Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 28 juin 2026
💡 Notions centrales : leçon — suite arithmétique, \(u_n = u_0 + n\,r\), somme \(= \text{nb de termes}\times\dfrac{(\text{premier}+\text{dernier})}{2}\).
Karim, gérant d'un atelier d'agencement, vient d'embaucher et organise mieux la production. Le mois 0 (mois de référence), l'atelier fabrique 15 meubles. Grâce à la montée en cadence, la production augmente de 4 meubles chaque mois.
Justifie que la production mensuelle forme une suite arithmétique et donne sa raison \(r\).
Chaque mois, on ajoute toujours 4 meubles : l'augmentation est constante → suite arithmétique de raison \(r = 4\).
On note \(u_n\) la production au mois \(n\). Écris la relation de récurrence et la valeur de \(u_0\).
\(u_{n+1} = u_n + 4\), avec \(u_0 = 15\).
À l'aide de \(u_n = u_0 + n\,r\), calcule la production prévue au mois 6.
\(u_6 = 15 + 6\times 4 = 15 + 24 = \mathbf{39\ \text{meubles}}\). Cohérent avec le diagramme.
À partir de quel mois la production dépasse-t-elle 50 meubles par mois ?
On résout \(15 + 4n > 50\), soit \(4n > 35\), donc \(n > 8{,}75\). Le premier mois entier est \(n = 9\) : \(u_9 = 15 + 36 = \mathbf{51 > 50}\). C'est au mois 9.
Calcule la production cumulée sur les 7 premiers mois (rangs 0 à 6), avec \(S = \text{nb de termes}\times\dfrac{(\text{premier}+\text{dernier})}{2}\).
7 termes (mois 0 à 6), premier \(=15\), dernier \(=39\) : \(S = 7\times\dfrac{15+39}{2} = 7\times 27 = \mathbf{189\ \text{meubles}}\).
Si l'atelier était resté à 15 meubles/mois (sans montée en cadence), combien aurait-il produit sur ces 7 mois ? Quel est le gain dû à la montée en cadence ?
Production constante : \(15\times 7 = 105\) meubles. Gain : \(189 - 105 = \mathbf{84\ \text{meubles}}\) de plus grâce à la montée en cadence.
Un meuble nécessite en moyenne 6 h de travail. Pour le mois 6 (39 meubles), combien d'heures faut-il ? Est-ce réaliste pour 3 ouvriers travaillant 150 h/mois chacun ?
\(39\times 6 = \mathbf{234\ \text{h}}\). Trois ouvriers fournissent \(3\times 150 = 450\) h/mois : c'est donc réalisable (234 h < 450 h), avec de la marge.
Rédige 2 à 3 phrases pour Karim : production au mois 6, mois où l'on dépasse 50 meubles, et total produit sur les 7 premiers mois.
Exemple : « La production suit une suite arithmétique (+4 meubles/mois à partir de 15). Au mois 6, l'atelier fabrique 39 meubles ; il dépasse 50 meubles/mois au mois 9. Sur les 7 premiers mois, il aura produit 189 meubles au total. »
\(u_{11} = 15 + 11\times 4 = 59\). \(S = 12\times\dfrac{15+59}{2} = 12\times 37 = \mathbf{444\ \text{meubles}}\) sur l'année.
Réponse à la problématique : le terme général \(u_n = u_0 + n\,r\) donne la production d'un mois, et la somme d'une suite arithmétique donne la production cumulée sur plusieurs mois.
📚 Cette activité s'appuie sur la suite arithmétique (terme général et somme) de la leçon Ch03.
Source : montée en cadence d'un atelier d'agencement. Valeurs choisies pour une suite arithmétique simple (programme de Première Bac Pro).