Fiche — Sommes de variables aléatoires

Chapitre 14 | Terminale générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

La linéarité de l'espérance est toujours vraie : \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\), même si \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.
La variance s'additionne uniquement pour des variables indépendantes : \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\).
Effet d'un facteur : \(E(aX)=aE(X)\) mais \(V(aX)=a^2V(X)\).
Pour la moyenne d'un échantillon : \(E(M_n)=\mu\) et \(V(M_n)=\dfrac{V}{n}\) : la moyenne se concentre autour de \(\mu\).

1. Linéarité de l'espérance

Pour toutes variables \(X\), \(Y\) (indépendantes ou non) et tout réel \(a\) :

\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
\(E(aX)=aE(X)\)

Plus généralement :

\(E\!\left(\sum a_iX_i\right)=\sum a_iE(X_i)\)

2. Variance d'une somme

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes :

\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)

Effet d'un facteur (toujours valable) :

\(V(aX)=a^2V(X)\)
\(\sigma(aX)=|a|\,\sigma(X)\)

Piège : \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\) seulement si les variables sont indépendantes.

3. Application à la loi binomiale

Si \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), on décompose \(X=X_1+\cdots+X_n\) avec les \(X_i\sim\mathcal{B}(p)\) indépendantes (\(E(X_i)=p\), \(V(X_i)=p(1-p)\)) :

\(E(X)=np\)
\(V(X)=np(1-p)\)
\(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\)

Astuce : la somme de \(n\) Bernoulli indépendantes redonne directement les formules de \(\mathcal{B}(n,p)\).

4. Variables indicatrices

Pour calculer une espérance compliquée, on décompose la quantité en somme d'indicatrices (variables valant \(0\) ou \(1\)), puis on applique la linéarité :

\(X_i=\begin{cases}1 &\text{si l'événement } i \text{ se réalise}\\ 0 &\text{sinon}\end{cases}\)

\(E(X_i)=P(\text{événement }i)\), puis \(E(\sum X_i)=\sum E(X_i)\) (même si les \(X_i\) ne sont pas indépendantes).

5. Échantillon : somme et moyenne

Un échantillon de taille \(n\) est une liste \((X_1,\ldots,X_n)\) de variables indépendantes suivant toutes la même loi, d'espérance \(\mu\) et de variance \(V\) (écart type \(\sigma\)).

Somme \(S_n=X_1+\cdots+X_n\)
\(E(S_n)=n\mu \qquad V(S_n)=nV\)

Moyenne \(M_n=\dfrac{S_n}{n}\)
\(E(M_n)=\mu \quad V(M_n)=\dfrac{V}{n} \quad \sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

La moyenne garde la même espérance \(\mu\), mais son écart type est divisé par \(\sqrt{n}\) : elle est de plus en plus concentrée autour de \(\mu\) (base de la loi des grands nombres).

Effet de concentration de la moyenne

La moyenne \(M_n\) est plus resserrée autour de \(\mu\) qu'une observation \(X\) (\(\sigma/\sqrt{n}\lt\sigma\)).

Méthode — Espérance et variance d'une somme

Décomposer la quantité étudiée en somme de variables \(X_i\) (éventuellement des indicatrices).
Calculer \(E(X_i)\) (et \(V(X_i)\) si besoin) pour une variable.
Espérance : appliquer la linéarité \(E(\sum X_i)=\sum E(X_i)\) — toujours valable.
Variance : vérifier l'indépendance, puis \(V(\sum X_i)=\sum V(X_i)\).
Écart type : \(\sigma=\sqrt{V}\) (ne jamais additionner les écarts types !).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Additionner les variances sans vérifier l'indépendance.
✅ \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\) uniquement si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes. La linéarité de l'espérance, elle, est toujours vraie.

❌ Écrire \(V(aX)=aV(X)\).
✅ \(V(aX)=a^2V(X)\) : le facteur est élevé au carré dans la variance.

❌ Additionner les écarts types : \(\sigma(X+Y)=\sigma(X)+\sigma(Y)\).
✅ Ce sont les variances qui s'additionnent (si indépendance) ; on prend ensuite la racine.

❌ Croire que la moyenne \(M_n\) a la même variance que \(X\).
✅ \(V(M_n)=\dfrac{V}{n}\) : la variance de la moyenne est \(n\) fois plus petite.

Résumé express — Espérance / Variance

	Espérance \(E\)	Variance \(V\)
\(X+Y\)	\(E(X)+E(Y)\) (toujours)	\(V(X)+V(Y)\) (si indép.)
\(aX\)	\(aE(X)\)	\(a^2V(X)\)
\(\mathcal{B}(n,p)\)	\(np\)	\(np(1-p)\)
\(S_n=\sum X_i\)	\(n\mu\)	\(nV\)
\(M_n=\frac{S_n}{n}\)	\(\mu\)	\(\dfrac{V}{n}\)