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Activité 4 – Mélange de teintures : système 2 inconnues SITUATION PRO

Chapitre 4 — Résolution graphique | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Situation – mélange de 2 teintures

Léa, ébéniste, doit obtenir 5 L d'une teinture chêne foncé concentrée à 30 % de pigment. Elle dispose de 2 stocks : la teinture A à 20 % et la teinture B à 50 %.

Problématique : Quel volume x de A et y de B Léa doit-elle mélanger ?

Question 1 ANA

Mettre le problème en système d'équations.

Volume total : x + y = 5.

Quantité de pigment : 0,20 x + 0,50 y = 0,30 × 5 = 1,5.

Système : { x + y = 5 ; 0,20 x + 0,50 y = 1,5 }.

Question 2 REA

Résoudre par substitution.

De la 1re : y = 5 − x. Substitution : 0,20 x + 0,50 (5 − x) = 1,5

0,20 x + 2,5 − 0,50 x = 1,5 → −0,30 x = −1 → x = 3,33 L.

y = 5 − 3,33 = 1,67 L.

Question 3 REA

Vérifier la solution.

Volume : 3,33 + 1,67 = 5 L ✔

Pigment : 0,20 × 3,33 + 0,50 × 1,67 = 0,667 + 0,833 = 1,5 L ✔

Question 4 ANA

Léa veut maintenant 5 L à 60 % de pigment. Possible avec ses stocks ? Justifier.

Le mélange ne peut donner qu'une concentration entre 20 % et 50 % (concentrations des stocks). 60 % > 50 % → impossible.

Pour obtenir 60 %, il faudrait acheter une teinture plus concentrée.

Question 5 REA

Pour 10 L à 30 % de pigment, recalculer x et y. Comparer.

Volume × 2 → x = 6,67 L, y = 3,33 L (proportions identiques car même concentration cible).

Question 6 ANA

Si la teinture A coûte 12 €/L et B 25 €/L, calculer le coût des 5 L à 30 %.

Coût : 12 × 3,33 + 25 × 1,67 = 40 + 41,75 = 81,75 €.

Soit ≈ 16,40 €/L de mélange final.

Question 7 VAL

Pour économiser, Léa veut un mélange à 25 % de pigment (plus dilué). Recalculer.

{x + y = 5 ; 0,20 x + 0,50 y = 1,25 } → y = (1,25 − 0,20 × 5)/(0,50 − 0,20) = 0,25/0,30 ≈ 0,83 L. x = 4,17 L.

Coût : 12 × 4,17 + 25 × 0,83 ≈ 50 + 20,75 = 70,75 €. Économie : 11 €.

Question 8 COM

Léa rédige sa fiche de fabrication. 5 lignes max.

Fiche fabrication — Teinture chêne foncé 30 %
• Volume cible : 5 L · Concentration cible : 30 % de pigment.
• Mélange : 3,33 L de teinture A (20 %) + 1,67 L de teinture B (50 %).
• Vérification : volume total OK, pigment total = 1,5 L (30 %).
• Coût : 81,75 € (16,40 €/L final).
• Pour mélange > 50 % : commander stock plus concentré.

Pour aller plus loin (bonus)

Léa veut un mélange tel que 40 % de A et 60 % de B. Quelle concentration finale ?

Concentration = 0,40 × 0,20 + 0,60 × 0,50 = 0,08 + 0,30 = 0,38 = 38 %.

(Moyenne pondérée par les volumes.)

À retenir

📚 Cette activité s'appuie sur §3 (Systèmes d'équations) de la leçon Ch04.