Chapitre 10 – Fonctions affines

3e prépa-métiers | Mathématiques | Organisation et gestion de données, fonctions

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Calculer l'image d'un nombre avec une formule, par exemple \(f(x) = 4x + 3\) pour \(x = 10\) (chapitre 7).
Placer un point de coordonnées \((4 \,;\, 11)\) dans un repère et lire une image sur un graphique (chapitre 7).
Reconnaître une fonction linéaire \(f(x) = ax\) et tracer sa droite, qui passe par l'origine (chapitre 8).
Résoudre une équation du type \(2x + 3 = 15\) (chapitre 5).

Objectifs du chapitre :

C1 – Reconnaître une fonction affine \(f(x) = ax + b\) et donner \(a\) et \(b\).
C2 – Calculer une image et un antécédent pour une fonction affine.
C3 – Représenter une fonction affine par une droite (deux ou trois points).
C4 – Lire graphiquement l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur ; relier le signe de \(a\) à l'allure de la droite (monte, descend, horizontale).
C5 – Modéliser une situation par une fonction affine et comparer deux offres (graphique ou calcul).

1. Situation d'entrée — Louer un vélo

Quel loueur choisir ?

Kenza veut louer un vélo pour l'après-midi. Elle compare deux loueurs :

Loueur A : 3 € de frais au départ, puis 2 € par heure ;
Loueuse B : pas de frais, 3 € par heure.

Question 1 : combien coûtent 4 heures chez le loueur A ?
Question 2 : Kenza a 15 €. Combien d'heures peut-elle louer chez le loueur A ?
Question 3 : quel loueur est le moins cher ? Est-ce que cela dépend de la durée ?

Au chapitre 8, on a vu que le prix du loueur A n'est pas proportionnel à la durée, à cause des 3 € de frais. Sa droite ne passe pas par l'origine. Ce genre de fonction s'appelle une fonction affine. Les réponses sont données dans les sections 4 et 7.

2. Rappel : fonction et fonction linéaire (chapitres 7 et 8)

Ce que tu sais déjà

Une fonction \(f\) est une machine : un nombre \(x\) entre, un seul nombre \(f(x)\) sort.
\(f(3) = 15\) : 15 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 15.
Une fonction linéaire s'écrit \(f(x) = ax\) : la machine fait un seul calcul, multiplier par \(a\).
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine O \((0 \,;\, 0)\).

Exemple (rappel) : \(f(x) = 3x\) est une fonction linéaire de coefficient 3. L'image de 5 est \(f(5) = 3 \times 5 = 15\). L'antécédent de 12 est \(12 : 3 = 4\). Sa droite passe par O et par le point \((1 \,;\, 3)\).

Dans ce chapitre, la machine fait un calcul de plus : après avoir multiplié, elle ajoute un nombre.

3. Reconnaître une fonction affine (C1)

Définition

Une fonction affine est une fonction dont la formule s'écrit \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres fixés.
La machine fait deux calculs : multiplier par \(a\), puis ajouter \(b\).
Le nombre \(a\) s'appelle le coefficient directeur : c'est de combien la droite monte quand on avance de 1 (section 6).
Le nombre \(b\) s'appelle l'ordonnée à l'origine : c'est l'endroit où la droite coupe l'axe vertical (section 6).

Pour le loueur A : prix \(= 2 \times\) nombre d'heures \(+ 3\), donc \(p(x) = 2x + 3\), avec \(a = 2\) et \(b = 3\).

La machine d'une fonction affine : multiplier par a, puis ajouter b.

Deux cas particuliers

Si \(b = 0\) : \(f(x) = ax\). C'est une fonction linéaire (chapitre 8). Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière.
Si \(a = 0\) : \(f(x) = b\). Tous les nombres ont la même image \(b\). On dit que la fonction est constante.

Méthode Reconnaître une fonction affine et donner a et b

Écrire la formule dans l'ordre « nombre × \(x\) + nombre seul ». Par exemple, \(5 + 3x\) s'écrit \(3x + 5\).

\(a\) est le nombre qui multiplie \(x\). Si on voit seulement \(x\), alors \(a = 1\) ; si on voit \(-x\), alors \(a = -1\).

\(b\) est le nombre seul, avec son signe. S'il n'y a pas de nombre seul, \(b = 0\).

Si la formule contient \(x \times x\) (ou \(x^2\)), ce n'est pas une fonction affine.

Exemple : pour chaque formule, on dit si la fonction est affine et on donne \(a\) et \(b\).

Formule	Dans l'ordre	Affine ?	\(a\)	\(b\)
\(f(x) = 2x + 3\)	\(2x + 3\)	oui	2	3
\(g(x) = 4x - 7\)	\(4x - 7\)	oui	4	\(-7\)
\(h(x) = 5 + 3x\)	\(3x + 5\)	oui	3	5
\(k(x) = 10 - x\)	\(-x + 10\)	oui	\(-1\)	10
\(m(x) = 2{,}5x\)	\(2{,}5x + 0\)	oui (linéaire)	2,5	0
\(n(x) = 8\)	\(0x + 8\)	oui (constante)	0	8
\(q(x) = x \times x + 1\)	—	non	—	—

Pour \(q\), on multiplie \(x\) par lui-même, et pas par un nombre fixé : ce n'est pas une fonction affine.

Attention

Le signe compte : dans \(4x - 7\), \(b = -7\) et pas 7.
Dans \(5 + 3x\), le coefficient \(a\) est 3 (le nombre devant \(x\)), pas 5 (le premier nombre écrit).
\(x\) tout seul veut dire \(1 \times x\) : dans \(x + 9\), \(a = 1\).

À toi

Donne \(a\) et \(b\) pour chaque fonction affine.
a) \(f(x) = 6x + 1\) b) \(g(x) = 3x - 2\) c) \(h(x) = 12 - 4x\) d) \(k(x) = x + 9\)
e) La fonction \(\ell(x) = x \times x - 1\) est-elle affine ?

a) \(a = 6\) et \(b = 1\).
b) \(a = 3\) et \(b = -2\) (on garde le signe moins).
c) Dans l'ordre : \(h(x) = -4x + 12\). Donc \(a = -4\) et \(b = 12\).
d) \(x = 1 \times x\), donc \(a = 1\) et \(b = 9\).
e) Non : on multiplie \(x\) par lui-même. Ce n'est pas une fonction affine.

4. Calculer une image et un antécédent (C2)

Méthode 1 Calculer l'image d'un nombre

Remplacer \(x\) par le nombre.

Faire d'abord la multiplication.

Ajouter \(b\) (ou enlever, si \(b\) est négatif). Le résultat est l'image.

Méthode 2 Calculer l'antécédent d'un nombre

Écrire l'équation \(ax + b =\) le nombre donné.

Enlever \(b\) des deux côtés.

Diviser par \(a\) des deux côtés.

Vérifier en calculant l'image du résultat.

Réponses aux questions 1 et 2 de la situation : chez le loueur A, le prix en euros pour \(x\) heures est \(p(x) = 2x + 3\).

Voici son tableau de valeurs :

Durée \(x\) en h	0	1	2	3	4	5	6
Prix \(p(x)\) en €	3	5	7	9	11	13	15

Question 1 (image de 4) :

On remplace \(x\) par 4 : \(p(4) = 2 \times 4 + 3\).

\(2 \times 4 = 8\).

\(8 + 3 = 11\). Donc \(p(4) = 11\) : 4 heures coûtent 11 €.

Question 2 (antécédent de 15) :

On écrit l'équation \(2x + 3 = 15\).

On enlève 3 des deux côtés : \(2x = 12\).

On divise par 2 : \(x = 12 : 2 = 6\).

Vérification : \(p(6) = 2 \times 6 + 3 = 15\). ✓

Avec 15 €, Kenza peut louer le vélo 6 heures. On retrouve les deux réponses dans le tableau : 11 sous le 4, et 6 au-dessus du 15.

Remarque : dans le tableau, quand \(x\) augmente de 1, le prix augmente toujours de 2. Ce 2, c'est \(a\) : le prix d'une heure de plus.

Exemple 2 (les degrés Fahrenheit) : aux États-Unis, la température se donne en degrés Fahrenheit (°F). Pour passer des degrés Celsius (°C) aux degrés Fahrenheit, on utilise la fonction affine \(F(x) = 1{,}8x + 32\), où \(x\) est la température en °C.

Image de 20 (20 °C, c'est combien en °F ?) :

\(F(20) = 1{,}8 \times 20 + 32\).

\(1{,}8 \times 20 = 36\), puis \(36 + 32 = 68\).

20 °C, c'est 68 °F.

Antécédent de 50 (50 °F, c'est combien en °C ?) :

On écrit \(1{,}8x + 32 = 50\).

On enlève 32 : \(1{,}8x = 18\).

On divise par 1,8 : \(x = 18 : 1{,}8 = 10\).

Vérification : \(F(10) = 1{,}8 \times 10 + 32 = 18 + 32 = 50\). ✓

50 °F, c'est 10 °C.

Attention

Pour une image, on fait la multiplication d'abord : \(2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11\), et pas \(2 \times 7 = 14\).
Pour un antécédent, on enlève \(b\) d'abord, puis on divise par \(a\). Dans l'autre ordre, le résultat est faux.
Fais toujours la vérification : c'est elle qui montre que ta réponse est juste.

À toi

\(f(x) = 3x + 5\).
a) Calcule \(f(4)\).
b) Calcule \(f(0)\).
c) Trouve l'antécédent de 26.
d) Avec \(F(x) = 1{,}8x + 32\), convertis 30 °C en °F.

a) \(f(4) = 3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = \) 17.
b) \(f(0) = 3 \times 0 + 5 = 0 + 5 = \) 5. L'image de 0 est toujours \(b\).
c) \(3x + 5 = 26\). On enlève 5 : \(3x = 21\). On divise par 3 : \(x = 7\). Vérification : \(3 \times 7 + 5 = 26\). ✓ L'antécédent de 26 est 7.
d) \(F(30) = 1{,}8 \times 30 + 32 = 54 + 32 = 86\). 30 °C, c'est 86 °F.

5. Représenter une fonction affine par une droite (C3)

Propriété

La représentation graphique d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est une droite.
Cette droite coupe l'axe vertical au point \((0 \,;\, b)\), car \(f(0) = a \times 0 + b = b\).
Si \(b = 0\) (fonction linéaire), la droite passe par l'origine O. Si \(b\) n'est pas 0, elle ne passe pas par O.

Méthode Tracer la droite d'une fonction affine

Choisir trois valeurs de \(x\) : \(x = 0\) (c'est facile, l'image est \(b\)), une valeur loin de 0, et une valeur au milieu.

Calculer les trois images et les ranger dans un tableau de valeurs.

Placer les deux premiers points \((x \,;\, f(x))\) dans le repère.

Tracer à la règle la droite qui passe par ces deux points, sur toute la largeur du repère.

Vérifier que le troisième point est bien sur la droite.

Exemple (le loueur A) : tracer la droite de \(p(x) = 2x + 3\) pour \(x\) de 0 à 8 heures.

On choisit \(x = 0\), \(x = 8\) et \(x = 4\).

\(p(0) = 2 \times 0 + 3 = 3\) ; \(p(8) = 2 \times 8 + 3 = 19\) ; \(p(4) = 2 \times 4 + 3 = 11\).

\(x\)	0	8	4
\(p(x)\)	3	19	11

On place A \((0 \,;\, 3)\) et B \((8 \,;\, 19)\).

On trace à la règle la droite qui passe par A et B.

Le point C \((4 \,;\, 11)\) est bien sur la droite. ✓

La droite de p(x) = 2x + 3 passe par A et B ; le point C sert à vérifier. En gris, la droite de f(x) = 2x (chapitre 8) : même pente, mais 3 carreaux plus bas.

La droite de \(p\) ne passe pas par O : elle part de 3, le prix des frais. Elle est parallèle à la droite de la fonction linéaire \(f(x) = 2x\) : c'est le « \(+ 3\) » qui la fait monter de 3 carreaux.

Attention

Les trois points doivent être alignés. Si le troisième point n'est pas sur la droite, une image est fausse : refais les calculs.
Choisis des valeurs de \(x\) assez éloignées : avec deux points trop proches, la droite est moins précise.
Trace la droite sur toute la largeur du repère : ne t'arrête pas aux points.
Gradue les axes régulièrement, et écris leur nom et leur unité.

À toi

Trace la droite de la fonction affine \(g(x) = 0{,}5x + 1\) pour \(x\) de 0 à 8, dans un repère comme celui-ci. Commence par calculer \(g(0)\), \(g(8)\) et \(g(4)\).

Repère pour tracer la droite de g (un carreau pour 1 sur chaque axe).

\(g(0) = 0{,}5 \times 0 + 1 = 1\) ; \(g(8) = 0{,}5 \times 8 + 1 = 4 + 1 = 5\) ; \(g(4) = 0{,}5 \times 4 + 1 = 2 + 1 = 3\).
On place \((0 \,;\, 1)\) et \((8 \,;\, 5)\), on trace la droite à la règle, puis on vérifie que \((4 \,;\, 3)\) est sur la droite. ✓

Correction : la droite de g(x) = 0,5x + 1 passe par (0 ; 1), (4 ; 3) et (8 ; 5).

6. Lire \(b\) et \(a\) sur le graphique (C4)

Propriété Pour la droite d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) :

\(b\), l'ordonnée à l'origine, se lit à l'endroit où la droite coupe l'axe vertical.
\(a\), le coefficient directeur, dit de combien on monte quand on avance de 1 : quand on avance de 1 vers la droite, on monte de \(a\). C'est une marche d'escalier « \(+1\) / \(+a\) ».

Ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe vertical en 1, donc b = 1. Coefficient directeur : quand on avance de 1, on monte de 2, donc a = 2.

Le signe de \(a\) et l'allure de la droite

Si \(a\) est positif, la droite monte (de gauche à droite).
Si \(a\) est négatif, la droite descend.
Si \(a = 0\), la droite est horizontale.

Plus \(a\) est grand (sans regarder le signe), plus la droite est penchée.

Le signe de a donne l'allure de la droite : a positif, elle monte ; a négatif, elle descend ; a = 0, elle est horizontale.

Méthode Lire b et a sur la droite

Regarder où la droite coupe l'axe vertical : le nombre lu est \(b\).

Partir d'un point de la droite situé sur un coin de carreau (par exemple le point \((0 \,;\, b)\)).

Avancer de 1 vers la droite (\(+1\)).

Compter de combien il faut monter ou descendre pour retrouver la droite : c'est \(a\). Si on monte, \(a\) est positif ; si on descend, \(a\) est négatif.

Écrire la formule \(f(x) = ax + b\).

Exemple 1 (une droite qui monte) : on reprend la figure de l'escalier, plus haut.

La droite coupe l'axe vertical en 1 : \(b = 1\).

On part du point \((0 \,;\, 1)\).

On avance de 1 (trait orange).

On monte de 2 pour retrouver la droite (trait vert) : \(a = 2\).

La formule est \(f(x) = 2x + 1\).

Exemple 2 (une droite qui descend) : trouver la formule de la fonction affine représentée par la droite \(d\).

La droite d coupe l'axe vertical en 6 ; quand on avance de 1, on descend de 2 : a = −2.

La droite coupe l'axe vertical en 6 : \(b = 6\).

On part du point \((0 \,;\, 6)\).

On avance de 1.

On descend de 2 pour retrouver la droite : \(a = -2\). La droite descend, \(a\) est bien négatif.

La formule est \(f(x) = -2x + 6\).

Vérification avec le point \((3 \,;\, 0)\) : \(f(3) = -2 \times 3 + 6 = -6 + 6 = 0\). ✓

Attention

\(b\) se lit sur l'axe vertical, pas sur l'axe horizontal.
Une droite qui descend a un coefficient \(a\) négatif : n'oublie pas le signe moins.
Regarde ce que vaut un carreau avant de lire : si un carreau vaut 2, il faut compter de 2 en 2.
Pour aller plus loin : si, en avançant de 1, on ne tombe pas sur un coin de carreau, on avance de 2 et on divise par 2 ce qu'on a monté.

À toi

Utilise les droites \(d_1\) et \(d_2\) ci-dessous.

Les droites d₁ et d₂ (un carreau pour 1 sur chaque axe).

a) Lis l'ordonnée à l'origine \(b\) de chaque droite.
b) Lis le coefficient directeur \(a\) de chaque droite.
c) Quelle droite monte ? Quelle droite descend ?
d) Écris la formule de chaque fonction.

Correction : d₁ coupe l'axe vertical en 1 et monte de 3 ; d₂ coupe l'axe vertical en 8 et descend de 1.

a) \(d_1\) coupe l'axe vertical en 1 : \(b = 1\). \(d_2\) coupe l'axe vertical en 8 : \(b = 8\).
b) \(d_1\) : on avance de 1, on monte de 3, donc \(a = 3\). \(d_2\) : on avance de 1, on descend de 1, donc \(a = -1\).
c) \(d_1\) monte (\(a = 3\) est positif) ; \(d_2\) descend (\(a = -1\) est négatif).
d) \(d_1\) : \(f(x) = 3x + 1\) ; \(d_2\) : \(g(x) = -x + 8\).

7. Modéliser une situation et comparer deux offres (C5)

7.1 Écrire la fonction d'une situation

Propriété Beaucoup de prix se calculent ainsi : prix = prix d'une unité × nombre d'unités + partie fixe.

La partie fixe (frais, abonnement, prise en charge) est \(b\) : c'est le prix pour 0 unité.
Le prix d'une unité (une heure, un kilomètre, une entrée…) est \(a\).

Le prix est alors une fonction affine : \(f(x) = ax + b\). On dit qu'on modélise la situation.

Méthode Modéliser une situation par une fonction affine

Dire ce que représente \(x\) (un nombre d'heures, de kilomètres, d'entrées…).

Trouver la partie fixe : c'est \(b\).

Trouver le prix d'une unité : c'est \(a\).

Écrire la formule \(f(x) = ax + b\), puis s'en servir (image, antécédent).

Exemple 1 (un taxi) : un taxi fait payer 4 € de prise en charge, puis 1,50 € par kilomètre.

\(x\) est le nombre de kilomètres.

Partie fixe : 4 €, donc \(b = 4\).

Prix d'un kilomètre : 1,50 €, donc \(a = 1{,}5\).

Formule : \(t(x) = 1{,}5x + 4\).

Prix d'un trajet de 10 km : \(t(10) = 1{,}5 \times 10 + 4 = 15 + 4 = 19\). Le trajet coûte 19 €.

Avec 25 €, combien de kilomètres ? On résout \(1{,}5x + 4 = 25\) : \(1{,}5x = 21\), puis \(x = 21 : 1{,}5 = 14\). Vérification : \(1{,}5 \times 14 + 4 = 21 + 4 = 25\). ✓ On peut faire 14 km.

7.2 Comparer deux offres

Méthode Comparer deux offres

Écrire la formule de chaque offre.

Faire un tableau de valeurs des deux offres, ou tracer les deux droites dans le même repère.

Chercher le point d'intersection des deux droites (là où elles se coupent) : pour ce nombre \(x\), les deux offres ont le même prix.

Conclure : de chaque côté du point d'intersection, l'offre la moins chère est celle dont la droite est la plus basse.

Réponse à la question 3 de la situation :

Loueur A : \(p(x) = 2x + 3\). Loueuse B : pas de frais, 3 € par heure, donc \(q(x) = 3x\) (une fonction linéaire).

Tableau de valeurs des deux offres :

Durée \(x\) en h	0	1	2	3	4	5	6
A : \(p(x)\) en €	3	5	7	9	11	13	15
B : \(q(x)\) en €	0	3	6	9	12	15	18

Les deux droites se coupent en I (3 ; 9) : pour 3 h, les deux loueurs coûtent 9 €. Avant 3 h, la droite rouge (B) est plus basse ; après 3 h, c'est la bleue (A).

Les droites se coupent au point I \((3 \,;\, 9)\) : pour 3 heures, les deux loueurs coûtent 9 €.

Avant 3 h, la droite de B est plus basse ; après 3 h, c'est celle de A.

Conclusion : pour moins de 3 heures, la loueuse B est moins chère. Pour 3 heures, c'est le même prix. Pour plus de 3 heures, le loueur A est moins cher. Pour 4 heures, Kenza a donc intérêt à choisir A (11 € au lieu de 12 €).

Par le calcul (chapitre 5) : on cherche \(x\) tel que \(3x = 2x + 3\). On enlève \(2x\) des deux côtés : \(x = 3\). On retrouve 3 heures.

Attention

Le point d'intersection donne le même prix, pas l'offre la moins chère : il faut ensuite regarder quelle droite est en dessous, avant et après.
Les deux droites doivent être tracées dans le même repère, avec les mêmes graduations.
La partie fixe \(b\) est le prix pour \(x = 0\) : on la lit au départ de la droite, sur l'axe vertical.

À toi

À la piscine, l'entrée coûte 5 € sans carte. Avec la carte, on paie 20 € pour la carte, puis 3 € par entrée.
a) Écris le prix \(f(x)\) sans carte et le prix \(g(x)\) avec la carte, pour \(x\) entrées.
b) Recopie et complète le tableau.

Nombre d'entrées \(x\)	0	5	10	15
Sans carte : \(f(x)\) en €	…	…	…	…
Avec carte : \(g(x)\) en €	…	…	…	…

c) Pour combien d'entrées les deux prix sont-ils égaux ?
d) Léo pense aller 12 fois à la piscine. Doit-il prendre la carte ?

a) Sans carte : pas de partie fixe, \(f(x) = 5x\). Avec carte : partie fixe 20 €, 3 € par entrée, \(g(x) = 3x + 20\).
b) \(f(5) = 25\) ; \(f(10) = 50\) ; \(f(15) = 75\). \(g(5) = 3 \times 5 + 20 = 35\) ; \(g(10) = 3 \times 10 + 20 = 50\) ; \(g(15) = 3 \times 15 + 20 = 65\).

Nombre d'entrées \(x\)	0	5	10	15
Sans carte : \(f(x)\) en €	0	25	50	75
Avec carte : \(g(x)\) en €	20	35	50	65

c) Pour 10 entrées, les deux prix sont égaux : 50 €.

Correction : les droites se coupent en (10 ; 50). Après 10 entrées, la droite bleue (avec carte) est la plus basse.

d) Pour 12 entrées : sans carte, \(f(12) = 5 \times 12 = 60\) € ; avec carte, \(g(12) = 3 \times 12 + 20 = 56\) €. Après 10 entrées, la carte est moins chère : Léo a intérêt à prendre la carte (56 € au lieu de 60 €).

8. L'essentiel à retenir

À retenir :

Une fonction affine s'écrit \(f(x) = ax + b\) : on multiplie par \(a\), puis on ajoute \(b\). Si \(b = 0\), c'est une fonction linéaire ; si \(a = 0\), elle est constante.
Pour trouver \(a\) et \(b\), on écrit la formule dans l'ordre « \(ax + b\) » et on garde les signes : \(12 - 4x = -4x + 12\), donc \(a = -4\) et \(b = 12\).
Image : on remplace \(x\), on multiplie, puis on ajoute \(b\). Antécédent : on résout \(ax + b =\) le nombre (on enlève \(b\), puis on divise par \(a\)) et on vérifie.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Pour la tracer : trois points (dont \(x = 0\)), la règle, puis la vérification.
\(b\), l'ordonnée à l'origine : là où la droite coupe l'axe vertical. \(a\), le coefficient directeur : quand on avance de 1, on monte de \(a\).
\(a\) positif : la droite monte. \(a\) négatif : elle descend. \(a = 0\) : elle est horizontale.
Modéliser un prix : \(b\) = la partie fixe (frais, abonnement), \(a\) = le prix d'une unité.
Comparer deux offres : au point d'intersection des droites, les prix sont égaux ; de chaque côté, l'offre la moins chère a la droite la plus basse.