Chapitre 1 – Exercices

a.

\[\bar{x} = \frac{200+350+500+180+420+600+280+450}{8} = \frac{2980}{8} = 372{,}5\] \[\bar{y} = \frac{32+55+82+30+68+95+44+73}{8} = \frac{479}{8} = 59{,}875\]

\(G(372{,}5\,;\,59{,}9)\)

b. Les points sont bien alignés. L'ajustement affine paraît très pertinent.

c. \(R^2 = 0{,}998\) : ajustement excellent. Le modèle affine utilisant la surface explique 99,8 % de la variation de consommation observée. Le coefficient 0,16 signifie que, dans ce modèle, un m² supplémentaire est associé à environ 0,16 MWh de chauffage par an en plus.

d. \(y = 0{,}16 \times 1000 + 0{,}25 = 160{,}25\) MWh. C'est une extrapolation (1 000 > 600 = max des données). Le résultat est à prendre avec précaution : un très grand bâtiment peut avoir une meilleure isolation ou un comportement thermique différent.

e. Valeur prédite : \(y = 0{,}16 \times 180 + 0{,}25 = 29{,}05\) MWh. Le bâtiment D consomme 30 MWh, soit légèrement plus que prévu (+0,95 MWh). Ce résidu signale un écart au modèle, mais ne permet pas à lui seul de diagnostiquer l'isolation : usage, météo ou rendement des équipements peuvent aussi intervenir.

a.

\[\bar{x} = \frac{5+8+12+15+20+25+30+35}{8} = \frac{150}{8} = 18{,}75\] \[\bar{y} = \frac{8+14+20+24+32+38+46+54}{8} = \frac{236}{8} = 29{,}5\]

\(G(18{,}75\,;\,29{,}5)\)

b. Le coefficient 1,52 signifie que pour chaque millier d'euros supplémentaire de budget, la surface aménagée augmente d'environ 1,52 m².

c. \(y = 1{,}52 \times 18 + 0{,}5 = 27{,}36 + 0{,}5 = 27{,}9\) m². Interpolation fiable.

d. On résout \(40 = 1{,}52x + 0{,}5\) :

\[1{,}52x = 39{,}5 \implies x = \frac{39{,}5}{1{,}52} \approx 26{,}0 \text{ k€}\]

Le client doit prévoir un budget d'environ 26 000 €.

a. Les séries 1 et 3 ont un ajustement pertinent (\(R^2 > 0{,}90\)).

b. Pour la série 2, \(R^2 = 0{,}62 < 0{,}70\) : l'ajustement affine est mauvais. Les données ne suivent probablement pas une tendance linéaire. Il faudrait envisager un autre type de modèle ou vérifier s'il y a des valeurs aberrantes.

c. Le coefficient directeur positif (\(a = 2{,}5\)) signifie que \(y\) augmente quand \(x\) augmente : la corrélation est positive. Plus précisément, quand \(x\) augmente de 1 unité, \(y\) augmente de 2,5 unités en moyenne.

1. La régression linéaire de \(y\) en \(x\) donne :

\[\mathbf{y = 34x + 480} \qquad R^2 \approx \mathbf{0{,}995}\]

Comme \(R^2 \geqslant 0{,}90\), l'ajustement affine est de très bonne qualité. Vérification par le point moyen : \(\bar{x} = \dfrac{80+120+160+200+240+280}{6} = \dfrac{1\,080}{6} = 180\) m³ et \(\bar{y} = \dfrac{39\,600}{6} = 6\,600\) € ; or

\[34 \times 180 + 480 = 6\,120 + 480 = \mathbf{6\,600} \text{ €}\]

La droite passe bien par \(G(180\,;\,6\,600)\). Interprétation : dans le modèle, un mètre cube supplémentaire est associé à environ 34 € de plus. Les 480 € sont le coût estimé pour un volume nul, hors de la plage [80 ; 280] : ils peuvent évoquer des frais fixes, mais leur nature ne peut pas être déduite de cette régression seule.

2. On cherche \(x\) tel que le coût atteigne le budget :

\[34x + 480 = 12\,000 \quad \Longleftrightarrow \quad 34x = 11\,520 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{11\,520}{34} \approx 338{,}8\]

Le volume doit rester inférieur à 338,8 m³ : le budget permet d'excaver au plus \(\mathbf{338}\) m³. On vérifie que 339 m³ serait déjà trop : \(34 \times 339 + 480 = 12\,006\) € \(\gt\) 12 000 €, alors que \(34 \times 338 + 480 = 11\,972\) € convient.

3. Coût estimé pour 360 m³ :

\[y = 34 \times 360 + 480 = 12\,240 + 480 = \mathbf{12\,720} \text{ €}\]

Le modèle prévoit un dépassement de 720 € (soit 6 % environ). Fiabilité : 360 m³ est en dehors de la plage observée [80 ; 280], c'est une extrapolation. Elle reste proche de la plage, mais rien ne garantit que le prix au mètre cube reste le même sur un chantier plus gros (terrain différent, évacuation plus lointaine, remise sur le volume). La conclusion prudente est : le budget paraît insuffisant selon ce modèle ; il faut obtenir un devis avant de fixer la rallonge ou le volume réalisable.

1. La régression linéaire de \(y\) en \(x\) donne :

\[\mathbf{y = 0{,}6x + 3} \qquad R^2 \approx \mathbf{0{,}955}\]

Comme \(R^2 \geqslant 0{,}90\), l'ajustement affine est de bonne qualité. Vérification : \(\bar{x} = \dfrac{630}{7} = 90\) DJU, \(\bar{y} = \dfrac{399}{7} = 57\) t, et \(0{,}6 \times 90 + 3 = 54 + 3 = 57\) ✓.

2. \(a = 0{,}6\) : dans ce modèle, un degré-jour supplémentaire dans la semaine est associé en moyenne à 0,6 tonne de plaquettes en plus. \(b = 3\) est la consommation prévue pour une rigueur nulle. Comme 0 est hors de la plage observée [60 ; 120], les données ne suffisent pas à l'interpréter comme une consommation de base ni à en identifier les causes.

3. Estimation de la consommation pour \(x = 150\) DJU :

\[y = 0{,}6 \times 150 + 3 = 90 + 3 = \mathbf{93} \text{ t}\]

Le modèle prévoit donc une consommation supérieure de 3 tonnes à la capacité du silo.

Fiabilité : 150 DJU est en dehors de la plage observée [60 ; 120], c'est une extrapolation. L'estimation de 93 t est en outre très proche des 90 t disponibles : sans intervalle d'incertitude, la régression ne prouve pas que la consommation dépassera exactement la capacité. Sur le plan opérationnel, l'absence de marge justifie toutefois de sécuriser un réapprovisionnement ou une solution de secours, après confirmation de la prévision météo et des conditions de livraison.

1. La régression linéaire de \(y\) en \(x\) donne :

\[\mathbf{y = 1{,}1x + 2} \qquad R^2 \approx \mathbf{0{,}998}\]

Comme \(R^2 \geqslant 0{,}90\), l'ajustement affine est excellent : 99,8 % de la variation de la production observée est expliquée par le modèle utilisant la puissance installée. Vérification par le point moyen : \(\bar{x} = \dfrac{420}{6} = 70\) kWc, \(\bar{y} = \dfrac{474}{6} = 79\) MWh et \(1{,}1 \times 70 + 2 = 77 + 2 = 79\) ✓. Interprétation : dans cette série, 1 kWc supplémentaire est associé en moyenne à 1,1 MWh annuel supplémentaire.

2. On résout l'équation \(1{,}1x + 2 = 250\) :

\[1{,}1x = 248 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{248}{1{,}1} \approx 225{,}5\]

Il faut donc installer au moins \(\mathbf{226}\) kWc (avec 225 kWc, le modèle ne donne que \(1{,}1 \times 225 + 2 = 249{,}5\) MWh, soit un peu moins que l'objectif).

3. Le patrimoine communal ne permet que 190 kWc, or il en faudrait 226 : l'objectif n'est pas atteignable sur les seules toitures communales. Production estimée avec la totalité des toitures :

\[y = 1{,}1 \times 190 + 2 = 209 + 2 = \mathbf{211} \text{ MWh}\]

Le modèle donne un manque de \(250 - 211 = \mathbf{39}\) MWh, soit environ 16 % de l'objectif. Réserve essentielle : 190 kWc est hors de la plage observée [20 ; 120], c'est une extrapolation. L'exposition et les caractéristiques des toitures restantes pourraient rendre la production réelle supérieure ou inférieure à cette estimation ; les données ne permettent pas de choisir un sens. Le scénario affine indique donc que l'objectif paraît hors d'atteinte sur les seules toitures communales, à confirmer par l'étude technique des sites restants.

1. La régression linéaire de \(y\) en \(x\) donne :

\[\mathbf{y = 0{,}45x + 6} \qquad R^2 \approx \mathbf{0{,}997}\]

2. Affirmation A — fausse. Un \(R^2\) proche de 1 signifie que les points sont proches de la droite, pas qu'ils sont dessus. Contre-exemple : pour \(x = 20\), la droite donne \(0{,}45 \times 20 + 6 = 9 + 6 = \mathbf{15}\) h, alors que le relevé vaut 16 h : l'écart est de 1 h. En calculant les six écarts on trouve \(+1\), \(-1\), \(0\), \(0\), \(-1\), \(+1\) heure : quatre points sur six ne sont pas sur la droite. Formulation juste : « l'ajustement est excellent, les six points sont très proches de la droite ».

Affirmation B — fausse. L'apprenti a oublié l'ordonnée à l'origine. Le modèle est \(y = 0{,}45x + 6\), donc :

\[y = 0{,}45 \times 100 + 6 = 45 + 6 = \mathbf{51} \text{ h}\]

Le terme \(b = 6\) h est le temps prévu par la droite pour zéro pièce. Comme zéro est hors de la plage observée [20 ; 120], l'interpréter comme un temps fixe de réglage ou de nettoyage serait plausible, mais demanderait une information de production supplémentaire. Le coefficient 0,45 h/pièce ne décrit que la variation prévue par pièce, il ne suffit pas à lui seul pour calculer le total du modèle.

Affirmation C — le calcul est juste, la conclusion ne l'est pas. On a bien \(0{,}45 \times 500 + 6 = 225 + 6 = 231\) h, mais 500 pièces est très en dehors de la plage observée [20 ; 120] : c'est une extrapolation risquée. Sur une série quatre fois plus grande que la plus grande observée, rien ne garantit que le rythme se maintienne (usure des outils, changements d'équipe, fatigue, réapprovisionnement en panneaux). De plus « c'est le temps qu'il faudra » transforme une estimation en certitude. Formulation juste : « le modèle donne un ordre de grandeur d'environ 230 h, à confirmer par un essai sur une série intermédiaire ».

1. La régression linéaire de \(y\) en \(x\) donne :

\[\mathbf{y = 9x + 20} \qquad R^2 \approx \mathbf{0{,}979}\]

Comme \(R^2 \geqslant 0{,}90\), l'ajustement affine est de très bonne qualité : la corrélation entre les deux variables est forte et positive. Le coefficient directeur \(a = 9\) signifie que 100 emprunts supplémentaires dans le mois (une unité de \(x\)) s'accompagnent en moyenne de 9 consultations de plus.

2. Non, le titre est abusif. Rédaction attendue, appuyée sur les arguments suivants :

• Corrélation n'est pas causalité. Un \(R^2\) proche de 1 dit seulement que les points sont alignés, donc que les deux grandeurs varient ensemble. Il ne dit rien sur un mécanisme de cause à effet, et aucun calcul statistique ne pourra jamais l'établir à lui seul.

• Il existe un facteur caché évident : la saison. En hiver, les jours sont courts et froids : on emprunte davantage de livres et la grippe circule. C'est la saison qui fait monter les deux variables en même temps, ce qui suffit à créer la corrélation observée sans aucun lien direct entre elles.

• Le sens du lien n'est pas établi. Même s'il y avait causalité, rien dans le calcul ne dit laquelle des deux variables serait la cause : avec exactement les mêmes données, on pourrait titrer « la grippe fait lire » (rester chez soi malade donne le temps de lire), ce qui est d'ailleurs plus vraisemblable.

• Les données ne portent pas sur les mêmes personnes. Ce sont deux totaux à l'échelle de la commune : rien ne dit que les emprunteurs sont les malades. Ajoutons que huit mois de relevés forment un échantillon minuscule, et que la formule « la corrélation atteint 98 % » confond \(R^2\) avec un pourcentage de certitude : \(R^2 = 0{,}98\) signifie que 98 % de la variation de \(y\) est expliquée par le modèle affine, pas que la thèse du journal a 98 % de chances d'être vraie.

• Comment tester sérieusement : il faudrait comparer, au cours du même mois, le taux de grippe chez des emprunteurs et chez des non-emprunteurs de profils comparables (âge, profession, mode de garde des enfants). Si les deux taux sont identiques, l'hypothèse du journal tombe. On peut aussi refaire l'étude en neutralisant la saison, par exemple en comparant les mois d'hiver entre eux.

Variantes acceptées : toute réponse rédigée qui refuse la conclusion et développe au moins trois arguments parmi ceux ci-dessus (ou d'autres facteurs cachés pertinents : vacances scolaires, épisode de pollution, campagne de communication de la mairie) est valable. Une réponse qui se contente de « corrélation n'est pas causalité » sans nommer de facteur caché reste incomplète.

1. On place les sept points \((20\,;\,24)\), \((30\,;\,15)\), \((40\,;\,17)\), \((50\,;\,22)\), \((60\,;\,26)\), \((70\,;\,29)\) et \((80\,;\,35)\). Six d'entre eux montent régulièrement le long d'une droite. Le point de la façade A \((20\,;\,24)\) est nettement à l'écart : c'est la plus petite surface, mais le deuxième temps le plus long — il est très au-dessus des autres.

2. Sur les sept façades :

\[y = 0{,}25x + 11{,}5 \qquad R^2 \approx 0{,}616\]

Sur les six façades sans A :

\[y = 0{,}4x + 2 \qquad R^2 \approx 0{,}986\]

Comparaison : le coefficient directeur passe de 0,25 à 0,4 h/m² (soit +60 %), l'ordonnée à l'origine s'effondre de 11,5 h à 2 h, et \(R^2\) passe de 0,616 — mauvais ajustement puisque \(R^2 \lt 0{,}70\) — à 0,986, très bon ajustement. Un seul point sur sept suffit donc à rendre le modèle inutilisable. C'est d'autant plus marqué que la façade A se situe à une extrémité de la plage des surfaces : la droite des moindres carrés passe par le point moyen et cherche à minimiser les écarts ; un point isolé et éloigné du centre la fait basculer comme un levier.

3. Oui, on peut écarter la façade A — à condition de le signaler. La justification n'est pas statistique mais matérielle : la fiche de chantier identifie une cause documentée (dépose d'enseigne, reprise de fissures) qui n'est pas du travail d'enduit. Les 24 h relevées mélangent deux chantiers différents : elles ne mesurent pas ce que l'on cherche à modéliser, c'est-à-dire le temps d'enduit en fonction de la surface. La série des six autres façades est homogène et donne un ajustement de bonne qualité : c'est elle qu'il faut retenir pour chiffrer les futurs devis.

Le compte rendu doit préciser le retrait. Le modèle sans A prévoit \(0{,}4 \times 20 + 2 = \mathbf{10}\) h pour une façade ordinaire de 20 m², soit un résidu de 14 h pour A. Ce résidu mesure l'écart au modèle : il est cohérent avec les travaux préparatoires signalés, mais la régression ne permet pas de leur attribuer exactement 14 h ni de fixer seule leur facturation.

À retenir : écarter un point n'est jamais automatique. On n'écarte jamais une valeur parce qu'elle gêne le calcul, mais uniquement parce qu'une cause extérieure identifiée montre qu'elle ne relève pas du phénomène étudié. Sans cette cause, on garde le point.

1. Sur les six premiers relevés :

\[y = 0{,}35x + 1{,}2 \qquad R^2 \approx 0{,}982\]

Sur les sept relevés :

\[y = 0{,}65x + 0{,}4 \qquad R^2 \approx 0{,}736\]

Le coefficient directeur est presque doublé (de 0,35 à 0,65 mm/s pour 1 000 h) et l'ajustement passe de très bon (\(R^2 \geqslant 0{,}90\)) à moyen (\(0{,}70 \leqslant R^2 \lt 0{,}90\)). Le dernier relevé, situé à l'extrémité de la plage, tire fortement la droite vers le haut.

2. On résout \(0{,}35x + 1{,}2 = 4{,}5\) :

\[0{,}35x = 3{,}3 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{3{,}3}{0{,}35} \approx 9{,}43\]

Le seuil serait atteint vers \(x \approx 9{,}4\), soit environ 9 400 heures de fonctionnement.

3. Non : il ne faut pas écarter ce relevé, et surtout pas pour ce motif. Rédaction attendue :

• « Faire chuter le \(R^2\) » n'est pas une raison. Le coefficient de détermination mesure la qualité de l'ajustement affine, pas la validité d'une mesure. Retirer les points qui dérangent revient à décider du résultat avant de faire l'étude.

• Un relevé ne peut être écarté que si une cause matérielle est identifiée (capteur mal fixé, mesure faite moteur froid, erreur de saisie). Ici, aucune anomalie de ce type n'est signalée.

• Surtout, la valeur mesurée 6,45 mm/s dépasse déjà le seuil d'alarme de 4,5 mm/s. Ce n'est pas un point gênant : c'est un signal compatible avec une anomalie du roulement ou de la chaîne de mesure, sans permettre à lui seul d'en diagnostiquer la nature exacte. L'écarter sans contrôle reviendrait à supprimer l'alarme.

• Décision : refaire immédiatement la mesure en contrôlant la fixation du capteur et les conditions d'essai. Si elle se confirme, déclencher l'alarme et planifier le remplacement du roulement sans attendre les 9 400 h annoncées par le modèle : cette prévision suppose une usure régulière, hypothèse que le septième relevé contredit précisément.

• On peut conserver les deux ajustements dans le rapport, à condition de dire ce que chacun décrit : le modèle sur six points décrit l'usure normale, et le septième point signale qu'on en est sorti.

Variante acceptée : une réponse qui accepte de retirer provisoirement le point est valable uniquement si elle conditionne ce retrait à une contre-mesure préalable montrant un défaut du capteur, et si elle prévoit de le réintégrer sinon.

1. Sur les huit semaines :

\[y = -0{,}5x + 320 \qquad R^2 \approx 0{,}314\]

Sur les sept premières semaines :

\[y = -x + 330 \qquad R^2 \approx 0{,}936\]

La semaine 8 divise le coefficient directeur par deux et fait chuter \(R^2\) de 0,936 (bon ajustement) à 0,314 (mauvais ajustement, \(R^2 \lt 0{,}70\)). Le modèle retenu est celui des sept premières semaines : \(a = -1\) signifie qu'en moyenne, un kilomètre hebdomadaire d'entraînement en plus correspond à une seconde de moins sur le 400 m.

2. On retient le modèle sur sept semaines. Estimation pour \(x = 38\) km :

\[y = -38 + 330 = \mathbf{292} \text{ s} = \mathbf{4}\ \textbf{min}\ \mathbf{52}\ \textbf{s}\]

Justification du choix : la semaine 8 a une cause connue et étrangère à ce que l'on étudie — le chrono a été nagé sans récupération après une compétition, il mesure la fatigue et non l'effet du volume d'entraînement. De plus, c'est le point de plus grand volume (45 km), donc le plus éloigné du centre du nuage : il pèse très lourd sur la droite des moindres carrés. Le modèle à huit points donnerait \(-0{,}5 \times 38 + 320 = 301\) s, mais avec \(R^2 \approx 0{,}31\) il est inexploitable.

L'estimation de 292 s est une interpolation (38 est dans la plage [10 ; 40]) et l'ajustement est bon : elle est plus crédible que celle du modèle à huit points, mais reste une estimation. Les semaines se succèdent pour un même nageur : progression dans le temps, récupération et autres facteurs peuvent aussi agir. Il faut en outre se garder d'extrapoler : la droite prévoirait un chrono nul pour 330 km hebdomadaires, ce qui est absurde.

Variante acceptée : conserver les huit semaines mais refaire un chrono en semaine 9 dans des conditions normales, afin de remplacer la mesure douteuse plutôt que de la supprimer.

1. Comme \(R^2 \approx 0{,}606 \lt 0{,}70\), l'ajustement unique est mauvais : il ne doit pas être utilisé. L'erreur n'est pas que la relation ne serait pas affine — elle l'est très bien à l'intérieur de chaque période. Le problème vient de ce que le stagiaire a mélangé deux situations différentes dans une seule série : le même appartement, mais avant et après isolation, c'est-à-dire deux bâtiments thermiquement différents. Le nuage se présente en deux bandes parallèles décalées, et la droite unique passe entre les deux sans coller à aucune.

2. Avant travaux :

\[y = 42x + 60 \qquad R^2 \approx 0{,}998\]

Après travaux :

\[y = 26x + 40 \qquad R^2 \approx 0{,}998\]

Les deux ajustements sont excellents (\(R^2 \geqslant 0{,}90\)) — bien meilleurs que l'ajustement unique.

3. Il faut retenir deux modèles, un par période. Le coefficient directeur passe de 42 à 26 kWh/°C : chaque degré d'écart de température coûte désormais 16 kWh de moins par mois, soit une baisse de la sensibilité au froid de

\[\frac{42 - 26}{42} = \frac{16}{42} \approx 0{,}381 = \mathbf{38\ \%}\]

Cette baisse est associée aux travaux d'isolation dans le protocole avant/après ; elle quantifie la différence observée entre les deux périodes, sans isoler d'éventuels autres changements. Économie estimée pour \(x = 10\) °C :

\[y_{\text{avant}} = 42 \times 10 + 60 = \mathbf{480} \text{ kWh} \qquad y_{\text{après}} = 26 \times 10 + 40 = \mathbf{300} \text{ kWh}\] \[480 - 300 = \mathbf{180} \text{ kWh économisés sur le mois}\]

soit \(\dfrac{180}{480} = 0{,}375 = \mathbf{37{,}5\ \%}\) de la consommation d'avant travaux. L'ordonnée à l'origine baisse aussi de 60 à 40 kWh, mais \(x=0\) est hors de la plage observée [4 ; 12] : cette différence ne permet pas, à elle seule, d'identifier des pertes indépendantes de la température extérieure.

1. La régression linéaire de \(y\) en \(x\) donne :

\[\mathbf{y = 0{,}041x + 0{,}5} \qquad R^2 \approx \mathbf{0{,}9999}\]

\(R^2\) est pratiquement égal à 1 : l'étalonnage est excellent, la réponse du capteur est très bien décrite par un modèle affine sur l'intervalle [100 ; 600] °C. Vérification : \(\bar{x} = 350\) °C, \(\bar{y} = \dfrac{89{,}1}{6} = 14{,}85\) mV et \(0{,}041 \times 350 + 0{,}5 = 14{,}35 + 0{,}5 = 14{,}85\) ✓.

2. La sensibilité est le coefficient directeur, exprimé en volts par degré. Comme \(1\) mV \(= 1\,000\) µV :

\[a = 0{,}041 \text{ mV/°C} = 0{,}041 \times 1\,000 = \mathbf{41} \text{ µV/°C}\]

Tolérance annoncée : \(40 \times 0{,}02 = 0{,}8\) µV/°C, soit l'intervalle \([39{,}2\,;\,40{,}8]\) µV/°C. Or \(41 \gt 40{,}8\) : le capteur n'est pas conforme. L'écart relatif vaut

\[\frac{41 - 40}{40} = 0{,}025 = \mathbf{2{,}5\ \%} \gt 2\ \%\]

Il faut soit renvoyer le capteur, soit — c'est l'usage en métrologie — conserver ce capteur mais enregistrer dans l'appareil de mesure la loi d'étalonnage réellement obtenue au lieu de la loi théorique du constructeur.

3. On résout \(0{,}041x + 0{,}5 = 18{,}0\) :

\[0{,}041x = 17{,}5 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{17{,}5}{0{,}041} \approx 426{,}8\]

La température du four est d'environ \(\mathbf{427}\) °C. C'est une interpolation (427 appartient à [100 ; 600]) : l'estimation est fiable.

4. \(b = 0{,}5\) mV est la tension que donnerait le capteur pour une température nulle : elle n'est pas nulle, ce qui est normal. Un thermocouple ne mesure pas une température absolue mais une différence entre sa soudure chaude et sa soudure de référence ; s'y ajoute le décalage propre de la chaîne de mesure (offset de l'amplificateur). Si on l'oublie et qu'on utilise simplement \(y = 0{,}041x\), toutes les températures sont faussées de

\[\frac{0{,}5}{0{,}041} \approx \mathbf{12} \text{ °C}\]

ce qui est loin d'être négligeable pour un traitement thermique.

Rédaction attendue.

Étape 1 — l'avancement est-il régulier ? Un ajustement affine de \(y\) en \(x\) à l'outil numérique donne :

\[\mathbf{y = 58x + 15} \qquad R^2 \approx \mathbf{0{,}998}\]

Comme \(R^2 \geqslant 0{,}90\), l'ajustement est excellent : l'avancement est très régulier, le modèle affine est légitime.

Étape 2 — interprétation. \(a = 58\) : l'équipe coule en moyenne 58 m² de dalle par jour.

Étape 3 — prévision au 30^e jour.

\[y = 58 \times 30 + 15 = 1\,740 + 15 = \mathbf{1\,755} \text{ m²}\]

Étape 4 — comparaison à l'objectif. \(1\,755 \lt 1\,800\) : il manquerait 45 m², soit \(45 \div 58 \approx 0{,}8\) journée de production, et 2,5 % de l'objectif.

Étape 5 — conclusion. Non : au rythme actuel, l'objectif n'est pas tenu, le conducteur de travaux ne peut pas s'engager en l'état. Deux réserves renforcent cette prudence. D'abord, le 30^e jour est en dehors de la plage observée [5 ; 25] : c'est une extrapolation. Elle reste proche, donc raisonnable, mais rien ne garantit que le rythme se maintienne (météo, approvisionnement en béton, zones de fin de dalle plus complexes autour des poteaux). Ensuite, l'écart n'est que de 2,5 % : la prévision est bien trop serrée pour signer un engagement ferme. Le conducteur de travaux ne peut s'engager que s'il obtient un moyen de gagner l'équivalent d'une journée : une journée de coulage supplémentaire, un renfort d'équipe ou une toupie de plus par jour.

Ce qui est accepté comme variante :

• Une réponse « non » appuyée sur la seule comparaison \(1\,755 \lt 1\,800\) est acceptée à condition que la qualité de l'ajustement soit justifiée par \(R^2\) et que le caractère extrapolé de la prévision soit signalé.

• Une réponse « oui, à condition d'accélérer » est acceptée si elle chiffre le rythme nécessaire : il faudrait \(\dfrac{1\,800 - 15}{30} = 59{,}5\) m²/jour, soit 1,5 m²/jour de plus qu'aujourd'hui.

• Une réponse fondée sur un rythme moyen estimé sans régression (par exemple \(1\,465 \div 25 = 58{,}6\) m²/jour) est acceptée si elle aboutit à la même comparaison et si elle discute la fiabilité ; elle est en revanche moins précise que l'ajustement sur les données observées. Le terme \(b\) est ici une ordonnée à l'origine mathématique, pas nécessairement un temps de mise en route mesuré.

• N'est pas acceptée une réponse qui conclut « oui » sans calcul, ou qui affirme la prévision comme une certitude.

Rédaction attendue.

Étape 1 — modéliser le temps d'usinage. Un ajustement affine de \(y\) en \(x\) à l'outil numérique donne :

\[\mathbf{y = 0{,}3x + 10} \qquad R^2 \approx \mathbf{0{,}989}\]

Comme \(R^2 \geqslant 0{,}90\), l'ajustement est de bonne qualité et le modèle est utilisable sur la plage étudiée. Interprétation : dans le modèle, chaque centimètre de longueur supplémentaire est associé à 0,3 min d'usinage en plus. Les 10 min sont l'ordonnée à l'origine extrapolée à 0 cm ; elles entrent bien dans les prévisions du modèle, sans pouvoir être attribuées précisément au réglage ou à la manutention à partir de ces seules données.

Étape 2 — temps d'un plan de 240 cm.

\[y = 0{,}3 \times 240 + 10 = 72 + 10 = \mathbf{82} \text{ min}\]

240 cm appartient à la plage observée [120 ; 270] : c'est une interpolation, l'estimation est fiable.

Étape 3 — temps total de la commande.

\[45 \times 82 = 3\,690 \text{ min} = \frac{3\,690}{60} = \mathbf{61{,}5} \text{ h}\]

Étape 4 — capacité disponible.

\[6 \times 9 = \mathbf{54} \text{ h de machine}\]

Étape 5 — conclusion. \(61{,}5 \gt 54\) : non, l'atelier ne peut pas honorer la commande en l'état. Il manque 7,5 h de machine, soit un peu plus d'une journée. Avec les 54 h disponibles, on ne réalise que \(3\,240 \div 82 \approx 39{,}5\), c'est-à-dire 39 plans : six plans resteraient à produire.

Trois issues possibles, à chiffrer : ajouter environ 50 min de machine par jour pendant les 9 jours (\(7{,}5 \times 60 \div 9 \approx 50\) min), négocier un délai de 11 jours (\(61{,}5 \div 6 = 10{,}25\), donc 11 jours ouvrés), ou sous-traiter les six plans manquants.

Réserve à signaler : le modèle ne chiffre que l'usinage sur cette machine. Il ne tient compte ni des pannes, ni du conditionnement, ni des autres commandes déjà planifiées sur le même poste. La marge étant déjà négative, la réponse prudente est bien « non ».

Ce qui est accepté comme variante :

• Une réponse « non » fondée sur la seule comparaison 61,5 h contre 54 h est acceptée si le temps unitaire de 82 min est justifié par l'ajustement (et non lu approximativement dans le tableau).

• Une réponse « oui, en heures supplémentaires » est acceptée si le volume d'heures manquantes est chiffré (7,5 h) et réparti sur les jours restants.

• N'est pas acceptée une réponse qui prend 80 min par plan en lisant directement la ligne du tableau sans discuter le choix entre valeur observée et estimation, ni une réponse qui omet l'ordonnée à l'origine de la formule et conclut à \(45 \times 72 = 3\,240\) min \(= 54\) h : \(0{,}3x\) seul n'est pas le modèle ajusté.