Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Lucas, technicien chauffagiste chez Énergies Bagnoletaises, suit un immeuble de 24 logements rénové en 2024 (isolation extérieure + remplacement chaudière). La consommation annuelle de gaz avant travaux était de 24 000 kWh. Le bureau d'études prévoit une baisse de 3 % par an pendant 10 ans (effet d'apprentissage des locataires + ajustements progressifs).
Identifier le type de suite \((u_n)\) qui modélise la consommation. Justifier en donnant \(u_0\) et la raison.
Chaque année, la consommation est multipliée par 0,97 (baisse de 3 %). C'est donc une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 24\,000\) kWh et de raison \(q = 0{,}97\).
Donner l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_5\) (arrondir au kWh).
\( u_n = 24\,000 \times 0{,}97^n \).
\( u_1 = 24\,000 \times 0{,}97 = \mathbf{23\,280} \) kWh.
\( u_2 = 24\,000 \times 0{,}97^2 = 24\,000 \times 0{,}9409 \approx \mathbf{22\,582} \) kWh.
\( u_5 = 24\,000 \times 0{,}97^5 \approx 24\,000 \times 0{,}8587 \approx \mathbf{20\,609} \) kWh.
Calculer \(u_{10}\), la consommation prévue au bout de 10 ans.
\( u_{10} = 24\,000 \times 0{,}97^{10} \approx 24\,000 \times 0{,}7374 \approx \mathbf{17\,698} \) kWh.
Soit une baisse cumulée de \(24\,000 - 17\,698 = 6\,302\) kWh par rapport à \(u_0\), ≈ 26 % en 10 ans.
Calculer l'économie annuelle en €, l'année 1 et l'année 10, en utilisant le prix du gaz du document 1.
Économie année 1 (par rapport à 24 000 kWh) : \(24\,000 - 23\,280 = 720\) kWh × 0,12 €/kWh = 86,40 €.
Économie année 10 : \(24\,000 - 17\,698 = 6\,302\) kWh × 0,12 ≈ 756 € sur cette année (vs année 0).
L'effet est cumulatif : chaque année on consomme moins.
Estimer la somme totale des kWh consommés sur 10 ans, et l'économie totale en €.
Donnée : la somme d'une suite géométrique \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_9 = u_0 \times \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q}\). Si cette formule n'est pas connue, on peut additionner les 10 termes à la calculatrice.
Sans rénovation, l'immeuble aurait consommé \(10 \times 24\,000 = 240\,000\) kWh sur 10 ans.
Avec rénovation, somme des \(u_n\) (à la calculatrice ou par formule) ≈ 210 075 kWh.
Économie cumulée : \(240\,000 - 210\,075 = 29\,925\) kWh × 0,12 ≈ 3 591 € sur 10 ans.
Le reste à charge de la rénovation est de 25 000 €. La rénovation est-elle amortie par les économies de gaz au bout de 10 ans ?
Économie cumulée 10 ans : ≈ 3 591 €. C'est très loin des 25 000 € à amortir.
Non, l'amortissement n'est pas atteint sur la seule baisse cumulative. Mais ce calcul ne tient pas compte de l'économie principale : la consommation reste durablement plus basse que les 24 000 kWh d'avant travaux pendant toute la durée de vie de la chaudière (15-20 ans).
Note : l'analyse économique réelle compare la conso AVANT/APRÈS travaux, pas l'évolution post-travaux.
Recalcul plus réaliste : la conso AVANT travaux était de 32 000 kWh (avec ancienne chaudière), et après travaux \(u_0 = 24\,000\) kWh. Calculer l'économie immédiate (1ère année), puis l'amortissement.
Économie immédiate année 1 : \(32\,000 - 23\,280 = 8\,720\) kWh × 0,12 ≈ 1 046 €/an.
Sur 10 ans, en supposant une économie moyenne de 1 000 €/an : ≈ 10 000 €.
Amortissement complet : \(25\,000 / 1\,046 \approx 24\) ans. Cohérent avec la durée de vie de l'investissement.
Rédiger la note de bilan de Lucas pour le syndic de copropriété (5 lignes max).
Bilan rénovation 24 logements — année 0
• Conso initiale après travaux : 24 000 kWh/an (vs 32 000 kWh avant).
• Économie immédiate : ≈ 1 046 €/an (par rapport à la conso AVANT).
• Suite géométrique de raison 0,97 : conso projetée à 17 700 kWh en année 10.
• Reste à charge 25 000 € → amortissement complet ≈ 24 ans (durée de vie chaudière OK).
• Recommandation : poursuivre l'éducation des locataires (gestes économes) pour maintenir la baisse.
Si le prix du gaz augmente de 5 % par an, l'économie annuelle en € augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Si le prix du gaz augmente, l'économie en € est plus importante : on économise les mêmes kWh, mais chaque kWh évité vaut plus cher. C'est une bonne nouvelle pour l'amortissement de la rénovation.
Exemple année 5 avec prix +5 %/an : 0,12 × 1,05^5 ≈ 0,153 €/kWh. Économie : (32 000 − 20 609) × 0,153 ≈ 1 743 €.
📚 Cette activité s'appuie sur §IV (Suites géométriques) et §VI (Applications) de la leçon Ch03.