Fiche – Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Chapitre 4 | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Une droite de l'espace se décrit par une représentation paramétrique : un point + un vecteur directeur.
Un plan se décrit par une équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\) : ses coefficients donnent un vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\).
Les positions relatives (droite/plan, deux plans, trois plans) se traitent par substitution ou résolution de système.

Définitions clés

Définition Représentation paramétrique d'une droite : droite passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\) : \[\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}\] Elle traduit \(\vec{AM}=t\,\vec{u}\).

Définition Équation cartésienne d'un plan : tout plan admet une équation \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a;b;c)\neq(0;0;0)\). Le vecteur \(\vec{n}(a;b;c)\) est un vecteur normal au plan.

Attention — Non-unicité La représentation paramétrique d'une droite n'est pas unique : on peut changer de point de départ ou multiplier le vecteur directeur par un réel non nul.

Lectures directes

À partir de \(\begin{cases} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \\ z = z_0 + tc \end{cases}\) :

point \((x_0;y_0;z_0)\) (pour \(t=0\)) · vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\) (coefficients de \(t\)).

À partir de \(ax+by+cz+d=0\) :

vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\) · pour un point, on fixe deux coordonnées et on calcule la troisième.

Plans particuliers

\((xOy):z=0\) · \((xOz):y=0\) · \((yOz):x=0\)
Plan parallèle à \((xOy)\) : \(z=k\)

Le vecteur normal \(\vec{n}\) est perpendiculaire au plan.

Méthodes

Méthode Équation d'un plan — vecteur normal et point connus

Plan par \(A(x_A;y_A;z_A)\) de normale \(\vec{n}(a;b;c)\) : écrire \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\).
Développer pour obtenir \(ax+by+cz+d=0\).

Méthode Équation d'un plan — trois points

Calculer deux vecteurs du plan \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
Chercher \(\vec{n}(a;b;c)\) tel que \(\vec{n}\cdot\vec{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{AC}=0\).
Écrire \(ax+by+cz+d=0\), puis déterminer \(d\) avec un point.

Méthode Point \(M\) sur une droite ?

Remplacer les coordonnées de \(M\) dans la représentation paramétrique.
\(M\) appartient à la droite si une même valeur de \(t\) vérifie les trois équations.

Méthode Intersection droite / plan

Substituer \(x,y,z\) (paramétrés en \(t\)) dans l'équation du plan.
Une seule valeur de \(t\) : droite sécante (un point).
\(0=0\) : droite incluse · \(0=k\) (\(k\neq0\)) : droite parallèle.

Positions relatives de deux plans

Vecteurs normaux \(\vec{n_1}\), \(\vec{n_2}\)	Équations	Position
non colinéaires	—	plans sécants (intersection : une droite)
colinéaires	proportionnelles	plans confondus
colinéaires	non proportionnelles	plans strictement parallèles

Intersection de trois plans Elle peut être : un point, une droite, un plan ou l'ensemble vide (selon le système de 3 équations).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre vecteur directeur d'une droite (coefficients de \(t\)) et vecteur normal d'un plan (coefficients \(a,b,c\) de l'équation).
✅ Le vecteur normal est perpendiculaire au plan, pas porté par lui.

❌ Conclure « parallèles » dès que les normales sont colinéaires.
✅ Vérifier si les équations sont proportionnelles : sinon strictement parallèles, sinon confondus.

❌ Oublier de vérifier qu'une même valeur de \(t\) convient pour les 3 équations quand on teste l'appartenance d'un point à une droite.