Une fonction est une machine à calculer : un nombre entre, un seul nombre sort. L'image est le nombre qui sort ; un antécédent est un nombre qui entre.
\(f(x) = 4x + 3\) : pour calculer \(f(10)\), on remplace \(x\) par 10 : \(f(10) = 4 \times 10 + 3 = 43\).
\(f(3) = 15\) : 15 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 15. On écrit aussi \(f : x \mapsto 4x + 3\).
Tableau de valeurs : l'image se lit en bas, l'antécédent se lit en haut.
Graphique : pour une image, on part de l'axe horizontal ; pour un antécédent, on part de l'axe vertical. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
Tracer une courbe : tableau de valeurs, repère gradué, points \((x \,;\, f(x))\), puis on relie par une courbe régulière.
Les exercices sont progressifs : commence par le niveau socle, puis avance à ton rythme. Le code (C1, C2…) indique la capacité travaillée.
Niveau socle — je m'entraîne pas à pas
Exercice 1La machine à calculer (C1)Socle
Voici une machine à calculer. Elle multiplie par 2, puis elle ajoute 1.
Le nombre 3 entre dans la machine « × 2 puis + 1 ». Quel nombre sort ?
Aide : 1. Multiplie le nombre par 2. 2. Ajoute 1 au résultat. 3. Le dernier résultat est le nombre qui sort : c'est l'image.
1. Le nombre 3 entre : \(3 \times 2 =\) , puis \(+ 1 =\)
2. Le nombre 5 entre : \(5 \times 2 =\) , puis \(+ 1 =\)
3. Le nombre 10 entre : \(10 \times 2 =\) , puis \(+ 1 =\)
4. Complète : l'image de 3 est .
1. \(3 \times 2 = 6\), puis \(6 + 1 = 7\). Il sort 7.
2. \(5 \times 2 = 10\), puis \(10 + 1 = 11\). Il sort 11.
3. \(10 \times 2 = 20\), puis \(20 + 1 = 21\). Il sort 21.
4. Le nombre qui sort quand 3 entre est 7 : l'image de 3 est 7.
Exercice 2Un programme de calcul (C1)Socle
Voici un programme de calcul :
choisir un nombre ;
ajouter 4 ;
multiplier le résultat par 2.
Aide : fais les étapes dans l'ordre : d'abord + 4, ensuite × 2.
1. On choisit 1 : \(1 + 4 =\) , puis \(\times 2 =\)
2. On choisit 3 : \(3 + 4 =\) , puis \(\times 2 =\)
3. On choisit 6 : \(6 + 4 =\) , puis \(\times 2 =\)
4. Complète : l'image de 6 est .
1. \(1 + 4 = 5\), puis \(5 \times 2 = 10\). L'image de 1 est 10.
2. \(3 + 4 = 7\), puis \(7 \times 2 = 14\). L'image de 3 est 14.
3. \(6 + 4 = 10\), puis \(10 \times 2 = 20\). L'image de 6 est 20.
4. L'image de 6 est 20.
Exercice 3Calculer avec une formule (C1)Socle
La fonction \(f\) a pour formule \(f(x) = 3x + 1\).
Aide : \(3x\) veut dire \(3 \times x\). On remplace \(x\) par le nombre, puis on calcule : d'abord ×, puis +.
Un taxi fait payer 4 € au départ, puis 2 € par kilomètre. Pour une course de \(x\) km, le prix en euros est :
\[P(x) = 2x + 4\]
Aide : pour une course de 3 km, on remplace \(x\) par 3 : \(P(3) = 2 \times 3 + 4\).
1. Calcule \(P(3)\), le prix d'une course de 3 km.
2. Calcule \(P(10)\), le prix d'une course de 10 km.
3. Calcule le prix d'une course de 25 km.
1. \(P(3) = 2 \times 3 + 4 = 6 + 4 = 10\). Une course de 3 km coûte 10 €.
2. \(P(10) = 2 \times 10 + 4 = 20 + 4 = 24\). Une course de 10 km coûte 24 €.
3. \(P(25) = 2 \times 25 + 4 = 50 + 4 = 54\). Une course de 25 km coûte 54 €.
Exercice 5Image ou antécédent ? (C2)Socle
Quand 4 entre dans la machine f, il sort 9 : on écrit f(4) = 9.
Aide : le nombre dans la parenthèse entre : c'est l'antécédent. Le nombre après le signe = sort : c'est l'image.
1. On sait que \(f(4) = 9\). Complète :
a) 9 est l'image de . b) 4 est un antécédent de .
2. On sait que \(g(5) = 12\). Complète :
a) est l'image de . b) est un antécédent de .
3. On sait que \(h(0) = 3\). Écris une phrase avec le mot « image ».
1. a) 9 est l'image de 4. b) 4 est un antécédent de 9.
2. Dans la parenthèse : 5 (il entre). Après le = : 12 (il sort).
a) 12 est l'image de 5 par \(g\). b) 5 est un antécédent de 12 par \(g\).
3. 0 entre et 3 sort : 3 est l'image de 0 par \(h\).
Exercice 6Écrire avec la notation f(x) (C2)Socle
Aide : le nombre qui entre va dans la parenthèse, le nombre qui sort va après le signe =. Exemple : « l'image de 50 par \(d\) est 25 » s'écrit \(d(50) = 25\).
1. Écris avec la notation.
a) L'image de 3 par \(f\) est 10 : \(f(\) \() =\)
b) Quand 6 entre dans la machine \(h\), il sort 1 : \(h(\) \() =\)
c) 7 est un antécédent de 20 par \(g\) :
2. On donne la fonction \(k : x \mapsto 5x - 1\).
a) Recopie et complète la phrase : « \(k\) est la fonction qui, à \(x\), associe ».
b) Calcule l'image de 2 par \(k\), puis écris le résultat avec la notation \(k(2) = \ldots\)
1. a) 3 entre, 10 sort : \(f(3) = 10\).
b) 6 entre, 1 sort : \(h(6) = 1\).
c) L'antécédent 7 entre, 20 sort : \(g(7) = 20\).
2. a) « \(k\) est la fonction qui, à \(x\), associe \(5x - 1\) ».
b) On remplace \(x\) par 2 : \(5 \times 2 - 1 = 10 - 1 = 9\). Donc \(k(2) = 9\).
Exercice 7La température de la journée (C3)Socle
Le tableau donne la température \(T\), en °C, à différentes heures d'une journée de printemps.
Heure \(x\) (h)
0
4
8
12
16
20
24
Température \(T(x)\) (°C)
9
7
11
17
18
11
10
Aide : l'image se lit en bas, sous le nombre du haut. L'antécédent se lit en haut, au-dessus du nombre du bas.
1. Sous le 12, on lit . Donc \(T(12) =\) . Quelle température fait-il à midi ?
2. Lis l'image de 4.
3. Au-dessus du 18, on lit . Donc 18 a pour antécédent .
4. Le nombre 11 est deux fois dans la ligne du bas. Donne ses deux antécédents.
1. Sous le 12, on lit 17 : \(T(12) = 17\). À midi, il fait 17 °C.
2. Sous le 4, on lit 7 : l'image de 4 est 7. À 4 h, il fait 7 °C.
3. Au-dessus du 18, on lit 16 : 18 a pour antécédent 16. Il fait 18 °C à 16 h.
4. Au-dessus des deux 11, on lit 8 et 20. Les antécédents de 11 sont 8 et 20 : il fait 11 °C à 8 h et à 20 h.
Exercice 8Compléter un tableau de valeurs (C3)Socle
La fonction \(f\) a pour formule \(f(x) = 2x + 5\).
\(x\)
0
1
2
3
4
\(f(x)\)
5
…
…
…
…
Aide : la première case est faite : \(f(0) = 2 \times 0 + 5 = 0 + 5 = 5\). Fais pareil avec 1, 2, 3 et 4.
4. On cherche 11 dans la ligne du bas ; au-dessus, on lit 3. 3 est un antécédent de 11 : \(f(3) = 11\).
Exercice 9La charge du téléphone (C4)Socle
Ilyes branche son téléphone. La courbe donne la charge de la batterie, en %, en fonction de la durée de charge, en minutes.
Charge de la batterie (en %) en fonction de la durée de charge (en min).
Aide : pour lire une image : 1. trouve le nombre sur l'axe horizontal ; 2. monte jusqu'à la courbe ; 3. va horizontalement jusqu'à l'axe vertical et lis le nombre. Un carreau vaut 10 minutes sur l'axe horizontal et 10 % sur l'axe vertical.
1. Lis l'image de 20. Quelle est la charge au bout de 20 minutes ?
2. Lis l'image de 60.
3. Lis l'image de 100.
4. Quelle est la charge quand Ilyes branche le téléphone (à 0 minute) ?
Correction : lecture des images de 20 (rouge), 60 (vert) et 100 (orange).
1. De 20 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit 40. Au bout de 20 minutes, la batterie est chargée à 40 %.
2. L'image de 60 est 70 : au bout d'une heure, la batterie est à 70 %.
3. L'image de 100 est 90.
4. Au-dessus de 0, la courbe est à 10 : au départ, la batterie est à 10 %.
Exercice 10La marée monte et descend (C4)Socle
Au bord de la mer, la hauteur de l'eau dans un port change au cours de la journée : c'est la marée. La courbe donne la hauteur d'eau \(h\), en mètres, en fonction de l'heure.
Hauteur d'eau (en m) dans un port au bord de la mer, de 0 h à 12 h.
Aide : pour lire un antécédent : 1. trouve le nombre sur l'axe vertical ; 2. va horizontalement jusqu'à la courbe (tu peux la rencontrer plusieurs fois) ; 3. à chaque rencontre, descends et lis le nombre sur l'axe horizontal.
1. Lis l'antécédent de 7. À quelle heure l'eau est-elle à 7 m ?
2. Partis de 4 sur l'axe vertical, combien de fois rencontre-t-on la courbe ?
3. Lis les deux antécédents de 4.
4. Lis les antécédents de 1.
Correction : en rouge, l'antécédent de 7 ; en vert, les deux antécédents de 4.
1. De 7 sur l'axe vertical, on rencontre la courbe une fois ; on descend et on lit 6. L'antécédent de 7 est 6 : l'eau est à 7 m à 6 h.
2. On rencontre la courbe deux fois.
3. On descend à chaque rencontre et on lit 3 et 9. Les antécédents de 4 sont 3 et 9 : l'eau est à 4 m à 3 h et à 9 h.
4. La courbe est à 1 m au tout début et à la toute fin : les antécédents de 1 sont 0 et 12.
Exercice 11Le four qui chauffe (C5)Socle
On allume un four. On relève sa température chaque minute.
Durée \(x\) (min)
0
1
2
3
4
5
Température (°C)
20
80
120
150
170
180
Repère à utiliser : un carreau pour 1 min (horizontal), un carreau pour 10 °C (vertical).
Aide : le point \((2 \,;\, 120)\) se place à 2 sur l'axe horizontal et à 120 sur l'axe vertical. Sur l'axe vertical, les nombres sont écrits de 20 en 20, mais chaque ligne vaut 10 °C : 150 est la ligne au milieu entre 140 et 160.
1. Recopie le repère (ou utilise celui ci-dessus).
2. Complète la liste des points : \((0 \,;\, 20)\), \((1 \,;\, 80)\), \((2 \,;\,\) \()\), \((3 \,;\,\) \()\), \((4 \,;\,\) \()\), \((5 \,;\,\) \()\).
3. Place les 6 points avec une petite croix.
4. Relie les points par une courbe régulière, à main levée.
2. Les points sont \((0 \,;\, 20)\), \((1 \,;\, 80)\), \((2 \,;\, 120)\), \((3 \,;\, 150)\), \((4 \,;\, 170)\) et \((5 \,;\, 180)\).
3. et 4. On place chaque point : la durée sur l'axe horizontal, la température sur l'axe vertical. Puis on relie par une courbe arrondie (les points ne sont pas alignés).
Correction : les 6 points du tableau, reliés par une courbe régulière.
La courbe monte de moins en moins vite : le four chauffe vite au début, puis plus lentement.
Niveau standard — j'applique dans des situations
Exercice 12Du programme à la formule (C1, C2)Standard
Programme A : choisir un nombre ; le multiplier par 3 ; enlever 2 au résultat.
1. Calcule l'image de 4, puis l'image de 7 par le programme A.
2. On appelle \(f\) la fonction du programme A. On choisit le nombre \(x\). Écris la formule \(f(x) = \ldots\), puis écris \(f\) avec la flèche \(\mapsto\).
3. Écris le résultat de la question 1 avec la notation \(f(4) = \ldots\), puis avec une phrase qui contient le mot « antécédent ».
4.Programme B : choisir un nombre ; enlever 2 ; multiplier le résultat par 3. Calcule l'image de 4 par le programme B. Les deux programmes donnent-ils le même résultat ?
1. Avec 4 : \(4 \times 3 = 12\), puis \(12 - 2 = 10\). L'image de 4 est 10.
Avec 7 : \(7 \times 3 = 21\), puis \(21 - 2 = 19\). L'image de 7 est 19.
2. \(x\) multiplié par 3 donne \(3x\), puis on enlève 2 : \(f(x) = 3x - 2\). Avec la flèche : \(f : x \mapsto 3x - 2\).
3.\(f(4) = 10\) : 4 est un antécédent de 10 par \(f\).
4. Avec 4 : \(4 - 2 = 2\), puis \(2 \times 3 = 6\). L'image de 4 par le programme B est 6. On trouve 10 avec A et 6 avec B : non, l'ordre des étapes change le résultat.
Exercice 13La facture d'eau (C1, C2)Standard
Dans une commune, l'eau coûte 4 € par m³, et il faut payer en plus un abonnement de 30 € par an. Pour \(x\) m³ d'eau consommés dans l'année, la facture en euros est :
\[F(x) = 4x + 30\]
1. Calcule \(F(50)\) et \(F(100)\).
2. Écris une phrase avec le mot « image » pour traduire le résultat \(F(50)\).
3. La famille de Maëlle a payé 350 € cette année. On cherche un antécédent de 350 : résous l'équation \(4x + 30 = 350\).
4. Combien de m³ d'eau la famille a-t-elle consommés ? Vérifie avec la formule.
2. Sous le 5 (ligne du haut), on lit 10 : l'image de 5 est 10.
3. Le nombre 2 est deux fois dans la ligne du bas ; au-dessus, on lit 1 et 3. Les antécédents de 2 sont 1 et 3.
4. Le nombre 5 est deux fois dans la ligne du bas ; au-dessus, on lit 0 et 4. Les antécédents de 5 sont 0 et 4. Attention à ne pas confondre avec l'image de 5, qui est 10.
Exercice 15Vrai ou faux ? (C2, C3)Standard
Voici le tableau de valeurs d'une fonction \(h\).
\(x\)
1
2
3
4
5
6
\(h(x)\)
8
6
8
12
6
3
Pour chaque phrase, réponds « vrai » ou « faux ». Si c'est faux, corrige la phrase.
a) \(h(2) = 6\).
b) L'image de 4 est 12.
c) L'image de 8 est 1.
d) 6 est un antécédent de 3.
e) Le nombre 8 a un seul antécédent.
f) \(h(5) = 6\) veut dire : 5 est l'image de 6.
a) Sous le 2, on lit 6 : vrai.
b) Sous le 4, on lit 12 : vrai.
c) Faux. 8 n'est pas dans la ligne du haut : on ne peut pas lire son image. C'est l'inverse : 8 est l'image de 1, car \(h(1) = 8\).
d) Au-dessus du 3, on lit 6 : \(h(6) = 3\). Vrai.
e) Faux. 8 est deux fois dans la ligne du bas : 8 a deux antécédents, 1 et 3.
f) Faux. \(h(5) = 6\) veut dire : 6 est l'image de 5 (ou : 5 est un antécédent de 6).
Exercice 16Une journée d'hiver (C4)Standard
La courbe donne la température \(T\), en °C, au cours d'une journée d'hiver. Sur l'axe horizontal, un carreau vaut 2 h. Sur l'axe vertical, un carreau vaut 1 °C.
Température T (en °C) au cours d'une journée d'hiver. Les heures sont écrites en bas du quadrillage.
1. Lis l'image de 16. Écris le résultat avec la notation \(T(16) = \ldots\)
2. Lis \(T(4)\). Que veut dire ce nombre ?
3. Lis les antécédents de 0. À quelles heures fait-il 0 °C ?
4. Lis les antécédents de 2.
5. Quelle est la température la plus haute de la journée ? À quelle heure ?
Correction : en rouge, T(16) = 5 ; en vert, les antécédents de 0 sont 10 et 22.
1. De 16 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit 5 : \(T(16) = 5\). À 16 h, il fait 5 °C.
2. Au-dessus de 4, la courbe est à \(-4\) : \(T(4) = -4\). À 4 h du matin, il fait \(-4\) °C (il gèle).
3. De 0 sur l'axe vertical, on rencontre la courbe deux fois ; on lit 10 et 22. Il fait 0 °C à 10 h et à 22 h.
4. De 2 sur l'axe vertical, on rencontre la courbe deux fois ; on lit 12 et 20. Les antécédents de 2 sont 12 et 20.
5. Le point le plus haut de la courbe est à 5 °C, au-dessus de 16 : la température la plus haute est 5 °C, à 16 h.
Exercice 17Tracer la distance de freinage (C1, C3, C5)Standard
En auto-école, on apprend une règle simple sur route sèche : pour une voiture qui roule à \(v\) km/h, la distance de freinage, en mètres, est environ
\[d(v) = v \times v : 100\]
Vitesse \(v\) (km/h)
0
20
40
60
80
100
Distance \(d(v)\) (m)
0
…
…
…
…
…
1. Calcule \(d(20)\), \(d(40)\), \(d(60)\), \(d(80)\) et \(d(100)\), puis recopie et complète le tableau.
2. Trace un repère : axe horizontal de 0 à 100 km/h (un carreau pour 10 km/h) ; axe vertical de 0 à 100 m (un carreau pour 10 m). Écris le nom et l'unité de chaque axe.
3. Place les 6 points du tableau, puis relie-les par une courbe régulière.
2. et 3. On place les points \((0 \,;\, 0)\), \((20 \,;\, 4)\), \((40 \,;\, 16)\), \((60 \,;\, 36)\), \((80 \,;\, 64)\), \((100 \,;\, 100)\). Pour 4, 16, 36 et 64, on place le point entre deux lignes du quadrillage.
Correction : distance de freinage (en m) en fonction de la vitesse (en km/h).
4.Non, les points ne sont pas alignés : on les relie par une courbe arrondie, pas à la règle. La distance de freinage augmente de plus en plus vite avec la vitesse.
Approfondissement — je résous seul
Exercice 18Les erreurs de Yanis (C2, C3)Approfondissement
Voici le tableau de valeurs d'une fonction \(f\).
\(x\)
0
1
2
3
4
5
\(f(x)\)
4
1
0
1
4
9
Yanis a écrit quatre phrases. Pour chacune, dis si elle est juste. Si elle est fausse, explique son erreur et écris la phrase correcte.
a) « \(f(3) = 1\). »
b) « L'image de 9 est 5. »
c) « Le seul antécédent de 4 est 0. »
d) « \(f(2) = 0\), donc 2 est l'image de 0. »
a) Sous le 3, on lit 1 : juste.
b) Faux. Yanis a lu le tableau à l'envers : 9 est en bas, c'est une image. La phrase correcte est : « 9 est l'image de 5 » (ou « 5 est un antécédent de 9 »).
c) Faux. Yanis s'est arrêté au premier 4 trouvé. Le nombre 4 est deux fois dans la ligne du bas : 4 a deux antécédents, 0 et 4.
d) Faux. Le nombre dans la parenthèse (2) entre, le nombre après le = (0) sort. La phrase correcte est : « 0 est l'image de 2 » (ou « 2 est un antécédent de 0 »).
Exercice 19La balle lancée vers le haut (C1, C3, C4, C5)Approfondissement
Sur un terrain de sport, Amina lance une balle tout droit vers le haut. La hauteur de la balle, en mètres, au bout de \(t\) secondes est :
\[h(t) = 20 \times t - 5 \times t \times t\]
1. Fais le tableau de valeurs de \(h\) pour \(t\) = 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 ; 4. Tu peux utiliser la calculatrice.
2. Trace la représentation graphique de \(h\). Choisis : un carreau pour 0,5 s sur l'axe horizontal, un carreau pour 2 m sur l'axe vertical.
3. Lis sur ton graphique les antécédents de 15. Que veulent-ils dire pour la balle ?
4. Au bout de combien de secondes la balle retombe-t-elle au sol ?
2. On place les 9 points et on les relie par une courbe régulière en forme d'arche.
Correction : hauteur de la balle (en m) en fonction du temps (en s). En vert : les antécédents de 15.
3. De 15 sur l'axe vertical, on rencontre la courbe deux fois : les antécédents de 15 sont 1 et 3. La balle est à 15 m de haut deux fois : en montant (au bout de 1 s) et en redescendant (au bout de 3 s). On le retrouve dans le tableau : \(h(1) = 15\) et \(h(3) = 15\).
4. La hauteur revient à 0 pour \(t = 4\) : la balle retombe au sol au bout de 4 secondes.
Exercice 20Un nombre, deux antécédents (C1, C2, C3)Approfondissement
Programme : choisir un nombre ; le multiplier par lui-même ; enlever 4 au résultat.
1. On appelle \(f\) la fonction de ce programme. Écris \(f(x)\), puis écris \(f\) avec la flèche \(\mapsto\).
2. Fais le tableau de valeurs de \(f\) pour \(x\) = \(-3\) ; \(-2\) ; \(-1\) ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.
3. Lina affirme : « 5 a un seul antécédent : 3. » A-t-elle raison ? Justifie avec le tableau.
4. Donne tous les antécédents de 0 qui sont dans le tableau. Écris tes réponses avec la notation \(f(\ldots) = 0\).
1. \(x\) multiplié par lui-même donne \(x \times x = x^2\), puis on enlève 4 : \(f(x) = x^2 - 4\), c'est-à-dire \(f : x \mapsto x^2 - 4\).
2. Par exemple \(f(-3) = (-3) \times (-3) - 4 = 9 - 4 = 5\) et \(f(-1) = (-1) \times (-1) - 4 = 1 - 4 = -3\).
\(x\)
−3
−2
−1
0
1
2
3
\(f(x)\)
5
0
−3
−4
−3
0
5
3.Non. Le nombre 5 est deux fois dans la ligne du bas : au-dessus, on lit \(-3\) et 3. Le nombre 5 a deux antécédents, \(-3\) et 3, car \(3 \times 3 - 4 = 5\) et \((-3) \times (-3) - 4 = 5\).
4. Le nombre 0 est sous \(-2\) et sous 2 : \(f(-2) = 0\) et \(f(2) = 0\). Les antécédents de 0 sont \(-2\) et 2.