Chapitre 4 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Contexte : un installateur thermique de l'entreprise « Thermo-Confort » à Strasbourg doit conseiller un client sur le choix d'un contrat de maintenance pour sa chaudière.
Deux prestataires proposent des contrats annuels de maintenance avec des tarifications différentes, facturées en fonction du nombre d'heures d'intervention \(x\) sur l'année :
| Contrat | Forfait annuel fixe | Coût par heure d'intervention |
|---|---|---|
| Plan A (CaloriPlus) | 120 € | 35 € / h |
| Plan B (ThermoService) | 260 € | 15 € / h |
Le technicien doit déterminer à partir de combien d'heures d'intervention le Plan B devient plus avantageux que le Plan A.
On note \(x\) le nombre d'heures d'intervention sur l'année.
a) Exprimer le coût total \(f(x)\) du Plan A en fonction de \(x\).
b) Exprimer le coût total \(g(x)\) du Plan B en fonction de \(x\).
c) Quelle est la nature de ces deux fonctions ? Justifier.
a) Le Plan A facture 120 € de forfait + 35 € par heure :
\[f(x) = 35x + 120\]
b) Le Plan B facture 260 € de forfait + 15 € par heure :
\[g(x) = 15x + 260\]
c) Ce sont deux fonctions affines de la forme \(mx + p\). Leurs représentations graphiques sont des droites.
Compléter le tableau suivant en calculant \(f(x)\) et \(g(x)\) pour chaque valeur de \(x\) :
| \(x\) (heures) | 0 | 2 | 4 | 6 | 7 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) (€) | ||||||||
| \(g(x)\) (€) |
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 7 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 120 | 190 | 260 | 330 | 365 | 400 | 470 | 540 |
| \(g(x)\) | 260 | 290 | 320 | 350 | 365 | 380 | 410 | 440 |
Exemple de calcul : pour \(x = 4\) : \(f(4) = 35 \times 4 + 120 = 140 + 120 = 260\) et \(g(4) = 15 \times 4 + 260 = 60 + 260 = 320\).
Sur le repère ci-dessous, placer les points du tableau de valeurs et tracer les droites représentant \(f\) (en bleu) et \(g\) (en rouge).
Échelle : axe horizontal : 1 carreau = 1 heure | axe vertical : 1 carreau = 50 €
La droite \(f\) (bleue) part de \((0\;;\;120)\) et monte rapidement (pente 35).
La droite \(g\) (rouge) part de \((0\;;\;260)\) et monte plus lentement (pente 15).
Les deux droites se croisent au point \((7\;;\;365)\).
Vérification : \(f(7) = 35 \times 7 + 120 = 365\) et \(g(7) = 15 \times 7 + 260 = 365\) ✓
a) Lire graphiquement les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
b) Que représente l'abscisse de ce point dans le contexte du problème ?
c) Que représente l'ordonnée de ce point ?
a) Le point d'intersection a pour coordonnées \((7\;;\;365)\).
b) L'abscisse \(x = 7\) représente le nombre d'heures d'intervention pour lequel les deux contrats coûtent exactement le même prix.
c) L'ordonnée \(365\) représente le coût commun des deux contrats pour 7 heures d'intervention : 365 €.
On cherche à résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\), c'est-à-dire \(35x + 120 = 15x + 260\).
a) Que signifie graphiquement « \(f(x) = g(x)\) » ?
b) Quelle est la solution de cette équation, lue sur le graphique ?
a) Graphiquement, \(f(x) = g(x)\) signifie que les deux courbes ont la même ordonnée pour la même abscisse : c'est le point d'intersection des deux droites.
b) La solution est \(\boxed{x = 7}\). Pour 7 heures d'intervention, les deux plans coûtent le même prix.
On veut savoir quand le Plan A est moins cher que le Plan B, c'est-à-dire résoudre l'inéquation \(f(x) \leq g(x)\).
a) Sur le graphique, quand la courbe de \(f\) est-elle en dessous de la courbe de \(g\) ?
b) En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(x) \leq g(x)\).
c) Quand le Plan B devient-il plus avantageux que le Plan A ? Écrire l'inéquation correspondante et donner la solution graphique.
a) La droite de \(f\) (bleue) est en dessous de la droite de \(g\) (rouge) à gauche du point d'intersection, c'est-à-dire pour \(x \leq 7\).
b) L'ensemble des solutions est \(\boxed{x \in [0\;;\;7]}\). Pour 7 heures ou moins, le Plan A coûte moins cher (ou autant).
c) Le Plan B est plus avantageux quand \(g(x) \leq f(x)\), soit quand la courbe rouge est en dessous de la bleue. Graphiquement : \(\boxed{x \geq 7}\). Au-delà de 7 heures, le Plan B est plus économique.
Vérifions le résultat graphique par le calcul.
a) Résoudre l'équation \(35x + 120 = 15x + 260\) algébriquement.
b) Le résultat est-il cohérent avec la lecture graphique ?
a) On résout :
\[35x + 120 = 15x + 260\]
\[35x - 15x = 260 - 120\]
\[20x = 140\]
\[x = \frac{140}{20} = 7\]
b) Oui, on retrouve bien \(x = 7\), ce qui confirme la lecture graphique. Le coût commun est \(f(7) = 35 \times 7 + 120 = 365\) €. ✓
Le client dispose d'un budget annuel maximal de 400 € pour la maintenance.
a) Sur le graphique, tracer la droite horizontale \(y = 400\).
b) Résoudre graphiquement \(f(x) = 400\). Combien d'heures le Plan A permet-il avec ce budget ?
c) Résoudre graphiquement \(g(x) = 400\). Combien d'heures le Plan B permet-il ?
a) On trace la droite horizontale passant par 400 sur l'axe des ordonnées.
b) L'intersection de \(f\) avec \(y = 400\) donne \(x = 8\). Avec le Plan A, le client peut bénéficier de 8 heures d'intervention maximum.
Vérification : \(f(8) = 35 \times 8 + 120 = 280 + 120 = 400\) ✓
c) L'intersection de \(g\) avec \(y = 400\) donne \(x \approx 9{,}3\). Avec le Plan B, le client peut bénéficier d'environ 9 heures d'intervention (en arrondissant à l'entier inférieur).
Vérification : \(g(9) = 15 \times 9 + 260 = 135 + 260 = 395\) € (il reste 5 €).
Le client estime avoir besoin d'environ 10 heures d'intervention par an.
Rédiger un court texte (3-4 lignes) pour conseiller le client sur le choix du contrat, en justifiant par les résultats obtenus.
Exemple de réponse rédigée :
« Monsieur, pour 10 heures d'intervention annuelles, je vous recommande le Plan B (ThermoService). En effet, au-delà de 7 heures, ce contrat est plus économique. Pour 10 heures, le Plan A vous coûterait \(35 \times 10 + 120 = 470\) € contre \(15 \times 10 + 260 = 410\) € pour le Plan B, soit une économie de 60 € par an. »
Résoudre \(f(x) = k\) revient à lire les abscisses des points d'intersection de la courbe de \(f\) avec la droite horizontale \(y = k\).