conduit est un cylindre de rayon \(r = \frac{20}{2} = 10\) cm \(= 0{,}10\) m et de hauteur \(h = 3\) m.

L'aire latérale (sans les bases) est :

\[\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \times 0{,}10 \times 3 = 0{,}6\pi \approx \mathbf{1{,}88 \text{ m}^2}\]

Il doit prévoir environ 1,88 m² d'isolant (arrondir à 2 m² en pratique pour les pertes de coupe).

Exercice résolu 2 — Bac de rangement pyramidal

Un ébéniste fabrique un bac décoratif en forme de pyramide à base carrée de côté 30 cm et de hauteur 20 cm. Quel volume de terre pourra-t-on y mettre ?

Voir la correction

La base est un carré de côté 30 cm, donc \(\mathcal{A}_b = 30^2 = 900\) cm².

\[V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_b \times h = \frac{1}{3} \times 900 \times 20 = \frac{18\,000}{3} = \mathbf{6\,000 \text{ cm}^3} = \mathbf{6 \text{ L}}\]

Application

Un artisan menuisier fabrique une cuve cylindrique en bois (sans couvercle) de rayon 25 cm et de hauteur 40 cm pour stocker des copeaux.

1. Calculer le volume de la cuve (en litres). 2. Calculer la surface de bois nécessaire (base + paroi latérale).

Simulation interactive

Solides de l'espace — Visualisation 3D

10. Erreurs fréquentes

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Confondre volume et aire
Le volume se mesure en cm³, dm³ ou L. L'aire (surface) se mesure en cm² ou m². Utiliser la mauvaise formule ou la mauvaise unité est une erreur fréquente.
Conseil : vérifier l'homogénéité des unités et se demander si la question porte sur « combien de matière » (volume) ou sur « quelle surface » (aire).

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Utiliser le diamètre à la place du rayon
Dans les formules du cylindre, du cône et de la boule, c'est le rayon \(r\) qui intervient, pas le diamètre \(d\). Prendre \(d\) au lieu de \(r\) multiplie la surface par 4 et le volume par 8.
Conseil : toujours diviser le diamètre par 2 avant d'utiliser les formules : \(r = d / 2\).

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Oublier le facteur \(\frac{1}{3}\) pour le cône et la pyramide
Les formules de volume du cône et de la pyramide contiennent un facteur \(\frac{1}{3}\). Ce facteur est souvent omis, ce qui donne un résultat 3 fois trop grand.
Conseil : associer le \(\frac{1}{3}\) à la « pointe » : un cône ou une pyramide occupe un tiers du volume du cylindre ou prisme correspondant.

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Mal convertir les unités de volume
1 dm³ = 1 L = 1 000 cm³. Oublier ce facteur 1 000 est fréquent lors de la conversion cm³ → L.
Conseil : pour passer de cm³ à L, diviser par 1 000. Pour passer de m³ à L, multiplier par 1 000.