Statistique à deux variables | 1ère Bac Pro
Un menuisier agenceur propose des chantiers de pose de parquet. On relève la surface posée \(x\) (en m²) et le prix facturé \(y\) (en euros) pour 5 chantiers.
| Surface \(x\) (m²) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix \(y\) (€) | 500 | 900 | 1 300 | 1 700 | 2 100 |
1. APP Identifier la variable explicative et la variable expliquée en complétant :
Aide : La variable explicative est celle qui « explique » l'autre. Ici, c'est la surface qui détermine le prix.
Variable explicative : \(x\) = ........................ Variable expliquée : \(y\) = ........................
2. REA Placer les 5 points dans le repère ci-dessous.
Aide : Le premier point est \((10\;;\;500)\). Repérer 10 sur l'axe horizontal et 500 sur l'axe vertical.
Repère à compléter sur la copie :
Axe horizontal : surface \(x\) (de 0 à 60 m²) — Axe vertical : prix \(y\) (de 0 à 2 500 €)
3. ANA Les points semblent-ils alignés ? Si oui, quand la surface augmente, que fait le prix ?
Aide : Observez le nuage : les points montent-ils de gauche à droite ? C'est une corrélation positive.
4. REA Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
Étape 1 : Calculer \(\bar{x}\) :
\(\bar{x} = \dfrac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = \dfrac{.......}{5} = .......\)
Étape 2 : Calculer \(\bar{y}\) :
\(\bar{y} = \dfrac{500 + 900 + 1\,300 + 1\,700 + 2\,100}{5} = \dfrac{.......}{5} = .......\)
5. COM Placer le point \(G\) sur le graphique.
On reprend les données de l'exercice 1. La droite de régression a pour équation \(y = ax + b\). On donne : \(a = 40\).
1. REA La droite passe par le point moyen \(G(30\;;\;1\,300)\). Calculer \(b\).
Étape 1 : Remplacer \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(G\) :
\(1\,300 = 40 \times 30 + b\)
Étape 2 : Calculer \(40 \times 30 = .......\)
Étape 3 : En déduire \(b = 1\,300 - ....... = .......\)
2. COM Recopier et compléter : « L'équation de la droite est \(y = ....... x + .......\) ».
3. REA Tracer la droite sur le graphique de l'exercice 1.
Aide : Calculer \(y\) pour \(x = 0\) et \(x = 50\), puis relier ces deux points.
4. APP Un client veut poser du parquet sur 35 m². Estimer le prix avec la droite.
Étape 1 : Remplacer \(x\) par 35 : \(y = 40 \times 35 + ....... = ....... + ....... = .......\) €
5. ANA Un autre client a un budget de 1 500 €. Quelle surface maximale peut-il faire poser ?
Étape 1 : On cherche \(x\) tel que \(y = 1\,500\). Écrire l'équation :
\(1\,500 = 40x + .......\)
Étape 2 : Isoler \(x\) : \(40x = 1\,500 - ....... = .......\)
Étape 3 : \(x = \dfrac{.......}{40} = .......\) m²
6. VAL Vérifier sur le graphique que le résultat est cohérent.
Une entreprise de construction propose des chantiers de rénovation de toiture. On relève la surface rénovée \(x\) (en m²) et le prix facturé \(y\) (en euros) pour 7 chantiers réalisés.
| Surface \(x\) (m²) | 20 | 35 | 50 | 65 | 80 | 100 | 120 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix \(y\) (€) | 1 200 | 1 950 | 2 800 | 3 500 | 4 300 | 5 400 | 6 500 |
1. APP Identifier la variable explicative et la variable expliquée.
2. REA Placer les points du nuage statistique dans le repère ci-dessous.
Repère à compléter sur la copie :
Axe horizontal : surface \(x\) (de 0 à 130 m²) — Axe vertical : prix \(y\) (de 0 à 7 000 €)
3. ANA Le nuage de points semble-t-il indiquer une corrélation entre les deux variables ? Si oui, de quel type ? Justifier.
4. REA Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\). Arrondir au dixième.
5. COM Placer le point \(G\) sur le graphique et vérifier qu'il est bien « au centre » du nuage.
On reprend les données de l'exercice 1. On admet que la droite de régression de \(y\) en \(x\) a pour équation \(y = ax + b\) et qu'elle passe par le point moyen \(G\).
On donne : \(a \approx 52{,}8\).
1. REA En utilisant le fait que la droite passe par \(G(67{,}1\;;\;3\,664{,}3)\), calculer la valeur de \(b\). Arrondir à l'unité.
2. COM Écrire l'équation complète de la droite de régression.
3. REA Tracer la droite de régression sur le graphique de l'exercice 1.
4. APP Un client demande un devis pour rénover une toiture de 90 m². Utiliser l'équation de la droite pour estimer le prix.
5. ANA Un autre client a un budget de 4 000 €. Quelle surface maximale peut-il faire rénover ? Détailler le calcul.
6. VAL Vérifier graphiquement la réponse de la question 5 et indiquer si le résultat est cohérent.
Un atelier de menuiserie d'agencement réalise des meubles sur mesure. Le responsable d'atelier a relevé, pour 8 commandes récentes, le volume de bois utilisé \(x\) (en m³) et le prix de vente \(y\) (en euros).
| Volume \(x\) (m³) | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix \(y\) (€) | 850 | 1 400 | 2 100 | 2 650 | 3 350 | 3 800 | 4 500 | 5 100 |
1. APP Identifier les variables et justifier le choix de la variable explicative dans ce contexte professionnel.
2. REA Représenter le nuage de points dans un repère adapté et calculer les coordonnées du point moyen \(G\).
3. ANA Décrire la corrélation observée. Expliquer pourquoi un modèle linéaire est pertinent ici et dans quelles limites ce modèle est valable.
4. VAL Un deuxième relevé donne le point \((5{,}0\;;\;7\,200)\). Ce point est-il cohérent avec la tendance du nuage ? Argumenter.
On reprend les données de l'exercice 1. À l'aide de la calculatrice, on obtient la droite de régression \(y = ax + b\) avec \(a \approx 1\,210\) et \(b \approx 246\).
1. REA Vérifier que la droite passe bien par le point moyen \(G\) (aux arrondis près).
2. REA Tracer la droite de régression et estimer le prix d'un meuble nécessitant 2,8 m³ de bois.
3. ANA Un client dispose d'un budget maximal de 3 500 €. Déterminer par le calcul le volume maximal de bois que l'atelier peut utiliser pour respecter ce budget.
4. ANA Le coût de revient pour l'atelier est estimé à \(C(x) = 900x + 200\) (en euros). Exprimer le bénéfice \(B(x) = y - C(x)\) en fonction de \(x\). Pour quel volume le bénéfice dépasse-t-il 1 000 € ?
5. VAL Le responsable envisage d'accepter une commande à 6 000 € pour un volume de 4,5 m³. Cette commande est-elle rentable ? Justifier en calculant le bénéfice réel et en le comparant au bénéfice prévu par le modèle.