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Chapitre 11 – Exercices

3e prépa-métiers  |  Mathématiques  |  Nombres et calculs

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

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Rappels essentiels : Les exercices sont progressifs : commence par le niveau socle, puis avance à ton rythme. Le code (C1, C2…) indique la capacité travaillée. La calculatrice est autorisée pour vérifier une division.

Niveau socle — je m'entraîne pas à pas

Exercice 1 Dans la table ? (C1) Socle

Réponds par « oui » ou « non ». Si c'est oui, écris la multiplication.

Aide : « multiple de 6 » veut dire « dans la table de 6 ».
Table de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32.   Table de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Table de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36.   Table de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56.   Table de 9 : 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72.
1. 24 est-il un multiple de 6 ?
2. 35 est-il un multiple de 5 ?
3. 26 est-il un multiple de 4 ?
4. 63 est-il un multiple de 9 ?
5. 50 est-il un multiple de 8 ?
6. Écris les cinq premiers multiples de 7 :
  • 1. Oui : \(24 = 6 \times 4\).
  • 2. Oui : \(35 = 5 \times 7\).
  • 3. Non : dans la table de 4, on a 24 puis 28. 26 n'y est pas.
  • 4. Oui : \(63 = 9 \times 7\).
  • 5. Non : dans la table de 8, on a 48 puis 56. 50 n'y est pas.
  • 6. Table de 7 : 7, 14, 21, 28, 35.
Exercice 2 Est-ce que ça tombe juste ? (C1) Socle

Fais chaque division à la calculatrice. Dis si le résultat est entier, puis réponds à la question.

Aide : résultat sans virgule : ça tombe juste, c'est un diviseur. Résultat avec une virgule : ce n'est pas un diviseur.
1. \(72 : 8 =\) . 8 est-il un diviseur de 72 ?
2. \(45 : 4 =\) . 4 est-il un diviseur de 45 ?
3. \(91 : 7 =\) . 7 est-il un diviseur de 91 ?
4. \(100 : 6 =\) . 100 est-il divisible par 6 ?
5. \(84 : 12 =\) . 84 est-il un multiple de 12 ?
  • 1. \(72 : 8 = 9\), sans virgule : oui, 8 est un diviseur de 72 (\(72 = 8 \times 9\)).
  • 2. \(45 : 4 = 11{,}25\), il y a une virgule : non.
  • 3. \(91 : 7 = 13\), sans virgule : oui (\(91 = 7 \times 13\)).
  • 4. \(100 : 6 = 16{,}666…\), il y a une virgule : non.
  • 5. \(84 : 12 = 7\), sans virgule : oui, 84 est un multiple de 12 (\(84 = 12 \times 7\)).
Exercice 3 Des paquets et un reste (C1) Socle

On range des objets dans des paquets pleins. On veut savoir combien de paquets on remplit et combien d'objets restent.

Aide : 1. Dans la table, cherche le plus grand résultat qui ne dépasse pas le nombre. 2. Le nombre de fois, c'est le quotient. 3. Fais la soustraction : c'est le reste. 4. Le reste doit être plus petit que le diviseur.
1. 29 bonbons dans des sachets de 5. Table de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30.
Le plus grand résultat sans dépasser 29 : \(5 \times\) \(=\) . Reste : \(29 -\) \(=\)
2. Recopie et complète : \(29 = 5 \times\) \(+\)
3. 38 cartes dans des paquets de 7. Table de 7 : 7, 14, 21, 28, 35, 42.
\(38 = 7 \times\) \(+\)
4. 50 œufs dans des boîtes de 6. Combien de boîtes pleines ? Combien d'œufs restent ?

1. \(5 \times 5 = 25\) (30 dépasse 29). Reste : \(29 - 25 = 4\).

2. \(29 = 5 \times 5 + 4\) : 5 sachets pleins, 4 bonbons restent. 4 est plus petit que 5. ✓

3. \(7 \times 5 = 35\) (42 dépasse 38), et \(38 - 35 = 3\). \(38 = 7 \times 5 + 3\) : 5 paquets, 3 cartes restent. 3 est plus petit que 7. ✓

4. Table de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54. Le plus grand sans dépasser 50 est \(48 = 6 \times 8\). \(50 - 48 = 2\). Donc \(50 = 6 \times 8 + 2\) : 8 boîtes pleines et 2 œufs restent.

Exercice 4 Regarder le dernier chiffre : 2, 5 et 10 (C2) Socle

Recopie et complète le tableau par « oui » ou « non ».

Aide : entoure le chiffre des unités. Par 2 : 0, 2, 4, 6 ou 8. Par 5 : 0 ou 5. Par 10 : 0.
Nombredivisible par 2 ?divisible par 5 ?divisible par 10 ?
40………
75………
136………
95………
210………
83………
NombreChiffre des unitéspar 2par 5par 10
400ouiouioui
755nonouinon
1366ouinonnon
955nonouinon
2100ouiouioui
833nonnonnon

Un nombre qui finit par 0 est divisible par 2, par 5 et par 10 à la fois.

Exercice 5 Additionner les chiffres : 3 et 9 (C2) Socle

Pour chaque nombre, calcule la somme de ses chiffres. Puis dis s'il est divisible par 3 et par 9.

Aide : table de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21.   Table de 9 : 9, 18, 27.
Exemple : 123, somme \(1 + 2 + 3 = 6\). 6 est dans la table de 3, pas dans celle de 9. Donc 123 est divisible par 3, pas par 9.
1. 27 : somme \(2 + 7 =\) . Par 3 ? Par 9 ?
2. 51 : somme \(5 + 1 =\) . Par 3 ? Par 9 ?
3. 74 : somme . Par 3 ? Par 9 ?
4. 117 : somme . Par 3 ? Par 9 ?
5. 132 : somme . Par 3 ? Par 9 ?
6. 304 : somme . Par 3 ? Par 9 ?
  • 1. \(2 + 7 = 9\) : 9 est dans la table de 3 et dans celle de 9. 27 est divisible par 3 et par 9.
  • 2. \(5 + 1 = 6\) : dans la table de 3, pas dans celle de 9. 51 est divisible par 3, pas par 9.
  • 3. \(7 + 4 = 11\) : ni dans la table de 3, ni dans celle de 9. 74 n'est ni divisible par 3, ni par 9.
  • 4. \(1 + 1 + 7 = 9\) : 117 est divisible par 3 et par 9. (Vérification : \(117 : 9 = 13\).)
  • 5. \(1 + 3 + 2 = 6\) : 132 est divisible par 3, pas par 9. (Vérification : \(132 : 3 = 44\).)
  • 6. \(3 + 0 + 4 = 7\) : 304 n'est ni divisible par 3, ni par 9. Attention : il finit par 4, mais pour 3 on additionne les chiffres.
Exercice 6 Des groupes pour le cross (C2) Socle

Au cross du collège, il y a 126 coureurs. Le professeur de sport veut faire des groupes de même taille, sans personne en trop.

Aide : faire des groupes de 5, c'est possible si 126 est divisible par 5. Utilise les critères : dernier chiffre pour 2, 5 et 10 ; somme des chiffres pour 3 et 9.
1. Le chiffre des unités de 126 est . La somme des chiffres est
2. Peut-il faire des groupes de 2 ? de 5 ? de 10 ?
3. Peut-il faire des groupes de 3 ? de 9 ?
4. L'année suivante, il y a 130 coureurs. Mêmes questions pour 2, 3, 5, 9 et 10.

1. Le chiffre des unités est 6. La somme des chiffres est \(1 + 2 + 6 = 9\).

2. 126 finit par 6 : oui pour 2 (63 groupes de 2) ; non pour 5 et pour 10 (il faudrait 0 ou 5 à la fin).

3. La somme 9 est dans la table de 3 et dans celle de 9 : oui pour 3 (\(126 : 3 = 42\) groupes) et oui pour 9 (\(126 : 9 = 14\) groupes).

4. 130 finit par 0 : oui pour 2, 5 et 10. Somme \(1 + 3 + 0 = 4\) : ni dans la table de 3, ni dans celle de 9, donc non pour 3 et 9.

Exercice 7 Ranger des élèves en rangées (C3) Socle

Pour une photo de classe, on range 12 élèves en rangées égales. Par exemple : 3 rangées de 4 élèves.

Aide : chaque façon de ranger donne une paire de diviseurs. Teste 1, 2, 3, 4… dans l'ordre.
1. Complète : \(12 = 1 \times\) ; \(12 = 2 \times\) ; \(12 = 3 \times\)
2. Écris tous les diviseurs de 12, du plus petit au plus grand :
3. Peut-on ranger les 12 élèves en rangées de 5 ? Pourquoi ?
4. Dans une autre classe, il y a 24 élèves. Écris toutes les paires, puis la liste des diviseurs de 24.

1. \(12 = 1 \times 12\) ; \(12 = 2 \times 6\) ; \(12 = 3 \times 4\). (Ensuite on tomberait sur 4, déjà dans la paire \(3 \times 4\) : on s'arrête.)

2. Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.

3. Non : 5 n'est pas dans la liste (12 ne finit ni par 0 ni par 5). Il resterait 2 élèves : \(12 = 5 \times 2 + 2\).

4. \(24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6\) (5 ne marche pas, 6 est déjà dans \(4 \times 6\)). Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Exercice 8 La liste des diviseurs (C3) Socle

Écris la liste de tous les diviseurs de chaque nombre.

Aide : 1. Teste 1, 2, 3, 4, 5… dans l'ordre (critères ou calculatrice). 2. Quand ça tombe juste, écris la paire. 3. Arrête-toi quand tu retrouves un nombre déjà écrit. 4. Range tout du plus petit au plus grand.
1. Diviseurs de 18 : \(18 = 1 \times 18 = 2 \times\) \(= 3 \times\) . Liste :
2. Diviseurs de 40 :
3. Diviseurs de 45 :

1. \(18 = 1 \times 18 = 2 \times 9 = 3 \times 6\). 4 et 5 ne marchent pas, 6 est déjà écrit. Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.

2. \(40 = 1 \times 40 = 2 \times 20 = 4 \times 10 = 5 \times 8\). 3, 6 et 7 ne marchent pas, 8 est déjà écrit. Diviseurs de 40 : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

3. \(45 = 1 \times 45 = 3 \times 15 = 5 \times 9\). 2, 4, 6, 7 et 8 ne marchent pas, 9 est déjà écrit. Diviseurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Exercice 9 Premier ou pas ? (C4) Socle

Voici neuf nombres :   1   2   9   11   15   21   23   27   29

Aide : les nombres premiers jusqu'à 30 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Un nombre qui n'est pas premier s'écrit comme une multiplication de deux nombres plus petits que lui (sans utiliser 1).
1. Recopie les nombres premiers de la liste :
2. Pour chaque nombre qui n'est pas premier (sauf 1), écris une multiplication. Exemple : \(9 = 3 \times 3\).
3. Pourquoi 1 n'est-il pas premier ?

1. Nombres premiers : 2, 11, 23, 29.

2. \(9 = 3 \times 3\) ; \(15 = 3 \times 5\) ; \(21 = 3 \times 7\) ; \(27 = 3 \times 9\).

3. Un nombre premier a exactement deux diviseurs. 1 n'en a qu'un seul (lui-même) : il n'est pas premier.

Exercice 10 Compléter un arbre (C4) Socle

On décompose 36 avec un arbre. Deux nombres sont cachés par des points d'interrogation.

Aide : sous chaque nombre, on écrit une multiplication qui donne ce nombre. On s'arrête sur les nombres premiers (entourés).
1. \(4 = 2 \times\)    \(9 =\) \(\times 3\)
2. Écris la décomposition : \(36 =\) , puis vérifie le produit.
3. Fais l'arbre de 30 en commençant par \(30 = 3 \times 10\). Écris la décomposition de 30.
4. Fais l'arbre de 40 en commençant par \(40 = 4 \times 10\). Écris la décomposition de 40.

1. \(4 = 2 \times 2\) et \(9 = 3 \times 3\). Les deux nombres cachés sont 2 et 3.

2. \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3\). Vérification : \(4 \times 9 = 36\). ✓

3. \(30 = 3 \times 10\) ; 3 est premier (on l'entoure) ; \(10 = 2 \times 5\), et 2 et 5 sont premiers. Donc \(30 = 2 \times 3 \times 5\). Vérification : \(6 \times 5 = 30\). ✓

4. \(40 = 4 \times 10\) ; \(4 = 2 \times 2\) ; \(10 = 2 \times 5\). Donc \(40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5\). Vérification : \(8 \times 5 = 40\). ✓

Exercice 11 Simplifier une fraction pas à pas (C5) Socle

Simplifie chaque fraction jusqu'à ce qu'elle soit irréductible.

Aide : on divise le nombre du haut et le nombre du bas par le même nombre. On recommence tant que c'est possible.
1. \(\dfrac{6}{8}\) : 6 et 8 sont pairs. \(\dfrac{6 : 2}{8 : 2} =\)
2. \(\dfrac{10}{25}\) : 10 et 25 sont dans la table de 5. \(\dfrac{10 : 5}{25 : 5} =\)
3. \(\dfrac{12}{18}\) : divise d'abord par 2, puis par 3.
4. \(\dfrac{25}{40}\) :
5. La fraction \(\dfrac{7}{9}\) peut-elle être simplifiée ? Pourquoi ?

1. \(\dfrac{6 : 2}{8 : 2} = \dfrac{3}{4}\). 3 et 4 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 : \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\).

2. \(\dfrac{10 : 5}{25 : 5} = \dfrac{2}{5}\) : \(\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}\).

3. \(\dfrac{12 : 2}{18 : 2} = \dfrac{6}{9}\), puis \(\dfrac{6 : 3}{9 : 3} = \dfrac{2}{3}\). Donc \(\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\). (On pouvait aussi diviser directement par 6.)

4. 25 et 40 finissent par 5 et 0 : on divise par 5. \(\dfrac{25 : 5}{40 : 5} = \dfrac{5}{8}\). Donc \(\dfrac{25}{40} = \dfrac{5}{8}\).

5. Non. Diviseurs de 7 : 1 et 7. Diviseurs de 9 : 1, 3 et 9. Le seul diviseur commun est 1 : \(\dfrac{7}{9}\) est déjà irréductible.

Exercice 12 Les sachets de Lucas (C6) Socle

Lucas a 12 bonbons à la fraise et 18 bonbons au citron. Il veut faire des sachets tous pareils, sans qu'il reste de bonbon. Il veut le plus de sachets possible.

Aide : c'est un partage : on cherche le plus grand nombre qui est dans les deux listes de diviseurs.
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.   Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
1. Recopie les nombres qui sont dans les deux listes :
2. Quel est le plus grand ? C'est le nombre de sachets.
3. Dans chaque sachet : \(12 :\) \(=\) bonbons à la fraise et \(18 :\) \(=\) bonbons au citron.
4. Lucas peut-il faire 4 sachets pareils ? Pourquoi ?

1. Diviseurs communs : 1, 2, 3 et 6.

2. Le plus grand est 6 : Lucas fait 6 sachets.

3. \(12 : 6 = 2\) et \(18 : 6 = 3\) : chaque sachet contient 2 bonbons à la fraise et 3 au citron. Vérification : \(6 \times 2 = 12\) et \(6 \times 3 = 18\). ✓

4. Non. 4 est un diviseur de 12, mais pas de 18 (\(18 : 4 = 4{,}5\)) : les bonbons au citron ne se partagent pas en 4.

Niveau standard — j'applique dans des situations

Exercice 13 Combien de cars pour aller au stade ? (C1) Standard

Le collège emmène 150 élèves au stade. Chaque car a 48 places.

1. Fais la division euclidienne de 150 par 48. Écris l'égalité.
2. Combien de cars sont complètement pleins ? Combien d'élèves n'ont pas de place dans ces cars ?
3. Combien de cars faut-il réserver en tout ? Combien de places restent vides ?
4. Au stade, on fait des équipes de 7 élèves. Combien d'équipes complètes ? Combien d'élèves restent ?

1. Table de 48 : 48, 96, 144, 192. Le plus grand sans dépasser 150 est \(144 = 48 \times 3\). \(150 - 144 = 6\). Donc \(150 = 48 \times 3 + 6\) (6 est plus petit que 48 ✓).

2. 3 cars sont pleins (\(3 \times 48 = 144\) élèves). Il reste 6 élèves sans place.

3. Il faut un car de plus pour les 6 élèves : 4 cars. Dans le 4e car, \(48 - 6 = 42\) : 42 places restent vides.

4. Table de 7 : \(7 \times 21 = 147\) et \(7 \times 22 = 154\) (trop grand). \(150 - 147 = 3\). Donc \(150 = 7 \times 21 + 3\) : 21 équipes et 3 élèves restent (ils peuvent être remplaçants).

Exercice 14 Décomposer par divisions successives (C4) Standard

Décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers. Présente les divisions dans un tableau, comme dans le cours, puis vérifie le produit.

NombreOn divise parRésultat
48224
24……
1. 48 (le début du tableau est fait)
2. 100
3. 126
4. 98

1. \(48 : 2 = 24\) ; \(24 : 2 = 12\) ; \(12 : 2 = 6\) ; \(6 : 2 = 3\) ; \(3 : 3 = 1\).
\(48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3\). Vérification : \(16 \times 3 = 48\). ✓

2. \(100 : 2 = 50\) ; \(50 : 2 = 25\) ; 25 est impair, ni divisible par 3 (\(2 + 5 = 7\)) : on passe à 5. \(25 : 5 = 5\) ; \(5 : 5 = 1\).
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5\). Vérification : \(4 \times 25 = 100\). ✓

3. \(126 : 2 = 63\) ; 63 est impair, \(6 + 3 = 9\) : \(63 : 3 = 21\) ; \(21 : 3 = 7\) ; 7 est premier : \(7 : 7 = 1\).
\(126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7\). Vérification : \(2 \times 9 \times 7 = 18 \times 7 = 126\). ✓

4. \(98 : 2 = 49\) ; 49 n'est divisible ni par 2, ni par 3 (\(4 + 9 = 13\)), ni par 5 ; \(49 : 7 = 7\) ; \(7 : 7 = 1\).
\(98 = 2 \times 7 \times 7\). Vérification : \(2 \times 49 = 98\). ✓

Exercice 15 Des nombres premiers jusqu'à 100 (C4) Standard

Pour chaque nombre, dis s'il est premier. S'il ne l'est pas, écris-le comme une multiplication.

Aide : pour un nombre jusqu'à 100, teste 2, 3 et 5 (critères), puis 7 (calculatrice). Si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier.
1. 49    2. 53    3. 57    4. 77    5. 79    6. 85
  • 1. 49 : impair, \(4 + 9 = 13\) (pas par 3), ne finit ni par 0 ni par 5. \(49 : 7 = 7\) : ça tombe juste. 49 n'est pas premier : \(49 = 7 \times 7\).
  • 2. 53 : impair, \(5 + 3 = 8\) (pas par 3), ne finit ni par 0 ni par 5, \(53 : 7 = 7{,}57…\) : 53 est premier.
  • 3. 57 : \(5 + 7 = 12\), dans la table de 3. \(57 : 3 = 19\). 57 n'est pas premier : \(57 = 3 \times 19\).
  • 4. 77 : impair, \(7 + 7 = 14\) (pas par 3), ne finit ni par 0 ni par 5. \(77 : 7 = 11\). 77 n'est pas premier : \(77 = 7 \times 11\).
  • 5. 79 : impair, \(7 + 9 = 16\) (pas par 3), ne finit ni par 0 ni par 5, \(79 : 7 = 11{,}28…\) : 79 est premier.
  • 6. 85 : finit par 5. \(85 : 5 = 17\). 85 n'est pas premier : \(85 = 5 \times 17\).
Exercice 16 Des fractions irréductibles (C5) Standard

Rends chaque fraction irréductible. Montre les étapes.

1. \(\dfrac{24}{36}\)    2. \(\dfrac{30}{75}\)    3. \(\dfrac{42}{56}\)
4. Avec les décompositions \(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5\) et \(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\), rends \(\dfrac{60}{84}\) irréductible.
5. Avec \(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\) et \(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\), rends \(\dfrac{72}{120}\) irréductible.
6. Dans une classe de 24 élèves, 18 font partie d'un club de sport. Quelle fraction de la classe fait partie d'un club ? Donne-la sous forme irréductible.

1. Par 2 : \(\dfrac{12}{18}\) ; par 2 : \(\dfrac{6}{9}\) ; par 3 : \(\dfrac{2}{3}\). Donc \(\dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\). (Plus rapide : diviser directement par 12.)

2. 30 et 75 sont divisibles par 5 : \(\dfrac{6}{15}\) ; 6 et 15 sont dans la table de 3 : \(\dfrac{2}{5}\). Donc \(\dfrac{30}{75} = \dfrac{2}{5}\).

3. Par 2 : \(\dfrac{21}{28}\) ; 21 et 28 sont dans la table de 7 : \(\dfrac{3}{4}\). Donc \(\dfrac{42}{56} = \dfrac{3}{4}\).

4. \(\dfrac{60}{84} = \dfrac{{\color{#c53030}{2}} \times {\color{#c53030}{2}} \times {\color{#c53030}{3}} \times 5}{{\color{#c53030}{2}} \times {\color{#c53030}{2}} \times {\color{#c53030}{3}} \times 7}\). Les facteurs communs 2, 2 et 3 s'enlèvent : \(\dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}\).

5. Facteurs communs : 2, 2, 2 et 3. Il reste 3 en haut et 5 en bas : \(\dfrac{72}{120} = \dfrac{3}{5}\). Vérification : \(72 : 120 = 0{,}6\) et \(3 : 5 = 0{,}6\). ✓

6. La fraction est \(\dfrac{18}{24}\). Par 2 : \(\dfrac{9}{12}\) ; par 3 : \(\dfrac{3}{4}\). Les \(\dfrac{3}{4}\) de la classe font partie d'un club.

Exercice 17 Carreler un mur avec des dalles carrées (C3, C6) Standard

Un carreleur doit couvrir un pan de mur rectangulaire de 120 cm de long et 90 cm de haut avec des dalles carrées, toutes pareilles, sans couper de dalle. Le côté d'une dalle est un nombre entier de centimètres. Il veut les dalles les plus grandes possible.

Aide : le côté d'une dalle doit « rentrer juste » dans 120 cm et dans 90 cm : c'est un diviseur commun de 120 et 90.
1. Des dalles de 20 cm de côté conviennent-elles ? Explique avec deux divisions.
2. Écris la liste des diviseurs de 90.
3. Les diviseurs de 120 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Quels sont les diviseurs communs de 120 et 90 ?
4. Quel est le côté des plus grandes dalles possibles ?
5. Combien de dalles faut-il en longueur ? en hauteur ? en tout ?

1. \(120 : 20 = 6\), ça tombe juste ; mais \(90 : 20 = 4{,}5\), ça ne tombe pas juste. Il faudrait couper des dalles en hauteur : non, les dalles de 20 cm ne conviennent pas.

2. \(90 = 1 \times 90 = 2 \times 45 = 3 \times 30 = 5 \times 18 = 6 \times 15 = 9 \times 10\). Diviseurs de 90 : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

3. Diviseurs communs : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

4. Le plus grand est 30 : des dalles de 30 cm de côté.

5. En longueur : \(120 : 30 = 4\) dalles. En hauteur : \(90 : 30 = 3\) dalles. En tout : \(4 \times 3 = \) 12 dalles.

Exercice 18 Les deux lignes de bus (C1, C6) Standard

À la gare routière, le bus de la ligne A part toutes les 15 minutes et le bus de la ligne B toutes les 20 minutes. Ce matin, les deux bus partent ensemble à 7 h 00.

Aide : c'est une rencontre : on écrit les multiples de chaque nombre et on cherche le premier qui est dans les deux listes.
1. Écris les multiples de 15 jusqu'à 90, puis les multiples de 20 jusqu'à 100.
2. À quelle heure les deux bus repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
3. Et la fois suivante ?
4. Un bus de la ligne A part-il à 7 h 40 ? Justifie.

1. Multiples de 15 : 15, 30, 45, 60, 75, 90. Multiples de 20 : 20, 40, 60, 80, 100.

2. Le premier nombre commun est 60 : 60 minutes après 7 h 00, soit à 8 h 00.

3. Ils repartent ensemble toutes les 60 minutes : la fois suivante, à 9 h 00.

4. 7 h 40, c'est 40 minutes après 7 h 00. 40 n'est pas dans la table de 15 (\(40 : 15 = 2{,}66…\)) : non. Les bus A partent à 7 h 30 puis à 7 h 45.

Approfondissement — je résous seul

Exercice 19 Le plateau et le pignon du vélo (C5, C6) Approfondissement

Sur le vélo de Nassim, le plateau (la grande roue dentée, au pédalier) a 48 dents et le pignon (la petite roue dentée, à la roue arrière) a 18 dents. La chaîne fait avancer les deux roues dentées du même nombre de dents. Nassim met une marque rouge sur une dent de chaque roue, tout en haut.

1. Quand le plateau fait un tour, de combien de dents la chaîne avance-t-elle ? Le pignon a-t-il alors fait un nombre entier de tours ?
2. Après combien de dents avancées les deux marques seront-elles de nouveau en même temps tout en haut, pour la première fois ?
3. Combien de tours aura fait le plateau ? Et le pignon ?
4. Rends la fraction \(\dfrac{18}{48}\) irréductible. Compare avec la question 3.

1. Un tour de plateau fait avancer la chaîne de 48 dents. Pour le pignon : \(48 = 18 \times 2 + 12\). Il a fait 2 tours et 12 dents : pas un nombre entier de tours, sa marque n'est pas en haut.

2. C'est une rencontre : on cherche le plus petit multiple commun de 48 et 18.
Multiples de 48 : 48, 96, 144, 192… Multiples de 18 : 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144…
Les deux marques reviennent ensemble en haut après 144 dents.

3. Plateau : \(144 : 48 = \) 3 tours. Pignon : \(144 : 18 = \) 8 tours.

4. \(\dfrac{18}{48}\) : par 2, \(\dfrac{9}{24}\) ; par 3, \(\dfrac{3}{8}\). Donc \(\dfrac{18}{48} = \dfrac{3}{8}\). On retrouve les nombres de tours : quand le plateau fait 3 tours, le pignon en fait 8.

Exercice 20 Les plateaux du petit-déjeuner (C3, C5, C6) Approfondissement

Pour la journée portes ouvertes, la cantine a 72 croissants et 60 pains au chocolat. On veut préparer des plateaux tous pareils, en utilisant toutes les viennoiseries.

1. Peut-on faire 8 plateaux ? Justifie.
2. Quel est le plus grand nombre de plateaux possible ? Justifie avec les listes de diviseurs.
3. Que contient alors chaque plateau ?
4. Quelle fraction des viennoiseries sont des croissants ? Donne-la sous forme irréductible.

1. \(72 : 8 = 9\), ça tombe juste ; mais \(60 : 8 = 7{,}5\), ça ne tombe pas juste. Non, on ne peut pas faire 8 plateaux pareils.

2. Diviseurs de 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand est 12 : 12 plateaux.

3. \(72 : 12 = 6\) et \(60 : 12 = 5\) : chaque plateau contient 6 croissants et 5 pains au chocolat. Vérification : \(12 \times 6 = 72\) et \(12 \times 5 = 60\). ✓

4. Il y a \(72 + 60 = 132\) viennoiseries, dont 72 croissants : la fraction est \(\dfrac{72}{132}\).
Par 2 : \(\dfrac{36}{66}\) ; par 2 : \(\dfrac{18}{33}\) ; par 3 (\(1 + 8 = 9\) et \(3 + 3 = 6\)) : \(\dfrac{6}{11}\). 11 est premier et ne divise pas 6 : \(\dfrac{72}{132} = \dfrac{6}{11}\).
On retrouve le plateau : 6 croissants sur \(6 + 5 = 11\) viennoiseries.

Exercice 21 Les erreurs de Sami (C1, C2, C4, C5) Approfondissement

Sami a écrit six phrases. Pour chacune, dis si elle est juste. Si elle est fausse, explique l'erreur et corrige-la.

a) « 13 est divisible par 3, car il finit par 3. »
b) « 108 est divisible par 9. »
c) « La division euclidienne de 52 par 8 donne \(52 = 8 \times 5 + 12\). »
d) « 1 est un nombre premier. »
e) « La décomposition de 60 en facteurs premiers est \(60 = 4 \times 15\). »
f) « \(\dfrac{9}{12} = \dfrac{8}{11}\) : j'ai enlevé 1 en haut et en bas. »
  • a) Faux. Pour 3, on n'utilise pas le dernier chiffre : on additionne les chiffres. \(1 + 3 = 4\), qui n'est pas dans la table de 3 : 13 n'est pas divisible par 3 (c'est même un nombre premier).
  • b) Juste. \(1 + 0 + 8 = 9\), dans la table de 9. Vérification : \(108 : 9 = 12\). ✓
  • c) Faux. Le reste 12 est plus grand que le diviseur 8 : le quotient est trop petit. \(8 \times 6 = 48\) et \(52 - 48 = 4\) : \(52 = 8 \times 6 + 4\).
  • d) Faux. Un nombre premier a exactement deux diviseurs. 1 n'en a qu'un : 1 n'est pas premier.
  • e) Faux. Le calcul est juste, mais 4 et 15 ne sont pas premiers : ce n'est pas fini. \(4 = 2 \times 2\) et \(15 = 3 \times 5\), donc \(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5\).
  • f) Faux. On ne doit jamais enlever le même nombre : on divise en haut et en bas par le même nombre. 9 et 12 sont dans la table de 3 : \(\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\).