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Chapitre 15 – Exercices

3e prépa-métiers  |  Mathématiques  |  Espace et géométrie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

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Rappels essentiels : Les exercices sont progressifs : commence par le niveau socle, puis avance à ton rythme. Le code (C1, C2…) indique la capacité travaillée. Pour les constructions, reproduis la figure sur ton cahier (cahier à petits carreaux ou papier quadrillé).

Niveau socle — je m'entraîne pas à pas

Exercice 1 Tourner un déplacement d'un quart de tour (C1) Socle

Un point est placé sur un quadrillage, près du centre O. On le fait tourner d'un quart de tour (90°) autour de O. Complète.

Aide : sens inverse des aiguilles d'une montre : droite → haut ; haut → gauche ; gauche → bas ; bas → droite.
Exemple : « 3 carreaux à droite » devient « 3 carreaux en haut ».
1. Sens inverse des aiguilles. Le point est à 4 carreaux à droite de O. Son image est à 4 carreaux
2. Sens inverse des aiguilles. Le point est à 2 carreaux en haut de O. Son image est à 2 carreaux
3. Sens inverse des aiguilles. Le point est à 1 carreau à droite et 3 carreaux en haut de O. Son image est à 1 carreau et 3 carreaux
4. Sens des aiguilles (droite → bas ; haut → droite). Le point est à 5 carreaux à droite de O. Son image est à 5 carreaux
5. Sens des aiguilles. Le point est à 2 carreaux à droite et 1 carreau en haut de O. Son image est à 2 carreaux et 1 carreau
  • 1. Droite → haut : 4 carreaux en haut de O.
  • 2. Haut → gauche : 2 carreaux à gauche de O.
  • 3. On tourne chaque déplacement : 1 à droite → 1 en haut ; 3 en haut → 3 à gauche.
  • 4. Sens des aiguilles, droite → bas : 5 carreaux en bas de O.
  • 5. 2 à droite → 2 en bas ; 1 en haut → 1 à droite.
Exercice 2 Construire l'image par un quart de tour (C1) Socle

Reproduis la figure sur ton cahier. Construis l'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Aide : droite → haut ; haut → gauche. Je compte toujours depuis O.
1. A est à 1 carreau à droite et 1 en haut de O. A′ est à 1 carreau et 1 carreau de O.
2. B est à 4 carreaux à droite et 1 en haut de O. B′ est à
3. C est à 4 carreaux à droite et 3 en haut de O. C′ est à
4. Place A′, B′, C′ et trace le triangle A′B′C′. Vérifie : AB = 3 carreaux, et A′B′ = carreaux.
  • 1. 1 à droite → 1 en haut ; 1 en haut → 1 à gauche. A′ est à 1 à gauche et 1 en haut de O.
  • 2. 4 à droite → 4 en haut ; 1 en haut → 1 à gauche. B′ est à 1 carreau à gauche et 4 en haut.
  • 3. 4 à droite → 4 en haut ; 3 en haut → 3 à gauche. C′ est à 3 carreaux à gauche et 4 en haut.
  • 4. A′B′ = 3 carreaux : la rotation ne change pas les longueurs. Le triangle est seulement tourné.
Exercice 3 Des rotations autour de nous (C1) Socle

Pour trouver l'angle d'une rotation qui amène un motif à la place du suivant, on partage un tour complet, 360°, par le nombre de motifs.

Aide : angle = \(360 : \text{nombre de motifs}\). Exemple : une éolienne à 3 pales, \(360 : 3 = 120\), soit 120°.
1. L'enjoliveur a 5 branches. De quel angle faut-il le tourner pour amener la branche bleue à la place de la branche rouge ? \(360 : 5 =\) °
2. Un ventilateur a 4 pales. Angle : °
3. Une rosace a 6 pétales identiques. Angle : °
4. En 20 minutes, la grande aiguille d'une horloge fait un tiers de tour. De quel angle tourne-t-elle ? ° Dans quel sens ?
  • 1. \(360 : 5 = 72\). L'angle est de 72°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (la branche rouge est à gauche de la bleue).
  • 2. \(360 : 4 = 90\) : 90°, un quart de tour.
  • 3. \(360 : 6 = 60\) : 60°.
  • 4. Un tiers de tour : \(360 : 3 = 120\). La grande aiguille tourne de 120°, dans le sens des aiguilles d'une montre.
Exercice 4 Agrandir avec une homothétie de rapport 2 (C2) Socle

Reproduis la figure sur ton cahier. Construis l'image du quadrilatère ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport \(k = 2\).

Aide : je compte les carreaux depuis O (→ puis ↑), je multiplie les deux nombres par 2, puis je place le point image en partant de O.
PointDepuis O× 2Image
A1 → et 2 ↑2 → et 4 ↑A′
B3 → et 2 ↑B′
CC′
DD′
1. Complète le tableau, puis place les points et trace A′B′C′D′.
2. AB = 2 carreaux. Combien mesure A′B′ ? carreaux.
  • 1. B : 3 → et 2 ↑, donc B′ : 6 → et 4 ↑. C : 3 → et 3 ↑, donc C′ : 6 → et 6 ↑. D : 1 → et 4 ↑, donc D′ : 2 → et 8 ↑.
  • 2. A′B′ = 4 carreaux : \(2 \times 2 = 4\). La longueur est multipliée par 2, et [A′B′] est parallèle à [AB].
Exercice 5 Le logo du club : agrandi ou réduit ? (C2, C4) Socle

Le logo du club de basket mesure 8 cm de haut. On le transforme avec des homothéties de rapports différents. Complète.

Aide : \(k\) plus grand que 1 → agrandi ; \(k\) entre 0 et 1 → réduit. Nouvelle hauteur = \(k \times 8\).
Rapport \(k\)Agrandi ou réduit ?Nouvelle hauteur
3agrandi\(3 \times 8 = 24\) cm
0,5 cm
1,5 cm
0,25 cm
1 cm
  • \(k = 0{,}5\) : entre 0 et 1, réduit ; \(0{,}5 \times 8 = 4\) : 4 cm.
  • \(k = 1{,}5\) : plus grand que 1, agrandi ; \(1{,}5 \times 8 = 12\) : 12 cm.
  • \(k = 0{,}25\) : réduit ; \(0{,}25 \times 8 = 2\) : 2 cm.
  • \(k = 1\) : ni agrandi ni réduit, le logo garde la même taille ; \(1 \times 8 = 8\) : 8 cm.
Exercice 6 Semblables ? Je regarde les angles (C3) Socle

Pour chaque paire de triangles, calcule l'angle qui manque, puis dis si les triangles sont semblables.

Aide : 3e angle = 180° − (1er angle + 2e angle). Si les deux triangles ont les mêmes trois angles, ils sont semblables.
1. Triangle ABC : 50° et 70°. Triangle DEF : 60° et 50°.
3e angle de ABC : \(180 - (50 + 70) =\) °. 3e angle de DEF : °. Semblables ?
2. Triangle GHI : 30° et 90°. Triangle JKL : 30° et 80°.
3e angle de GHI : °. 3e angle de JKL : °. Semblables ?
3. Triangle MNP : 45° et 45°. Triangle RST : 90° et 45°.
3e angle de MNP : °. 3e angle de RST : °. Semblables ?
  • 1. ABC : \(180 - 120 = 60\), donc 60°. DEF : \(180 - (60 + 50) = 180 - 110 = 70\), donc 70°. Les deux triangles ont pour angles 50°, 60°, 70° : semblables.
  • 2. GHI : \(180 - (30 + 90) = 60\), donc 60°. JKL : \(180 - (30 + 80) = 70\), donc 70°. Angles 30°, 60°, 90° et 30°, 70°, 80° : pas semblables.
  • 3. MNP : \(180 - (45 + 45) = 90\), donc 90°. RST : \(180 - (90 + 45) = 45\), donc 45°. Les deux ont pour angles 45°, 45°, 90° : semblables.
Exercice 7 Semblables ? Je regarde les côtés (C3) Socle

Les côtés sont déjà rangés du plus petit au plus grand. Fais les trois divisions, puis conclus.

Aide : je divise chaque côté du grand triangle par le côté du petit triangle qui a le même rang. Trois fois le même nombre → semblables.
1. Petit : 3 cm ; 4 cm ; 5 cm. Grand : 6 cm ; 8 cm ; 10 cm.
\(6 : 3 =\) ; \(8 : 4 =\) ; \(10 : 5 =\) . Semblables ?
2. Petit : 2 cm ; 3 cm ; 4 cm. Grand : 5 cm ; 7,5 cm ; 10 cm.
\(5 : 2 =\) ; \(7{,}5 : 3 =\) ; \(10 : 4 =\) . Semblables ?
3. Petit : 4 cm ; 6 cm ; 8 cm. Grand : 8 cm ; 12 cm ; 15 cm.
\(8 : 4 =\) ; \(12 : 6 =\) ; \(15 : 8 =\) . Semblables ?
  • 1. 2 ; 2 ; 2. Trois fois le même nombre : semblables. Le grand est un agrandissement de rapport 2 du petit.
  • 2. 2,5 ; 2,5 ; 2,5 : semblables, avec un rapport 2,5.
  • 3. 2 ; 2 ; 1,875. Le dernier résultat n'est pas 2 : pas semblables. Deux résultats égaux ne suffisent pas.
Exercice 8 Longueurs, aires, volumes : le tableau (C5) Socle

Complète le tableau.

Aide : longueurs × \(k\) ; aires × \(k \times k\) ; volumes × \(k \times k \times k\).
Rapport \(k\)LongueursAiresVolumes
2× 2× 4× 8
3× × ×
10× × ×
0,5× × ×
Puis : un carré a une aire de 5 cm². On l'agrandit avec \(k = 2\). Sa nouvelle aire : cm².
  • \(k = 3\) : longueurs × 3 ; aires × 9 (\(3 \times 3\)) ; volumes × 27 (\(3 \times 3 \times 3\)).
  • \(k = 10\) : longueurs × 10 ; aires × 100 ; volumes × 1 000.
  • \(k = 0{,}5\) : longueurs × 0,5 ; aires × 0,25 (\(0{,}5 \times 0{,}5\)) ; volumes × 0,125 (\(0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5\)).
  • Aire → × 4 : \(5 \times 4 = 20\). La nouvelle aire est de 20 cm² (et pas 10 cm²).
Exercice 9 Agrandir une photo (C4) Socle

Une photo mesure 10 cm de large et 15 cm de haut. Inès veut un poster de même forme, 3 fois plus grand (\(k = 3\)).

Aide : pour agrandir, je multiplie chaque longueur par \(k\).
1. Largeur du poster : \(3 \times 10 =\) cm.
2. Hauteur du poster : cm.
3. Elle veut aussi une petite photo pour son portefeuille, avec \(k = 0{,}5\). Dimensions : cm sur cm.
  • 1. \(3 \times 10 = 30\) : largeur 30 cm.
  • 2. \(3 \times 15 = 45\) : hauteur 45 cm. Vérification : le poster est plus grand que la photo ✓.
  • 3. \(0{,}5 \times 10 = 5\) et \(0{,}5 \times 15 = 7{,}5\) : la petite photo mesure 5 cm sur 7,5 cm.

Niveau standard — j'applique dans des situations

Exercice 10 Coucher le drapeau (C1) Standard

Reproduis la figure sur ton cahier. Construis l'image du drapeau par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens des aiguilles d'une montre.

1. Pour chaque point P, Q, R et S, écris son déplacement depuis O, puis celui de son image.
2. Trace le mât [P′Q′] et le fanion Q′R′S′.
3. Le mât [PQ] mesure 4 carreaux. Combien mesure [P′Q′] ? Pourquoi ?

1. Sens des aiguilles : droite → bas ; haut → droite.

  • P : 1 à droite, 1 en haut → P′ : 1 en bas, 1 à droite.
  • Q : 1 à droite, 5 en haut → Q′ : 1 en bas, 5 à droite.
  • R : 4 à droite, 4 en haut → R′ : 4 en bas, 4 à droite.
  • S : 1 à droite, 3 en haut → S′ : 1 en bas, 3 à droite.

2. Le drapeau est couché vers la droite, sous O.

3. [P′Q′] mesure 4 carreaux : une rotation ne change pas les longueurs.

Exercice 11 Une rotation au rapporteur et au compas (C1) Standard

Sur une feuille blanche :

1. Place un point O. Trace un segment [OA] horizontal de 5 cm, avec A à droite de O.
2. Construis le point A′, image de A par la rotation de centre O, d'angle 50°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
3. Combien mesure [OA′] ? Combien mesure l'angle entre [OA] et [OA′] ?
Aide : rapporteur centré sur O, on part de [OA] et on compte 50° vers le haut. Puis compas pointé sur O, ouvert de O à A.

2. On centre le rapporteur sur O, on mesure 50° à partir de [OA] vers le haut (sens inverse des aiguilles), on trace une demi-droite. Avec le compas pointé sur O et ouvert à 5 cm, on trace un arc : il coupe la demi-droite en A′.

3. OA′ = 5 cm, comme OA (le compas garde la même ouverture). L'angle entre [OA] et [OA′] mesure 50°.

Exercice 12 Rotation ou homothétie ? (C1, C2) Standard

Observe la figure F (bleu) et les figures F1, F2 et F3.

1. Quelle figure est l'image de F par l'homothétie de centre O et de rapport 2 ?
2. Quelle figure est l'image de F par la rotation de centre O, d'angle 90°, sens inverse des aiguilles d'une montre ?
3. Quelle figure est l'image de F par la rotation de centre O, d'angle 180° (demi-tour) ?
4. Quelle figure n'a pas les mêmes longueurs que F ? Pourquoi ?
  • 1. F2 : elle est 2 fois plus grande et 2 fois plus loin de O. Le côté du bas de F mesure 2 carreaux, celui de F2 en mesure 4.
  • 2. F1 : le côté du bas de F (vers la droite) est devenu vertical (vers le haut), et F1 a la même taille que F.
  • 3. F3 : elle est de l'autre côté de O, la tête en bas, et de même taille. C'est la symétrie centrale de centre O.
  • 4. F2 : une homothétie de rapport 2 multiplie les longueurs par 2. Les rotations, elles, ne changent pas les longueurs.
Exercice 13 Homothétie de rapport 1,5 (C2) Standard

Reproduis la figure sur ton cahier. Construis l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport \(k = 1{,}5\).

1. Fais un tableau : déplacement de chaque sommet depuis O, puis × 1,5.
2. Place A′, B′, C′ et trace le triangle A′B′C′.
3. Calcule A′B′ et A′C′ en carreaux. Les longueurs ont-elles été multipliées par 1,5 ?

1.

PointDepuis O× 1,5
A4 → et 2 ↑6 → et 3 ↑
B6 → et 2 ↑9 → et 3 ↑
C4 → et 4 ↑6 → et 6 ↑

3. AB = 2 carreaux et A′B′ = 3 carreaux : \(1{,}5 \times 2 = 3\) ✓. AC = 2 carreaux et A′C′ = 3 carreaux ✓. Oui, les longueurs sont multipliées par 1,5. Le triangle est agrandi, car 1,5 est plus grand que 1.

Exercice 14 Thalès et homothétie (C2, C4) Standard

Dans la figure, (MN) est parallèle à (BC). On sait que AM = 2 cm, AB = 5 cm, MN = 3 cm et AN = 2,4 cm.

1. Le triangle ABC est l'image du triangle AMN par une homothétie. Quel est son centre ?
2. Calcule son rapport \(k = \dfrac{AB}{AM}\).
3. Calcule BC, puis AC.
  • 1. Le centre est le sommet commun : A.
  • 2. \(k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\).
  • 3. [BC] est l'image de [MN] : \(BC = 2{,}5 \times 3 = 7{,}5\), donc BC = 7,5 cm.
    [AC] est l'image de [AN] : \(AC = 2{,}5 \times 2{,}4 = 6\), donc AC = 6 cm.
    On trouve les mêmes résultats qu'avec le théorème de Thalès.
Exercice 15 Les équerres de la classe (C3) Standard

Trois équerres ont un angle droit (90°).

1. Calcule le troisième angle de chaque équerre.
2. L'équerre de Lina et celle du tableau sont-elles semblables ? Justifie.
3. L'équerre de Lina et celle de Mehdi sont-elles semblables ? Justifie.
  • 1. Lina : \(180 - (90 + 60) = 30\), donc 30°. Tableau : \(180 - (90 + 30) = 60\), donc 60°. Mehdi : \(180 - (90 + 45) = 45\), donc 45°.
  • 2. Lina : 30°, 60°, 90°. Tableau : 30°, 60°, 90°. Les angles sont égaux deux à deux : oui, elles sont semblables. La grande équerre est un agrandissement de celle de Lina.
  • 3. Lina : 30°, 60°, 90°. Mehdi : 45°, 45°, 90°. Les angles ne sont pas les mêmes : non, elles ne sont pas semblables, même si les deux ont un angle droit.
Exercice 16 La hauteur de l'arbre (C4, C3) Standard

Pour trouver la hauteur d'un arbre de la cour, Yanis plante un bâton vertical de 1,5 m. Au même moment, l'ombre du bâton mesure 2 m et l'ombre de l'arbre mesure 10 m.

1. Les rayons du soleil sont parallèles et le bâton et l'arbre sont verticaux. Les deux triangles (objet, ombre, rayon) ont donc les mêmes angles. Que peut-on dire de ces deux triangles ?
2. Calcule le rapport \(k\) avec les deux ombres.
3. Calcule la hauteur de l'arbre.
  • 1. Ils ont les mêmes angles : ils sont semblables. Les ombres se correspondent, et les hauteurs se correspondent.
  • 2. \(k = \dfrac{\text{grande ombre}}{\text{petite ombre}} = \dfrac{10}{2} = 5\).
  • 3. On va du petit au grand : on multiplie par 5. \(1{,}5 \times 5 = 7{,}5\). L'arbre mesure 7,5 m.
Exercice 17 Deux coffres en bois de même forme (C5) Standard

Un menuisier fabrique un petit coffre en bois. Il en fabrique ensuite un grand de même forme : toutes les longueurs sont multipliées par 2 (\(k = 2\)).

1. Quelle est la hauteur du grand coffre ?
2. La quantité de vernis dépend de la surface à vernir. Est-ce une longueur, une aire ou un volume ? Combien de vernis faut-il pour le grand coffre ?
3. Combien de litres contient le grand coffre ?
4. L'apprenti dit : « Le grand coffre contient 60 L. » Quelle est son erreur ?
  • 1. Longueur → × 2 : \(40 \times 2 = 80\). Hauteur : 80 cm.
  • 2. Une surface, c'est une aire → × \(2^2 = 4\) : \(0{,}5 \times 4 = 2\). Il faut 2 L de vernis.
  • 3. Le contenu, c'est un volume → × \(2^3 = 8\) : \(30 \times 8 = 240\). Le grand coffre contient 240 L.
  • 4. Il a multiplié le volume par \(k = 2\). Pour un volume, il faut multiplier par \(k^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\).

Approfondissement — je résous seul

Exercice 18 Homothétie de rapport négatif (C2) Approfondissement

Reproduis la figure sur ton cahier.

1. Construis l'image A′B′C′ du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport \(k = -2\).
2. AC mesure 2 carreaux. Combien mesure A′C′ ?
3. Par quelle transformation simple obtient-on l'image de ABC avec \(k = -1\) ?
Aide : avec \(k = -2\), je multiplie les carreaux par 2 et je change le sens : → devient ←, ↑ devient ↓.

1. A : 2 → et 1 ↑ donne A′ : 4 ← et 2 ↓. B : 3 → et 1 ↑ donne B′ : 6 ← et 2 ↓. C : 2 → et 3 ↑ donne C′ : 4 ← et 6 ↓.

2. On multiplie par 2, le nombre sans son signe : A′C′ = 4 carreaux. Une longueur n'est jamais négative.

3. Avec \(k = -1\), chaque point passe de l'autre côté de O, à la même distance : c'est la symétrie centrale de centre O (ou la rotation de 180°).

Exercice 19 Le poteau sous la rampe d'accès (C3, C4) Approfondissement

Une rampe d'accès pour fauteuil roulant monte de 0,5 m sur une longueur au sol de 6 m. Un poteau vertical soutient la rampe à 2,4 m du bas.

1. Explique pourquoi le petit triangle (bas de la rampe, pied du poteau, haut du poteau) et le grand triangle sont semblables.
2. Calcule le rapport \(k\) entre le grand et le petit triangle.
3. Calcule la hauteur h du poteau, en m, puis en cm.
  • 1. Les deux triangles ont le même angle au bas de la rampe, et chacun a un angle droit (le poteau et le bout de la rampe sont verticaux). Deux angles égaux suffisent : ils sont semblables.
  • 2. Les longueurs au sol se correspondent : \(k = \dfrac{6}{2{,}4} = 2{,}5\).
  • 3. On va du grand au petit : on divise par \(k\). \(h = 0{,}5 : 2{,}5 = 0{,}2\). Le poteau mesure 0,2 m, soit 20 cm.
    Vérification : le poteau est plus petit que 0,5 m ✓, et \(0{,}2 \times 2{,}5 = 0{,}5\) ✓.
Exercice 20 Retrouver le rapport k (C5, C4) Approfondissement
1. Une photo est agrandie. Son aire est multipliée par 9. Par combien sont multipliées ses longueurs ?
2. Un dé est agrandi : son arête est multipliée par 3. Le petit dé pèse 4 g. Combien pèse le grand dé, fait de la même matière ?
3. Deux boîtes cubiques ont la même forme. La grande contient 8 fois plus que la petite. Par combien sont multipliées les arêtes ? Et l'aire d'une face ?
4. Une voiture miniature est une réduction au 1/43 : la vraie voiture est un agrandissement de rapport \(k = 43\) de la miniature. La miniature mesure 9,5 cm de long. Quelle est la longueur de la vraie voiture, en m ?
  • 1. L'aire est multipliée par \(k \times k = 9\). Or \(3 \times 3 = 9\) : les longueurs sont multipliées par 3.
  • 2. La masse dépend du volume de matière : × \(3^3 = 27\). \(4 \times 27 = 108\). Le grand dé pèse 108 g.
  • 3. Le volume est multiplié par \(k \times k \times k = 8\). Or \(2 \times 2 \times 2 = 8\) : les arêtes sont multipliées par 2, et l'aire d'une face par \(2 \times 2 =\) 4.
  • 4. Longueur → × 43 : \(9{,}5 \times 43 = 408{,}5\) cm. La vraie voiture mesure environ 4,1 m (408,5 cm).
Exercice 21 Les sept phrases de Mehdi (C1 à C5) Approfondissement

Mehdi a écrit sept phrases. Pour chacune, dis si elle est juste. Si elle est fausse, explique l'erreur et corrige-la.

a) « Après une rotation, la figure est plus grande. »
b) « Une homothétie de rapport 0,5 agrandit la figure. »
c) « Deux triangles qui ont deux angles égaux sont semblables. »
d) « Les triangles de côtés 2 cm, 3 cm, 4 cm et 4 cm, 6 cm, 9 cm sont semblables. »
e) « Si on agrandit un carreau avec k = 3, son aire est multipliée par 3. »
f) « Si on agrandit une boîte avec k = 2, son volume est multiplié par 8. »
g) « Par une homothétie de rapport −2, un segment de 3 cm devient un segment de −6 cm. »
  • a) Faux. Une rotation ne déforme pas la figure : elle garde les mêmes longueurs, elle est seulement tournée.
  • b) Faux. 0,5 est entre 0 et 1 : la figure est réduite (2 fois plus petite).
  • c) Juste. Le troisième angle est alors forcément égal aussi, car la somme fait toujours 180°.
  • d) Faux. \(4 : 2 = 2\) ; \(6 : 3 = 2\) ; \(9 : 4 = 2{,}25\). Les trois résultats ne sont pas égaux : pas semblables.
  • e) Faux. Une aire est multipliée par \(k^2 = 3 \times 3 =\) 9.
  • f) Juste. Un volume est multiplié par \(k^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\).
  • g) Faux. Une longueur n'est jamais négative : on multiplie par 2, le nombre sans son signe. Le segment image mesure 6 cm.