Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Adel installe des panneaux photovoltaïques sur le toit de la maison familiale à Romainville. L'installation produit 4 500 kWh/an la première année. Le fabricant garantit une perte de rendement de 0,5 % par an pendant 25 ans (garantie de performance linéarisée en pratique en suite géométrique).
Justifier que la suite \((u_n)\) modélisant la production annuelle est géométrique. Donner \(u_0\) et \(q\).
Chaque année, la production est multipliée par \(0{,}995\) (perte de 0,5 %) → suite géométrique.
\( u_0 = 4\,500 \) kWh, \( q = 0{,}995 \).
Calculer la production attendue à 5 ans, 10 ans et 25 ans (arrondi au kWh).
\( u_5 = 4\,500 \times 0{,}995^5 \approx 4\,500 \times 0{,}9752 \approx \mathbf{4\,388} \) kWh.
\( u_{10} = 4\,500 \times 0{,}995^{10} \approx 4\,500 \times 0{,}9511 \approx \mathbf{4\,280} \) kWh.
\( u_{25} = 4\,500 \times 0{,}995^{25} \approx 4\,500 \times 0{,}8822 \approx \mathbf{3\,970} \) kWh.
Quel pourcentage de la production initiale reste-t-il au bout de 25 ans ? Comparer à la garantie de 90 % à 25 ans souvent affichée par les fabricants.
Pourcentage restant : \( \dfrac{u_{25}}{u_0} = 0{,}995^{25} \approx 0{,}8822 \approx \mathbf{88{,}2\,\%} \).
Le modèle prédit 88,2 % de la production initiale à 25 ans, soit légèrement en dessous de la garantie usuelle de 90 % à 25 ans. Cette différence peut être due à une perte annoncée légèrement surestimée.
Calculer la production totale cumulée sur 25 ans (somme de \(u_0\) à \(u_{24}\)).
Indication : \(S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}\) pour une suite géométrique.
25 termes (\(n = 25\)).
\( S = 4\,500 \times \dfrac{1 - 0{,}995^{25}}{1 - 0{,}995} = 4\,500 \times \dfrac{1 - 0{,}8822}{0{,}005} = 4\,500 \times \dfrac{0{,}1178}{0{,}005} = 4\,500 \times 23{,}56 \approx \mathbf{106\,020} \) kWh sur 25 ans.
Calculer l'économie financière totale sur 25 ans (autoconsommation à 0,20 €/kWh). Comparer à l'investissement initial de 9 000 €.
Économie : \( 106\,020 \times 0{,}20 = \mathbf{21\,204\,€} \) sur 25 ans.
Comparaison investissement : \( 21\,204 - 9\,000 = 12\,204\,€ \) de gain net sur 25 ans.
Soit un retour sur investissement (ROI) ≈ 10,5 ans (estimation : 9 000 € / (4 500×0,20) = 9000/900 = 10 ans).
Calculer la masse totale de CO₂ évitée sur 25 ans.
CO₂ évité : \( 106\,020 \times 60 = 6\,361\,200 \) g = ≈ 6,4 tonnes de CO₂ sur 25 ans.
À comparer aux émissions moyennes annuelles d'un Français (≈ 9 t/an) : l'installation compense l'équivalent d'environ 8 mois d'émissions d'une personne.
À partir de quelle année la production passe-t-elle sous les 4 000 kWh ? Tester par balayage.
On cherche \(n\) tel que \( 4\,500 \times 0{,}995^n < 4\,000 \), soit \( 0{,}995^n < 0{,}889 \).
Tests : \( 0{,}995^{23} \approx 0{,}8910 \) ; \( 0{,}995^{24} \approx 0{,}8866 \).
Donc \( u_{24} \approx 4\,500 \times 0{,}8866 \approx 3\,990 \) kWh. C'est à partir de l'année 24, juste avant la fin de garantie.
Adel rédige un courrier à un voisin intéressé par une installation similaire. 5 lignes max.
Retour d'expérience installation photovoltaïque — Adel, Romainville
• Production initiale : 4 500 kWh/an (modèle géométrique \(u_n = 4\,500 \times 0{,}995^n\)).
• Perte annuelle : 0,5 % → ≈ 88 % de production restante à 25 ans.
• Production cumulée 25 ans : ≈ 106 000 kWh, économie totale ≈ 21 200 €.
• Retour sur investissement : ≈ 10 ans (sur 25 ans de garantie).
• Impact carbone : ≈ 6,4 tonnes CO₂ évitées sur la durée de vie. Démarche écologique rentable !
Si Adel revend l'électricité au réseau à 0,10 €/kWh au lieu de l'autoconsommer à 0,20 €, quel est le nouveau bilan financier sur 25 ans ?
Revente : \( 106\,020 \times 0{,}10 = 10\,602\,€ \).
Bilan net : \( 10\,602 - 9\,000 = \mathbf{1\,602\,€} \) de gain seulement (vs 12 204 € en autoconsommation).
L'autoconsommation est nettement plus rentable que la revente au réseau dans le contexte actuel des tarifs.
📚 Cette activité s'appuie sur §IV (Suites géométriques) et §VI (Applications) de la leçon Ch03.