Devoir Surveillé – Chapitre 1

Statistique à deux variables | 1^ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 14 août 2026, 23:35

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Représenter un nuage de points associé à une série statistique à deux variables
Déterminer un ajustement affine à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur
Utiliser le coefficient de détermination \(R^2\) pour évaluer la qualité d'un ajustement
Réaliser des interpolations et extrapolations
Comprendre que corrélation n'implique pas causalité

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Nuage de points et droite d'ajustement

Socle

Exercice 1 – Surface et prix de chantier 8 points

Nuage de points et droite d'ajustement

Un menuisier agenceur propose des chantiers de pose de parquet. On relève la surface posée \(x\) (en m²) et le prix facturé \(y\) (en euros) pour 5 chantiers.

Surface \(x\) (m²)	10	20	30	40	50
Prix \(y\) (€)	500	900	1 300	1 700	2 100

1. APP Identifier la variable explicative et la variable expliquée en complétant : (1 pt)

Aide : La variable explicative est celle qui « explique » l'autre. Pour la trouver, demandez-vous laquelle des deux grandeurs dépend de l'autre : laquelle est fixée par le client, laquelle en découle ?

Variable explicative : \(x\) = ........................ Variable expliquée : \(y\) = ........................

2. REA Placer les 5 points dans le repère ci-dessous. (2 pts)

Aide : Le premier point est \((10\;;\;500)\). Repérer 10 sur l'axe horizontal et 500 sur l'axe vertical.

Repère à compléter : placer les 5 points, puis le point \(G\) (question 5) et la droite (exercice 2).

3. ANA Les points semblent-ils alignés ? Si oui, quand la surface augmente, que fait le prix ? (2 pts)

Aide : Regardez le nuage que vous venez de tracer : pourriez-vous poser une règle qui passe tout près des 5 points ? Observez ensuite le sens de lecture, de gauche à droite.

4. REA Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\). (2 pts)

Étape 1 : Calculer \(\bar{x}\) :

\(\bar{x} = \dfrac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = \dfrac{.......}{5} = .......\)

Étape 2 : Calculer \(\bar{y}\) :

\(\bar{y} = \dfrac{500 + 900 + 1\,300 + 1\,700 + 2\,100}{5} = \dfrac{.......}{5} = .......\)

5. COM Placer le point \(G\) sur le graphique. (1 pt)

Exercice 2 – Droite de régression et prévisions 12 points

Nuage de points et droite d'ajustement

On reprend les données de l'exercice 1. La droite de régression a pour équation \(y = ax + b\). On donne : \(a = 40\).

1. REA La droite passe par le point moyen \(G\) calculé à l'exercice 1. Calculer \(b\). (2 pts)

Report (non noté) : reporter ici les coordonnées de \(G\) trouvées à l'exercice 1 : \(G(\;.......\;;\;.......\;)\). Toute la suite de l'exercice 2 est évaluée à partir de la valeur reportée ici.

Étape 1 : Remplacer \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(G\) :

\(....... = 40 \times ....... + b\)

Étape 2 : Calculer \(40 \times ....... = .......\)

Étape 3 : En déduire \(b = ....... - ....... = .......\)

2. COM Recopier et compléter : « L'équation de la droite est \(y = ....... x + .......\) ». (1 pt)

3. REA Tracer la droite sur le graphique de l'exercice 1. (2 pts)

Aide : Calculer \(y\) pour \(x = 0\) et \(x = 50\), puis relier ces deux points.

4. APP Un client veut poser du parquet sur 35 m². Estimer le prix avec la droite. (2 pts)

Étape 1 : Remplacer \(x\) par 35 : \(y = 40 \times 35 + ....... = ....... + ....... = .......\) €

5. ANA Un autre client a un budget de 1 900 €. Quelle surface maximale peut-il faire poser ? (3 pts)

Étape 1 : On cherche \(x\) tel que \(y = 1\,900\). Écrire l'équation :

\(1\,900 = 40x + .......\)

Étape 2 : Isoler \(x\) : \(40x = 1\,900 - ....... = .......\)

Étape 3 : \(x = \dfrac{.......}{40} = .......\) m²

6. VAL Vérifier sur le graphique que le résultat est cohérent. (2 pts)

Standard

Exercice 1 – Surface et prix de chantier 8 points

Une entreprise de construction propose des chantiers de rénovation de toiture. On relève la surface rénovée \(x\) (en m²) et le prix facturé \(y\) (en euros) pour 7 chantiers réalisés.

Surface \(x\) (m²)	20	35	50	65	80	100	120
Prix \(y\) (€)	1 200	1 950	2 800	3 500	4 300	5 400	6 500

1. APP Identifier la variable explicative et la variable expliquée. (1 pt)

2. REA Placer les points du nuage statistique dans le repère ci-dessous. (2 pts)

Repère à compléter : placer les 7 points, puis le point \(G\) (question 5) et la droite (exercice 2).

3. ANA Le nuage de points semble-t-il indiquer une corrélation entre les deux variables ? Si oui, de quel type ? Justifier. (2 pts)

4. REA Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\). Arrondir au dixième. (2 pts)

5. COM Placer le point \(G\) sur le graphique et vérifier qu'il est bien « au centre » du nuage. (1 pt)

Exercice 2 – Droite de régression et prévisions 12 points

On reprend les données de l'exercice 1. On admet que la droite de régression de \(y\) en \(x\) a pour équation \(y = ax + b\) et qu'elle passe par le point moyen \(G\).

On donne : \(a \approx 52{,}9\).

1. REA En utilisant le fait que la droite passe par le point moyen \(G\) calculé à l'exercice 1, calculer la valeur de \(b\). Arrondir à l'unité. (2 pts)

2. COM Écrire l'équation complète de la droite de régression. (1 pt)

3. REA Tracer la droite de régression sur le graphique de l'exercice 1. (2 pts)

4. APP Un client demande un devis pour rénover une toiture de 90 m². Utiliser l'équation de la droite pour estimer le prix. (2 pts)

5. ANA Un autre client a un budget de 4 000 €. Quelle surface maximale peut-il faire rénover ? Détailler le calcul. (3 pts)

6. VAL Vérifier graphiquement la réponse de la question 5 et indiquer si le résultat est cohérent. (2 pts)

Approfondissement

Exercice 1 – Analyse statistique d'un devis de menuiserie 8 points

Un atelier de menuiserie d'agencement réalise des meubles sur mesure. Le responsable d'atelier a relevé, pour 8 commandes récentes, le volume de bois utilisé \(x\) (en m³) et le prix de vente \(y\) (en euros).

Volume \(x\) (m³)	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
Prix \(y\) (€)	850	1 400	2 100	2 650	3 350	3 800	4 500	5 100

1. APP Identifier les variables et justifier le choix de la variable explicative dans ce contexte professionnel. (1,5 pt)

2. REA Représenter le nuage de points dans un repère adapté et calculer les coordonnées du point moyen \(G\). (2,5 pts)

3. ANA Décrire la corrélation observée. Expliquer pourquoi un modèle linéaire est pertinent ici et dans quelles limites ce modèle est valable. (2 pts)

4. VAL Un deuxième relevé donne le point \((5{,}0\;;\;7\,200)\). Ce point est-il cohérent avec la tendance du nuage ? Argumenter. (2 pts)

Exercice 2 – Modélisation et prise de décision 12 points

Nuage de points et droite d'ajustement

On reprend les données de l'exercice 1. À l'aide de la calculatrice, on obtient la droite de régression \(y = ax + b\) avec \(a \approx 1\,215\) et \(b \approx 234\).

1. REA Vérifier que la droite passe bien par le point moyen \(G\) (aux arrondis près). (1,5 pt)

2. REA Tracer la droite de régression et estimer le prix d'un meuble nécessitant 2,8 m³ de bois. (2 pts)

3. ANA Un client dispose d'un budget maximal de 3 500 €. Déterminer par le calcul le volume maximal de bois que l'atelier peut utiliser pour respecter ce budget. (2 pts)

4. ANA Le coût de revient pour l'atelier est estimé à \(C(x) = 900x + 200\) (en euros). Exprimer le bénéfice \(B(x) = y - C(x)\) en fonction de \(x\). Pour quel volume le bénéfice dépasse-t-il 1 000 € ? (3,5 pts)

5. VAL Le responsable envisage d'accepter une commande à 6 000 € pour un volume de 4,5 m³. Cette commande est-elle rentable ? Justifier en calculant le bénéfice réel et en le comparant au bénéfice prévu par le modèle. (3 pts)

1. Pour \(x = 2{,}25\) : \(y = 1\,215 \times 2{,}25 + 234 = 2\,733{,}75 + 234 = 2\,967{,}75\) €. On avait \(\bar{y} = 2\,968{,}75\). L'écart est de 1 € : il vient de l'arrondi de \(a\) et de \(b\) à l'unité (les valeurs exactes sont \(a \approx 1\,215{,}48\) et \(b \approx 233{,}93\)). Aux arrondis près, la droite passe bien par \(G\).

2. Pour \(x = 2{,}8\) : \(y = 1\,215 \times 2{,}8 + 234 = 3\,402 + 234 = 3\,636\) €. Le prix estimé est d'environ 3 636 €.

3. On résout \(1\,215x + 234 = 3\,500\) : \(1\,215x = 3\,266\), donc \(x = \dfrac{3\,266}{1\,215} \approx 2{,}688\) m³. Comme il s'agit d'un maximum à ne pas dépasser, on arrondit par défaut : le volume maximal est de 2,68 m³ (vérification : \(1\,215 \times 2{,}68 + 234 = 3\,490{,}20\) € ≤ 3 500 €, alors que 2,69 m³ donnerait 3 502,35 €, au-dessus du budget).

4. \(B(x) = (1\,215x + 234) - (900x + 200) = 315x + 34\).

On résout \(315x + 34 > 1\,000\) : \(315x > 966\), donc \(x > \dfrac{966}{315} \approx 3{,}067\) m³.

Le bénéfice dépasse 1 000 € pour un volume supérieur à environ 3,07 m³ (vérification : \(B(3{,}07) = 1\,001{,}05\) € > 1 000 €).

5. Bénéfice réel : \(6\,000 - C(4{,}5) = 6\,000 - (900 \times 4{,}5 + 200) = 6\,000 - 4\,250 = 1\,750\) €.

Bénéfice prévu par le modèle : \(B(4{,}5) = 315 \times 4{,}5 + 34 = 1\,417{,}5 + 34 = 1\,451{,}5\) €.

Le prix proposé (6 000 €) est supérieur au prix modélisé (\(1\,215 \times 4{,}5 + 234 = 5\,701{,}5\) €), donc le bénéfice réel (1 750 €) dépasse le bénéfice théorique (1 451,50 €). La commande est rentable et même plus avantageuse que la moyenne.

Réserve : 4,5 m³ est en dehors de la plage des données \([0{,}5\;;\;4]\) sur laquelle la droite a été ajustée : le bénéfice « prévu » est une extrapolation, à prendre avec prudence (c'est exactement ce que montrait le relevé à 5 m³ de l'exercice 1). La conclusion reste solide ici, car l'écart entre les deux bénéfices (près de 300 €) est bien plus grand que l'incertitude du modèle.