Chapitre 9 – Exercices

3e prépa-métiers | Mathématiques | Espace et géométrie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

C1 – Repérer, pour un angle aigu d'un triangle rectangle, l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé.
C2 – Écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu avec les longueurs des côtés.
C3 – Calculer une longueur avec le cosinus, le sinus ou la tangente.
C4 – Calculer la mesure d'un angle avec la calculatrice (cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹).
C5 – Résoudre un problème concret en choisissant la bonne formule.

Rappels essentiels :

On choisit un angle aigu (en orange sur les figures). Hypoténuse : en face de l'angle droit. Côté adjacent : « collé » à l'angle. Côté opposé : « en face » de l'angle.
SOH-CAH-TOA : \(\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\) ; \(\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) ; \(\tan = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\).
Longueur : on multiplie. Exemple : adjacent = hypoténuse × cos(angle).
Angle : on calcule la fraction, puis on tape cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ (SHIFT ou 2nde, puis cos, sin ou tan).
Pour choisir : je connais quoi ? je cherche quoi ?

La calculatrice est autorisée, en mode degrés (test : cos 60 = 0,5). Arrondis au dixième. Les exercices sont progressifs : commence par le niveau socle, puis avance à ton rythme. Le code (C1, C2…) indique la capacité travaillée.

Niveau socle — je m'entraîne pas à pas

Exercice 1 L'hypoténuse et les deux autres côtés (C1) Socle

Triangle MNP rectangle en N. On étudie l'angle M (en orange).

Aide : l'hypoténuse est en face du petit carré. Le côté adjacent est « collé » à l'angle orange. Le côté opposé est « en face » de l'angle orange : il ne le touche pas.

1. L'angle droit est en .

2. L'hypoténuse est le côté [].

3. Pose ton doigt sur l'angle \(\widehat{M}\). Le côté collé à M qui n'est pas l'hypoténuse est [] : c'est le côté adjacent.

4. Le côté qui ne touche pas M est [] : c'est le côté opposé.

1. Le petit carré est en N : l'angle droit est en N.

2. L'hypoténuse est en face de N : c'est [MP].

3. Deux côtés touchent M : [MP] (l'hypoténuse) et [MN]. Le côté adjacent à \(\widehat{M}\) est donc [MN].

4. Le côté qui reste, en face de M, est [NP] : c'est le côté opposé à \(\widehat{M}\).

Exercice 2 Un triangle, deux angles (C1) Socle

Triangle IJK rectangle en J. a) On étudie l'angle I. b) On étudie l'angle K.

Aide : l'hypoténuse ne change jamais. Le côté adjacent et le côté opposé changent quand on change d'angle.

1. Complète le tableau.

	a) angle \(\widehat{I}\)	b) angle \(\widehat{K}\)
Hypoténuse	[]	[]
Côté adjacent	[]	[]
Côté opposé	[]	[]

2. Quel côté était adjacent en a) et devient opposé en b) ?

1. L'angle droit est en J, donc l'hypoténuse est [IK] dans les deux cas.

a) Angle \(\widehat{I}\) : côté adjacent [IJ] (collé à I) ; côté opposé [JK] (en face de I).
b) Angle \(\widehat{K}\) : côté adjacent [JK] (collé à K) ; côté opposé [IJ] (en face de K).

2. C'est [IJ] : adjacent à \(\widehat{I}\), il est opposé à \(\widehat{K}\).

Exercice 3 Des triangles dans tous les sens (C1) Socle

a) UVW rectangle en V, angle W. b) XYZ rectangle en Z, angle X. c) DEF rectangle en D, angle F.

Aide : tourne ta feuille si besoin. La méthode ne change pas : 1) le petit carré donne l'hypoténuse, en face ; 2) l'autre côté collé à l'angle orange est l'adjacent ; 3) le dernier côté est l'opposé.

1. Pour chaque triangle, nomme l'hypoténuse.

a) [] b) [] c) []

2. Pour chaque triangle, nomme le côté adjacent à l'angle marqué.

a) [] b) [] c) []

3. Pour chaque triangle, nomme le côté opposé à l'angle marqué.

a) [] b) [] c) []

a) Angle droit en V : hypoténuse [UW]. Pour \(\widehat{W}\) : adjacent [VW], opposé [UV].
b) Angle droit en Z : hypoténuse [XY]. Pour \(\widehat{X}\) : adjacent [XZ], opposé [YZ].
c) Angle droit en D : hypoténuse [EF]. Pour \(\widehat{F}\) : adjacent [DF], opposé [DE].

Le sens du triangle ne change rien : on part toujours du petit carré, puis de l'angle orange.

Exercice 4 SOH-CAH-TOA (C2) Socle

Aide : dans SOH, CAH et TOA, la première lettre donne la touche (S = sinus, C = cosinus, T = tangente), la deuxième le côté du haut, la troisième le côté du bas (O = opposé, A = adjacent, H = hypoténuse).

1. Complète avec les mots « opposé », « adjacent » ou « hypoténuse ».

a) SOH : \(\sin = \dfrac{\ldots}{\ldots}\) donne sinus = sur

b) CAH : cosinus = sur

c) TOA : tangente = sur

2. Relie chaque fraction à son nom : cos, sin ou tan.

a) \(\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\) : b) \(\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) : c) \(\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\) :

3. Laquelle des trois n'utilise pas l'hypoténuse ?

1. a) SOH : sinus = opposé sur hypoténuse. b) CAH : cosinus = adjacent sur hypoténuse. c) TOA : tangente = opposé sur adjacent.

\[\cos = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\]

2. a) tan (TOA) ; b) cos (CAH) ; c) sin (SOH).

3. La tangente : elle utilise l'opposé et l'adjacent, pas l'hypoténuse.

Exercice 5 Écrire les fractions avec les lettres (C2) Socle

Triangle GHK rectangle en H. On étudie l'angle G.

1. Pour l'angle \(\widehat{G}\) : hypoténuse [] ; côté adjacent [] ; côté opposé [].

2. Complète avec des noms de côtés (deux lettres).

a) CAH : \(\cos \widehat{G} = \dfrac{\ldots}{\ldots}\) b) SOH : \(\sin \widehat{G} = \dfrac{\ldots}{\ldots}\) c) TOA : \(\tan \widehat{G} = \dfrac{\ldots}{\ldots}\)

1. L'angle droit est en H. Pour \(\widehat{G}\) : hypoténuse [GK] ; côté adjacent [GH] ; côté opposé [HK].

2. a) \(\cos \widehat{G} = \dfrac{GH}{GK}\) ; b) \(\sin \widehat{G} = \dfrac{HK}{GK}\) ; c) \(\tan \widehat{G} = \dfrac{HK}{GH}\).

Exercice 6 Écrire les fractions avec des nombres (C2) Socle

Triangle LMN rectangle en M : LM = 6 cm, MN = 8 cm, LN = 10 cm. On étudie l'angle L.

Aide : écris d'abord la fraction avec les lettres, puis remplace par les longueurs. Une fraction comme \(\dfrac{6}{10}\) se calcule avec une division : 6 : 10.

1. Pour l'angle \(\widehat{L}\) : hypoténuse [] = cm ; adjacent [] = cm ; opposé [] = cm.

2. Complète.

a) \(\cos \widehat{L} = \dfrac{LM}{LN} = \dfrac{\ldots}{\ldots} =\)

b) \(\sin \widehat{L} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \dfrac{\ldots}{\ldots} =\)

c) \(\tan \widehat{L} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \dfrac{\ldots}{\ldots} \approx\) (arrondi au dixième)

3. Le cosinus et le sinus trouvés sont-ils plus petits que 1 ? Pourquoi ?

1. L'angle droit est en M. Pour \(\widehat{L}\) : hypoténuse [LN] = 10 cm ; adjacent [LM] = 6 cm ; opposé [MN] = 8 cm.

2. a) CAH : \(\cos \widehat{L} = \dfrac{LM}{LN} = \dfrac{6}{10} = \mathbf{0{,}6}\).
b) SOH : \(\sin \widehat{L} = \dfrac{MN}{LN} = \dfrac{8}{10} = \mathbf{0{,}8}\).
c) TOA : \(\tan \widehat{L} = \dfrac{MN}{LM} = \dfrac{8}{6} = 1{,}333\ldots \approx \mathbf{1{,}3}\).

3. Oui : 0,6 et 0,8 sont plus petits que 1. Pour le cosinus et le sinus, l'hypoténuse est en bas, et c'est le plus grand côté. La tangente, elle, peut dépasser 1.

Exercice 7 Je connais quoi ? Je cherche quoi ? (C5) Socle

Aide : regarde les deux côtés qui servent (celui qu'on connaît et celui qu'on cherche, ou les deux qu'on connaît). Adjacent et hypoténuse → CAH. Opposé et hypoténuse → SOH. Opposé et adjacent → TOA.

1. Dans chaque ligne, on connaît un angle aigu. Écris la bonne formule : CAH (cos), SOH (sin) ou TOA (tan).

	Je connais	Je cherche
a)	l'hypoténuse	le côté adjacent
b)	l'hypoténuse	le côté opposé
c)	le côté adjacent	le côté opposé
d)	le côté opposé	l'hypoténuse

2. Cette fois, on cherche l'angle. Écris la bonne formule.

	Je connais les deux côtés…	Formule
e)	opposé et adjacent
f)	adjacent et hypoténuse

1. a) adjacent et hypoténuse → CAH (cos) ; b) opposé et hypoténuse → SOH (sin) ; c) adjacent et opposé → TOA (tan) ; d) opposé et hypoténuse → SOH (sin).

2. e) opposé et adjacent → TOA (tan) ; f) adjacent et hypoténuse → CAH (cos).

On ne regarde pas si le côté est connu ou cherché : on regarde seulement quels côtés servent.

Exercice 8 Les touches cos, sin et tan (C3) Socle

Aide : vérifie d'abord que ta calculatrice est en degrés (D ou DEG en haut de l'écran). Pour « 10 × sin 40 », tape : 10 × sin 40 =. Arrondir au dixième : on garde un seul chiffre après la virgule.

1. Test du mode degrés : tape cos 60 =. La calculatrice affiche .

2. Calcule et arrondis au dixième.

a) \(\cos 35° \approx\) b) \(\sin 50° \approx\) c) \(\tan 20° \approx\)

3. Calcule et arrondis au dixième.

a) \(10 \times \sin 40° \approx\) b) \(5 \times \tan 30° \approx\) c) \(12 \times \cos 25° \approx\)

1. La calculatrice doit afficher 0,5. Sinon, elle n'est pas en degrés.

2. a) La calculatrice affiche 0,819… donc \(\cos 35° \approx\) 0,8. b) 0,766… donc \(\sin 50° \approx\) 0,8. c) 0,363… donc \(\tan 20° \approx\) 0,4.

3. a) 6,427… donc \(10 \times \sin 40° \approx\) 6,4. b) 2,886… donc \(5 \times \tan 30° \approx\) 2,9. c) 10,875… donc \(12 \times \cos 25° \approx\) 10,9.

Exercice 9 Calculer une longueur pas à pas (C3) Socle

Le triangle ABC est rectangle en A. On sait que \(\widehat{B} = 40°\) et \(BC = 12\) cm. On cherche AB.

Triangle ABC rectangle en A : \(\widehat{B}\) = 40°, BC = 12 cm. On cherche AB.

1. Pour l'angle \(\widehat{B}\) : [BC] est et [AB] est .

2. Je connais . Je cherche . J'utilise : CAH, SOH ou TOA ?

3. Complète : \(AB = BC \times \cos \widehat{B} = \ldots \times \cos \ldots°\)

4. Calcule AB, arrondi au dixième. N'oublie pas l'unité.

1. [BC] est en face de l'angle droit : c'est l'hypoténuse. [AB] est collé à B : c'est le côté adjacent.

2. Je connais l'hypoténuse (12 cm). Je cherche le côté adjacent. Adjacent et hypoténuse → CAH, le cosinus.

3. \(\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}\), donc \(AB = BC \times \cos \widehat{B} = 12 \times \cos 40°\).

4. À la calculatrice : 12 × cos 40 = 9,192… Donc AB ≈ 9,2 cm. C'est bien plus petit que l'hypoténuse (12 cm).

Exercice 10 Trois longueurs à calculer (C3) Socle

a) DEF rectangle en E : \(\widehat{D}\) = 35°, DF = 9 cm. b) GHI rectangle en H : \(\widehat{G}\) = 50°, GH = 6 cm. c) JKL rectangle en K : \(\widehat{L}\) = 25°, JL = 15 cm.

Aide : pour chaque triangle, complète la ligne du tableau, puis fais la multiplication. Le côté cherché est toujours en haut de la fraction.

	Je connais	Je cherche	Formule	Calcul
a) EF				EF = 9 ×
b) HI				HI = 6 ×
c) KL				KL = 15 ×

1. Complète le tableau.

2. Calcule EF, HI et KL, arrondis au dixième.

a) Pour \(\widehat{D}\) : [DF] est l'hypoténuse, [EF] est le côté opposé. Je connais l'hypoténuse, je cherche l'opposé → SOH.
\(EF = DF \times \sin \widehat{D} = 9 \times \sin 35° = 5{,}162\ldots\) Donc EF ≈ 5,2 cm.

b) Pour \(\widehat{G}\) : [GH] est le côté adjacent, [HI] est le côté opposé. Je connais l'adjacent, je cherche l'opposé → TOA.
\(HI = GH \times \tan \widehat{G} = 6 \times \tan 50° = 7{,}150\ldots\) Donc HI ≈ 7,2 cm.

c) Pour \(\widehat{L}\) : [JL] est l'hypoténuse, [KL] est le côté adjacent. Je connais l'hypoténuse, je cherche l'adjacent → CAH.
\(KL = JL \times \cos \widehat{L} = 15 \times \cos 25° = 13{,}594\ldots\) Donc KL ≈ 13,6 cm.

Exercice 11 La hauteur atteinte par l'échelle (C3) Socle

Une échelle de 4 m est posée contre un mur. Comme le conseille son étiquette de sécurité, elle fait un angle de 75° avec le sol. Le mur est vertical et le sol est horizontal. On cherche à quelle hauteur l'échelle touche le mur.

Échelle de 4 m, angle de 75° avec le sol. Le mur et le sol forment un angle droit.

Aide : le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'angle droit est au pied du mur.

1. Quel objet est l'hypoténuse : le mur, le sol ou l'échelle ?

2. Pour l'angle de 75°, la hauteur sur le mur est-elle le côté adjacent ou le côté opposé ?

3. Quelle formule utilises-tu : CAH, SOH ou TOA ?

4. Calcule la hauteur, arrondie au dixième, et réponds par une phrase.

1. L'échelle est en face de l'angle droit : c'est l'hypoténuse (4 m).

2. La hauteur ne touche pas l'angle de 75° (qui est au pied de l'échelle) : c'est le côté opposé.

3. Je connais l'hypoténuse, je cherche l'opposé → SOH, le sinus.

4. hauteur = 4 × sin 75° = 3,863… L'échelle touche le mur à environ 3,9 m de haut.

Exercice 12 Les touches cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹ (C4) Socle

Aide : pour cos⁻¹, appuie sur SHIFT (ou 2nde), puis sur cos, tape le nombre, puis =. Le résultat est un angle en degrés. La calculatrice doit être en mode degrés.

1. Calcule (le résultat tombe juste).

a) cos⁻¹ 0,5 = ° b) sin⁻¹ 0,5 = ° c) tan⁻¹ 1 = °

2. Calcule et arrondis au dixième.

a) cos⁻¹ 0,8 ≈ ° b) tan⁻¹ 2 ≈ ° c) sin⁻¹ 0,3 ≈ °

3. Pour trouver un angle, Lina tape « cos 0,8 = » et lit 0,999… Quelle touche aurait-elle dû utiliser ?

1. a) cos⁻¹ 0,5 = 60° ; b) sin⁻¹ 0,5 = 30° ; c) tan⁻¹ 1 = 45°.

2. a) La calculatrice affiche 36,869… donc cos⁻¹ 0,8 ≈ 36,9°. b) 63,434… donc tan⁻¹ 2 ≈ 63,4°. c) 17,457… donc sin⁻¹ 0,3 ≈ 17,5°.

3. Lina a utilisé la touche cos, qui donne un nombre à partir d'un angle. Pour trouver un angle, il faut la touche cos⁻¹ (SHIFT puis cos) : cos⁻¹ 0,8 ≈ 36,9°.

Exercice 13 Calculer un angle pas à pas (C4) Socle

Le triangle PQR est rectangle en Q, avec \(PQ = 7\) cm et \(PR = 10\) cm. On cherche l'angle \(\widehat{P}\).

Triangle PQR rectangle en Q : PQ = 7 cm, PR = 10 cm. On cherche l'angle P.

1. Pour l'angle \(\widehat{P}\) : [PR] est et [PQ] est .

2. Je connais l'adjacent et l'hypoténuse : j'utilise .

3. Complète : \(\cos \widehat{P} = \dfrac{PQ}{PR} = \dfrac{\ldots}{\ldots} =\)

4. Calcule l'angle avec la touche cos⁻¹ et arrondis au dixième.

1. [PR] est en face de l'angle droit : c'est l'hypoténuse. [PQ] est collé à P : c'est le côté adjacent.

2. Adjacent et hypoténuse → CAH, le cosinus.

3. \(\cos \widehat{P} = \dfrac{PQ}{PR} = \dfrac{7}{10} = \mathbf{0{,}7}\).

4. cos⁻¹ 0,7 = 45,572… Donc \(\widehat{P} \approx\) 45,6°. C'est bien un angle entre 0° et 90°.

Niveau standard — j'applique dans des situations

Exercice 14 La hauteur d'un immeuble (C5) Standard

Lucas pose un appareil de visée au sol, au point O, à 30 m du pied P d'un immeuble. Il vise le haut S de l'immeuble : l'appareil indique un angle de 40° avec le sol. La façade de l'immeuble est verticale.

Triangle OPS rectangle en P : OP = 30 m, angle de visée 40°. On cherche la hauteur PS.

1. Pour l'angle en O, nomme le côté adjacent et le côté opposé.

2. Écris « Je connais … ; je cherche … », puis choisis la formule.

3. Calcule la hauteur de l'immeuble, arrondie au dixième.

4. Un étage mesure environ 3 m. Combien d'étages environ cet immeuble a-t-il ?

1. Le triangle OPS est rectangle en P. Pour l'angle en O : [OP] est le côté adjacent, [PS] est le côté opposé ([OS] est l'hypoténuse).

2. Je connais l'adjacent (30 m) ; je cherche l'opposé. Opposé et adjacent → TOA, la tangente.

3. \(PS = OP \times \tan 40° = 30 \times \tan 40° = 25{,}17\ldots\) L'immeuble mesure environ 25,2 m.

4. \(25{,}2 : 3 = 8{,}4\). L'immeuble a environ 8 étages.

Exercice 15 Le tremplin de skate (C3) Standard

Dans un skatepark, un tremplin est fait d'une planche droite de 2,5 m. La planche fait un angle de 15° avec le sol horizontal.

Tremplin : planche de 2,5 m, angle de 15° avec le sol.

1. Calcule la hauteur du bout du tremplin, arrondie au dixième.

2. Calcule la longueur occupée au sol, arrondie au dixième.

3. Le tremplin doit tenir dans un espace de 2,5 m de long. Est-ce possible ?

La planche, le sol et la verticale forment un triangle rectangle. La planche est l'hypoténuse (2,5 m).

1. La hauteur est en face de l'angle de 15° : c'est le côté opposé. Je connais l'hypoténuse, je cherche l'opposé → SOH.
hauteur = 2,5 × sin 15° = 0,647… Le tremplin monte à environ 0,6 m.

2. La longueur au sol est collée à l'angle : c'est le côté adjacent. Je connais l'hypoténuse, je cherche l'adjacent → CAH.
longueur au sol = 2,5 × cos 15° = 2,414… Elle mesure environ 2,4 m.

3. Oui : 2,4 m est plus petit que 2,5 m, le tremplin tient dans l'espace. C'est logique : un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse.

Exercice 16 La pente d'un toit (C4) Standard

Un charpentier fabrique la charpente d'un abri de jardin. Le toit a deux pentes identiques. Vu de face, sa demi-largeur AH mesure 4,5 m et sa hauteur HS mesure 2 m. La hauteur [HS] est verticale.

Triangle AHS rectangle en H : AH = 4,5 m, HS = 2 m. On cherche l'angle \(\widehat{A}\).

1. Pour l'angle \(\widehat{A}\), quels côtés connais-tu ? Choisis la formule.

2. Calcule l'angle \(\widehat{A}\) du toit avec l'horizontale, arrondi au dixième.

3. Les deux angles aigus d'un triangle rectangle font 90° ensemble. Déduis-en l'angle \(\widehat{S}\) du triangle AHS.

1. Le triangle AHS est rectangle en H. Pour \(\widehat{A}\) : [AH] est le côté adjacent (4,5 m) et [HS] le côté opposé (2 m). Opposé et adjacent → TOA.

2. \(\tan \widehat{A} = \dfrac{HS}{AH} = \dfrac{2}{4{,}5} = 0{,}444\ldots\) On tape tan⁻¹ (2 : 4,5) = 23,962… Le toit fait un angle d'environ 24,0° avec l'horizontale.

3. \(\widehat{S} = 90° - 24{,}0° = \mathbf{66{,}0°}\).

Exercice 17 Les rampes d'accès sont-elles conformes ? (C4, C5) Standard

Dans un bâtiment neuf ouvert au public, une rampe pour fauteuil roulant ne doit pas dépasser une pente de 5 % (arrêté du 20 avril 2017). On a vu dans le cours que cela correspond à un angle d'environ 2,9° avec le sol. Une mairie contrôle deux rampes.

a) Rampe du gymnase : 10 m au sol, 0,35 m de haut. b) Rampe de la médiathèque : 8 m au sol, 0,60 m de haut. Les hauteurs sont agrandies sur le dessin.

1. Pour l'angle avec le sol, la longueur au sol est-elle le côté adjacent ou opposé ? Et la hauteur ? Quelle formule utilises-tu ?

2. Calcule l'angle de chaque rampe avec le sol, arrondi au dixième.

3. Quelle rampe est conforme ? Réponds par une phrase.

1. La longueur au sol est collée à l'angle : c'est le côté adjacent. La hauteur est en face : c'est le côté opposé. Opposé et adjacent → TOA.

2. a) \(\tan(\text{angle}) = \dfrac{0{,}35}{10} = 0{,}035\). tan⁻¹ 0,035 = 2,004… L'angle vaut environ 2,0°.
b) \(\tan(\text{angle}) = \dfrac{0{,}60}{8} = 0{,}075\). tan⁻¹ 0,075 = 4,289… L'angle vaut environ 4,3°.

3. La rampe du gymnase (2,0°, moins de 2,9°) est conforme. La rampe de la médiathèque (4,3°, plus de 2,9°) est trop raide : elle n'est pas conforme.

Exercice 18 Quand le côté cherché est en bas (C3) Standard

a) ABC rectangle en A : \(\widehat{B}\) = 40°, AB = 5 cm. b) DEF rectangle en E : \(\widehat{D}\) = 30°, EF = 4 cm.

Aide : ici, le côté cherché (l'hypoténuse) est en bas de la fraction. On écrit \(\dfrac{\cos 40°}{1} = \dfrac{5}{BC}\), puis on fait le produit en croix : \(BC = \dfrac{5 \times 1}{\cos 40°}\).

1. a) Écris \(\cos \widehat{B}\) avec les côtés, puis calcule BC, arrondi au dixième.

2. b) Choisis la formule pour l'angle \(\widehat{D}\), puis calcule DF.

3. Vérifie : dans chaque cas, l'hypoténuse trouvée est-elle le plus grand côté ?

1. Pour \(\widehat{B}\) : [AB] est le côté adjacent, [BC] l'hypoténuse → CAH.
\(\cos 40° = \dfrac{AB}{BC}\), donc \(\dfrac{\cos 40°}{1} = \dfrac{5}{BC}\).
Produit en croix : \(BC = \dfrac{5 \times 1}{\cos 40°} = 6{,}527\ldots\) Donc BC ≈ 6,5 cm.

2. Pour \(\widehat{D}\) : [EF] est le côté opposé, [DF] l'hypoténuse → SOH.
\(\sin 30° = \dfrac{EF}{DF}\), donc \(\dfrac{\sin 30°}{1} = \dfrac{4}{DF}\).
Produit en croix : \(DF = \dfrac{4 \times 1}{\sin 30°} = \dfrac{4}{0{,}5} = 8\). Donc DF = 8 cm.

3. Oui : 6,5 cm est plus grand que 5 cm et 8 cm est plus grand que 4 cm. L'hypoténuse est bien le plus grand côté.

Exercice 19 Le panneau de pente (C4, C5) Standard

Sur la route, un panneau triangulaire annonce une pente de 10 %. Cela veut dire que la route monte (ou descend) de 10 m quand on avance de 100 m à l'horizontale.

Pente de 10 % : 10 m de montée pour 100 m à l'horizontale. La montée est agrandie sur le dessin.

1. Choisis la formule qui relie la montée, la longueur horizontale et l'angle de la route.

2. Calcule l'angle de la route avec l'horizontale, arrondi au dixième.

3. Même question pour un panneau 20 %.

4. Sami pense qu'une pente de 100 % est un mur vertical (90°). Calcule l'angle pour 100 % et dis s'il a raison.

1. Pour l'angle de la route : la montée (10 m) est le côté opposé, la longueur horizontale (100 m) est le côté adjacent. Opposé et adjacent → TOA.

2. \(\tan(\text{angle}) = \dfrac{10}{100} = 0{,}1\). tan⁻¹ 0,1 = 5,710… L'angle vaut environ 5,7°.

3. 20 % : 20 m pour 100 m. \(\tan(\text{angle}) = \dfrac{20}{100} = 0{,}2\). tan⁻¹ 0,2 = 11,309… Environ 11,3°.

4. 100 % : 100 m pour 100 m. \(\tan(\text{angle}) = \dfrac{100}{100} = 1\). tan⁻¹ 1 = 45°. Sami a tort : une pente de 100 % fait 45°, pas 90°.

Approfondissement — je résous seul

Exercice 20 La hauteur d'un arbre, à hauteur des yeux (C5) Approfondissement

Pour estimer la hauteur d'un arbre, Inès se place à 25 m du tronc. Avec une application de son téléphone tenu au niveau de ses yeux, elle vise le haut de l'arbre : l'angle avec l'horizontale est de 32°. Ses yeux sont à 1,6 m du sol. Le tronc est vertical et le sol est horizontal.

La ligne horizontale part des yeux d'Inès (1,6 m du sol) et mesure 25 m jusqu'au tronc. Angle de visée : 32°.

1. Repère sur la figure le triangle rectangle utile. Où est son angle droit ?

2. Calcule la partie de l'arbre située au-dessus des yeux d'Inès, arrondie au dixième.

3. Déduis-en la hauteur totale de l'arbre.

1. Le triangle a pour sommets les yeux d'Inès, le point du tronc à 1,6 m du sol et le haut de l'arbre. L'angle droit est sur le tronc, à hauteur des yeux (l'horizontale coupe le tronc vertical).

2. Pour l'angle de 32° : l'horizontale (25 m) est le côté adjacent, la partie haute de l'arbre est le côté opposé. Je connais l'adjacent, je cherche l'opposé → TOA.
partie haute = 25 × tan 32° = 15,621… soit environ 15,6 m.

3. Il faut ajouter la hauteur des yeux : 15,6 + 1,6 = 17,2. L'arbre mesure environ 17,2 m.

Exercice 21 Atteindre la fenêtre en sécurité (C3, C4, C5) Approfondissement

Un peintre doit atteindre le bas d'une fenêtre situé à 5,5 m du sol. Il a une échelle de 6 m. Pour être en sécurité, l'échelle doit faire un angle d'environ 75° avec le sol (étiquette de la norme NF EN 131). Le mur est vertical.

Échelle de 6 m posée à 75° du sol. Le bas de la fenêtre est à 5,5 m du sol. Figure sans échelle.

1. Posée à 75°, l'échelle atteint-elle le bas de la fenêtre ? Justifie par un calcul.

2. À quelle distance du mur le peintre doit-il poser le pied de l'échelle ? Arrondis au dixième.

3. Son collègue pose le pied de l'échelle à 2,2 m du mur. Calcule l'angle avec le sol. L'échelle est-elle bien posée ? Que risque-t-il ?

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse (6 m).

1. La hauteur atteinte est le côté opposé à l'angle de 75°. Je connais l'hypoténuse, je cherche l'opposé → SOH.
hauteur = 6 × sin 75° = 5,795… soit environ 5,8 m. Comme 5,8 m est plus grand que 5,5 m, l'échelle atteint le bas de la fenêtre.

2. La distance au mur est le côté adjacent. Je connais l'hypoténuse, je cherche l'adjacent → CAH.
distance = 6 × cos 75° = 1,552… Il faut poser le pied à environ 1,6 m du mur.

3. Je connais l'adjacent (2,2 m) et l'hypoténuse (6 m), je cherche l'angle → CAH.
\(\cos(\text{angle}) = \dfrac{2{,}2}{6} = 0{,}366\ldots\) On tape cos⁻¹ (2,2 : 6) = 68,489… L'angle vaut environ 68,5°.
C'est bien moins que 75° : l'échelle est trop inclinée, son pied risque de glisser.

Exercice 22 Trouver les erreurs (C2, C3, C4) Approfondissement

Le triangle ABC est rectangle en A, avec \(AB = 4\) cm, \(AC = 3\) cm et \(BC = 5\) cm.

Triangle ABC rectangle en A : AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 5 cm. On étudie l'angle B.

Partie A. Léo écrit : « \(\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\) ».

1. Quelle erreur Léo a-t-il faite ? Écris le bon calcul.

Partie B. Sarah a trouvé \(\cos \widehat{B} = 0{,}8\). Pour avoir l'angle, elle tape « cos 0,8 = », lit 0,999… et écrit « \(\widehat{B} \approx 1°\) ».

2. Quelle erreur Sarah a-t-elle faite ? Calcule le bon angle, arrondi au dixième.

Partie C. Dans un autre triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm et un angle aigu mesure 30°. Nina calcule le côté adjacent à cet angle : « \(10 : \cos 30° \approx 11{,}5\) cm ».

3. Sans refaire le calcul, explique pourquoi le résultat de Nina est forcément faux. Puis donne le bon résultat, arrondi au dixième.

1. Léo a utilisé l'hypoténuse [BC]. Or la tangente (TOA) n'utilise pas l'hypoténuse : c'est opposé sur adjacent.
Bon calcul : \(\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3}{4} = \mathbf{0{,}75}\). (Son calcul 3 : 5 = 0,6 était en fait \(\sin \widehat{B}\).)

2. Sarah a utilisé la touche cos au lieu de cos⁻¹. Pour trouver un angle, il faut la touche avec ⁻¹.
cos⁻¹ 0,8 = 36,869… Donc \(\widehat{B} \approx\) 36,9°.

3. Un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse. Or 11,5 cm est plus grand que 10 cm : c'est impossible. Nina a divisé au lieu de multiplier (le côté cherché est en haut de la fraction).
Bon calcul (CAH) : adjacent = 10 × cos 30° = 8,660… soit environ 8,7 cm.