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Exercices – Chapitre 07 – Géométrie dans l'espace

1ère Bac Pro | Géométrie | Mathématiques

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Rappels essentiels

rh
Cylindre

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Volume d'un pavé droit Socle
Lhl
Pavé droit (arêtes cachées en pointillé)

Un menuisier fabrique un coffre de rangement en forme de pavé droit de dimensions \(80\) cm, \(50\) cm et \(40\) cm.

  1. Calculer le volume du coffre en cm³.
  2. Convertir ce volume en litres.
  3. Calculer l'aire totale des faces extérieures.
  1. \(V = 80 \times 50 \times 40 = 160\,000\) cm³
  2. \(160\,000\) cm³ \(= 160\) dm³ \(= 160\) L
  3. Aire \(= 2(80 \times 50 + 80 \times 40 + 50 \times 40) = 2(4000+3200+2000) = 2 \times 9200 = 18\,400\) cm²
Exercice 2 Volume d'un cylindre Socle
rh
Cylindre

Un tuyau de chauffage a un diamètre intérieur de \(8\) cm et une longueur de \(2\) m.

  1. Calculer le rayon en cm.
  2. Calculer le volume intérieur du tuyau en cm³ (arrondir à l'unité).
  3. En déduire la contenance en litres (arrondir au dixième).
  1. \(r = \dfrac{8}{2} = 4\) cm
  2. \(V = \pi \times 4^2 \times 200 = \pi \times 16 \times 200 = 3200\pi \approx 10\,053\) cm³
  3. \(10\,053\) cm³ \(\approx 10{,}1\) L
Exercice 3 Volume d'un cône Socle

Un entonnoir a la forme d'un cône de rayon \(6\) cm et de hauteur \(10\) cm.

  1. Calculer le volume de l'entonnoir (arrondir à l'unité).
  2. Quelle quantité de liquide (en cL) peut-il contenir ?
  1. \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 36 \times 10 = 120\pi \approx 377\) cm³
  2. \(377\) cm³ \(= 37{,}7\) cL \(\approx 37{,}7\) cL
Exercice 4 Volume et aire d'une sphère Socle
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Sphère

Une boule décorative en bois a un diamètre de \(12\) cm.

  1. Calculer son volume (arrondir à l'unité).
  2. Calculer l'aire de sa surface (arrondir à l'unité).
  3. Un artisan souhaite la vernir. Si \(1\) mL de vernis couvre \(50\) cm², quelle quantité de vernis (en mL) faut-il ?
  1. \(r = 6\) cm. \(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \approx 905\) cm³
  2. \(A = 4\pi \times 6^2 = 144\pi \approx 452\) cm²
  3. \(\dfrac{452}{50} \approx 9{,}0\) mL de vernis
Exercice 5 Cuve cylindrique – Contenance Socle

Un technicien chauffagiste installe une cuve cylindrique de diamètre \(1{,}2\) m et de hauteur \(1{,}5\) m.

  1. Calculer le volume de la cuve en m³ (arrondir au centième).
    Aide : le rayon est la moitié du diamètre. On utilise \(V = \pi \times r^2 \times h\).
  2. Convertir en litres.
    Aide : \(1\) m³ \(= 1\,000\) L.
  3. La cuve doit stocker au moins \(1\,500\) L d'eau. Est-ce suffisant ?
  4. Calculer l'aire de tôle nécessaire pour fabriquer cette cuve (fond + paroi latérale, sans couvercle).
    Aide : aire du fond \(= \pi r^2\), aire latérale \(= 2\pi r h\). Additionner les deux.
  1. \(r = \dfrac{1{,}2}{2} = 0{,}6\) m. \(V = \pi \times 0{,}6^2 \times 1{,}5 = \pi \times 0{,}36 \times 1{,}5 = 0{,}54\pi \approx 1{,}70\) m³
  2. \(1{,}70\) m³ \(= 1{,}70 \times 1\,000 = 1\,700\) L
  3. Oui, \(1\,700 > 1\,500\). La cuve est suffisante.
  4. Aire du fond : \(\pi \times 0{,}6^2 = 0{,}36\pi \approx 1{,}13\) m²
    Aire latérale : \(2\pi \times 0{,}6 \times 1{,}5 = 1{,}8\pi \approx 5{,}65\) m²
    Total : \(1{,}13 + 5{,}65 \approx 6{,}79\) m²
Exercice 6 Pyramide à base rectangulaire Socle

Un architecte conçoit un toit en forme de pyramide à base rectangulaire de \(6\) m sur \(4\) m et de hauteur \(3\) m.

  1. Calculer le volume d'air sous le toit.
    Aide : commencer par l'aire de la base rectangulaire, puis appliquer \(V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire base} \times h\).
  2. Si l'on souhaite isoler ce volume avec un matériau coûtant \(12\) €/m³, quel est le coût ?
    Aide : multiplier le volume par le prix au m³.
  1. Aire de la base : \(6 \times 4 = 24\) m².
    \(V = \dfrac{1}{3} \times 24 \times 3 = 24\) m³
  2. Coût : \(24 \times 12 = 288\) €
Exercice 7 Solide composé – Silo à grain Socle
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Cylindre surmonté d'un cône

Un silo a la forme d'un cylindre surmonté d'un cône. Le cylindre a un rayon de \(3\) m et une hauteur de \(8\) m. Le cône a le même rayon et une hauteur de \(2\) m.

  1. Calculer le volume du cylindre (arrondir au dixième).
    Aide : \(V_{\text{cyl}} = \pi \times r^2 \times h\).
  2. Calculer le volume du cône (arrondir au dixième).
    Aide : \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\).
  3. Calculer le volume total du silo.
    Aide : additionner les deux volumes.
  4. Un mètre cube de grain pèse \(750\) kg. Quelle masse de grain le silo peut-il contenir ?
  1. \(V_{\text{cyl}} = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226{,}2\) m³
  2. \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 2 = 6\pi \approx 18{,}8\) m³
  3. \(V_{\text{total}} = 72\pi + 6\pi = 78\pi \approx 245{,}0\) m³
  4. Masse : \(245{,}0 \times 750 = 183\,750\) kg \(\approx 183{,}8\) tonnes
Exercice 8 Aire latérale et peinture Socle

Un artisan doit peindre l'extérieur d'un réservoir cylindrique (sans le fond ni le couvercle) de rayon \(1{,}5\) m et de hauteur \(3\) m.

  1. Calculer l'aire latérale du réservoir.
    Aide : aire latérale d'un cylindre \(= 2\pi r h\).
  2. Un pot de peinture couvre \(10\) m². Combien de pots faut-il acheter pour deux couches ?
    Aide : calculer l'aire totale pour 2 couches, puis diviser par 10. Arrondir au pot supérieur.
  1. \(A_{\text{lat}} = 2\pi \times 1{,}5 \times 3 = 9\pi \approx 28{,}3\) m²
  2. Pour deux couches : \(2 \times 28{,}3 = 56{,}6\) m².
    Nombre de pots : \(\dfrac{56{,}6}{10} = 5{,}66\), soit \(6\) pots.

Exercices d'application

Exercice 9 Cuve d'eau chaude – Dimensionnement Standard

Un installateur thermique doit dimensionner une cuve cylindrique pour stocker \(2\,000\) litres d'eau chaude sanitaire. Le client impose un diamètre maximal de \(1\) m.

  1. Convertir le volume souhaité en m³.
  2. En déduire la hauteur minimale de la cuve (arrondir au centième de mètre).
  3. La cuve sera surmontée d'un cône de même rayon et de hauteur \(0{,}4\) m pour faciliter l'écoulement. Calculer le volume supplémentaire apporté par le cône.
  4. Calculer le volume total de la cuve complète (cylindre + cône).
  5. Calculer l'aire totale de tôle nécessaire (fond circulaire + paroi cylindrique + paroi conique). L'apothème du cône vaut \(g = \sqrt{0{,}5^2 + 0{,}4^2}\).
  1. \(2\,000\) L \(= 2\) m³
  2. \(r = 0{,}5\) m. \(V = \pi r^2 h \iff h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{2}{\pi \times 0{,}25} = \dfrac{2}{0{,}25\pi} \approx 2{,}55\) m
  3. \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi \times 0{,}5^2 \times 0{,}4 = \dfrac{1}{3}\pi \times 0{,}1 = \dfrac{0{,}1\pi}{3} \approx 0{,}105\) m³ \(\approx 105\) L
  4. \(V_{\text{total}} = 2 + 0{,}105 = 2{,}105\) m³ \(\approx 2\,105\) L
  5. \(g = \sqrt{0{,}25 + 0{,}16} = \sqrt{0{,}41} \approx 0{,}640\) m
    Fond : \(\pi \times 0{,}5^2 = 0{,}25\pi \approx 0{,}785\) m²
    Paroi cylindrique : \(2\pi \times 0{,}5 \times 2{,}55 = 2{,}55\pi \approx 8{,}012\) m²
    Paroi conique : \(\pi \times 0{,}5 \times 0{,}640 = 0{,}320\pi \approx 1{,}005\) m²
    Total : \(0{,}785 + 8{,}012 + 1{,}005 \approx 9{,}80\) m²
Exercice 10 Section d'un cylindre par un plan Standard

Un charpentier doit tailler un poteau cylindrique de rayon \(10\) cm et de longueur \(2\) m. Il réalise une coupe horizontale (perpendiculaire à l'axe du cylindre) à \(60\) cm du sol.

  1. Quelle est la forme de la section obtenue ? Donner ses dimensions.
  2. Calculer l'aire de cette section.
  3. Il réalise ensuite une coupe verticale passant par l'axe du cylindre. Quelle est la forme de la section obtenue ? Donner ses dimensions.
  4. Calculer l'aire de cette section rectangulaire.
  5. Calculer le volume de la portion de poteau située sous la première coupe (entre le sol et \(60\) cm).
  1. Une coupe perpendiculaire à l'axe d'un cylindre donne un disque de rayon \(r = 10\) cm.
  2. \(A = \pi \times 10^2 = 100\pi \approx 314\) cm²
  3. Une coupe par l'axe du cylindre donne un rectangle de largeur \(2r = 20\) cm et de hauteur \(200\) cm (la longueur du poteau).
  4. \(A = 20 \times 200 = 4\,000\) cm²
  5. \(V = \pi \times 10^2 \times 60 = 6\,000\pi \approx 18\,850\) cm³ \(\approx 18{,}85\) dm³
Exercice 11 Meuble sur mesure – Volume de rangement Standard

Un ébéniste conçoit un meuble de rangement composé de :

  1. Calculer le volume du caisson principal en cm³.
  2. Calculer le volume du demi-cylindre (arrondir à l'unité).
  3. En déduire le volume total de rangement en litres.
  4. Le bois utilisé (hêtre) a une masse volumique de \(0{,}70\) g/cm³. Si les parois ont une épaisseur de \(2\) cm, estimer la masse du meuble en sachant que le volume de bois est d'environ \(45\,000\) cm³.
  1. \(V_{\text{pavé}} = 120 \times 50 \times 80 = 480\,000\) cm³
  2. \(r = \dfrac{50}{2} = 25\) cm. \(V_{\text{demi-cyl}} = \dfrac{1}{2}\pi \times 25^2 \times 120 = \dfrac{1}{2}\pi \times 625 \times 120 = 37\,500\pi \approx 117\,810\) cm³
  3. \(V_{\text{total}} = 480\,000 + 117\,810 = 597\,810\) cm³ \(\approx 597{,}8\) L
  4. Masse \(= 45\,000 \times 0{,}70 = 31\,500\) g \(= 31{,}5\) kg

Exercices d'approfondissement

Exercice 12 Ballon d'eau chaude – Comparaison Approfondissement

Un installateur thermique doit choisir entre deux ballons d'eau chaude :

  1. Calculer le volume de chaque ballon en litres.
  2. Lequel a la plus grande contenance ?
  3. Calculer l'aire totale de tôle (deux disques + paroi latérale) pour chaque ballon.
  4. Lequel nécessite le moins de matière première ? Quel ballon choisir pour minimiser les coûts de fabrication ?
  1. Ballon A : \(r=25\) cm, \(h=120\) cm. \(V_A = \pi \times 25^2 \times 120 = 75\,000\pi \approx 235\,619\) cm³ \(\approx 235{,}6\) L.
    Ballon B : \(r=30\) cm, \(h=90\) cm. \(V_B = \pi \times 30^2 \times 90 = 81\,000\pi \approx 254\,469\) cm³ \(\approx 254{,}5\) L.
  2. Le ballon B a la plus grande contenance (\(254{,}5\) L contre \(235{,}6\) L).
  3. Ballon A : \(A_A = 2\pi \times 25^2 + 2\pi \times 25 \times 120 = 1250\pi + 6000\pi = 7250\pi \approx 22\,777\) cm².
    Ballon B : \(A_B = 2\pi \times 30^2 + 2\pi \times 30 \times 90 = 1800\pi + 5400\pi = 7200\pi \approx 22\,619\) cm².
  4. Le ballon B utilise légèrement moins de tôle (\(22\,619\) cm² contre \(22\,777\) cm²) tout en ayant une plus grande contenance. Le ballon B est donc le meilleur choix pour minimiser les coûts.
Exercice 13 Pièce de bois composite Approfondissement

Un charpentier taille une pièce de bois constituée d'un cylindre de rayon \(5\) cm et de hauteur \(20\) cm, surmonté d'une demi-sphère de même rayon.

  1. Calculer le volume du cylindre.
  2. Calculer le volume de la demi-sphère.
  3. En déduire le volume total de la pièce.
  4. La masse volumique du chêne est de \(0{,}72\) g/cm³. Calculer la masse de la pièce (arrondir au gramme).
  1. \(V_{\text{cyl}} = \pi \times 5^2 \times 20 = 500\pi \approx 1\,571\) cm³
  2. \(V_{\text{demi-sph}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi \times 5^3 = \dfrac{2}{3}\pi \times 125 = \dfrac{250\pi}{3} \approx 262\) cm³
  3. \(V_{\text{total}} = 500\pi + \dfrac{250\pi}{3} = \dfrac{1500\pi+250\pi}{3} = \dfrac{1750\pi}{3} \approx 1\,833\) cm³
  4. Masse : \(1\,833 \times 0{,}72 \approx 1\,320\) g, soit environ \(1{,}32\) kg.
Exercice 14 Problème inverse – Trouver une dimension Approfondissement

Un réservoir cylindrique doit contenir exactement \(500\) litres. Son diamètre est de \(80\) cm.

  1. Convertir \(500\) L en cm³.
  2. En déduire la hauteur nécessaire (arrondir au dixième de cm).
  3. On souhaite maintenant que la hauteur soit de \(80\) cm. Quel rayon faudrait-il (arrondir au dixième de cm) ?
  1. \(500\) L \(= 500\,000\) cm³
  2. \(V = \pi r^2 h \iff h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{500\,000}{\pi \times 40^2} = \dfrac{500\,000}{1600\pi} \approx 99{,}5\) cm
  3. \(r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}} = \sqrt{\dfrac{500\,000}{80\pi}} = \sqrt{\dfrac{500\,000}{251{,}3}} \approx \sqrt{1990} \approx 44{,}6\) cm
Exercice 15 Synthèse – Réservoir compartimenté Approfondissement

Un technicien conçoit un réservoir composé de deux parties :

  1. Calculer le volume de la partie cylindrique (en litres, arrondir au dixième).
  2. Calculer le volume de la partie conique (en litres, arrondir au dixième).
  3. Calculer le volume total du réservoir.
  4. Si l'on remplit le réservoir aux \(\dfrac{3}{4}\) de sa capacité, quel volume d'eau contient-il ?
  5. Calculer l'aire totale de la surface extérieure du réservoir (disque supérieur + paroi cylindrique + paroi conique). L'apothème du cône vaut \(g = \sqrt{40^2+30^2} = 50\) cm.
  1. \(V_{\text{cyl}} = \pi \times 40^2 \times 60 = 96\,000\pi \approx 301\,593\) cm³ \(\approx 301{,}6\) L
  2. \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi \times 40^2 \times 30 = 16\,000\pi \approx 50\,265\) cm³ \(\approx 50{,}3\) L
  3. \(V_{\text{total}} = 301{,}6 + 50{,}3 = 351{,}9\) L
  4. \(\dfrac{3}{4} \times 351{,}9 \approx 263{,}9\) L
  5. Disque supérieur : \(\pi \times 40^2 = 1600\pi \approx 5\,027\) cm²
    Paroi cylindrique : \(2\pi \times 40 \times 60 = 4800\pi \approx 15\,080\) cm²
    Paroi conique : \(\pi \times 40 \times 50 = 2000\pi \approx 6\,283\) cm²
    Total : \(5\,027 + 15\,080 + 6\,283 = 26\,390\) cm² \(\approx 2{,}64\) m²