3e prépa-métiers | Mathématiques | Espace et géométrie
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Avant de commencer, tu dois savoir…
Reconnaître un triangle rectangle et trouver son hypoténuse (chapitre 6).
Faire une multiplication et une division à la calculatrice.
Arrondir un nombre au dixième, par exemple \(6{,}55 \approx 6{,}6\).
Objectifs du chapitre :
C1 – Repérer, pour un angle aigu d'un triangle rectangle, l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé.
C2 – Écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu avec les longueurs des côtés.
C3 – Calculer une longueur avec le cosinus, le sinus ou la tangente.
C4 – Calculer la mesure d'un angle avec la calculatrice (cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹).
C5 – Résoudre un problème concret en choisissant la bonne formule.
1. Rappels : triangle rectangle et calculatrice
1.1 Le triangle rectangle et ses angles aigus
Rappel
Un triangle rectangle a un angle droit (90°), codé par un petit carré.
L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit. C'est le côté le plus long (chapitre 6).
Les deux autres angles sont des angles aigus : chacun est plus petit que 90°. Ensemble, ils font 90°.
Triangle ABC rectangle en A : l'hypoténuse est [BC]. Les angles aigus sont en B et en C (en orange).
Notation
L'angle aigu au sommet B s'écrit \(\widehat{B}\) (on lit « angle B »). Dans ce chapitre, l'angle que l'on étudie est toujours colorié en orange sur les figures.
1.2 La calculatrice en mode degrés
MéthodeVérifier que la calculatrice est en degrés
1
Regarder le haut de l'écran : on doit voir D ou DEG. Si on voit R, RAD, G ou GRAD, demander de l'aide pour changer le mode.
2
Faire un test : taper cos60=. La calculatrice doit afficher 0,5.
3
Si elle affiche un autre nombre (par exemple −0,95…), elle n'est pas en degrés : tous les calculs seraient faux.
Les touches du chapitre
Les touches cos, sin et tan donnent un nombre quand on connaît l'angle. Exemple : \(\cos 60° = 0{,}5\).
Les touches cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹ font le chemin inverse : elles donnent l'angle quand on connaît le nombre. On les obtient avec SHIFT (ou 2nde) puis cos, sin ou tan. Sur certaines calculatrices, elles s'appellent Arccos, Arcsin et Arctan.
2. Nommer les trois côtés (C1)
Définition
Dans un triangle rectangle, on choisit un angle aigu. Par rapport à cet angle :
l'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit (elle ne change jamais) ;
le côté adjacent est le côté « collé » à l'angle, qui n'est pas l'hypoténuse ;
le côté opposé est le côté « en face » de l'angle : il ne touche pas l'angle.
MéthodeNommer les côtés pour un angle
1
Trouver l'angle droit, puis l'hypoténuse (le côté juste en face).
2
Poser le doigt sur l'angle étudié. Deux côtés le touchent : l'hypoténuse et le côté adjacent.
3
Le côté qui reste, celui qui ne touche pas l'angle, est le côté opposé.
Exemple : le triangle ABC est rectangle en A. On nomme les côtés pour l'angle \(\widehat{B}\), puis pour l'angle \(\widehat{C}\).
Hypoténuse en rouge, côté adjacent en bleu, côté opposé en vert. L'angle étudié est en orange.
1
Pour l'angle \(\widehat{B}\) : hypoténuse [BC] ; côté adjacent [AB] (collé à B) ; côté opposé [AC] (en face de B).
2
Pour l'angle \(\widehat{C}\) : hypoténuse [BC] ; côté adjacent [AC] (collé à C) ; côté opposé [AB] (en face de C).
Attention
Le côté adjacent et le côté opposé changent quand on change d'angle. L'hypoténuse, elle, reste la même.
On ne parle jamais du côté adjacent à l'angle droit : on choisit toujours un angle aigu.
À toi
Triangle EFG rectangle en F. a) On étudie l'angle G. b) On étudie l'angle E.
Pour chaque figure, nomme l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à l'angle marqué.
L'angle droit est en F, donc l'hypoténuse est [EG] dans les deux cas.
a) Angle \(\widehat{G}\) : côté adjacent [FG] ; côté opposé [EF].
b) Angle \(\widehat{E}\) : côté adjacent [EF] ; côté opposé [FG].
3. Cosinus, sinus et tangente (C2)
Définition
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu :
\[\cos(\text{angle}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin(\text{angle}) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\text{angle}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\]
On lit « cosinus », « sinus » et « tangente ». Ce sont des quotients (des divisions) de deux longueurs.
Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
On retient le mot SOH-CAH-TOA (on dit « soca-toa ») :
SOH : Sinus = Opposé sur Hypoténuse ;
CAH : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ;
TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent.
La première lettre donne la touche, la deuxième le côté du haut, la troisième le côté du bas.
MéthodeÉcrire le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle
1
Nommer les trois côtés pour l'angle étudié (section 2).
2
Choisir la ligne de SOH-CAH-TOA demandée.
3
Écrire la fraction avec les noms des côtés, puis remplacer par les longueurs.
Exemple : le triangle ABC est rectangle en A, avec \(AB = 4\) cm, \(AC = 3\) cm et \(BC = 5\) cm. Écrire \(\cos \widehat{B}\), \(\sin \widehat{B}\) et \(\tan \widehat{B}\).
Pour l'angle B : adjacent [AB] = 4 cm, opposé [AC] = 3 cm, hypoténuse [BC] = 5 cm.
1
Pour l'angle \(\widehat{B}\) : hypoténuse [BC], côté adjacent [AB], côté opposé [AC].
Propriété
Si on connaît un angle aigu et une longueur, on peut calculer une autre longueur. Quand le côté cherché est en haut de la fraction, on multiplie :
adjacent = hypoténuse × cos(angle) ;
opposé = hypoténuse × sin(angle) ;
opposé = adjacent × tan(angle).
MéthodeCalculer une longueur
1
Nommer les côtés pour l'angle connu.
2
Entourer le côté connu et le côté cherché.
3
Choisir la formule de SOH-CAH-TOA qui contient ces deux côtés.
4
Écrire la formule, puis la multiplication.
5
Calculer à la calculatrice (en degrés), arrondir au dixième et écrire l'unité.
Rédaction modèle
Le triangle … est rectangle en … .
Pour l'angle … : … est l'hypoténuse, … est le côté adjacent, … est le côté opposé.
On connaît … et on cherche … : on utilise le … .
… = … × cos(…°) ≈ … (unité)
Exemple 1 : le triangle ABC est rectangle en A, avec \(\widehat{B} = 35°\) et \(BC = 8\) cm. Calculer AB.
Triangle ABC rectangle en A : \(\widehat{B}\) = 35°, BC = 8 cm. On cherche AB.
1
Pour l'angle \(\widehat{B}\) : [BC] est l'hypoténuse, [AB] est le côté adjacent.
2
On connaît l'hypoténuse, on cherche l'adjacent : c'est CAH, le cosinus.
3
\(\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}\), donc \(AB = BC \times \cos \widehat{B} = 8 \times \cos 35°\).
4
À la calculatrice : 8 × cos 35 = 6,553… Donc AB ≈ 6,6 cm.
Exemple 2 (échelle contre un mur) : une échelle de 6 m est posée contre un mur. Elle fait un angle de 75° avec le sol. À quelle hauteur arrive-t-elle sur le mur ?
Échelle de 6 m, angle de 75° avec le sol. Le mur et le sol forment un angle droit.
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse. La hauteur est en face de l'angle de 75° : c'est le côté opposé.
On connaît l'hypoténuse, on cherche l'opposé : c'est SOH, le sinus.
hauteur = 6 × sin 75° = 5,795… L'échelle arrive à environ 5,8 m de haut.
Pourquoi 75° ? Les échelles vendues en France suivent la norme NF EN 131 : leur étiquette de sécurité montre qu'il faut les poser avec un angle d'environ 75° avec le sol. Moins incliné, le pied glisse ; plus droit, l'échelle peut basculer en arrière.
Exemple 3 (hauteur d'un arbre) : on se place au point O, à 20 m du pied d'un arbre. Un appareil posé au sol mesure l'angle de visée vers le sommet : 35°. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Triangle OPS rectangle en P : OP = 20 m, angle de visée 35°. On cherche la hauteur PS.
Le triangle OPS est rectangle en P. Pour l'angle en O : [OP] est le côté adjacent, [PS] est le côté opposé.
On connaît l'adjacent, on cherche l'opposé : c'est TOA, la tangente.
\(PS = OP \times \tan 35° = 20 \times \tan 35° = 14{,}004…\) L'arbre mesure environ 14,0 m.
Attention
On tape bien 8 × cos 35, et pas « cos 8 × 35 ».
Un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse : si tu trouves plus grand, vérifie le mode degrés et la formule.
À toi
a) KLM rectangle en L : \(\widehat{K}\) = 50°, KM = 10 cm. b) PQR rectangle en Q : \(\widehat{P}\) = 40°, PQ = 5 m.
a) Calcule LM, arrondi au dixième. b) Calcule QR, arrondi au dixième.
a) Pour l'angle \(\widehat{K}\) : [KM] est l'hypoténuse, [LM] est le côté opposé. On utilise SOH : \(LM = KM \times \sin 50° = 10 \times \sin 50° = 7{,}66…\) LM ≈ 7,7 cm.
b) Pour l'angle \(\widehat{P}\) : [PQ] est le côté adjacent, [QR] est le côté opposé. On utilise TOA : \(QR = PQ \times \tan 40° = 5 \times \tan 40° = 4{,}19…\) QR ≈ 4,2 m.
Pour aller plus loin
Si le côté cherché est en bas de la fraction, on utilise le produit en croix (chapitre 6).
Exemple : ABC est rectangle en A, \(\widehat{B} = 60°\) et \(AB = 3\) cm. On cherche l'hypoténuse BC.
ABC rectangle en A : \(\widehat{B}\) = 60°, AB = 3 cm. On cherche BC.
CAH : \(\cos 60° = \dfrac{AB}{BC}\), donc \(\dfrac{\cos 60°}{1} = \dfrac{3}{BC}\).
Produit en croix : \(BC = \dfrac{3 \times 1}{\cos 60°} = \dfrac{3}{0{,}5} = 6\). Donc BC = 6 cm.
5. Calculer un angle (C4)
Propriété
Si on connaît deux longueurs d'un triangle rectangle, on peut calculer un angle aigu :
on calcule d'abord le quotient (la fraction de SOH-CAH-TOA) ;
puis on utilise la touche cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ pour obtenir l'angle en degrés.
MéthodeCalculer un angle
1
Nommer les côtés pour l'angle cherché.
2
Entourer les deux côtés connus.
3
Choisir la formule de SOH-CAH-TOA qui contient ces deux côtés, et calculer le quotient.
4
Taper SHIFT (ou 2nde) puis la même touche (cos, sin ou tan), puis le quotient, puis =.
5
Arrondir au dixième et écrire le symbole °.
Exemple 1 : le triangle ABC est rectangle en A, avec \(AB = 4\) cm et \(BC = 5\) cm. Calculer l'angle \(\widehat{B}\).
Triangle ABC rectangle en A : AB = 4 cm, BC = 5 cm. On cherche l'angle B.
1
Pour l'angle \(\widehat{B}\) : [BC] est l'hypoténuse, [AB] est le côté adjacent.
2
On connaît l'adjacent et l'hypoténuse : c'est CAH. \(\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\).
3
À la calculatrice : cos⁻¹ 0,8 = 36,869… Donc \(\widehat{B} \approx\) 36,9°.
Exemple 2 (rampe d'accès) : pour qu'une personne en fauteuil roulant puisse entrer dans un bâtiment neuf ouvert au public, la rampe ne doit pas dépasser une pente de 5 % (arrêté du 20 avril 2017 sur l'accessibilité). Cela veut dire : on monte de 5 cm quand on avance de 100 cm. Une rampe monte de 0,30 m sur 6 m de longueur au sol. Quel angle fait-elle avec le sol ?
Rampe : 6 m au sol, 0,30 m de haut. Sur le dessin, la hauteur est agrandie 4 fois pour être visible.
Pour l'angle avec le sol : la hauteur 0,30 m est le côté opposé, la longueur au sol 6 m est le côté adjacent. C'est TOA.
\(\tan(\text{angle}) = \dfrac{0{,}30}{6} = 0{,}05\). À la calculatrice : tan⁻¹ 0,05 = 2,862…
La rampe fait un angle d'environ 2,9° avec le sol. C'est un angle très petit : une pente de 5 % est une pente douce.
Attention
« cos 0,8 » et « cos⁻¹ 0,8 » ne donnent pas du tout le même résultat. Pour trouver un angle, on utilise la touche avec ⁻¹.
Un angle aigu d'un triangle rectangle est toujours entre 0° et 90°. Sinon, il y a une erreur.
À toi
a) RST rectangle en S : ST = 3 cm, RT = 6 cm. b) XYZ rectangle en Y : XY = 4 cm, YZ = 7 cm.
a) Calcule l'angle \(\widehat{R}\). b) Calcule l'angle \(\widehat{X}\), arrondi au dixième.
a) Pour l'angle \(\widehat{R}\) : [ST] est le côté opposé, [RT] est l'hypoténuse. SOH : \(\sin \widehat{R} = \dfrac{ST}{RT} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5\). sin⁻¹ 0,5 = 30. \(\widehat{R}\) = 30°.
b) Pour l'angle \(\widehat{X}\) : [YZ] est le côté opposé, [XY] est le côté adjacent. TOA : \(\tan \widehat{X} = \dfrac{YZ}{XY} = \dfrac{7}{4} = 1{,}75\). tan⁻¹ 1,75 = 60,255… \(\widehat{X}\) ≈ 60,3°.
6. Choisir la bonne formule dans un problème (C5)
MéthodeJe connais quoi ? Je cherche quoi ?
1
Repérer le triangle rectangle dans la situation (souvent : un mur et le sol, un poteau et le sol). Faire un schéma si besoin.
2
Marquer l'angle : celui qui est donné, ou celui qui est cherché.
3
Nommer les trois côtés pour cet angle.
4
Je connais quoi ? Je cherche quoi ? Entourer les deux côtés qui servent.
5
Choisir la formule :
adjacent et hypoténuse → CAH (cos) ;
opposé et hypoténuse → SOH (sin) ;
opposé et adjacent → TOA (tan).
6
Calculer (une longueur : section 4 ; un angle : section 5) et répondre par une phrase avec l'unité.
Exemple 1 (l'échelle est-elle bien posée ?) : une échelle de 5 m est posée contre un mur. Son pied est à 1,3 m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol ? Est-elle proche des 75° conseillés ?
Échelle de 5 m, pied à 1,3 m du mur. On cherche l'angle avec le sol.
1
Le mur et le sol forment un angle droit. L'échelle est l'hypoténuse.
2
On cherche l'angle au pied de l'échelle.
3
Je connais : l'hypoténuse (5 m) et le côté adjacent, collé à l'angle (1,3 m). Je cherche : l'angle.
cos⁻¹ 0,26 = 74,92… L'échelle fait un angle d'environ 74,9° avec le sol : elle est bien posée.
Exemple 2 (cerf-volant) : le fil d'un cerf-volant est tendu et mesure 40 m. Il fait un angle de 50° avec le sol. À quelle hauteur vole le cerf-volant ? (On ne tient pas compte de la taille de la personne.)
Fil de 40 m, angle de 50° avec le sol. On cherche la hauteur.
La hauteur est verticale, le sol est horizontal : on a un triangle rectangle. Le fil est l'hypoténuse.
Je connais : l'hypoténuse (40 m) et l'angle (50°). Je cherche : la hauteur, en face de l'angle, donc le côté opposé.
Opposé et hypoténuse → SOH : hauteur = 40 × sin 50° = 30,64… Le cerf-volant vole à environ 30,6 m de haut.
Attention
Avant de calculer, écris toujours « Je connais … ; je cherche … ». C'est ce qui donne la bonne formule.
Pythagore (chapitre 6) sert quand on connaît deux côtés et qu'on cherche le troisième côté, sans angle. Dès qu'un angle est donné ou cherché, on utilise SOH-CAH-TOA.
À toi
a) Tremplin : planche de 3 m, angle de 20° avec le sol. b) Toit : 5 m de demi-largeur, 2,5 m de haut.
a) À quelle hauteur arrive le bout du tremplin ? Arrondis au dixième.
b) Quel angle le toit fait-il avec l'horizontale ? Arrondis au dixième.
a) Je connais l'hypoténuse (la planche, 3 m) et l'angle (20°). Je cherche la hauteur, côté opposé. SOH : hauteur = 3 × sin 20° = 1,026… Le tremplin arrive à environ 1,0 m de haut.
b) Je connais le côté adjacent (5 m) et le côté opposé (2,5 m). Je cherche l'angle. TOA : \(\tan(\text{angle}) = \dfrac{2{,}5}{5} = 0{,}5\). tan⁻¹ 0,5 = 26,56… Le toit fait un angle d'environ 26,6° avec l'horizontale.
7. L'essentiel à retenir
À retenir :
On choisit un angle aigu. Hypoténuse : en face de l'angle droit. Adjacent : collé à l'angle. Opposé : en face de l'angle.