Chapitre 5 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:30
Contexte : un fabricant de meubles de l'atelier « Bois & Design » à Lyon conçoit une étagère décorative dont l'arceau supérieur a une forme parabolique.
La hauteur de l'arceau (en cm) est modélisée par la fonction :
\[f(x) = -0{,}5x^2 + 4x\]
où \(x\) représente la largeur (en cm) mesurée depuis le bord gauche de l'étagère, pour \(0 \leq x \leq 8\).
Le fabricant doit déterminer :
Calculer \(f(x)\) pour chaque valeur de \(x\) et compléter le tableau :
| \(x\) (cm) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) (cm) |
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 0 | 3,5 | 6 | 7,5 | 8 | 7,5 | 6 | 3,5 | 0 |
Détail des calculs :
Sur le repère ci-dessous, placer les points du tableau de valeurs et tracer la courbe de \(f\) en reliant les points par une courbe lisse.
Échelle : axe horizontal : 1 carreau = 1 cm | axe vertical : 1 carreau = 1 cm
La courbe obtenue est une parabole tournée vers le bas (elle a la forme d'un « chapeau »).
Les points à placer sont : \((0\;;\;0)\), \((1\;;\;3{,}5)\), \((2\;;\;6)\), \((3\;;\;7{,}5)\), \((4\;;\;8)\), \((5\;;\;7{,}5)\), \((6\;;\;6)\), \((7\;;\;3{,}5)\), \((8\;;\;0)\).
On relie les points par une courbe lisse et symétrique.
a) Observer les valeurs du tableau. Que remarque-t-on entre \(f(1)\) et \(f(7)\) ? Entre \(f(2)\) et \(f(6)\) ? Entre \(f(3)\) et \(f(5)\) ?
b) En déduire l'axe de symétrie de la parabole. Quelle est son équation ?
c) Quelle relation existe entre la valeur \(x = 4\) et les deux extrémités \(x = 0\) et \(x = 8\) ?
a) On observe que :
Les valeurs sont symétriques par rapport à \(x = 4\).
b) L'axe de symétrie est la droite verticale d'équation \(\boxed{x = 4}\).
c) La valeur \(x = 4\) est le milieu de \(0\) et \(8\) : \(\dfrac{0 + 8}{2} = 4\). L'axe de symétrie passe par le milieu des deux racines.
a) Quelle est la valeur maximale de \(f(x)\) dans le tableau ? Pour quelle valeur de \(x\) est-elle atteinte ?
b) Ce point s'appelle le sommet de la parabole. Quelles sont ses coordonnées ?
c) La fonction s'écrit aussi \(f(x) = -0{,}5x(x - 8)\). Calculer \(f(4)\) avec cette écriture. Que constate-t-on ?
a) La valeur maximale est \(f(4) = 8\) cm. Elle est atteinte pour \(x = 4\).
b) Le sommet a pour coordonnées \(\boxed{S(4\;;\;8)}\).
c) \(f(4) = -0{,}5 \times 4 \times (4 - 8) = -0{,}5 \times 4 \times (-4) = 8\). On retrouve la hauteur du sommet. Son abscisse, 4, est le milieu des deux valeurs 0 et 8 où la hauteur est nulle (question 3). ✓
Trois élèves proposent une expression pour la courbe de l'arceau tracée à la question 2 :
a) La courbe est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Quelle proposition peut-on écarter ?
b) En quel point la courbe coupe-t-elle l'axe vertical ? Calculer \(q(0)\) et \(r(0)\), puis conclure.
a) La courbe est tournée vers le bas : le coefficient de \(x^2\) doit être négatif. On écarte la proposition d'Inès, dont le coefficient \(0{,}5\) est positif.
b) La courbe passe par \((0\;;\;0)\) : elle coupe l'axe vertical en 0. Or \(q(0) = 0\) et \(r(0) = 2\). C'est la proposition de Malik qui convient.
À retenir : le signe de \(a\) donne le sens de la courbe, et \(f(0) = c\) donne le point où elle coupe l'axe vertical.
On résout \(f(x) = 0\), c'est-à-dire \(-0{,}5x^2 + 4x = 0\).
a) Factoriser le membre de gauche en mettant \(x\) en facteur.
b) Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. En déduire les deux racines.
c) Vérifier par le calcul que ces deux valeurs annulent bien \(f\).
a) Les deux termes contiennent \(x\) :
\[-0{,}5x^2 + 4x = x\,(-0{,}5x + 4)\]
b) Le produit \(x\,(-0{,}5x + 4)\) est nul si \(x = 0\) ou si \(-0{,}5x + 4 = 0\).
\(-0{,}5x + 4 = 0\) donne \(-0{,}5x = -4\), soit \(x = \dfrac{-4}{-0{,}5} = 8\).
Les racines sont \(\boxed{x_1 = 0}\) et \(\boxed{x_2 = 8}\).
c) \(f(0) = 0\) et \(f(8) = -0{,}5 \times 64 + 4 \times 8 = -32 + 32 = 0\). ✓
Remarque : le ballon est au sol au départ (\(x = 0\)) et retombe à \(8\) m.
a) Sur le graphique tracé à la question 2, repérer les points où la parabole coupe l'axe des abscisses. Quelles sont leurs abscisses ?
b) Ces valeurs correspondent-elles aux racines calculées à la question 6 ?
c) Vérifier que le sommet lu graphiquement correspond au sommet calculé à la question 4.
Aide NumWorks : dans l'application Fonctions, saisir -0.5x^2+4x, puis ouvrir l'onglet Graphique. Le menu Calcul ▸ Rechercher ▸ Zéros place le curseur sur chaque racine ; Maximum donne le sommet. Le point culminant se lit en bas de l'écran.
a) La parabole coupe l'axe des abscisses en \(x = 0\) et \(x = 8\).
b) Oui, ce sont exactement les racines \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 8\) trouvées par le calcul. ✓
c) Le point le plus haut de la parabole est bien en \((4\;;\;8)\), ce qui correspond au sommet \(S(4\;;\;8)\) trouvé à la question 4, au milieu des racines 0 et 8. ✓
Le fabricant de meubles souhaite installer une tablette horizontale sous l'arceau. La tablette mesure 4 cm de large et doit être centrée par rapport à l'étagère.
a) La tablette s'étend de \(x = 2\) à \(x = 6\). Calculer la hauteur de l'arceau aux deux extrémités de la tablette.
b) Quelle est la hauteur minimale disponible au-dessus de la tablette (c'est-à-dire la plus petite valeur de \(f(x)\) sur l'intervalle \([2\;;\;6]\)) ?
c) Rédiger une phrase de conclusion indiquant au fabricant la hauteur maximale de l'arceau et la hauteur utile au-dessus de la tablette de 4 cm.
a) Aux extrémités de la tablette :
La hauteur est de 6 cm aux deux bords de la tablette.
b) Sur l'intervalle \([2\;;\;6]\), la parabole est au-dessus de 6 cm partout (elle monte jusqu'à 8 cm au centre). La hauteur minimale au-dessus de la tablette est donc de 6 cm (aux extrémités \(x = 2\) et \(x = 6\)).
c) Exemple de réponse rédigée :
« L'arceau parabolique atteint une hauteur maximale de 8 cm en son centre (\(x = 4\)). Si l'on installe une tablette horizontale de 4 cm de large (de \(x = 2\) à \(x = 6\)), la hauteur disponible au-dessus de la tablette est d'au moins 6 cm aux bords et de 8 cm au centre, ce qui est suffisant pour exposer des objets. »