Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 28 juin 2026
💡 Notions centrales : leçon — suite arithmétique, terme général \(u_n = u_0 + n\,r\), somme \(= \text{nb de termes}\times\dfrac{(\text{premier}+\text{dernier})}{2}\).
Léa, menuisière-agenceuse à « Bois & Agencement » (Lyon), fabrique une bibliothèque design dont les tablettes sont de plus en plus courtes vers le haut (effet « escalier »). La tablette du bas mesure 110 cm et chaque tablette au-dessus est 12 cm plus courte que celle juste en dessous. La bibliothèque compte 6 tablettes.
Les longueurs des tablettes sont 110 ; 98 ; 86 ; … Justifie que ces longueurs forment une suite arithmétique et donne sa raison \(r\).
On passe d'une tablette à la suivante en retirant toujours 12 cm : la différence est constante, c'est une suite arithmétique de raison \(r = -12\) (cm).
On note \(u_n\) la longueur de la tablette de rang \(n\). Écris la relation de récurrence et la valeur de \(u_0\).
\(u_{n+1} = u_n - 12\), avec \(u_0 = 110\).
À l'aide du terme général \(u_n = u_0 + n\,r\), calcule la longueur de la tablette du haut (rang 5).
\(u_5 = u_0 + 5r = 110 + 5\times(-12) = 110 - 60 = \mathbf{50\ \text{cm}}\). Cohérent avec le schéma.
Toutes les tablettes ont-elles une longueur réalisable (strictement positive) ? Justifie en regardant la plus courte.
La plus courte est la tablette du haut : \(u_5 = 50\) cm \(> 0\). Toutes les tablettes sont donc réalisables.
Calcule la longueur totale de bois nécessaire (somme des 6 longueurs), avec \(S = \text{nb de termes}\times\dfrac{(\text{premier}+\text{dernier})}{2}\).
\(S = 6\times\dfrac{110+50}{2} = 6\times 80 = \mathbf{480\ \text{cm}} = 4{,}80\ \text{m}\).
Le bois est vendu en planches de 2,50 m. Combien de planches Léa doit-elle commander au minimum ? (Vérifie d'abord qu'aucune tablette ne dépasse 2,50 m.)
La plus longue tablette (110 cm) tient dans une planche de 250 cm. Il faut 4,80 m au total : une planche (2,50 m) ne suffit pas, 2 planches (5,00 m) suffisent (avec un peu de chute). Réponse : 2 planches.
Léa envisage le même modèle avec 8 tablettes (rangs 0 à 7). Calcule la longueur de la tablette du haut, puis la longueur totale de bois.
\(u_7 = 110 + 7\times(-12) = 110 - 84 = \mathbf{26\ \text{cm}}\) (toujours > 0).
Total : \(S = 8\times\dfrac{110+26}{2} = 8\times 68 = \mathbf{544\ \text{cm}} = 5{,}44\ \text{m}\).
Rédige 2 à 3 phrases pour la fiche de débit de l'atelier (modèle à 6 tablettes) : longueurs extrêmes, longueur totale et nombre de planches.
Exemple : « La bibliothèque comporte 6 tablettes de 110 cm (bas) à 50 cm (haut), en suite arithmétique de raison −12 cm. La longueur totale de bois est de 4,80 m, soit 2 planches de 2,50 m à commander. »
On cherche \(u_n = 110 - 12n > 0\), soit \(n < \dfrac{110}{12} \approx 9{,}2\). Au rang 9 : \(u_9 = 110 - 108 = 2\) cm (> 0) ; au rang 10 : \(110 - 120 = -10\) cm (impossible). On peut donc faire au maximum 10 tablettes (rangs 0 à 9).
Réponse à la problématique : les longueurs forment une suite arithmétique ; leur somme donne directement la longueur de bois à commander (4,80 m, soit 2 planches).
📚 Cette activité s'appuie sur la suite arithmétique (terme général et somme) de la leçon Ch03.
Source : situation de débit en agencement/menuiserie. Longueurs choisies pour une suite arithmétique simple (programme de Première Bac Pro).