Chapitre 15 – Rotations, homothéties et triangles semblables

3e prépa-métiers | Mathématiques | Espace et géométrie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Utiliser le théorème de Thalès et le produit en croix (chapitre 6).
Mesurer un angle avec le rapporteur et reporter une longueur avec le compas.
Savoir que la somme des trois angles d'un triangle vaut 180°.
Calculer un carré et un cube, par exemple \(2^2 = 2 \times 2 = 4\) et \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) (chapitre 2).

Objectifs du chapitre :

C1 – Construire l'image d'une figure par une rotation (centre, angle, sens).
C2 – Construire l'image d'une figure par une homothétie de rapport positif (et négatif en complément).
C3 – Reconnaître des triangles semblables (angles égaux ou côtés proportionnels).
C4 – Utiliser les triangles semblables ou une homothétie pour calculer une longueur.
C5 – Connaître l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k sur les longueurs, aires et volumes.

Deux fois plus grand… deux fois plus de papier ?

Lina a dessiné l'affiche du concert de son groupe sur une feuille A4 (21 cm sur 29,7 cm). L'imprimeur propose de l'agrandir au format A2 (42 cm sur 59,4 cm).

L'affiche A4 (en bleu) et l'affiche A2 (en rouge), dessinées à la même échelle.

Lina dit : « Les côtés sont deux fois plus longs, donc il faudra deux fois plus de papier. »

A-t-elle raison ? Tu sauras répondre à la fin du chapitre (section 6).

1. Faire tourner une figure : la rotation (C1)

1.1 Le vocabulaire

Une roue de vélo, les aiguilles d'une horloge, les pales d'une éolienne : tout cela tourne autour d'un point fixe. En maths, on parle de rotation.

Vocabulaire Pour faire tourner une figure, il faut donner trois informations :

le centre : le point fixe autour duquel on tourne (souvent appelé O) ;
l'angle : de combien on tourne, en degrés (90° = un quart de tour, 180° = un demi-tour) ;
le sens : le sens des aiguilles d'une montre, ou le sens inverse.

La figure obtenue s'appelle l'image. On nomme ses points avec un petit trait : l'image de A s'appelle A′ (on lit « A prime »).

Les deux sens possibles pour tourner.

Propriété Une rotation ne déforme pas la figure : l'image a la même forme et les mêmes mesures (mêmes longueurs, mêmes angles, même aire). Elle est seulement tournée.

1.2 Le quart de tour sur un quadrillage

Sur un quadrillage, le quart de tour (90°) se fait en comptant les carreaux depuis le centre O.

Le point est, depuis O, à…	Quart de tour sens inverse des aiguilles : l'image est à…	Quart de tour sens des aiguilles : l'image est à…
… carreaux à droite	… carreaux en haut	… carreaux en bas
… carreaux en haut	… carreaux à gauche	… carreaux à droite
… carreaux à gauche	… carreaux en bas	… carreaux en haut
… carreaux en bas	… carreaux à droite	… carreaux à gauche

Méthode Construire l'image d'une figure par un quart de tour sur quadrillage

Pour un sommet, compter les carreaux pour aller de O jusqu'à lui (droite ou gauche, puis haut ou bas).

Tourner chaque déplacement avec le tableau, puis placer l'image en partant de O.

Recommencer pour chaque sommet.

Relier les points images dans le même ordre, et vérifier que la figure a gardé sa forme.

Exemple : construire l'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre : ABC (bleu) a pour image A′B′C′ (rouge).

A est à 2 carreaux à droite de O. Donc A′ est à 2 carreaux en haut de O.

B est à 5 carreaux à droite de O. Donc B′ est à 5 carreaux en haut de O.

C est à 2 carreaux à droite et 2 en haut. Donc C′ est à 2 carreaux en haut et 2 à gauche.

On relie A′, B′ et C′. Vérification : AB = 3 carreaux et A′B′ = 3 carreaux.

Attention

On compte toujours depuis le centre O, pas depuis un autre point de la figure.
Regarde bien le sens demandé : un quart de tour dans le mauvais sens donne une image au mauvais endroit.

À toi

Le quadrilatère DEFG et le centre O.

Sur ton cahier, reproduis la figure. Construis l'image de DEFG par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens des aiguilles d'une montre.

On utilise la dernière colonne du tableau : droite → bas, haut → droite.

D : 1 à droite, 1 en haut → D′ : 1 en bas, 1 à droite.
E : 4 à droite, 1 en haut → E′ : 4 en bas, 1 à droite.
F : 4 à droite, 2 en haut → F′ : 4 en bas, 2 à droite.
G : 1 à droite, 3 en haut → G′ : 1 en bas, 3 à droite.

DEFG (bleu) et son image D′E′F′G′ (rouge) par le quart de tour de centre O, sens des aiguilles d'une montre.

1.3 Un angle quelconque : rapporteur et compas

Quand l'angle n'est pas 90°, on utilise le rapporteur et le compas.

Méthode Construire l'image d'un point A par une rotation de centre O

Tracer le segment [OA].

Avec le rapporteur centré sur O, mesurer l'angle demandé à partir de [OA], dans le bon sens. Tracer une demi-droite.

Avec le compas pointé sur O, ouvert de O à A, tracer un arc qui coupe la demi-droite : c'est le point A′. On a OA′ = OA.

Pour une figure, recommencer avec chaque sommet, puis relier.

Exemple : image du point A par la rotation de centre O, d'angle 60°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Image du point A par la rotation de centre O, d'angle 60°, sens inverse des aiguilles d'une montre.

A′ est à la même distance de O que A, et l'angle entre [OA] et [OA′] mesure 60°.

À savoir La rotation d'angle 180° (un demi-tour) est la symétrie centrale vue en 5e : dans ce cas, le sens ne compte pas.

1.4 Reconnaître une rotation autour de nous

Beaucoup d'objets sont formés d'un même motif répété en tournant : éolienne, roue, rosace, logo, enjoliveur de voiture. Pour trouver l'angle, on partage un tour complet, 360°, par le nombre de motifs.

Exemple (éolienne) : une éolienne a 3 pales régulièrement espacées.

Éolienne à 3 pales : la pale 2 (rouge) est l'image de la pale 1 (bleu) par la rotation de centre O, d'angle 120°.

Angle de la rotation : \(360 : 3 = 120\). En tournant de 120° autour du centre O, chaque pale vient prendre la place de la suivante.

À toi

Grande roue à 8 nacelles régulièrement espacées.

a) La grande roue tourne pour amener chaque nacelle à la place de la suivante. De quel angle tourne-t-elle ?
b) En 15 minutes, de quel angle tourne la grande aiguille d'une horloge ? Dans quel sens ?

a) Il y a 8 nacelles : \(360 : 8 = 45\). La roue tourne de 45°.
b) En 15 minutes, la grande aiguille fait un quart de tour : \(360 : 4 = 90\). Elle tourne de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre.

2. Agrandir ou réduire : l'homothétie (C2)

2.1 Comment ça marche

Un vidéoprojecteur agrandit une image à partir de sa lampe. Le zoom d'un téléphone agrandit ou réduit une photo. En maths, on parle d'homothétie.

Vocabulaire Une homothétie se donne par :

un centre O : le point fixe à partir duquel on agrandit ou on réduit ;
un rapport k : le nombre par lequel on multiplie les distances.

Pour placer l'image M′ d'un point M : M′ est sur la droite qui part de O et passe par M, du même côté que M, et \(OM' = k \times OM\).

Le point image est sur la droite qui part de O : 2 fois plus loin si k = 2, 2 fois plus près si k = 0,5.

Propriété

Si k est plus grand que 1, la figure est agrandie.
Si k est entre 0 et 1, la figure est réduite.
Les longueurs sont multipliées par k. Les angles ne changent pas : la figure garde sa forme.
Chaque côté de l'image est parallèle au côté de départ.

Méthode Construire l'image d'une figure par une homothétie sur quadrillage

Pour un sommet, compter les carreaux pour aller de O jusqu'à lui (→ puis ↑).

Multiplier ces deux nombres par k.

Placer le point image en partant de O avec ces nouveaux nombres.

Recommencer pour chaque sommet, puis relier dans le même ordre.

Exemple : construire l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k = 2.

Homothétie de centre O et de rapport 2 : ABC (bleu) a pour image A′B′C′ (rouge). Chaque côté rouge est 2 fois plus long.

Point	Depuis O	× 2	Image
A	2 → et 1 ↑	4 → et 2 ↑	A′
B	4 → et 1 ↑	8 → et 2 ↑	B′
C	3 → et 3 ↑	6 → et 6 ↑	C′

Vérification : AB = 2 carreaux et A′B′ = 4 carreaux. La longueur est bien multipliée par 2, et [A′B′] est parallèle à [AB].

Attention

On multiplie les distances depuis O, pas les numéros des carreaux du quadrillage.
Avec k = 0,5, on prend la moitié des carreaux : l'image est plus petite et plus près de O.

À toi

Le quadrilatère PQRS et le centre O.

Sur ton cahier, reproduis la figure. Construis l'image de PQRS par l'homothétie de centre O et de rapport k = 0,5.

On prend la moitié de chaque nombre de carreaux :

P : 6 → et 2 ↑ → P′ : 3 → et 1 ↑.
Q : 10 → et 2 ↑ → Q′ : 5 → et 1 ↑.
R : 10 → et 6 ↑ → R′ : 5 → et 3 ↑.
S : 8 → et 6 ↑ → S′ : 4 → et 3 ↑.

Vérification : PQ = 4 carreaux et P′Q′ = 2 carreaux.

PQRS (bleu) et son image P′Q′R′S′ (rouge) par l'homothétie de centre O et de rapport 0,5.

2.2 Le lien avec Thalès

Propriété Dans la configuration de Thalès (chapitre 6), avec (MN) // (BC) : le grand triangle ABC est l'image du petit triangle AMN par l'homothétie de centre A et de rapport \(k = \dfrac{AB}{AM}\).

Exemple : AM = 3 cm, AB = 9 cm, MN = 4 cm et (MN) // (BC). Calculer BC.

Configuration de Thalès du chapitre 6 : (MN) // (BC). ABC (rouge) est l'image de AMN (bleu) par l'homothétie de centre A et de rapport 3.

Rapport de l'homothétie : \(k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{9}{3} = 3\).

[BC] est l'image de [MN], donc \(BC = 3 \times MN = 3 \times 4 = 12\).

On trouve BC = 12 cm, le même résultat qu'avec le théorème de Thalès.

Complément : homothétie de rapport négatif

Si k est négatif, l'image passe de l'autre côté du centre O. Les longueurs sont multipliées par le nombre sans son signe : avec k = −2, les longueurs sont multipliées par 2.

Homothétie de centre O et de rapport −2 : l'image passe de l'autre côté de O et elle est 2 fois plus grande.

A est à 1 → et 1 ↑ de O. Avec k = −2, A′ est à 2 ← et 2 ↓ de O : on multiplie par 2 et on change le sens. Même chose pour B et C.

L'homothétie de rapport −1 est la symétrie centrale de centre O.
La configuration « papillon » de Thalès correspond à une homothétie de rapport négatif.

À toi

Un segment [AB] mesure 3 cm. Quelle est la longueur de son image par une homothétie de rapport −2 ?

On multiplie par 2, le nombre sans son signe : \(2 \times 3 = 6\). L'image mesure 6 cm. Une longueur n'est jamais négative.

3. Reconnaître des triangles semblables (C3)

Définition Deux triangles sont semblables quand leurs angles sont égaux deux à deux.
Ils ont la même forme : l'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre, parfois tourné ou retourné.

Vocabulaire Dans deux triangles semblables, les côtés homologues sont les côtés qui se correspondent : ils sont en face des angles égaux.

Propriété

Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles.
Inversement, si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.

3.1 Avec les angles

Méthode Reconnaître des triangles semblables avec les angles

Si un angle manque, le calculer : 3e angle = 180° − (1er angle + 2e angle).

Écrire les trois angles de chaque triangle.

Si ce sont les mêmes angles, les triangles sont semblables.

Exemple 1 : les triangles ABC et DEF sont-ils semblables ?

Les triangles ABC et DEF : deux angles sont connus dans chacun.

Dans ABC : angle en C = 180° − (40° + 60°) = 180° − 100° = 80°.

Dans DEF : angle en F = 180° − (80° + 40°) = 180° − 120° = 60°.

ABC a pour angles 40°, 60°, 80°. DEF a aussi pour angles 40°, 60°, 80°.

Les angles sont égaux deux à deux : ABC et DEF sont semblables.

Astuce Il suffit de trouver deux angles égaux : le troisième est alors forcément égal aussi, car la somme fait toujours 180°.

3.2 Avec les longueurs des côtés

Méthode Reconnaître des triangles semblables avec les côtés

Ranger les côtés de chaque triangle du plus petit au plus grand.

Diviser chaque côté du grand triangle par le côté du petit triangle qui a le même rang.

Si on trouve trois fois le même nombre, les côtés sont proportionnels : les triangles sont semblables.

Exemple 2 : les triangles RST et UVW sont-ils semblables ?

Triangles RST et UVW : les côtés de même couleur se correspondent.

RST : 4 cm ; 5 cm ; 6 cm. UVW : 6 cm ; 7,5 cm ; 9 cm.

\(6 : 4 = 1{,}5\) ; \(7{,}5 : 5 = 1{,}5\) ; \(9 : 6 = 1{,}5\).

On trouve trois fois 1,5 : les côtés sont proportionnels.

RST et UVW sont semblables. UVW est un agrandissement de RST de rapport 1,5.

Exemple 3 : un triangle a pour côtés 4 cm, 5 cm et 6 cm ; un autre a pour côtés 8 cm, 10 cm et 13 cm.

\(8 : 4 = 2\) ; \(10 : 5 = 2\) ; \(13 : 6 \approx 2{,}17\).
Les trois résultats ne sont pas tous égaux : ces triangles ne sont pas semblables.

Attention

On divise toujours un côté par son homologue : le plus petit par le plus petit, le plus grand par le plus grand.
Deux résultats égaux ne suffisent pas : il faut vérifier les trois.

À toi

Triangles GHI et JKL.

a) Les triangles GHI et JKL sont-ils semblables ?
b) Un triangle a pour côtés 3 cm, 5 cm et 6 cm ; un autre a pour côtés 6 cm, 10 cm et 11 cm. Sont-ils semblables ?

a) Angle en I = 180° − (35° + 75°) = 70°. Angle en L = 180° − (70° + 75°) = 35°.
Les deux triangles ont pour angles 35°, 70°, 75° : ils sont semblables.
b) \(6 : 3 = 2\) ; \(10 : 5 = 2\) ; \(11 : 6 \approx 1{,}83\). Les résultats ne sont pas tous égaux : ils ne sont pas semblables.

4. Calculer une longueur (C4)

Méthode Calculer une longueur avec des triangles semblables

Repérer deux côtés homologues dont on connaît les deux longueurs.

Calculer le rapport : \(k = \dfrac{\text{longueur dans le grand triangle}}{\text{longueur dans le petit triangle}}\).

Pour aller du petit au grand, multiplier par k. Pour aller du grand au petit, diviser par k.

Conclure par une phrase, avec l'unité.

Exemple (charpente) : un charpentier fabrique deux fermes de toit de même forme. Calculer le rampant et la hauteur de la grande ferme.

Deux fermes de charpente de même forme : leurs triangles sont semblables.

Les deux triangles ont la même forme : ils sont semblables. Les bases se correspondent : 4 m et 6 m.

Rapport : \(k = 6 : 4 = 1{,}5\).

Rampant : \(2{,}5 \times 1{,}5 = 3{,}75\). Hauteur : \(1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25\).

La grande ferme a un rampant de 3,75 m et une hauteur de 2,25 m.

Avec une homothétie Si une figure est l'image d'une autre par une homothétie de rapport k (k positif), alors : longueur de l'image = k × longueur de départ.

Exemple : on agrandit le logo d'un club de foot par une homothétie de rapport 2,5. Sur le dessin, le logo mesure 4 cm de haut.

Hauteur de l'image : \(2{,}5 \times 4 = 10\). Le logo agrandi mesure 10 cm de haut.

Attention

Le rapport k se calcule avec deux côtés homologues, jamais avec deux côtés du même triangle.
Si on agrandit, le résultat doit être plus grand. Si on réduit, il doit être plus petit.

À toi

a) Les triangles ABC et DEF sont semblables. AB correspond à DE, BC à EF, AC à DF.
On sait : AB = 5 cm, BC = 7 cm, AC = 8 cm et DE = 15 cm. Calcule EF et DF.
b) Un panneau triangulaire de 60 cm de côté est réduit par une homothétie de rapport 0,5. Quelle est la longueur du côté de l'image ?

a) Rapport : \(k = DE : AB = 15 : 5 = 3\).
\(EF = 3 \times 7 = 21\) et \(DF = 3 \times 8 = 24\). Donc EF = 21 cm et DF = 24 cm.
b) \(0{,}5 \times 60 = 30\). Le côté de l'image mesure 30 cm.

5. Longueurs, aires et volumes (C5)

Quand on agrandit une figure 2 fois, est-ce que tout est multiplié par 2 ? Non ! Regarde les carreaux et les petits cubes.

Agrandissement de rapport 2 : le côté est multiplié par 2, l'aire est multipliée par 4.

Agrandissement de rapport 2 : l'arête est multipliée par 2, le volume est multiplié par 8.

Propriété Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :

les longueurs sont multipliées par k ;
les aires sont multipliées par k² (c'est-à-dire k × k) ;
les volumes sont multipliés par k³ (c'est-à-dire k × k × k).

Les angles ne changent pas.

Rapport k	Longueurs	Aires	Volumes
k = 2	× 2	× 4	× 8
k = 3	× 3	× 9	× 27
k = 0,5	× 0,5	× 0,25	× 0,125

Exemple 1 (une boîte) : une boîte cubique de 10 cm d'arête contient 1 L. On fabrique une boîte de même forme, 2 fois plus grande. Combien contient-elle ?

Rapport : k = 2. Les volumes sont multipliés par \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\).

Volume : \(1 \times 8 = 8\).

La grande boîte contient 8 L. Vérification : \(20 \times 20 \times 20 = 8\,000\) cm³ = 8 L.

Exemple 2 (une photo réduite) : une photo a une aire de 60 cm². On la réduit de moitié : k = 0,5.

Les aires sont multipliées par \(0{,}5^2 = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25\).

Aire : \(60 \times 0{,}25 = 15\).

La photo réduite a une aire de 15 cm².

Attention

L'erreur la plus fréquente : multiplier une aire ou un volume par k. Pour une aire, c'est k² ; pour un volume, c'est k³.
Repère l'unité : cm ou m → longueur (k) ; cm² ou m² → aire (k²) ; cm³, m³ ou L → volume (k³).

À toi

a) Un carreau de carrelage a une aire de 100 cm². On l'agrandit avec k = 3. Quelle est l'aire du nouveau carreau ?
b) Un aquarium contient 50 L. Un aquarium de même forme est 2 fois plus grand (k = 2). Combien contient-il ?
c) Sur un plan, on réduit une pièce avec k = 0,5. Son aire était de 80 cm². Quelle est sa nouvelle aire ?

a) Aire → on multiplie par \(3^2 = 9\) : \(100 \times 9 = 900\). Le nouveau carreau a une aire de 900 cm².
b) Volume → on multiplie par \(2^3 = 8\) : \(50 \times 8 = 400\). Il contient 400 L.
c) Aire → on multiplie par \(0{,}5^2 = 0{,}25\) : \(80 \times 0{,}25 = 20\). La nouvelle aire est de 20 cm².

6. Retour à la situation de départ

Réponse : l'affiche A4 (21 cm × 29,7 cm) est agrandie en A2 (42 cm × 59,4 cm).

Rapport : \(k = 42 : 21 = 2\) (et \(59{,}4 : 29{,}7 = 2\)).

Une surface de papier est une aire : elle est multipliée par \(2^2 = 4\).

Vérification : aire A4 = \(21 \times 29{,}7 = 623{,}7\) cm² ; aire A2 = \(42 \times 59{,}4 = 2\,494{,}8\) cm². Et \(623{,}7 \times 4 = 2\,494{,}8\).

Dans une affiche A2, on peut ranger exactement 4 feuilles A4.

Lina se trompe : il faut 4 fois plus de papier, pas 2 fois plus.

7. L'essentiel à retenir

À retenir :

Rotation : on fait tourner une figure autour d'un centre, d'un angle, dans un sens. L'image a la même forme et les mêmes mesures.
Sur quadrillage, quart de tour : on compte les carreaux depuis O, puis on tourne chaque déplacement.
Homothétie de centre O et de rapport k : on multiplie les distances depuis O par k. k plus grand que 1 → agrandissement ; k entre 0 et 1 → réduction ; k négatif → l'image passe de l'autre côté de O.
Thalès : le grand triangle est l'image du petit par une homothétie de centre le sommet commun.
Triangles semblables : mêmes angles, ou côtés proportionnels. Deux angles égaux suffisent.
Pour calculer une longueur : \(k = \dfrac{\text{grand}}{\text{petit}}\) avec deux côtés homologues, puis on multiplie (ou on divise) par k.
Rapport k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³. Les angles ne changent pas.