Chapitre 7 – Notion de fonction

3e prépa-métiers | Mathématiques | Organisation et gestion de données, fonctions

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Appliquer un programme de calcul à un nombre, par exemple « multiplier par 4, puis ajouter 3 » avec le nombre 2 (chapitre 4).
Calculer une expression quand on connaît \(x\), par exemple \(4x + 3\) pour \(x = 5\) (chapitre 4).
Résoudre une équation simple, par exemple \(4x + 3 = 23\) (chapitre 5).
Placer un point de coordonnées \((2 \,;\, 5)\) dans un repère (vu au collège).

Objectifs du chapitre :

C1 – Calculer l'image d'un nombre avec un programme de calcul ou une formule \(f(x)\).
C2 – Utiliser le vocabulaire et la notation : image, antécédent, \(f(3) = 15\), \(x \mapsto f(x)\).
C3 – Lire et compléter un tableau de valeurs (image et antécédent).
C4 – Lire une image et un antécédent sur une représentation graphique.
C5 – Construire la représentation graphique d'une fonction à partir d'un tableau de valeurs.

1. Situation d'entrée — Le haricot d'Inès

Une plante qui grandit chaque semaine

Inès fait pousser un haricot. Le jour où elle commence à le mesurer, la tige mesure 3 cm. Ensuite, la tige grandit de 4 cm chaque semaine.

Pour connaître la hauteur de la tige, Inès suit toujours le même programme de calcul :

prendre le nombre de semaines ;
le multiplier par 4 ;
ajouter 3.

Question 1 : quelle est la hauteur de la tige au bout de 3 semaines ?
Question 2 : au bout de combien de semaines la tige mesure-t-elle 23 cm ?

Ce programme marche comme une machine : on fait entrer un nombre de semaines, il en sort une hauteur. En maths, cette machine s'appelle une fonction. Les réponses sont données dans les sections 2, 3 et 4.

2. La fonction, une machine à calculer (C1)

2.1 L'idée de machine

Définition

Une fonction est une machine à calculer : on fait entrer un nombre, la machine fait toujours le même calcul, et il sort un seul nombre.
Le nombre qui sort s'appelle l'image du nombre qui entre.
Une fonction peut être donnée par un programme de calcul (chapitre 4) ou par une formule.

Le programme d'Inès est une machine : 3 entre, 15 sort.

Réponse à la question 1 de la situation : on fait entrer 3 semaines dans la machine.

Nombre de départ : 3.

On le multiplie par 4 : \(3 \times 4 = 12\).

On ajoute 3 : \(12 + 3 = 15\).

Au bout de 3 semaines, la tige mesure 15 cm. On dit que 15 est l'image de 3.

Méthode Calculer l'image d'un nombre avec un programme de calcul

Écrire le nombre de départ.

Faire les étapes dans l'ordre, toujours sur le dernier résultat.

Le dernier résultat est l'image.

2.2 Une fonction donnée par une formule

Définition On donne souvent un nom à une fonction : \(f\), \(g\), \(h\)… On note \(x\) le nombre qui entre.
On écrit \(f(x)\) pour le nombre qui sort. On lit « \(f\) de \(x\) ».
Pour la plante d'Inès : \(f(x) = 4x + 3\). C'est la formule de la fonction \(f\).

Méthode Calculer l'image d'un nombre avec une formule

Remettre les signes × cachés : \(4x\) veut dire \(4 \times x\).

Remplacer \(x\) par le nombre qui entre.

Calculer en respectant les priorités : d'abord ×, puis + (chapitre 1).

Exemple 1 (la plante) : \(f(x) = 4x + 3\). Calculer l'image de 10.

\(f(x) = 4 \times x + 3\).

On remplace \(x\) par 10 : \(f(10) = 4 \times 10 + 3\).

\(f(10) = 40 + 3 = 43\).

L'image de 10 est 43 : au bout de 10 semaines, la tige mesure 43 cm.

Exemple 2 (distance de freinage) : en auto-école, on apprend une règle simple sur route sèche. Pour une voiture qui roule à \(v\) km/h, la distance de freinage, en mètres, est environ : \[d(v) = v \times v : 100\]

Calculer la distance de freinage à 50 km/h.

On remplace \(v\) par 50 : \(d(50) = 50 \times 50 : 100\).

\(50 \times 50 = 2\,500\), puis \(2\,500 : 100 = 25\).

À 50 km/h, il faut environ 25 m pour freiner. L'image de 50 par la fonction \(d\) est 25.

Ici, la lettre est \(v\) (comme vitesse) et pas \(x\) : ce n'est pas grave, la méthode est la même.

Attention

\(4x\) veut dire \(4 \times x\). Pour \(x = 10\), \(4x\) vaut 40, et pas 410.
On fait les étapes d'un programme dans l'ordre : « × 4 puis + 3 » ne donne pas la même chose que « + 3 puis × 4 ».

À toi

a) Programme : « Choisir un nombre. Ajouter 2. Multiplier le résultat par 3. » Calcule l'image de 4.
b) \(g(x) = 10x - 4\). Calcule \(g(2)\).
c) Avec la règle \(d(v) = v \times v : 100\), calcule la distance de freinage à 30 km/h.

a) \(4 + 2 = 6\), puis \(6 \times 3 = 18\). L'image de 4 est 18.
b) \(g(2) = 10 \times 2 - 4 = 20 - 4 = \) 16.
c) \(d(30) = 30 \times 30 : 100 = 900 : 100 = 9\). À 30 km/h, il faut environ 9 m pour freiner.

3. Image, antécédent et notation (C2)

Définition

L'image est le nombre qui sort de la machine.
Un antécédent est un nombre qui entre dans la machine.
\(f(3) = 15\) se lit « \(f\) de 3 égale 15 ». Cela veut dire : quand 3 entre dans la machine \(f\), il sort 15.
On écrit aussi \(f : x \mapsto 4x + 3\). On lit : « \(f\) est la fonction qui, à \(x\), associe \(4x + 3\) ». La flèche \(\mapsto\) veut dire « donne ».

L'antécédent entre, l'image sort. On écrit f(3) = 15.

Phrase à retenir \(f(3) = 15\) : 15 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 15.

Méthode Passer de l'écriture \(f(a) = b\) à une phrase (et inversement)

Le nombre dans la parenthèse entre dans la machine : c'est l'antécédent.

Le nombre après le signe = sort de la machine : c'est l'image.

Écrire la phrase : « … est l'image de … » ou « … est un antécédent de … ».

Exemple 1 : on sait que \(g(2) = 7\).

Dans la parenthèse : 2. C'est l'antécédent.

Après le = : 7. C'est l'image.

Phrases : « 7 est l'image de 2 par \(g\) » et « 2 est un antécédent de 7 par \(g\) ».

Exemple 2 (dans l'autre sens) : « l'image de 50 par \(d\) est 25 ». Écrire avec la notation.

50 entre (dans la parenthèse), 25 sort (après le =) : \(d(50) = 25\).

Réponse à la question 2 de la situation : on cherche un antécédent de 23 par \(f(x) = 4x + 3\). On cherche le nombre \(x\) qui donne 23 : on résout \(4x + 3 = 23\) (chapitre 5).

On enlève 3 des deux côtés : \(4x = 20\).

On divise par 4 : \(x = 20 : 4 = 5\).

Vérification : \(f(5) = 4 \times 5 + 3 = 23\). ✓

5 est un antécédent de 23 : la tige mesure 23 cm au bout de 5 semaines.

Attention

\(f(3)\) ne veut pas dire \(f \times 3\). C'est « ce qui sort quand 3 entre ».
Un nombre a une seule image. Mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents. Exemple avec la machine « multiplier le nombre par lui-même » : 3 donne 9, et \(-3\) donne aussi 9. Le nombre 9 a deux antécédents : 3 et \(-3\).
C'est pour cela qu'on dit « l'image » mais « un antécédent ».

À toi

a) On sait que \(h(4) = 11\). Écris une phrase avec le mot « image ».
b) Écris avec la notation : « l'image de 6 par \(g\) est 30 ».
c) \(f(x) = 4x + 3\). Trouve un antécédent de 31 en résolvant \(4x + 3 = 31\).

a) 11 est l'image de 4 par \(h\). (On peut aussi dire : 4 est un antécédent de 11.)
b) 6 entre, 30 sort : \(g(6) = 30\).
c) On enlève 3 : \(4x = 28\). On divise par 4 : \(x = 7\). Vérification : \(4 \times 7 + 3 = 31\). ✓ 7 est un antécédent de 31.

4. Le tableau de valeurs (C3)

Définition Un tableau de valeurs range les nombres qui entrent et les nombres qui sortent :

la ligne du haut contient les nombres \(x\) qui entrent (les antécédents) ;
la ligne du bas contient les nombres \(f(x)\) qui sortent (les images).

Chaque nombre du bas est l'image du nombre juste au-dessus.

Méthode Lire un tableau de valeurs

Image d'un nombre : chercher ce nombre dans la ligne du haut, puis lire la case juste en dessous.

Antécédent d'un nombre : chercher ce nombre dans la ligne du bas, puis lire la case juste au-dessus. Si le nombre est plusieurs fois dans la ligne du bas, il a plusieurs antécédents.

Compléter une case vide du bas : calculer l'image du nombre du haut (section 2).

Exemple 1 (la plante) : tableau de valeurs de \(f(x) = 4x + 3\).

Nombre de semaines \(x\)	0	1	2	3	4	5	6
Hauteur \(f(x)\) en cm	3	7	11	15	19	23	27

Image de 2 : sous le 2, on lit 11. Donc \(f(2) = 11\).

Antécédent de 23 : on trouve 23 en bas ; au-dessus, on lit 5. Donc \(f(5) = 23\).

On retrouve la réponse à la question 2 : 5 semaines. Le tableau donne la réponse sans équation.

Exemple 2 (compléter) : avec la règle de freinage \(d(v) = v \times v : 100\), compléter le tableau.

Vitesse \(v\) en km/h	30	50	70	90
Distance \(d(v)\) en m	9	25	…	…

\(d(70) = 70 \times 70 : 100 = 4\,900 : 100 = 49\).

\(d(90) = 90 \times 90 : 100 = 8\,100 : 100 = 81\).

Les cases vides sont 49 et 81. À 90 km/h, il faut environ 81 m pour freiner : plus du triple de la distance à 50 km/h !

Attention

Ne pas inverser les lignes : l'image se lit en bas, l'antécédent se lit en haut.
Un tableau ne donne que quelques valeurs. Si le nombre n'est pas dans le tableau, on le calcule avec la formule.

À toi

\(g(x) = x^2 + 1\). Rappel : \(x^2\) veut dire \(x \times x\).
a) Recopie et complète le tableau.

\(x\)	0	1	2	3	4
\(g(x)\)	…	…	…	…	…

b) Lis l'image de 3. c) Lis un antécédent de 5.

a) \(g(0) = 0 \times 0 + 1 = 1\) ; \(g(1) = 1 \times 1 + 1 = 2\) ; \(g(2) = 2 \times 2 + 1 = 5\) ; \(g(3) = 3 \times 3 + 1 = 10\) ; \(g(4) = 4 \times 4 + 1 = 17\).

\(x\)	0	1	2	3	4
\(g(x)\)	1	2	5	10	17

b) Sous le 3, on lit 10 : l'image de 3 est 10.
c) Au-dessus du 5, on lit 2 : 2 est un antécédent de 5.

5. Lire sur un graphique (C4)

Définition La représentation graphique (ou courbe) d'une fonction \(f\) est formée de tous les points de coordonnées \((x \,;\, f(x))\).

Sur l'axe horizontal, on lit les nombres qui entrent (les antécédents).
Sur l'axe vertical, on lit les nombres qui sortent (les images).

Méthode Lire l'image d'un nombre sur la courbe

Trouver le nombre sur l'axe horizontal.

Monter tout droit jusqu'à la courbe.

Aller horizontalement jusqu'à l'axe vertical, et lire le nombre : c'est l'image.

Méthode Lire les antécédents d'un nombre sur la courbe

Trouver le nombre sur l'axe vertical.

Aller horizontalement jusqu'à la courbe. Attention : on peut la rencontrer plusieurs fois.

À chaque rencontre, descendre jusqu'à l'axe horizontal et lire le nombre : ce sont les antécédents.

Exemple (la température) : la courbe donne la température \(T\), en °C, au cours d'une journée de printemps. Sur l'axe horizontal, un carreau vaut 2 h. Sur l'axe vertical, un carreau vaut 2 °C.

Température T (en °C) au cours d'une journée. En rouge : lecture de l'image de 12, T(12) = 17. En vert : lecture des antécédents de 10, 8 h et 22 h.

Image de 12 (pointillés rouges) :

On trouve 12 sur l'axe horizontal (l'heure).

On monte jusqu'à la courbe.

On va vers l'axe vertical et on lit 17. Donc \(T(12) = 17\) : à midi, il fait 17 °C.

Antécédents de 10 (pointillés verts) :

On trouve 10 sur l'axe vertical (la température).

On va horizontalement : on rencontre la courbe deux fois.

On descend et on lit 8 et 22. Il fait 10 °C à 8 h et à 22 h : 10 a deux antécédents, 8 et 22.

Attention

Image : on part de l'axe horizontal. Antécédent : on part de l'axe vertical.
Regarde bien ce que vaut un carreau avant de lire : ici, un carreau vaut 2, pas 1.
Pour un antécédent, cherche toutes les rencontres avec la courbe, pas seulement la première.

À toi

Utilise la courbe de la température ci-dessous.

Température T (en °C) au cours d'une journée : la même courbe, sans lecture.

a) Lis l'image de 16. b) Lis les antécédents de 7. c) Quelle température fait-il à 0 h (minuit) ?

Correction : en rouge, T(16) = 18 ; en vert, les antécédents de 7 sont 2 et 6.

a) De 16 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit 18 sur l'axe vertical : \(T(16) = 18\). À 16 h, il fait 18 °C.
b) De 7 sur l'axe vertical, on rencontre la courbe deux fois ; on descend et on lit 2 et 6. Les antécédents de 7 sont 2 et 6 : il fait 7 °C à 2 h et à 6 h.
c) Au-dessus de 0, la courbe est à 8 : \(T(0) = 8\). À minuit, il fait 8 °C.

6. Construire une représentation graphique (C5)

Méthode Tracer la courbe d'une fonction, point par point

Faire le tableau de valeurs (section 4).

Tracer le repère : un axe horizontal pour \(x\), un axe vertical pour \(f(x)\). Graduer chaque axe régulièrement, et écrire son nom et son unité. Choisir les graduations pour que tous les points rentrent.

Placer chaque point \((x \,;\, f(x))\) : \(x\) sur l'axe horizontal, \(f(x)\) sur l'axe vertical. Faire une petite croix bien nette.

Relier les points par une courbe régulière, à main levée, sans faire de pointe.

Exemple (l'aire d'un carré) : un carré a un côté de \(x\) cm. Son aire, en cm², est donnée par la fonction \(A(x) = x \times x\). Tracer sa représentation graphique pour \(x\) de 0 à 5.

Tableau de valeurs :

Côté \(x\) en cm	0	1	2	3	4	5
Aire \(A(x)\) en cm²	0	1	4	9	16	25

Repère : axe horizontal de 0 à 5 (un carreau pour 1 cm) ; axe vertical de 0 à 25 (un carreau pour 1 cm², graduations écrites de 5 en 5).

On place les 6 points : \((0 \,;\, 0)\), \((1 \,;\, 1)\), \((2 \,;\, 4)\), \((3 \,;\, 9)\), \((4 \,;\, 16)\), \((5 \,;\, 25)\).

Étape 3 : les 6 points du tableau sont placés. Chaque point a pour coordonnées (x ; aire).

On relie les points par une courbe régulière.

Étape 4 : on relie les points par une courbe régulière. C'est la représentation graphique de la fonction aire.

Les points ne sont pas alignés : la courbe n'est pas une droite. Elle monte de plus en plus vite.

Attention

Le nombre qui entre (\(x\)) va sur l'axe horizontal ; le nombre qui sort va sur l'axe vertical. Ne pas les inverser.
Les graduations doivent être régulières : même écart entre 0 et 5, entre 5 et 10, entre 10 et 15…
Quand les points ne sont pas alignés, on ne les relie pas à la règle : on trace une courbe arrondie.

À toi

Avec le tableau de \(g(x) = x^2 + 1\) de la section 4, trace la représentation graphique de \(g\). Axe horizontal : de 0 à 4 (un carreau pour 1). Axe vertical : de 0 à 18 (un carreau pour 1, graduations écrites de 2 en 2).

On place les 5 points \((0 \,;\, 1)\), \((1 \,;\, 2)\), \((2 \,;\, 5)\), \((3 \,;\, 10)\), \((4 \,;\, 17)\), puis on les relie par une courbe régulière.

Correction : représentation graphique de g, avec les 5 points du tableau.

7. L'essentiel à retenir

À retenir :

Une fonction est une machine à calculer : un nombre entre, un seul nombre sort.
\(f(x) = 4x + 3\) est la formule de \(f\). Pour calculer \(f(10)\), on remplace \(x\) par 10 : \(f(10) = 43\).
\(f(3) = 15\) : 15 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 15.
Image = le nombre qui sort. Antécédent = le nombre qui entre. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
\(f : x \mapsto 4x + 3\) se lit « \(f\) est la fonction qui, à \(x\), associe \(4x + 3\) ».
Tableau de valeurs : l'image se lit en bas, l'antécédent se lit en haut.
Graphique : pour une image, on part de l'axe horizontal ; pour un antécédent, on part de l'axe vertical.
Tracer une courbe : tableau de valeurs, repère gradué, points \((x \,;\, f(x))\), puis on relie par une courbe régulière.