Chapitre 1 — Statistique à deux variables | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Monsieur Duval est installateur thermique dans une entreprise de maintenance de chaufferies collectives à Lyon. Au cours des 12 derniers mois, il a relevé chaque mois la température extérieure moyenne (en °C) et la consommation énergétique de chauffage (en kWh) d'un immeuble résidentiel de 20 logements équipé d'une chaudière à condensation.
Il souhaite comprendre le lien entre ces deux grandeurs afin d'anticiper les commandes de gaz pour l'hiver prochain.
| Mois | Janv. | Fév. | Mars | Avril | Mai | Juin | Juil. | Août | Sept. | Oct. | Nov. | Déc. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Température \(x\) (°C) | 3 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 23 | 22 | 18 | 13 | 7 | 4 |
| Consommation \(y\) (kWh) | 4 800 | 4 500 | 3 400 | 2 200 | 1 100 | 300 | 0 | 0 | 600 | 1 900 | 3 700 | 4 600 |
Remarque : en juillet et août, le chauffage est éteint (consommation nulle).
a) Quelle est la variable \(x\) étudiée ? Quelle est la variable \(y\) ? Préciser leurs unités.
b) Pour quel mois la température est-elle la plus basse ? Quelle est alors la consommation ?
c) Pour quel mois la consommation est-elle la plus élevée ?
a) La variable \(x\) est la température extérieure moyenne, en °C.
La variable \(y\) est la consommation énergétique de chauffage, en kWh.
b) La température la plus basse est en janvier : \(x = 3\)°C. La consommation est alors de 4 800 kWh.
c) La consommation la plus élevée est en janvier : \(y = 4\,800\) kWh.
On ne retient que les mois où le chauffage fonctionne (consommation strictement positive). Recopier et compléter le tableau ci-dessous en classant les données par température croissante.
| Température \(x\) (°C) | 3 | 4 | 4 | 7 | 8 | 12 | 13 | 16 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Consommation \(y\) (kWh) | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| Température \(x\) (°C) | 3 | 4 | 4 | 7 | 8 | 12 | 13 | 16 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Consommation \(y\) (kWh) | 4 800 | 4 500 | 4 600 | 3 700 | 3 400 | 2 200 | 1 900 | 1 100 | 600 | 300 |
On a retiré juillet et août (consommation nulle) et classé les 10 mois restants par température croissante. Février et décembre ont la même température (4°C) mais des consommations légèrement différentes.
Sur le repère ci-dessous, placer les 10 points du tableau de la question 2. Chaque point a pour abscisse la température \(x\) et pour ordonnée la consommation \(y\).
Échelle : axe horizontal — 1 cm pour 2°C ; axe vertical — 1 cm pour 500 kWh.
On place les 10 points dans le repère. Voici les coordonnées :
Le nuage de points montre clairement que les points descendent de gauche à droite : plus la température augmente, plus la consommation diminue.
a) Observer le nuage de points. Comment évolue la consommation lorsque la température augmente ?
b) Peut-on dire que les points sont approximativement alignés ? Justifier.
c) On dit que deux variables sont corrélées négativement lorsque l'une diminue quand l'autre augmente. Est-ce le cas ici ?
a) Lorsque la température augmente, la consommation de chauffage diminue. C'est logique : plus il fait chaud dehors, moins on a besoin de chauffer.
b) Oui, les points semblent approximativement alignés le long d'une droite descendante. Ils ne sont pas parfaitement alignés, mais la tendance linéaire est nette.
c) Oui, il s'agit bien d'une corrélation négative : quand la température \(x\) augmente, la consommation \(y\) diminue.
Le point moyen \(G\) du nuage a pour coordonnées \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) où \(\bar{x}\) est la moyenne des températures et \(\bar{y}\) la moyenne des consommations.
a) Calculer la moyenne des températures \(\bar{x}\) des 10 mois retenus :
\[\bar{x} = \frac{3 + 4 + 4 + 7 + 8 + 12 + 13 + 16 + 18 + 20}{10}\]b) Calculer la moyenne des consommations \(\bar{y}\) :
\[\bar{y} = \frac{4\,800 + 4\,500 + 4\,600 + 3\,700 + 3\,400 + 2\,200 + 1\,900 + 1\,100 + 600 + 300}{10}\]c) En déduire les coordonnées du point moyen \(G\) et le placer sur le graphique de la question 3.
a) \(\bar{x} = \dfrac{3 + 4 + 4 + 7 + 8 + 12 + 13 + 16 + 18 + 20}{10} = \dfrac{105}{10} = 10{,}5\) °C
b) \(\bar{y} = \dfrac{4\,800 + 4\,500 + 4\,600 + 3\,700 + 3\,400 + 2\,200 + 1\,900 + 1\,100 + 600 + 300}{10} = \dfrac{27\,100}{10} = 2\,710\) kWh
c) Le point moyen est \(G(10{,}5\,;\,2\,710)\). On le place sur le graphique : il se situe au « centre » du nuage de points.
On admet que la droite de tendance (ou droite de régression) passe par le point moyen \(G\) et a pour équation :
\[y = -276{,}2x + 5\,610{,}1\]a) Vérifier que cette droite passe bien par le point moyen \(G(10{,}5\,;\,2\,710)\) en remplaçant \(x\) par 10,5 dans l'équation.
b) Calculer \(y\) pour \(x = 0\) et pour \(x = 20\). En déduire deux points de la droite.
c) Tracer la droite de tendance sur le graphique de la question 3.
a) Pour \(x = 10{,}5\) :
\[y = -276{,}2 \times 10{,}5 + 5\,610{,}1 = -2\,900{,}1 + 5\,610{,}1 = 2\,710 \quad \checkmark\]La droite passe bien par le point moyen.
b) Pour \(x = 0\) : \(y = -276{,}2 \times 0 + 5\,610{,}1 = 5\,610{,}1\) kWh. Point : \((0\,;\,5\,610)\).
Pour \(x = 20\) : \(y = -276{,}2 \times 20 + 5\,610{,}1 = -5\,524 + 5\,610{,}1 = 86{,}1\) kWh. Point : \((20\,;\,86)\).
c) On trace la droite passant par les points \((0\,;\,5\,610)\) et \((20\,;\,86)\). Elle descend de gauche à droite, confirmant la corrélation négative.
Monsieur Duval souhaite estimer la consommation de chauffage pour un mois où la température moyenne serait de 10°C.
a) La valeur 10°C est-elle comprise dans la plage des températures observées (entre 3°C et 20°C) ?
b) Utiliser l'équation de la droite \(y = -276{,}2x + 5\,610{,}1\) pour calculer la consommation estimée.
c) Lire graphiquement cette valeur sur la droite de tendance. Le résultat est-il cohérent avec le calcul ?
a) Oui, 10°C est compris entre 3°C et 20°C. Il s'agit donc d'une interpolation (estimation à l'intérieur de la plage de données).
b) \(y = -276{,}2 \times 10 + 5\,610{,}1 = -2\,762 + 5\,610{,}1 = 2\,848{,}1\) kWh.
La consommation estimée est d'environ 2 848 kWh.
c) Graphiquement, pour \(x = 10\), on lit environ 2 800 à 2 900 kWh sur la droite, ce qui est cohérent avec le calcul. L'interpolation est fiable car la valeur est dans la plage des données et le nuage est bien aligné.
Monsieur Duval veut anticiper la consommation pour un hiver particulièrement rigoureux avec une température moyenne de -5°C.
a) Calculer la consommation prévue par le modèle : \(y = -276{,}2 \times (-5) + 5\,610{,}1\).
b) La valeur -5°C est-elle dans la plage des températures observées ?
c) Le résultat obtenu vous semble-t-il réaliste ? Expliquer pourquoi il faut être prudent avec ce type de prévision.
a) \(y = -276{,}2 \times (-5) + 5\,610{,}1 = 1\,381 + 5\,610{,}1 = 6\,991{,}1\) kWh.
b) Non, -5°C est en dehors de la plage des températures observées (3°C à 20°C). Il s'agit donc d'une extrapolation.
c) Le résultat de 6 991 kWh est possible mais incertain. L'extrapolation est risquée car :
Conclusion : il faut toujours vérifier qu'une prévision est raisonnable et préciser si c'est une interpolation (fiable) ou une extrapolation (risquée).
La droite de tendance a pour équation \(y = -276{,}2x + 5\,610{,}1\). Le coefficient directeur est \(a = -276{,}2\).
a) Le coefficient directeur est négatif. Qu'est-ce que cela signifie pour la relation entre température et consommation ?
b) Interpréter concrètement la valeur \(-276{,}2\) : que se passe-t-il lorsque la température augmente de 1°C ?
a) Un coefficient directeur négatif signifie que la droite est décroissante : quand la température \(x\) augmente, la consommation \(y\) diminue. Cela confirme la corrélation négative observée.
b) Lorsque la température augmente de 1°C, la consommation diminue d'environ 276 kWh.
Autrement dit, chaque degré de température supplémentaire permet d'économiser environ 276 kWh de chauffage par mois.
Rédiger un court paragraphe (4 à 5 lignes) à destination de Monsieur Duval pour lui expliquer :
Exemple de rédaction :
Monsieur Duval, l'analyse des relevés montre que la consommation de chauffage de l'immeuble est fortement liée à la température extérieure : plus il fait froid, plus la consommation augmente, de manière régulière et prévisible. Le modèle linéaire \(y = -276{,}2x + 5\,610{,}1\) permet d'estimer que chaque degré supplémentaire de température fait économiser environ 276 kWh de chauffage par mois. Vous pouvez utiliser cette formule pour anticiper vos commandes de gaz en fonction des prévisions météorologiques. Cependant, cette estimation est fiable uniquement pour des températures comprises entre 3°C et 20°C (interpolation). Pour des conditions extrêmes (grand froid), la prévision devient incertaine (extrapolation) et doit être utilisée avec prudence.