1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 12:00
Un menuisier agenceur débute son activité avec un salaire de 1 500 € net par mois. Son employeur lui garantit une augmentation de 40 € chaque année. Comment modéliser l'évolution de son salaire au fil des années ?
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés termes, indexés par des entiers naturels.
On écrit d’abord \(u(n)\) pour le nombre associé au rang \(n\), comme dans l’écriture d’une fonction. On utilise ensuite la notation \(u_n=u(n)\). On note \((u_n)\) la suite et \(u_n\) le terme de rang \(n\) (ou terme d'indice \(n\)).
Le salaire du menuisier forme la suite : \(u_0 = 1\,500\), \(u_1 = 1\,540\), \(u_2 = 1\,580\), \(u_3 = 1\,620\), ...
Chaque année, le salaire augmente de 40 €.
Un artisan menuisier note le nombre de planches découpées chaque heure : 12, 15, 18, 21, 24.
1. S'agit-il d'une suite ? Quel est le terme initial ? 2. Peut-on prévoir la valeur à la 6e heure ?
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si, pour tout entier \(n\) :
\[u_{n+1} = u_n + r\]On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre \(r\).
On calcule la différence entre deux termes consécutifs : \(u_{n+1} - u_n\).
Pour une suite arithmétique, toutes les différences \(u_{n+1} - u_n\) valent \(r\). Il suffit donc de lire le signe de la raison :
Le premier terme ne joue aucun rôle : une suite qui part d'une valeur négative peut être croissante.
Un nageur chronomètre chaque longueur de bassin. Il obtient : 30 s, 32 s, 34 s, 36 s (il ralentit régulièrement à cause de la fatigue).
1. S'agit-il d'une suite arithmétique ? Préciser la raison \(r\). 2. La suite est-elle croissante ou décroissante ? 3. Prévoir le temps de la 6e longueur.
1. La différence entre deux temps consécutifs est constante : \(32-30 = 34-32 = 36-34 = 2\). C'est une suite arithmétique de raison \(r = 2\) (avec \(u_1 = 30\)).
2. Comme \(r = 2 > 0\), la suite est croissante (chaque longueur prend plus de temps).
3. \(u_6 = u_1 + (6-1)\times r = 30 + 5 \times 2 = \mathbf{40\ s}\).
Plus généralement, si on connaît \(u_p\) :
\[u_n = u_p + (n - p) \times r\]Le salaire du menuisier : \(u_0 = 1\,500\) et \(r = 40\).
Le terme général est : \(u_n = 1\,500 + 40n\)
Un artisan charpentier empile des planches. La première rangée contient 20 planches. Chaque rangée au-dessus contient 2 planches de moins que la précédente.
Le salaire mensuel d'un menuisier agenceur débute à 1 600 € et augmente de 30 € par an. Écrire la formule explicite \(u_n\) du salaire après \(n\) années. Calculer son salaire après 8 ans.
La somme des \((n+1)\) premiers termes d'une suite arithmétique (de \(u_0\) à \(u_n\)) est :
\[S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\]Cette formule est donnée : le programme ne demande pas de la mémoriser, mais de savoir l'utiliser.
Dans une salle de théâtre, la 1re rangée compte 14 fauteuils et chaque rangée suivante en compte 2 de plus. La salle a 10 rangées.
Combien de fauteuils la salle contient-elle au total ?
Suite arithmétique : \(u_1 = 14\), \(r = 2\), 10 rangées. Nombre de fauteuils de la dernière rangée : \(u_{10} = 14 + (10-1)\times 2 = 14 + 18 = 32\).
Somme des 10 rangées : \(S = \dfrac{10 \times (14 + 32)}{2} = \dfrac{10 \times 46}{2} = \mathbf{230\ \text{fauteuils}}\).
Calculer \(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\).
C'est la somme des 100 premiers entiers positifs (de 1 à 100). On a 100 termes, le premier est 1 et le dernier est 100.
\[S = \frac{100 \times (1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5\,050\]Reprenons l'exemple du salaire du menuisier : \(u_0 = 1\,500\), \(r = 40\). Quelle est la somme des dix salaires mensuels de référence, de \(u_0\) à \(u_9\) ?
On somme de \(u_0\) à \(u_9\) : 10 termes.
\(u_9 = 1\,500 + 40 \times 9 = 1\,860\) €.
\[S = \frac{10 \times (1\,500 + 1\,860)}{2} = \frac{10 \times 3\,360}{2} = 16\,800 \text{ €}\]Attention à ce que représente ce nombre : \(u_n\) est un salaire mensuel. \(S\) est donc la somme de dix salaires mensuels, un par année — pas le total perçu sur dix ans. Ce total vaut \(12 \times 16\,800 = 201\,600\) €.
Un installateur thermique pose des radiateurs dans un immeuble de 6 étages. Au rez-de-chaussée, il pose 8 radiateurs. À chaque étage supérieur, il en pose 2 de plus.
Un ébéniste produit 5 tables par mois la première année. Sa production augmente chaque mois de 2 tables. Calculer le total de tables produites sur les 12 premiers mois (de \(u_1 = 5\) à \(u_{12}\)).
Une suite peut être donnée par une formule \(u_n=f(n)\). On obtient chaque terme en remplaçant \(n\) par son rang. Toutes les suites ne sont pas arithmétiques.
On donne \(u_n=n^2+1\), pour \(n\geqslant0\).
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) | 1 | 2 | 5 | 10 |
Les différences successives sont 1, 3 et 5 : elles ne sont pas constantes. La suite n'est donc pas arithmétique. Elle est croissante : quand \(n\) augmente parmi les entiers positifs, \(n^2+1\) augmente.
On donne \(v_n=2n^2+3\). Calculer \(v_0\), \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\), puis déterminer si la suite est arithmétique.
Les termes sont 3, 5, 11 et 21. Les différences sont 2, 6 et 10 : la suite n'est pas arithmétique.
Pour \(u_n=n^2+1\), saisir les rangs 0 à 10 en colonne A. En B2, saisir =A2^2+1 puis recopier vers le bas. Insérer un nuage de points avec les rangs en abscisse et sauvegarder le fichier.
Une suite \((u_n)\) est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent : \(u_{n+1}\geqslant u_n\) pour tout \(n\). Elle est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal au précédent : \(u_{n+1}\leqslant u_n\) pour tout \(n\). Elle est constante si tous les termes sont égaux.
Soit \(w_n=n^2-6n+10\). Les premiers termes sont 10 ; 5 ; 2 ; 1 ; 2 ; 5. Les différences sont −5 ; −3 ; −1 ; +1 ; +3.
La suite décroît du rang 0 au rang 3, puis croît à partir du rang 3. Elle n'est donc ni croissante ni décroissante.
Pour \(u_n=n^2+1\) (exemple ci-dessus), les différences 1 ; 3 ; 5 sont toutes positives : la suite est croissante.
On donne \(t_n=n^2-6n+8\). Calculer les termes de rang 0 à 5, puis les différences. En déduire le sens de variation de la suite.
Les termes sont 8 ; 3 ; 0 ; −1 ; 0 ; 3. Les différences sont −5 ; −3 ; −1 ; +1 ; +3. La suite décroît du rang 0 au rang 3, puis croît à partir du rang 3 : elle n'est ni croissante ni décroissante.
Pour aller plus loin : une table de valeurs montre l'évolution sur les rangs calculés ; elle ne démontre pas à elle seule une propriété pour tous les rangs. Pour \(u_n=n^2+1\), on peut calculer \(u_{n+1}-u_n=2n+1\), positif pour tout entier \(n\geqslant0\) : la suite est croissante pour tous les rangs.
On place les points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\). Le rang est entier : on représente des points isolés. Pour une suite arithmétique, ils sont alignés.
Pour les rangs 0 à 4, les termes sont 4, 7, 10, 13 et 16.
Pour \(v_n=20-2n\), calculer les termes de rang 0 à 4, puis placer les cinq points dans un repère. Comment évoluent les termes ?
Les points sont \((0;20)\), \((1;18)\), \((2;16)\), \((3;14)\), \((4;12)\). Ils sont alignés. La raison est −2 : la suite est décroissante.
L'offre A commence à 1 500 € et augmente de 50 € chaque année. L'offre B est décrite par la formule donnée \(b_n=1\,450+10n^2\), où \(n=0\) désigne l'année de recrutement. On étudie les dix premières années.
\(a_n=1500+50n\). Après 3 ans : \(a_3=1650\), \(b_3=1540\). Après 6 ans : \(a_6=1800\), \(b_6=1810\). Pour les rangs 0 à 5, B reste inférieure à A ; au rang 6, elle la dépasse. La première année est donc l'année 6.
Confondre rang et nombre de termes : de \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n+1\) termes.
Conclure trop vite qu'une suite est arithmétique : comparer plusieurs différences consécutives. Deux différences différentes suffisent pour réfuter.