Chapitre 10 – Exercices

3e prépa-métiers | Mathématiques | Organisation et gestion de données, fonctions

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

C1 – Reconnaître une fonction affine \(f(x) = ax + b\) et donner \(a\) et \(b\).
C2 – Calculer une image et un antécédent pour une fonction affine.
C3 – Représenter une fonction affine par une droite (deux ou trois points).
C4 – Lire graphiquement l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur ; relier le signe de \(a\) à l'allure de la droite (monte, descend, horizontale).
C5 – Modéliser une situation par une fonction affine et comparer deux offres (graphique ou calcul).

Rappels essentiels :

Une fonction affine s'écrit \(f(x) = ax + b\) : on multiplie par \(a\), puis on ajoute \(b\). Si \(b = 0\), c'est une fonction linéaire ; si \(a = 0\), elle est constante.
Pour trouver \(a\) et \(b\) : écrire la formule dans l'ordre « \(ax + b\) » et garder les signes. \(12 - 4x = -4x + 12\), donc \(a = -4\) et \(b = 12\).
Image : remplacer \(x\), faire la multiplication d'abord, puis ajouter \(b\). Antécédent : écrire \(ax + b =\) le nombre, enlever \(b\), diviser par \(a\), puis vérifier.
La droite d'une fonction affine se trace avec trois points (dont \(x = 0\)) et une règle.
\(b\), l'ordonnée à l'origine : là où la droite coupe l'axe vertical. \(a\), le coefficient directeur : quand on avance de 1, on monte de \(a\).
\(a\) positif : la droite monte. \(a\) négatif : elle descend. \(a = 0\) : elle est horizontale.
Un prix : \(b\) = la partie fixe (frais, abonnement), \(a\) = le prix d'une unité. Deux offres : au point d'intersection, les prix sont égaux ; de chaque côté, la moins chère a la droite la plus basse.

Les exercices sont progressifs : commence par le niveau socle, puis avance à ton rythme. Le code (C1, C2…) indique la capacité travaillée. La calculatrice est autorisée.

Niveau socle — je m'entraîne pas à pas

Exercice 1 Trouver a et b (C1) Socle

Chaque fonction ci-dessous est une fonction affine \(f(x) = ax + b\). Donne \(a\) et \(b\).

Aide : \(a\) est le nombre qui multiplie \(x\). \(b\) est le nombre seul, avec son signe. S'il n'y a pas de nombre seul, \(b = 0\).

1. \(f(x) = 2x + 5\) : \(a =\) et \(b =\)

2. \(g(x) = 4x + 1\) : \(a =\) et \(b =\)

3. \(h(x) = 3x - 2\) : \(a =\) et \(b =\)

4. \(k(x) = x + 6\) : \(a =\) et \(b =\)

5. \(m(x) = 5x\) : \(a =\) et \(b =\)

6. \(n(x) = 7 + 2x\) : \(a =\) et \(b =\)

1. \(a = 2\) et \(b = 5\).
2. \(a = 4\) et \(b = 1\).
3. \(a = 3\) et \(b = -2\) : on garde le signe moins.
4. \(x\) tout seul veut dire \(1 \times x\) : \(a = 1\) et \(b = 6\).
5. Il n'y a pas de nombre seul : \(a = 5\) et \(b = 0\). C'est une fonction linéaire.
6. Dans l'ordre : \(n(x) = 2x + 7\). Donc \(a = 2\) (le nombre devant \(x\)) et \(b = 7\).

Exercice 2 Affine, linéaire ou constante ? (C1) Socle

Voici six fonctions.

\(f(x) = 3x + 4\)	\(g(x) = 6x\)	\(h(x) = 9\)
\(k(x) = x \times x + 2\)	\(m(x) = 10 - x\)	\(n(x) = 0{,}5x - 3\)

Aide : si on voit \(x \times x\), ce n'est pas affine. Si \(b = 0\) (pas de nombre seul), elle est linéaire. Si \(a = 0\) (pas de \(x\)), elle est constante.

1. Quelle fonction n'est pas affine ?

2. Quelle fonction est linéaire ?

3. Quelle fonction est constante ?

4. Donne \(a\) et \(b\) pour \(m\), puis pour \(n\).

1. \(k\) n'est pas affine : on multiplie \(x\) par lui-même, et pas par un nombre fixé.

2. \(g(x) = 6x\) est linéaire : \(a = 6\) et \(b = 0\).

3. \(h(x) = 9\) est constante : \(a = 0\) et \(b = 9\). Tous les nombres ont pour image 9.

4. \(m(x) = 10 - x = -x + 10\) : \(a = -1\) et \(b = 10\).
\(n(x) = 0{,}5x - 3\) : \(a = 0{,}5\) et \(b = -3\).

Exercice 3 Calculer des images (C2) Socle

On donne la fonction affine \(f(x) = 2x + 1\).

Aide : 1. Remplace \(x\) par le nombre. 2. Fais d'abord la multiplication. 3. Ajoute 1.

1. \(f(3) = 2 \times 3 + 1 =\) \(+ 1 =\)

2. \(f(5) = 2 \times 5 + 1 =\) \(+ 1 =\)

3. \(f(0) = 2 \times 0 + 1 =\)

4. \(f(10) =\)

1. \(f(3) = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = \) 7.

2. \(f(5) = 2 \times 5 + 1 = 10 + 1 = \) 11.

3. \(f(0) = 2 \times 0 + 1 = 0 + 1 = \) 1. L'image de 0 est toujours \(b\).

4. \(f(10) = 2 \times 10 + 1 = 20 + 1 = \) 21.

Exercice 4 Compléter un tableau de valeurs (C2) Socle

On donne la fonction affine \(g(x) = 3x + 2\).

\(x\)	0	1	2	4	10
\(g(x)\)	…	…	…	…	…

Aide : pour chaque case, calcule \(3 \times x\), puis ajoute 2. Par exemple : \(g(1) = 3 \times 1 + 2\).

1. Recopie et complète le tableau.

2. Regarde les colonnes 0, 1 et 2. Quand \(x\) augmente de 1, de combien augmente \(g(x)\) ?

3. Ce nombre est-il \(a\) ou \(b\) ?

1. \(g(0) = 0 + 2 = 2\) ; \(g(1) = 3 + 2 = 5\) ; \(g(2) = 6 + 2 = 8\) ; \(g(4) = 12 + 2 = 14\) ; \(g(10) = 30 + 2 = 32\).

\(x\)	0	1	2	4	10
\(g(x)\)	2	5	8	14	32

2. De 2 à 5, puis de 5 à 8 : \(g(x)\) augmente toujours de 3.

3. C'est \(a\), le coefficient directeur : \(a = 3\). (Et l'image de 0, qui vaut 2, c'est \(b\).)

Exercice 5 Trouver un antécédent pas à pas (C2) Socle

On donne la fonction affine \(f(x) = 2x + 4\). On cherche le nombre \(x\) qui a pour image 10.

Aide : 1. Écris \(2x + 4 =\) le nombre. 2. Enlève 4 des deux côtés. 3. Divise par 2. 4. Vérifie.

1. Antécédent de 10 : \(2x + 4 = 10\). On enlève 4 : \(2x =\) . On divise par 2 : \(x =\)

2. Vérifie : \(f(\) \() = 2 \times\) \(+ 4 =\)

3. Antécédent de 24 : \(2x + 4 = 24\). On enlève 4 : \(2x =\) . Donc \(x =\)

4. Antécédent de 4 : \(x =\)

1. \(2x + 4 = 10\). On enlève 4 : \(2x = 6\). On divise par 2 : \(x = 6 : 2 = \) 3.

2. \(f(3) = 2 \times 3 + 4 = 6 + 4 = 10\). ✓ L'antécédent de 10 est bien 3.

3. \(2x + 4 = 24\). On enlève 4 : \(2x = 20\). On divise par 2 : \(x = \) 10. Vérification : \(2 \times 10 + 4 = 24\). ✓

4. \(2x + 4 = 4\). On enlève 4 : \(2x = 0\). On divise par 2 : \(x = \) 0. Vérification : \(2 \times 0 + 4 = 4\). ✓ (4, c'est \(b\) : c'est l'image de 0.)

Exercice 6 La course en taxi (C2) Socle

Un taxi fait payer 3 € au départ, puis 2 € par kilomètre. Le prix en euros d'une course de \(x\) km est \(p(x) = 2x + 3\).

Aide : le prix d'une course de 5 km, c'est l'image de 5. Le nombre de km pour 19 €, c'est l'antécédent de 19.

1. Dans la formule, que représente le nombre 3 ? Et le nombre 2 ?

2. Prix d'une course de 5 km : \(p(5) = 2 \times 5 + 3 =\) €

3. Prix d'une course de 10 km : \(p(10) =\) €

4. Malik a payé 19 €. Résous \(2x + 3 = 19\) pour trouver le nombre de kilomètres.

1. 3 est le prix du départ, payé même pour 0 km (c'est \(b\)). 2 est le prix d'un kilomètre (c'est \(a\)).

2. \(p(5) = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13\). La course coûte 13 €.

3. \(p(10) = 2 \times 10 + 3 = 20 + 3 = 23\). La course coûte 23 €.

4. \(2x + 3 = 19\). On enlève 3 : \(2x = 16\). On divise par 2 : \(x = 8\). Vérification : \(2 \times 8 + 3 = 19\). ✓ Malik a fait 8 km.

Exercice 7 Tracer la droite de f(x) = x + 2 (C3) Socle

On veut tracer la droite de la fonction affine \(f(x) = x + 2\), pour \(x\) de 0 à 5.

\(x\)	0	5	3
\(f(x)\)	…	…	…

Repère à utiliser : un carreau pour 1 sur chaque axe.

Aide : 1. Calcule les trois images. 2. Place les deux premiers points. 3. Trace la droite à la règle, sur toute la largeur. 4. Vérifie que le troisième point est sur la droite.

1. \(f(0) = 0 + 2 =\) \(f(5) = 5 + 2 =\) \(f(3) =\)

2. Place les points \((0 \,;\,\) \()\) et \((5 \,;\,\) \()\), puis trace la droite.

3. Le point \((3 \,;\, f(3))\) est-il sur ta droite ?

4. La droite passe-t-elle par l'origine O ? Pourquoi ?

1. \(f(0) = 2\) ; \(f(5) = 7\) ; \(f(3) = 3 + 2 = 5\).

2. On place \((0 \,;\, 2)\) et \((5 \,;\, 7)\), puis on trace la droite à la règle.

Correction : la droite de f(x) = x + 2 passe par (0 ; 2), (3 ; 5) et (5 ; 7).

3. Oui, le point \((3 \,;\, 5)\) est bien sur la droite. ✓

4. Non : la droite coupe l'axe vertical en 2, pas en 0. C'est à cause du « \(+ 2\) » : \(f\) est affine, mais pas linéaire.

Exercice 8 Lire l'ordonnée à l'origine (C4) Socle

Les droites \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) représentent trois fonctions affines.

Les droites d₁, d₂ et d₃ (un carreau pour 1 sur chaque axe).

Aide : l'ordonnée à l'origine \(b\) se lit à l'endroit où la droite coupe l'axe vertical.

1. \(d_1\) coupe l'axe vertical en . Donc \(b =\)

2. \(d_2\) coupe l'axe vertical en . Donc \(b =\)

3. \(d_3\) coupe l'axe vertical en . Donc \(b =\)

4. Quelle droite passe par l'origine O ? Quelle sorte de fonction représente-t-elle ?

1. \(d_1\) coupe l'axe vertical en 1 : \(b = 1\).

2. \(d_2\) coupe l'axe vertical en 7 : \(b = 7\).

3. \(d_3\) coupe l'axe vertical en 0 : \(b = 0\).

4. \(d_3\) passe par l'origine O. Comme \(b = 0\), elle représente une fonction linéaire (chapitre 8).

Exercice 9 Monte, descend ou horizontale ? (C4) Socle

Sans tracer, dis si la droite de chaque fonction monte, descend ou est horizontale.

Aide : regarde seulement \(a\), le nombre devant \(x\). \(a\) positif : la droite monte. \(a\) négatif : elle descend. \(a = 0\) : elle est horizontale.

1. \(f(x) = 4x + 1\) : \(a =\) , la droite

2. \(g(x) = -3x + 10\) : \(a =\) , la droite

3. \(h(x) = 7\) : \(a =\) , la droite

4. \(k(x) = 12 - x\) : \(a =\) , la droite

5. \(m(x) = 0{,}5x - 3\) : \(a =\) , la droite

1. \(a = 4\), positif : la droite monte.
2. \(a = -3\), négatif : la droite descend.
3. \(h(x) = 0x + 7\), donc \(a = 0\) : la droite est horizontale.
4. Dans l'ordre : \(k(x) = -x + 12\), donc \(a = -1\), négatif : la droite descend. Attention, 12 est \(b\), il ne dit pas si la droite monte.
5. \(a = 0{,}5\), positif : la droite monte (doucement). Le \(-3\) est \(b\), il ne change pas l'allure.

Exercice 10 L'escalier de la droite (C4) Socle

La droite \(d\) représente une fonction affine \(f(x) = ax + b\). On a dessiné une marche d'escalier.

La droite d et sa marche d'escalier : on avance de 1 (orange), puis on monte (vert).

Aide : 1. \(b\) : là où la droite coupe l'axe vertical. 2. \(a\) : on avance de 1 (trait orange), puis on compte les carreaux du trait vert pour retrouver la droite.

1. La droite coupe l'axe vertical en . Donc \(b =\)

2. Quand on avance de 1, on monte de carreaux. Donc \(a =\)

3. Écris la formule : \(f(x) =\)

4. Vérifie avec ta formule que le point \((2 \,;\, 8)\) est sur la droite.

1. La droite coupe l'axe vertical en 2 : \(b = 2\).

2. On avance de 1, on monte de 3 carreaux (de 2 à 5) : \(a = 3\).

3. \(f(x) = 3x + 2\).

Correction : b = 2 et a = 3, donc f(x) = 3x + 2. Le point (2 ; 8) est bien sur la droite.

4. \(f(2) = 3 \times 2 + 2 = 6 + 2 = 8\). ✓ Le point \((2 \,;\, 8)\) est bien sur la droite.

Exercice 11 Le club d'escalade (C5) Socle

Un club d'escalade demande 15 € d'inscription, puis 5 € par séance. On appelle \(x\) le nombre de séances.

Aide : prix = prix d'une séance × nombre de séances + partie fixe. La partie fixe est \(b\). Le prix d'une séance est \(a\).

1. La partie fixe est €. Donc \(b =\)

2. Le prix d'une séance est €. Donc \(a =\)

3. Écris la formule du prix : \(f(x) =\)

4. Calcule le prix pour 8 séances.

1. La partie fixe est l'inscription, 15 € : \(b = 15\).

2. Une séance coûte 5 € : \(a = 5\).

3. \(f(x) = 5x + 15\).

4. \(f(8) = 5 \times 8 + 15 = 40 + 15 = 55\). 8 séances coûtent 55 €.

Niveau standard — j'applique dans des situations

Exercice 12 Degrés Celsius et degrés Fahrenheit (C2) Standard

Aux États-Unis, la température se donne en degrés Fahrenheit (°F). Pour passer d'une température \(x\) en degrés Celsius (°C) à des degrés Fahrenheit, on utilise la fonction affine \(F(x) = 1{,}8x + 32\).

1. L'eau gèle à 0 °C. Combien cela fait-il en °F ?

2. L'eau bout à 100 °C (au niveau de la mer). Combien cela fait-il en °F ?

3. La température normale du corps humain est d'environ 37 °C. Convertis-la en °F.

4. À New York, la météo annonce 77 °F. Combien cela fait-il en °C ? Vérifie ta réponse.

1. \(F(0) = 1{,}8 \times 0 + 32 = 32\). L'eau gèle à 32 °F.

2. \(F(100) = 1{,}8 \times 100 + 32 = 180 + 32 = 212\). L'eau bout à 212 °F.

3. \(F(37) = 1{,}8 \times 37 + 32 = 66{,}6 + 32 = 98{,}6\). Cela fait environ 98,6 °F.

4. On cherche l'antécédent de 77 : \(1{,}8x + 32 = 77\). On enlève 32 : \(1{,}8x = 45\). On divise par 1,8 : \(x = 45 : 1{,}8 = 25\).
Vérification : \(F(25) = 1{,}8 \times 25 + 32 = 45 + 32 = 77\). ✓ Il fait 25 °C à New York.

Exercice 13 La facture d'eau (C2, C5) Standard

Dans une commune, la facture d'eau d'une année comprend un abonnement de 50 €, plus 4 € par mètre cube (m³) d'eau consommé. On appelle \(x\) le nombre de m³ consommés dans l'année.

1. Écris le prix \(e(x)\) de la facture en fonction de \(x\).

2. La famille de Sofia a consommé 90 m³ dans l'année. Calcule sa facture.

3. La facture de la famille de Hugo est de 290 €. Combien de m³ a-t-elle consommés ?

4. Le prix de la facture est-il proportionnel au volume d'eau consommé ? Explique.

1. Partie fixe : l'abonnement, 50 €, donc \(b = 50\). Prix d'un m³ : 4 €, donc \(a = 4\). \(e(x) = 4x + 50\).

2. \(e(90) = 4 \times 90 + 50 = 360 + 50 = 410\). La facture est de 410 €.

3. On résout \(4x + 50 = 290\). On enlève 50 : \(4x = 240\). On divise par 4 : \(x = 60\).
Vérification : \(4 \times 60 + 50 = 240 + 50 = 290\). ✓ La famille de Hugo a consommé 60 m³.

4. Non. À cause de l'abonnement, \(e(0) = 50\) : même sans consommer d'eau, on paie 50 €. La fonction est affine mais pas linéaire, et sa droite ne passe pas par l'origine.

Exercice 14 Une droite qui descend (C1, C3, C4) Standard

On donne la fonction \(h(x) = 8 - 2x\).

Repère à utiliser : un carreau pour 1 sur chaque axe.

1. Écris \(h(x)\) dans l'ordre « \(ax + b\) ». Donne \(a\) et \(b\).

2. Calcule \(h(0)\), \(h(4)\) et \(h(2)\), et range-les dans un tableau de valeurs.

3. Trace la droite de \(h\) pour \(x\) de 0 à 4. Vérifie avec le troisième point.

4. La droite monte-t-elle ou descend-elle ? Est-ce d'accord avec le signe de \(a\) ?

1. \(h(x) = -2x + 8\). Donc \(a = -2\) et \(b = 8\).

2. \(h(0) = -2 \times 0 + 8 = 8\) ; \(h(4) = -2 \times 4 + 8 = -8 + 8 = 0\) ; \(h(2) = -2 \times 2 + 8 = -4 + 8 = 4\).

\(x\)	0	4	2
\(h(x)\)	8	0	4

3. On place \((0 \,;\, 8)\) et \((4 \,;\, 0)\), on trace la droite à la règle. Le point \((2 \,;\, 4)\) est bien sur la droite. ✓

Correction : la droite de h(x) = −2x + 8 descend. Quand on avance de 1, on descend de 2.

4. La droite descend. C'est d'accord avec \(a = -2\), qui est négatif : quand on avance de 1, on descend de 2.

Exercice 15 Retrouver la formule d'une droite (C4) Standard

Les droites \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) représentent trois fonctions affines.

Les droites d₁, d₂ et d₃ (un carreau pour 1 sur chaque axe).

1. Lis l'ordonnée à l'origine \(b\) de chaque droite.

2. Lis le coefficient directeur \(a\) de chaque droite (avance de 1, puis compte les carreaux).

3. Écris la formule de chaque fonction.

4. Quelle droite monte ? Laquelle descend ? Laquelle est horizontale ?

Correction : d₁ part de 2 et monte de 1 ; d₂ part de 9 et descend de 3 ; d₃ reste à 6.

1. \(d_1\) coupe l'axe vertical en 2 : \(b = 2\). \(d_2\) le coupe en 9 : \(b = 9\). \(d_3\) le coupe en 6 : \(b = 6\).

2. \(d_1\) : on avance de 1, on monte de 1, donc \(a = 1\).
\(d_2\) : on avance de 1, on descend de 3, donc \(a = -3\).
\(d_3\) : on avance de 1, on ne monte pas et on ne descend pas, donc \(a = 0\).

3. \(d_1\) : \(f(x) = x + 2\) ; \(d_2\) : \(g(x) = -3x + 9\) ; \(d_3\) : \(h(x) = 6\) (fonction constante).

4. \(d_1\) monte (\(a = 1\), positif) ; \(d_2\) descend (\(a = -3\), négatif) ; \(d_3\) est horizontale (\(a = 0\)).

Exercice 16 Louer un utilitaire pour déménager (C3, C5) Standard

Pour déménager, Yasmine loue un utilitaire pour une journée. Le loueur demande 20 € pour la journée, plus 0,50 € par kilomètre parcouru. On appelle \(x\) le nombre de kilomètres.

Repère à utiliser : un carreau pour 20 km (horizontal), un carreau pour 10 € (vertical).

1. Écris le prix \(u(x)\), en euros, en fonction de \(x\).

2. Calcule \(u(0)\), \(u(200)\) et \(u(100)\).

3. Trace la droite de \(u\) pour \(x\) de 0 à 200 km. Attention : un carreau vaut 20 km sur l'axe horizontal et 10 € sur l'axe vertical.

4. Lis sur le graphique le prix pour 120 km. Vérifie par le calcul.

5. Yasmine veut payer 50 € au plus. Combien de kilomètres peut-elle faire ? Lis sur le graphique, puis vérifie par le calcul.

1. Partie fixe : 20 €, donc \(b = 20\). Prix d'un km : 0,50 €, donc \(a = 0{,}5\). \(u(x) = 0{,}5x + 20\).

2. \(u(0) = 0{,}5 \times 0 + 20 = 20\) ; \(u(200) = 0{,}5 \times 200 + 20 = 100 + 20 = 120\) ; \(u(100) = 0{,}5 \times 100 + 20 = 50 + 20 = 70\).

3. On place \((0 \,;\, 20)\) et \((200 \,;\, 120)\), on trace la droite, et on vérifie que \((100 \,;\, 70)\) est dessus. ✓

Correction : la droite de u. En rouge, le prix pour 120 km ; en vert, la distance possible avec 50 €.

4. En rouge : de 120 km, on monte jusqu'à la droite, puis on lit 80 €. Calcul : \(u(120) = 0{,}5 \times 120 + 20 = 60 + 20 = 80\). ✓

5. En vert : de 50 €, on va jusqu'à la droite, on descend et on lit 60 km. Calcul : \(0{,}5x + 20 = 50\), donc \(0{,}5x = 30\), puis \(x = 30 : 0{,}5 = 60\). ✓ Yasmine peut faire 60 km au plus.

Exercice 17 Deux formules à la salle de sport (C5) Standard

Une salle de sport propose deux formules :

Formule A : 8 € la séance, sans abonnement ;
Formule B : un abonnement de 24 €, puis 4 € la séance.

1. Écris le prix \(f(x)\) de la formule A et le prix \(g(x)\) de la formule B, pour \(x\) séances.

2. Recopie et complète le tableau.

Séances \(x\)	0	2	4	6	8	10
A : \(f(x)\) en €	…	…	…	…	…	…
B : \(g(x)\) en €	…	…	…	…	…	…

3. Pour combien de séances les deux formules coûtent-elles le même prix ? Quel est ce prix ?

4. Nadia pense venir 4 fois. Quelle formule doit-elle choisir ?

5. Théo pense venir 10 fois. Quelle formule doit-il choisir ?

1. Formule A : pas de partie fixe, \(f(x) = 8x\) (fonction linéaire). Formule B : partie fixe 24 €, 4 € la séance, \(g(x) = 4x + 24\).

2. Par exemple \(f(6) = 8 \times 6 = 48\) et \(g(6) = 4 \times 6 + 24 = 24 + 24 = 48\).

Séances \(x\)	0	2	4	6	8	10
A : \(f(x)\) en €	0	16	32	48	64	80
B : \(g(x)\) en €	24	32	40	48	56	64

3. Pour 6 séances, les deux formules coûtent 48 €.

Correction : les droites se coupent en I (6 ; 48). Avant 6 séances, la droite rouge (A) est la plus basse ; après, c'est la bleue (B).

4. Pour 4 séances : A coûte 32 €, B coûte 40 €. Nadia doit choisir la formule A.

5. Pour 10 séances : A coûte 80 €, B coûte 64 €. Théo doit choisir la formule B. Au-delà de 6 séances, la formule B est la moins chère.

Approfondissement — je résous seul

Exercice 18 Quel taxi choisir ? (C4, C5) Approfondissement

Dans une ville, deux taxis font payer une somme au départ, puis un prix par kilomètre. Le graphique donne le prix d'une course en fonction de la distance.

Prix d'une course (en €) en fonction de la distance (en km) pour les taxis A et B.

1. Lis sur le graphique la somme payée au départ pour chaque taxi.

2. Lis sur le graphique le prix d'un kilomètre pour chaque taxi.

3. Déduis-en la formule du prix \(A(x)\) du taxi A et celle du prix \(B(x)\) du taxi B.

4. Donne les coordonnées du point d'intersection des deux droites. Que signifie ce point ?

5. Ilyes doit faire 7 km. Quel taxi doit-il choisir ? Vérifie par le calcul.

Correction : A part de 6 et monte de 1 par km ; B part de 2 et monte de 2 par km. Elles se coupent en I (4 ; 10).

1. Le départ se lit là où la droite coupe l'axe vertical (\(b\)) : 6 € pour le taxi A et 2 € pour le taxi B.

2. On avance de 1 km et on compte de combien on monte (\(a\)) : 1 € par km pour le taxi A et 2 € par km pour le taxi B.

3. \(A(x) = x + 6\) et \(B(x) = 2x + 2\).

4. Les droites se coupent en I \((4 \,;\, 10)\) : pour une course de 4 km, les deux taxis coûtent le même prix, 10 €. Vérification : \(A(4) = 4 + 6 = 10\) et \(B(4) = 2 \times 4 + 2 = 10\). ✓

5. Après 4 km, la droite du taxi A est la plus basse : il faut choisir le taxi A. Calcul : \(A(7) = 7 + 6 = 13\) € et \(B(7) = 2 \times 7 + 2 = 16\) €. Ilyes paie 13 € au lieu de 16 €.

Exercice 19 La carte de cantine (C2, C4, C5) Approfondissement

Lina met 40 € sur sa carte de cantine. Chaque repas coûte 4 € et il est enlevé de la carte. On appelle \(s(x)\) la somme qui reste sur la carte après \(x\) repas.

Repas \(x\)	0	1	2	5
Reste \(s(x)\) en €	40	…	…	…

1. Recopie et complète le tableau.

2. Explique pourquoi \(s(x) = -4x + 40\). Donne \(a\) et \(b\), et dis ce que représente chacun.

3. Sans tracer, dis si la droite de \(s\) monte ou descend. Justifie.

4. Combien reste-t-il sur la carte après 7 repas ?

5. Au bout de combien de repas la carte sera-t-elle vide ?

1. À chaque repas, on enlève 4 € : \(40 - 4 = 36\) ; \(36 - 4 = 32\) ; après 5 repas, \(40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20\).

Repas \(x\)	0	1	2	5
Reste \(s(x)\) en €	40	36	32	20

2. Après \(x\) repas, on a enlevé \(4 \times x\) euros aux 40 € : \(s(x) = 40 - 4x = -4x + 40\).
\(b = 40\) : la somme de départ, avant tout repas. \(a = -4\) : à chaque repas, la somme baisse de 4 €.

3. \(a = -4\) est négatif : la droite descend. C'est logique : plus Lina mange de repas, moins il reste d'argent.

4. \(s(7) = -4 \times 7 + 40 = -28 + 40 = 12\). Il reste 12 €.

5. La carte est vide quand \(s(x) = 0\) : \(-4x + 40 = 0\). On enlève 40 : \(-4x = -40\). On divise par \(-4\) : \(x = 10\).
Vérification : \(s(10) = -4 \times 10 + 40 = -40 + 40 = 0\). ✓ La carte est vide au bout de 10 repas (on peut aussi calculer \(40 : 4 = 10\)).

Exercice 20 Le devis du plombier (C4, C5) Approfondissement

Un plombier fait payer un déplacement (toujours le même), plus un prix par heure de travail. Le prix est donc une fonction affine \(p(x) = ax + b\), où \(x\) est la durée en heures.

Durée \(x\) en h	1	3
Prix \(p(x)\) en €	90	170

1. Entre 1 h et 3 h, de combien d'heures la durée augmente-t-elle ? De combien d'euros le prix augmente-t-il ?

2. Déduis-en le prix d'une heure de travail : c'est \(a\).

3. Pour 1 h, le prix est 90 €. Enlève le prix d'une heure pour trouver le prix du déplacement : c'est \(b\).

4. Écris la formule de \(p(x)\), puis vérifie-la avec la durée de 3 h.

5. Combien coûte une intervention de 2 h 30 min ?

1. La durée augmente de \(3 - 1 = 2\) heures. Le prix augmente de \(170 - 90 = 80\) €.

2. 2 heures de plus coûtent 80 € de plus, donc 1 heure coûte \(80 : 2 = 40\) €. \(a = 40\).

3. \(90 - 40 = 50\). Le déplacement coûte 50 € : \(b = 50\).

4. \(p(x) = 40x + 50\). Vérification : \(p(3) = 40 \times 3 + 50 = 120 + 50 = 170\). ✓

5. 2 h 30 min = 2,5 h. \(p(2{,}5) = 40 \times 2{,}5 + 50 = 100 + 50 = 150\). L'intervention coûte 150 €.

Exercice 21 Les erreurs de Yanis (C1, C2, C4) Approfondissement

Yanis a écrit cinq phrases. Pour chacune, dis si elle est juste. Si elle est fausse, explique l'erreur et corrige-la.

a) « Pour \(f(x) = 5 + 2x\), on a \(a = 5\) et \(b = 2\). »

b) « Pour \(f(x) = 3x + 4\), je calcule \(f(2) = 3 \times 6 = 18\). »

c) « Pour trouver l'antécédent de 19 par \(f(x) = 3x + 4\), je fais \(19 - 4 = 15\), puis \(15 : 3 = 5\). »

d) « La droite de \(g(x) = -2x + 5\) monte, car 5 est positif. »

e) « La droite de \(h(x) = 4x - 1\) coupe l'axe vertical en 4. »

a) Faux. \(a\) est le nombre devant \(x\), pas le premier nombre écrit. Dans l'ordre, \(f(x) = 2x + 5\) : \(a = 2\) et \(b = 5\).
b) Faux. Yanis a ajouté avant de multiplier. On fait la multiplication d'abord : \(f(2) = 3 \times 2 + 4 = 6 + 4 = \) 10.
c) Juste. Il enlève \(b\), puis divise par \(a\). Vérification : \(f(5) = 3 \times 5 + 4 = 15 + 4 = 19\). ✓
d) Faux. L'allure de la droite dépend de \(a\), pas de \(b\). Ici \(a = -2\) est négatif : la droite descend. Le 5 dit seulement où elle coupe l'axe vertical.
e) Faux. La droite coupe l'axe vertical en \(b\), c'est-à-dire en \(-1\) : \(h(0) = 4 \times 0 - 1 = -1\). Le 4, c'est \(a\) : la droite monte de 4 quand on avance de 1.