Chapitre 1 — Statistique à deux variables | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 21:49
Malik est menuisier agenceur. Dans l'atelier, il suit le séchage contrôlé d'un lot de bois destiné à la fabrication de mobilier intérieur. Tous les deux jours, il mesure son taux d'humidité avec le même appareil et au même emplacement.
Pour cette commande, la procédure de l'entreprise prévoit de commencer l'usinage lorsque le taux mesuré est inférieur ou égal à 12 %. Un contrôle réel doit confirmer cette valeur avant la mise en fabrication.
| Durée de séchage \(x\) (jours) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Taux d'humidité \(y\) (%) | 19,0 | 18,1 | 16,8 | 15,8 | 14,5 | 13,6 | 12,3 | 11,5 |
Données pédagogiques simulées : elles servent à étudier un ajustement affine. Le seuil de 12 % est une consigne propre à cette situation, pas une valeur universelle pour tous les bois et tous les usages.
Repère d'utilisation : manuel officiel de l'application Régressions — NumWorks.
a) Que représentent \(x\) et \(y\) ? Préciser leurs unités.
b) Quelle variable souhaite-t-on estimer à partir de l'autre ?
a) \(x\) représente la durée de séchage, en jours. \(y\) représente le taux d'humidité du bois, en pourcentage.
b) On souhaite estimer le taux d'humidité \(y\) à partir de la durée de séchage \(x\).
Saisir les données dans la calculatrice et afficher le nuage de points.
a) Décrire son allure générale.
b) La corrélation est-elle positive ou négative ? Justifier avec les variables étudiées.
a) Les huit points sont proches d'une droite descendante.
b) Lorsque la durée de séchage augmente, le taux d'humidité diminue : la corrélation est négative.
Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
\(\bar{x}=\dfrac{0+2+4+6+8+10+12+14}{8}=\dfrac{56}{8}=7\) jours.
\(\bar{y}=\dfrac{19{,}0+18{,}1+16{,}8+15{,}8+14{,}5+13{,}6+12{,}3+11{,}5}{8}=\dfrac{121{,}6}{8}=15{,}2\) %.
Le point moyen est donc \(\boxed{G(7\,;\,15{,}2)}\).
a) Choisir le modèle linéaire et recopier les valeurs affichées en arrondissant au millième.
| \(a\) | \(b\) | \(r\) | \(R^2\) |
|---|---|---|---|
b) Écrire l'équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\).
c) Interpréter le signe et la valeur du coefficient directeur.
a) La calculatrice donne \(a=-0{,}550\), \(b=19{,}050\), \(r\approx-0{,}999\) et \(R^2\approx0{,}998\).
b) La droite de régression est \(\boxed{y=-0{,}55x+19{,}05}\).
c) Dans ce modèle, un jour de séchage supplémentaire est associé à une diminution moyenne de 0,55 point de pourcentage du taux d'humidité.
\(R^2\) est très proche de 1 : les points observés sont très proches de la droite et l'ajustement affine est très bon sur la période étudiée.
a) Estimer avec l'équation le taux d'humidité après 13 jours.
b) S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
c) Le responsable peut-il prévoir le début de l'usinage ce jour-là ?
a) \(y=-0{,}55\times13+19{,}05=11{,}9\) %. Le modèle prévoit donc un taux d'environ 11,9 %.
b) \(13\in[0\,;\,14]\) : la valeur se situe dans la plage observée. Il s'agit d'une interpolation.
c) Comme \(11{,}9\leqslant12\), le modèle permet de prévoir l'usinage au 13e jour. Cependant, l'estimation est très proche du seuil : le taux doit être réellement mesuré et confirmé avant de lancer la fabrication.
Un opérateur utilise la même droite pour prévoir le taux d'humidité après 40 jours.
a) Calculer la valeur donnée par le modèle.
b) Expliquer pourquoi ce résultat montre une limite de l'ajustement affine.
a) \(y=-0{,}55\times40+19{,}05=-2{,}95\) %.
b) Un taux d'humidité négatif est impossible. De plus, \(40\notin[0\,;\,14]\) : cette valeur est une extrapolation très éloignée des observations.
Le séchage ne peut donc pas être décrit par cette droite pour toutes les durées. Le modèle doit rester limité à la plage étudiée.
Rédiger une conclusion de quatre à cinq lignes. Elle doit présenter la prévision pour le 13e jour, la qualité de l'ajustement et la précaution à prendre avant l'usinage.
La droite de régression prévoit un taux d'humidité d'environ 11,9 % après 13 jours. Cette interpolation repose sur un ajustement de très bonne qualité, car \(R^2\approx0{,}998\). Le modèle suggère donc que le seuil de 12 % sera atteint. Toutefois, il fournit une estimation et non une mesure : un contrôle avec l'appareil doit confirmer le taux avant de commencer l'usinage.
Réponse à la problématique : le modèle permet de prévoir un taux d'environ 11,9 % après 13 jours, compatible avec le seuil fixé, mais l'usinage ne doit commencer qu'après confirmation par une mesure.