← Retour au sommaire

Chapitre 03 – Suites numériques

1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques

Objectifs du chapitre

I – Notion de suite numérique

Situation professionnelle

Un menuisier agenceur débute son activité avec un salaire de 1 500 € net par mois. Son employeur lui garantit une augmentation de 40 € par mois chaque année. Comment modéliser l'évolution de son salaire au fil des années ?

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés termes, indexés par des entiers naturels.

On note \((u_n)\) la suite et \(u_n\) le terme de rang \(n\) (ou terme d'indice \(n\)).

Exemple 1

Le salaire du menuisier forme la suite : \(u_0 = 1\,500\), \(u_1 = 1\,540\), \(u_2 = 1\,580\), \(u_3 = 1\,620\), ...

Chaque année, le salaire augmente de 40 €.

Définition

Modes de génération d'une suite

Application

Un artisan menuisier note le nombre de planches découpées chaque heure : 12, 15, 18, 21, 24.

1. S'agit-il d'une suite ? Quel est le terme initial ? 2. Peut-on prévoir la valeur à la 6e heure ?

II – Suites arithmétiques

Définition

Suite arithmétique

Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si, pour tout entier \(n\) :

\[u_{n+1} = u_n + r\]

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre \(r\).

Méthode

Reconnaître une suite arithmétique

On calcule la différence entre deux termes consécutifs : \(u_{n+1} - u_n\).

Terme général d'une suite arithmétique

\[u_n = u_0 + n \times r\]

Plus généralement, si on connaît \(u_p\) :

\[u_n = u_p + (n - p) \times r\]

Exemple 2

Le salaire du menuisier : \(u_0 = 1\,500\) et \(r = 40\).

Le terme général est : \(u_n = 1\,500 + 40n\)

Mini exercice 1

Un artisan charpentier empile des planches. La première rangée contient 20 planches. Chaque rangée au-dessus contient 2 planches de moins que la précédente.

  1. Justifier que le nombre de planches par rangée forme une suite arithmétique. Préciser \(u_0\) et \(r\).
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Combien de planches contient la 8e rangée (rang 7) ?
  4. À partir de quelle rangée n'y a-t-il plus de planches ?
  1. On retire 2 planches à chaque rangée : \(u_{n+1} = u_n - 2\). C'est une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 20\) et de raison \(r = -2\).
  2. \(u_n = u_0 + nr = 20 + n \times (-2) = 20 - 2n\)
  3. \(u_7 = 20 - 2 \times 7 = 20 - 14 = 6\) planches.
  4. On cherche \(n\) tel que \(u_n = 0\) : \(20 - 2n = 0 \Rightarrow n = 10\). À la rangée de rang 10 (11e rangée), il n'y a plus de planches.
Application

Le salaire mensuel d'un menuisier agenceur débute à 1 600 € et augmente de 30 € par an. Écrire la formule explicite \(u_n\) du salaire après \(n\) années. Calculer son salaire après 8 ans.

III – Somme des termes d'une suite arithmétique

Propriété

Somme des termes consécutifs

La somme des \((n+1)\) premiers termes d'une suite arithmétique (de \(u_0\) à \(u_n\)) est :

\[S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\]

Formule à retenir

\[S = \frac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}\]
Méthode

Appliquer la formule de la somme

  1. Identifier le premier terme et le dernier terme.
  2. Compter le nombre de termes (attention : de \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n+1\) termes).
  3. Appliquer la formule.

Exemple 3

Calculer \(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\).

C'est la somme des 100 premiers entiers positifs (de 1 à 100). On a 100 termes, le premier est 1 et le dernier est 100.

\[S = \frac{100 \times (1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5\,050\]

Exemple 4

Reprenons l'exemple du salaire du menuisier : \(u_0 = 1\,500\), \(r = 40\). Quel est le total des salaires perçus sur les 10 premières années (de l'année 0 à l'année 9) ?

On somme de \(u_0\) à \(u_9\) : 10 termes.

\(u_9 = 1\,500 + 40 \times 9 = 1\,860\) €.

\[S = \frac{10 \times (1\,500 + 1\,860)}{2} = \frac{10 \times 3\,360}{2} = 16\,800 \text{ €}\]

Mini exercice 2

Un installateur thermique pose des radiateurs dans un immeuble de 6 étages. Au rez-de-chaussée, il pose 8 radiateurs. À chaque étage supérieur, il en pose 2 de plus.

  1. Exprimer le nombre de radiateurs à l'étage \(n\).
  2. Combien pose-t-il de radiateurs au 5e étage ?
  3. Combien de radiateurs pose-t-il au total dans l'immeuble (du RDC au 5e étage) ?
  1. \(u_n = 8 + 2n\) (suite arithmétique, \(u_0 = 8\), \(r = 2\)).
  2. \(u_5 = 8 + 2 \times 5 = 18\) radiateurs.
  3. Du RDC (\(u_0\)) au 5e étage (\(u_5\)), il y a 6 termes : \[S = \frac{6 \times (8 + 18)}{2} = \frac{6 \times 26}{2} = 78 \text{ radiateurs}\]
Application

Un ébéniste produit 5 tables par mois la première année. Sa production augmente chaque mois de 2 tables. Calculer le total de tables produites sur les 12 premiers mois (de \(u_1 = 5\) à \(u_{12}\)).

IV – Suites géométriques (anticipation Terminale)

Hors programme — pour aller plus loin Les suites géométriques ne figurent pas au programme officiel de Première Bac Pro : elles constituent un module de la classe de Terminale. Cette section est proposée en anticipation, car les situations à évolution en pourcentage (intérêts composés, perte de rendement…) se rencontrent tôt dans la vie professionnelle. Le programme de Première demande seulement de savoir reconnaître qu'une suite n'est pas arithmétique.

Situation professionnelle

Un artisan place 5 000 € sur un compte d'épargne qui rapporte 3 % d'intérêts par an. Chaque année, le capital est multiplié par \(1{,}03\). Comment modéliser l'évolution du capital ?

Définition

Suite géométrique

Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) (\(q \neq 0\)) si, pour tout entier \(n\) :

\[u_{n+1} = u_n \times q\]

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre \(q\).

Méthode

Reconnaître une suite géométrique

On calcule le quotient de deux termes consécutifs : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\).

Terme général d'une suite géométrique

\[u_n = u_0 \times q^n\]

Plus généralement, si on connaît \(u_p\) :

\[u_n = u_p \times q^{n-p}\]

Exemple 5

Le capital de l'artisan : \(u_0 = 5\,000\) et \(q = 1{,}03\).

Le terme général est : \(u_n = 5\,000 \times 1{,}03^n\)

Attention

Ne pas confondre

Suite arithmétiqueSuite géométrique
On ajoute la raison \(r\)On multiplie par la raison \(q\)
\(u_{n+1} = u_n + r\)\(u_{n+1} = u_n \times q\)
\(u_n = u_0 + nr\)\(u_n = u_0 \times q^n\)
Augmentation/diminution constanteAugmentation/diminution en pourcentage

Mini exercice 3

Un technicien chauffagiste constate qu'une chaudière perd 8 % de son rendement chaque année. Le rendement initial est de 95 %.

  1. Justifier que le rendement forme une suite géométrique. Préciser \(u_0\) et \(q\).
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Quel est le rendement après 5 ans ? (Arrondir à 0,1 %)
  4. Au bout de combien d'années le rendement passe-t-il sous 50 % ? (Tester des valeurs)
  1. Le rendement est multiplié par \(1 - 0{,}08 = 0{,}92\) chaque année. C'est une suite géométrique avec \(u_0 = 95\) et \(q = 0{,}92\).
  2. \(u_n = 95 \times 0{,}92^n\)
  3. \(u_5 = 95 \times 0{,}92^5 \approx 95 \times 0{,}6591 \approx 62{,}6\,\%\)
  4. On teste :
    \(u_7 = 95 \times 0{,}92^7 \approx 95 \times 0{,}5578 \approx 53{,}0\,\%\)
    \(u_8 = 95 \times 0{,}92^8 \approx 95 \times 0{,}5132 \approx 48{,}8\,\%\)
    Le rendement passe sous 50 % au bout de 8 ans.

V – Représentation graphique des suites

Propriété

Représentation graphique

Pour représenter graphiquement une suite \((u_n)\), on place les points de coordonnées \((n\,;\, u_n)\) dans un repère.

Attention : on ne relie pas les points (une suite est définie uniquement pour des valeurs entières de \(n\)).

Méthode

Reconnaître graphiquement le type de suite

Exemple 6

Comparons graphiquement le salaire du menuisier (suite arithmétique : \(u_n = 1\,500 + 40n\)) et le capital de l'artisan divisé par 3 (suite géométrique : \(v_n = 1\,667 \times 1{,}03^n\)) :

\(n\)012345810
\(u_n\) (arithm.)1 5001 5401 5801 6201 6601 7001 8201 900
\(v_n\) (géom.)1 6671 7171 7681 8211 8761 9322 1122 240

La suite arithmétique progresse de manière régulière (linéaire), tandis que la suite géométrique accélère progressivement.

Visualisation interactive

Le graphique ci-dessous permet de comparer la représentation des deux types de suites. Utilisez le sélecteur pour basculer entre la suite arithmétique (points alignés) et la suite géométrique (croissance exponentielle).

Suite arithmétique (bleu) : les points sont alignés — croissance régulière.
Suite géométrique (orange) : les points suivent une courbe exponentielle — croissance accélérée.

VI – Applications

Mini exercice 4 – Amortissement linéaire

Un artisan achète une machine-outil d'une valeur de 12 000 €. Cette machine est amortie de manière linéaire sur 8 ans (elle perd la même valeur chaque année).

  1. Quelle est la perte de valeur annuelle ?
  2. Exprimer la valeur résiduelle \(v_n\) après \(n\) années.
  3. Quelle est la valeur résiduelle après 5 ans ?
  1. Perte annuelle : \(\dfrac{12\,000}{8} = 1\,500\) € par an.
  2. \(v_n = 12\,000 - 1\,500n\) (suite arithmétique, \(v_0 = 12\,000\), \(r = -1\,500\)).
  3. \(v_5 = 12\,000 - 1\,500 \times 5 = 12\,000 - 7\,500 = 4\,500\) €.

Mini exercice 5 – Épargne avec intérêts composés (anticipation Terminale)

Un menuisier place 3 000 € sur un livret d'épargne à un taux annuel de 2,5 %.

  1. Exprimer le capital \(c_n\) après \(n\) années.
  2. Calculer le capital après 3 ans (arrondir au centime).
  3. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 3 500 € ? (Tester des valeurs)
  1. \(c_n = 3\,000 \times 1{,}025^n\) (suite géométrique, \(c_0 = 3\,000\), \(q = 1{,}025\)).
  2. \(c_3 = 3\,000 \times 1{,}025^3 = 3\,000 \times 1{,}076891 \approx 3\,230{,}67\) €.
  3. On teste :
    \(c_6 = 3\,000 \times 1{,}025^6 \approx 3\,000 \times 1{,}1597 \approx 3\,479{,}08\) €
    \(c_7 = 3\,000 \times 1{,}025^7 \approx 3\,000 \times 1{,}1887 \approx 3\,566{,}06\) €
    Le capital dépasse 3 500 € au bout de 7 ans.

VII – Synthèse

À retenir

Suite arithmétiqueSuite géométrique (Terminale)
Récurrence\(u_{n+1} = u_n + r\)\(u_{n+1} = u_n \times q\)
Terme général\(u_n = u_0 + nr\)\(u_n = u_0 \times q^n\)
Somme\(S = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\)—
GraphiquePoints alignésCourbe exponentielle
ApplicationAugmentation fixe, amortissementIntérêts composés, évolution en %

Mini exercice 6 – Exercice de synthèse (question 1 : anticipation Terminale)

Un technicien chauffagiste hésite entre deux offres d'emploi :

  1. Identifier le type de suite pour chaque offre. Donner les formules des termes généraux.
  2. Calculer le salaire proposé par chaque offre après 5 ans.
  3. Calculer le salaire proposé par chaque offre après 10 ans.
  4. À partir de quelle année l'offre B devient-elle plus avantageuse ?

1.

  • Offre A : suite arithmétique, \(a_n = 1\,600 + 50n\).
  • Offre B : suite géométrique, \(b_n = 1\,500 \times 1{,}04^n\).

2. Après 5 ans :

  • \(a_5 = 1\,600 + 50 \times 5 = 1\,850\) €
  • \(b_5 = 1\,500 \times 1{,}04^5 \approx 1\,500 \times 1{,}2167 \approx 1\,825\) €

3. Après 10 ans :

  • \(a_{10} = 1\,600 + 50 \times 10 = 2\,100\) €
  • \(b_{10} = 1\,500 \times 1{,}04^{10} \approx 1\,500 \times 1{,}4802 \approx 2\,220\) €

4. On teste :

  • \(n = 7\) : \(a_7 = 1\,950\), \(b_7 \approx 1\,500 \times 1{,}3159 \approx 1\,974\) → B > A
  • \(n = 6\) : \(a_6 = 1\,900\), \(b_6 \approx 1\,500 \times 1{,}2653 \approx 1\,898\) → A > B

L'offre B devient plus avantageuse à partir de l'année 7.

VIII – Erreurs fréquentes

❌
Confondre suite arithmétique et suite géométrique
En arithmétique, on ajoute la raison ; en géométrique, on multiplie par la raison. Une augmentation de 5 % correspond à une multiplication par 1,05, pas à un ajout de 5.
Conseil : repérer si l'énoncé parle d'un montant fixe (arithmétique) ou d'un pourcentage (géométrique).
❌
Oublier que l'indice commence à 0
\(u_0\) est le terme initial (rang 0, pas rang 1). Donc « après \(n\) années » correspond à \(u_n\), et non \(u_{n-1}\).
Conseil : bien relire l'énoncé pour identifier si le premier terme est \(u_0\) ou \(u_1\), et adapter la formule en conséquence.
❌
Mal compter le nombre de termes dans une somme
De \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n+1\) termes (et non \(n\)). Par exemple, de \(u_0\) à \(u_9\) : \(9+1 = 10\) termes.
Conseil : utiliser la formule \(\text{nombre de termes} = \text{dernier indice} - \text{premier indice} + 1\).
❌
Relier les points d'une suite sur un graphique
Une suite n'est définie que pour des entiers \(n\). On place des points isolés, mais on ne les relie pas par une courbe continue.
Conseil : toujours représenter une suite par des points distincts, pas par un tracé continu.

Simulation interactive