Chapitre 5 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Contexte : un fabricant de meubles de l'atelier « Bois & Design » à Lyon conçoit une étagère décorative dont l'arceau supérieur a une forme parabolique.
La hauteur de l'arceau (en cm) est modélisée par la fonction :
\[f(x) = -0{,}5x^2 + 4x\]
où \(x\) représente la largeur (en cm) mesurée depuis le bord gauche de l'étagère, pour \(0 \leq x \leq 8\).
Le fabricant doit déterminer :
Calculer \(f(x)\) pour chaque valeur de \(x\) et compléter le tableau :
| \(x\) (cm) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) (cm) |
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 0 | 3,5 | 6 | 7,5 | 8 | 7,5 | 6 | 3,5 | 0 |
Détail des calculs :
Sur le repère ci-dessous, placer les points du tableau de valeurs et tracer la courbe de \(f\) en reliant les points par une courbe lisse.
Échelle : axe horizontal : 1 carreau = 1 cm | axe vertical : 1 carreau = 1 cm
La courbe obtenue est une parabole tournée vers le bas (elle a la forme d'un « chapeau »).
Les points à placer sont : \((0\;;\;0)\), \((1\;;\;3{,}5)\), \((2\;;\;6)\), \((3\;;\;7{,}5)\), \((4\;;\;8)\), \((5\;;\;7{,}5)\), \((6\;;\;6)\), \((7\;;\;3{,}5)\), \((8\;;\;0)\).
On relie les points par une courbe lisse et symétrique.
a) Observer les valeurs du tableau. Que remarque-t-on entre \(f(1)\) et \(f(7)\) ? Entre \(f(2)\) et \(f(6)\) ? Entre \(f(3)\) et \(f(5)\) ?
b) En déduire l'axe de symétrie de la parabole. Quelle est son équation ?
c) Quelle relation existe entre la valeur \(x = 4\) et les deux extrémités \(x = 0\) et \(x = 8\) ?
a) On observe que :
Les valeurs sont symétriques par rapport à \(x = 4\).
b) L'axe de symétrie est la droite verticale d'équation \(\boxed{x = 4}\).
c) La valeur \(x = 4\) est le milieu de \(0\) et \(8\) : \(\dfrac{0 + 8}{2} = 4\). L'axe de symétrie passe par le milieu des deux racines.
a) Quelle est la valeur maximale de \(f(x)\) dans le tableau ? Pour quelle valeur de \(x\) est-elle atteinte ?
b) Ce point s'appelle le sommet de la parabole. Quelles sont ses coordonnées ?
c) La fonction \(f(x) = -0{,}5x^2 + 4x\) est de la forme \(ax^2 + bx + c\). Identifier \(a\), \(b\) et \(c\).
d) Calculer \(x_S = -\dfrac{b}{2a}\). Que constate-t-on ?
a) La valeur maximale est \(f(4) = 8\) cm. Elle est atteinte pour \(x = 4\).
b) Le sommet a pour coordonnées \(\boxed{S(4\;;\;8)}\).
c) On identifie : \(a = -0{,}5\), \(b = 4\), \(c = 0\).
d) \(x_S = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \times (-0{,}5)} = -\dfrac{4}{-1} = 4\)
On retrouve bien \(x_S = 4\) : la formule \(x_S = -\dfrac{b}{2a}\) donne l'abscisse du sommet. ✓
La forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 s'écrit : \(f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\), où \(S(x_S\;;\;y_S)\) est le sommet.
a) En utilisant \(a = -0{,}5\), \(x_S = 4\) et \(y_S = 8\), écrire la forme canonique de \(f\).
b) Développer cette expression et vérifier qu'on retrouve \(f(x) = -0{,}5x^2 + 4x\).
a) La forme canonique est :
\[\boxed{f(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 8}\]
b) Développons :
\[f(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 8\]
\[= -0{,}5(x^2 - 8x + 16) + 8\]
\[= -0{,}5x^2 + 4x - 8 + 8\]
\[= -0{,}5x^2 + 4x\]
On retrouve bien l'expression de départ. ✓
On résout \(f(x) = 0\), c'est-à-dire \(-0{,}5x^2 + 4x = 0\).
a) Calculer le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
b) En déduire le nombre de racines.
c) Calculer les racines \(x_1\) et \(x_2\) à l'aide des formules : \(x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).
a) Avec \(a = -0{,}5\), \(b = 4\), \(c = 0\) :
\[\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times (-0{,}5) \times 0 = 16 - 0 = 16\]
b) \(\Delta = 16 > 0\) donc il y a deux racines distinctes.
c) Les racines sont :
\[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{16}}{2 \times (-0{,}5)} = \frac{-4 + 4}{-1} = \frac{0}{-1} = 0\]
\[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{16}}{2 \times (-0{,}5)} = \frac{-4 - 4}{-1} = \frac{-8}{-1} = 8\]
Les racines sont \(\boxed{x_1 = 0}\) et \(\boxed{x_2 = 8}\).
Remarque : on pouvait aussi factoriser directement : \(-0{,}5x^2 + 4x = x(-0{,}5x + 4) = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 8\).
a) Sur le graphique tracé à la question 2, repérer les points où la parabole coupe l'axe des abscisses. Quelles sont leurs abscisses ?
b) Ces valeurs correspondent-elles aux racines calculées à la question 6 ?
c) Vérifier que le sommet lu graphiquement correspond au sommet calculé à la question 4.
a) La parabole coupe l'axe des abscisses en \(x = 0\) et \(x = 8\).
b) Oui, ce sont exactement les racines \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 8\) trouvées par le calcul. ✓
c) Le point le plus haut de la parabole est bien en \((4\;;\;8)\), ce qui correspond au sommet \(S(4\;;\;8)\) calculé avec la formule \(x_S = -\dfrac{b}{2a} = 4\). ✓
Le fabricant de meubles souhaite installer une tablette horizontale sous l'arceau. La tablette mesure 4 cm de large et doit être centrée par rapport à l'étagère.
a) La tablette s'étend de \(x = 2\) à \(x = 6\). Calculer la hauteur de l'arceau aux deux extrémités de la tablette.
b) Quelle est la hauteur minimale disponible au-dessus de la tablette (c'est-à-dire la plus petite valeur de \(f(x)\) sur l'intervalle \([2\;;\;6]\)) ?
c) Rédiger une phrase de conclusion indiquant au fabricant la hauteur maximale de l'arceau et la hauteur utile au-dessus de la tablette de 4 cm.
a) Aux extrémités de la tablette :
La hauteur est de 6 cm aux deux bords de la tablette.
b) Sur l'intervalle \([2\;;\;6]\), la parabole est au-dessus de 6 cm partout (elle monte jusqu'à 8 cm au centre). La hauteur minimale au-dessus de la tablette est donc de 6 cm (aux extrémités \(x = 2\) et \(x = 6\)).
c) Exemple de réponse rédigée :
« L'arceau parabolique atteint une hauteur maximale de 8 cm en son centre (\(x = 4\)). Si l'on installe une tablette horizontale de 4 cm de large (de \(x = 2\) à \(x = 6\)), la hauteur disponible au-dessus de la tablette est d'au moins 6 cm aux bords et de 8 cm au centre, ce qui est suffisant pour exposer des objets. »