Chapitre 6 – Exercices

3e prépa-métiers | Mathématiques | Espace et géométrie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

C1 – Repérer l'hypoténuse d'un triangle rectangle et écrire l'égalité de Pythagore.
C2 – Calculer la longueur de l'hypoténuse.
C3 – Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit.
C4 – Utiliser la réciproque de Pythagore pour savoir si un triangle est rectangle.
C5 – Calculer une longueur avec le théorème de Thalès (triangles emboîtés ou papillon).
C6 – Utiliser la réciproque de Thalès pour savoir si deux droites sont parallèles.

Rappels essentiels :

L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit (le petit carré). C'est le côté le plus long.
Pythagore : hypoténuse² = côté² + côté². Exemple : \(5^2 = 3^2 + 4^2\).
Pour l'hypoténuse, on additionne les carrés. Pour un côté de l'angle droit, on soustrait. On finit avec la touche √.
Réciproque de Pythagore : on calcule à part le carré du plus grand côté, puis la somme des deux autres carrés. Égaux : le triangle est rectangle.
Thalès : si (MN) // (BC), alors \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\). On finit par un produit en croix : si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{?}\), alors \(? = \dfrac{b \times c}{a}\).
Réciproque de Thalès : on calcule à part \(\dfrac{AM}{AB}\) et \(\dfrac{AN}{AC}\). Égaux (points dans le même ordre) : les droites sont parallèles.

La calculatrice est autorisée. Les exercices sont progressifs : commence par le niveau socle, puis avance à ton rythme. Le code (C1, C2…) indique la capacité travaillée.

Niveau socle — je m'entraîne pas à pas

Exercice 1 Le carré et la touche √ (C2) Socle

Aide : \(6^2 = 6 \times 6\) (et pas \(6 \times 2\)). Pour \(\sqrt{30}\) : appuie sur √, tape 30, puis =. Arrondir au dixième : on garde un seul chiffre après la virgule.

1. Calcule.

a) \(3^2 = 3 \times 3 =\) b) \(6^2 = 6 \times 6 =\) c) \(10^2 =\) d) \(1{,}5^2 =\)

2. Calcule (sans calculatrice, pense aux carrés).

a) \(\sqrt{16} =\) , car \(\times\) \(= 16\) b) \(\sqrt{81} =\) c) \(\sqrt{100} =\)

3. À la calculatrice, arrondis au dixième.

a) \(\sqrt{30} \approx\) b) \(\sqrt{50} \approx\)

1. a) \(3^2 = 3 \times 3 =\) 9 ; b) \(6^2 = 6 \times 6 =\) 36 ; c) \(10^2 = 10 \times 10 =\) 100 ; d) \(1{,}5^2 = 1{,}5 \times 1{,}5 =\) 2,25.

2. a) \(\sqrt{16} =\) 4, car \(4 \times 4 = 16\) ; b) \(\sqrt{81} =\) 9, car \(9 \times 9 = 81\) ; c) \(\sqrt{100} =\) 10, car \(10 \times 10 = 100\).

3. a) La calculatrice affiche 5,477… donc \(\sqrt{30} \approx\) 5,5. b) Elle affiche 7,071… donc \(\sqrt{50} \approx\) 7,1.

Exercice 2 Trouver l'hypoténuse (C1) Socle

a) ABC rectangle en A. b) DEF rectangle en F. c) GHK rectangle en H. Le petit carré code l'angle droit.

Aide : pose ton doigt sur le petit carré. L'hypoténuse est le côté juste en face : elle ne touche pas l'angle droit.

1. Pour chaque triangle, écris où est l'angle droit.

a) en b) en c) en

2. Pour chaque triangle, nomme l'hypoténuse.

a) [] b) [] c) []

a) L'angle droit est en A. Le côté en face de A est l'hypoténuse : [BC].
b) L'angle droit est en F. Le côté en face de F est l'hypoténuse : [DE].
c) L'angle droit est en H. Le côté en face de H est l'hypoténuse : [GK].

Dans chaque triangle, l'hypoténuse est bien le côté le plus long.

Exercice 3 Écrire l'égalité de Pythagore (C1) Socle

Triangle 1 : LMN rectangle en M. Triangle 2 : RST rectangle en T.

Aide : hypoténuse² = (premier côté)² + (deuxième côté)². L'hypoténuse est seule à gauche du signe =.

1. Triangle 1 : l'hypoténuse est []. Complète : \(^2 = LM^2 +\) \(^2\)

2. Triangle 2 : l'hypoténuse est []. Écris l'égalité de Pythagore.

3. Pour le triangle 1, Hugo écrit : \(LM^2 = LN^2 + MN^2\). A-t-il raison ? Explique en une phrase.

1. L'angle droit est en M. L'hypoténuse est [LN]. \(LN^2 = LM^2 + MN^2\).

2. L'angle droit est en T. L'hypoténuse est [RS]. \(RS^2 = RT^2 + TS^2\).

3. Non, Hugo a tort. [LM] touche l'angle droit : ce n'est pas l'hypoténuse. L'hypoténuse [LN] doit être seule de son côté du signe = : \(LN^2 = LM^2 + MN^2\).

Exercice 4 Calculer l'hypoténuse pas à pas (C2) Socle

Triangle ABC rectangle en B : AB = 6 cm, BC = 8 cm. On cherche AC.

Aide : 1. Égalité de Pythagore. 2. On remplace et on calcule les carrés. 3. On additionne. 4. Touche √.

1. Le triangle ABC est rectangle en . L'hypoténuse est [].

2. D'après le théorème de Pythagore : \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). Complète :

\(AC^2 = 6^2 + 8^2 =\) \(+\) \(=\)

3. \(AC = \sqrt{\phantom{000}} =\) cm

1. Le triangle ABC est rectangle en B. L'hypoténuse est [AC].

2. \(AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).

3. \(AC = \sqrt{100} = 10\). Donc AC = 10 cm. Vérification : 10 cm est plus long que 6 cm et que 8 cm ✓

Exercice 5 Trois hypoténuses à calculer (C2) Socle

a) EFG rectangle en E. b) HIJ rectangle en I. c) KLM rectangle en L. Le « ? » est l'hypoténuse cherchée.

Aide : recopie et complète pour chaque triangle : hypoténuse² = …² + …² = … + … = … ; hypoténuse = √…

Calcule la longueur de l'hypoténuse. Pour c), arrondis au dixième.

a) \(FG^2 = 5^2 + 12^2 =\) \(+\) \(=\) ; \(FG =\) cm

b) \(HJ^2 = 8^2 + 15^2 =\) ; \(HJ =\) cm

c) \(KM^2 =\) ; \(KM \approx\) m

a) EFG est rectangle en E : \(FG^2 = EF^2 + EG^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). \(FG = \sqrt{169} = 13\). FG = 13 cm.
b) HIJ est rectangle en I : \(HJ^2 = HI^2 + IJ^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\). \(HJ = \sqrt{289} = 17\). HJ = 17 cm.
c) KLM est rectangle en L : \(KM^2 = KL^2 + LM^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34\). \(KM = \sqrt{34} \approx 5{,}8\) (la calculatrice affiche 5,830…). KM ≈ 5,8 m.

Exercice 6 La diagonale du terrain de handball (C2) Socle

Un terrain de handball est un rectangle de 40 m de long et 20 m de large. À l'entraînement, Yanis court d'un coin au coin opposé, en ligne droite.

Terrain de handball : 40 m de long, 20 m de large. On cherche la longueur de la diagonale.

Aide : la longueur, la largeur et la diagonale forment un triangle rectangle. La diagonale est l'hypoténuse.

1. Complète : diagonale² \(= 40^2 + 20^2 =\) \(+\) \(=\)

2. Calcule la diagonale, arrondie au dixième.

3. Réponds par une phrase : quelle distance court Yanis ?

1. diagonale² \(= 40^2 + 20^2 = 1\,600 + 400 = 2\,000\).

2. diagonale \(= \sqrt{2\,000} \approx 44{,}7\) (la calculatrice affiche 44,72…).

3. Yanis court environ 44,7 m. Vérification : c'est plus que 40 m, normal pour une hypoténuse ✓

Exercice 7 Calculer un côté de l'angle droit pas à pas (C3) Socle

Triangle RST rectangle en S : RS = 5 cm, RT = 13 cm (hypoténuse, en rouge). On cherche ST.

Aide : on connaît l'hypoténuse, donc on soustrait : côté cherché² = hypoténuse² − côté connu².

1. D'après le théorème de Pythagore : \(RT^2 = RS^2 + ST^2\). Remplace : \(^2 =\) \(^2 + ST^2\)

2. Complète : \(ST^2 = 13^2 - 5^2 =\) \(-\) \(=\)

3. \(ST = \sqrt{\phantom{000}} =\) cm

1. \(13^2 = 5^2 + ST^2\), soit \(169 = 25 + ST^2\).

2. On enlève 25 des deux côtés : \(ST^2 = 169 - 25 = 144\).

3. \(ST = \sqrt{144} = 12\). Donc ST = 12 cm. Vérification : 12 cm est plus court que l'hypoténuse (13 cm) ✓

Exercice 8 Trois côtés de l'angle droit à calculer (C3) Socle

a) ABC rectangle en A. b) DEF rectangle en D. c) GHI rectangle en H. L'hypoténuse est en rouge ; le « ? » est le côté cherché.

Aide : on part toujours de l'hypoténuse² (le plus grand nombre), et on enlève le carré de l'autre côté.

Calcule la longueur cherchée. Pour c), arrondis au dixième.

a) \(AC^2 = 10^2 - 8^2 =\) \(-\) \(=\) ; \(AC =\) cm

b) \(DF^2 = 17^2 - 15^2 =\) ; \(DF =\) cm

c) \(HI^2 =\) ; \(HI \approx\) m

a) ABC est rectangle en A, l'hypoténuse est [BC] : \(AC^2 = BC^2 - AB^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\). \(AC = \sqrt{36} = 6\). AC = 6 cm.
b) DEF est rectangle en D, l'hypoténuse est [EF] : \(DF^2 = EF^2 - DE^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64\). \(DF = \sqrt{64} = 8\). DF = 8 cm.
c) GHI est rectangle en H, l'hypoténuse est [GI] : \(HI^2 = GI^2 - GH^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21\). \(HI = \sqrt{21} \approx 4{,}6\) (la calculatrice affiche 4,582…). HI ≈ 4,6 m.

Exercice 9 L'échelle du peintre (C3) Socle

Un peintre pose une échelle de 6 m contre un mur. Le pied de l'échelle est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?

Échelle de 6 m contre un mur : le pied est à 1,5 m du mur. Le mur et le sol forment un angle droit.

Aide : l'échelle est l'hypoténuse. On cherche un côté de l'angle droit : on soustrait.

1. Complète : hauteur² \(= 6^2 - 1{,}5^2 =\) \(-\) \(=\)

2. Calcule la hauteur, arrondie au dixième.

3. Réponds par une phrase.

Le mur et le sol forment un angle droit. L'échelle est l'hypoténuse.

1. hauteur² \(= 6^2 - 1{,}5^2 = 36 - 2{,}25 = 33{,}75\).

2. hauteur \(= \sqrt{33{,}75} \approx 5{,}8\) (la calculatrice affiche 5,809…).

3. L'échelle touche le mur à environ 5,8 m de haut. Vérification : 5,8 m est plus court que l'échelle (6 m) ✓

Exercice 10 Ce triangle est-il rectangle ? (C4) Socle

a) Triangle ABC. b) Triangle DEF. On ne sait pas s'ils sont rectangles : aucun angle droit n'est codé.

Aide : 1. Trouve le plus grand côté. 2. Calcule à part son carré. 3. Calcule à part la somme des carrés des deux autres côtés. 4. Compare.

1. Complète le tableau.

Triangle	Plus grand côté	D'une part : (plus grand côté)²	D'autre part : somme des deux autres carrés	Égaux ?
a) ABC	[AC] = 10 cm	\(10^2 =\) …	\(6^2 + 8^2 =\) … \(+\) … \(=\) …
b) DEF	[] = … cm	…	…

2. Conclus par une phrase pour chaque triangle. S'il est rectangle, donne le sommet de l'angle droit.

a) Le plus grand côté est [AC]. D'une part : \(AC^2 = 10^2 = 100\). D'autre part : \(AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (le sommet en face de [AC]).

b) Le plus grand côté est [DF] = 6 cm. D'une part : \(DF^2 = 6^2 = 36\). D'autre part : \(DE^2 + EF^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\).
36 et 41 sont différents, donc le triangle DEF n'est pas rectangle.

Exercice 11 Thalès pas à pas : triangles emboîtés (C5) Socle

M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) // (BC) (en rouge). AM = 2 cm, AB = 6 cm, MN = 3 cm.

Aide : petit triangle AMN en haut, grand triangle ABC en bas. Produit en croix : si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{?}\), alors \(? = \dfrac{b \times c}{a}\).

1. Les droites () et () sont parallèles.

2. D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\). Remplace : \(\dfrac{\ldots}{\ldots} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{\ldots}{BC}\)

3. Produit en croix : \(BC = \dfrac{6 \times 3}{2} =\) cm

1. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés.

2. \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{BC}\). On garde \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{BC}\).

3. \(BC = \dfrac{6 \times 3}{2} = \dfrac{18}{2} = 9\). Donc BC = 9 cm.

Exercice 12 Thalès pas à pas : le papillon (C5) Socle

Papillon : (BM) et (CN) se coupent en A, et (BC) // (MN) (en rouge). AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 2 cm, AM = 12 cm.

Aide : dans le papillon, on écrit la même égalité : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\). Un triangle en haut, l'autre en bas.

1. Remplace les longueurs connues : \(\dfrac{12}{\ldots} = \dfrac{AN}{\ldots} = \dfrac{MN}{\ldots}\)

2. Avec \(\dfrac{12}{4} = \dfrac{AN}{3}\) : \(AN = \dfrac{12 \times 3}{4} =\) cm

3. Avec \(\dfrac{12}{4} = \dfrac{MN}{2}\) : \(MN =\) cm

Les droites (BM) et (CN) se coupent en A, et (BC) // (MN).

1. D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{12}{4} = \dfrac{AN}{3} = \dfrac{MN}{2}\).

2. \(AN = \dfrac{12 \times 3}{4} = \dfrac{36}{4} = 9\). Donc AN = 9 cm.

3. \(MN = \dfrac{12 \times 2}{4} = \dfrac{24}{4} = 6\). Donc MN = 6 cm.

Exercice 13 Les droites sont-elles parallèles ? (C6) Socle

M est sur [AB] et N est sur [AC]. Les longueurs sont dans le tableau. On ne sait pas si (MN) et (BC) sont parallèles.

Aide : \(\dfrac{AM}{AB}\), c'est la division \(AM : AB\) à la calculatrice. On compare les deux résultats : égaux, les droites sont parallèles.

1. Complète le tableau.

Cas	Longueurs	D'une part : \(\dfrac{AM}{AB}\)	D'autre part : \(\dfrac{AN}{AC}\)	Égaux ?
a)	AM = 2 cm, AB = 5 cm AN = 4 cm, AC = 10 cm	\(2 : 5 =\) …	\(4 : 10 =\) …
b)	AM = 3 cm, AB = 6 cm AN = 4 cm, AC = 9 cm	\(3 : 6 =\) …	\(4 : 9 \approx\) …

2. Conclus par une phrase pour chaque cas.

a) D'une part : \(\dfrac{AM}{AB} = 2 : 5 = 0{,}4\). D'autre part : \(\dfrac{AN}{AC} = 4 : 10 = 0{,}4\).
Les deux résultats sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles.

b) D'une part : \(\dfrac{AM}{AB} = 3 : 6 = 0{,}5\). D'autre part : \(\dfrac{AN}{AC} = 4 : 9 \approx 0{,}44\).
Les deux résultats sont différents, donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Niveau standard — j'applique dans des situations

Exercice 14 La rampe de chargement (C3) Standard

Pour charger un camion, on pose une rampe de 3 m sur l'arrière du camion. Au sol, le bas de la rampe est à 2,8 m de l'arrière du camion. Le plancher du camion est horizontal et l'arrière du camion est vertical.

Rampe de 3 m posée sur l'arrière d'un camion : 2,8 m au sol. On cherche la hauteur du plancher.

1. Quelle est l'hypoténuse du triangle rectangle ?

2. Calcule la hauteur du plancher du camion, arrondie au dixième.

3. Réponds par une phrase.

1. L'angle droit est entre le sol et l'arrière du camion. L'hypoténuse est la rampe (3 m).

2. On cherche un côté de l'angle droit, donc on soustrait : hauteur² \(= 3^2 - 2{,}8^2 = 9 - 7{,}84 = 1{,}16\).
hauteur \(= \sqrt{1{,}16} \approx 1{,}1\) (la calculatrice affiche 1,077…).

3. Le plancher du camion est à environ 1,1 m du sol.

Exercice 15 Une télé de 55 pouces ? (C2) Standard

Dans un magasin, l'écran d'une télévision mesure 121 cm de large et 68 cm de haut. Le vendeur dit : « C'est une télé de 55 pouces. » La taille d'un écran, c'est la longueur de sa diagonale. 1 pouce = 2,54 cm.

Écran de télévision : 121 cm de large, 68 cm de haut. La diagonale est en pointillés.

1. Calcule la diagonale de l'écran en cm, arrondie au dixième.

2. Convertis cette diagonale en pouces : divise par 2,54. Arrondis à l'unité.

3. Le vendeur a-t-il raison ?

1. La largeur, la hauteur et la diagonale forment un triangle rectangle. La diagonale est l'hypoténuse.
diagonale² \(= 121^2 + 68^2 = 14\,641 + 4\,624 = 19\,265\).
diagonale \(= \sqrt{19\,265} \approx 138{,}8\) cm (la calculatrice affiche 138,79…).

2. \(138{,}8 : 2{,}54 \approx 54{,}6\), soit environ 55 pouces.

3. Oui, le vendeur a raison : la diagonale mesure environ 55 pouces.

Exercice 16 Le coin d'équerre du maçon (C4) Standard

Sur un chantier, un maçon vérifie que deux murs forment un angle droit. Il marque un repère B sur un mur et un repère C sur l'autre, puis il mesure le cordeau tendu entre B et C.

Le coin A : B est sur le mur 1, C est sur le mur 2. Le cordeau [BC] est en pointillés. Les longueurs sont dans le tableau.

Chantier	AB	AC	BC (cordeau)
Chantier 1	80 cm	60 cm	100 cm
Chantier 2	1,6 m	1,2 m	1,98 m

1. Chantier 1 : le coin A est-il un angle droit ? Rédige avec « D'une part… D'autre part… ».

2. Chantier 2 : le coin A est-il un angle droit ?

1. Le plus grand côté est [BC].
D'une part : \(BC^2 = 100^2 = 10\,000\). D'autre part : \(AB^2 + AC^2 = 80^2 + 60^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000\).
Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A : le coin est bien d'équerre.

2. Le plus grand côté est [BC].
D'une part : \(BC^2 = 1{,}98^2 = 3{,}9204\). D'autre part : \(AB^2 + AC^2 = 1{,}6^2 + 1{,}2^2 = 2{,}56 + 1{,}44 = 4\).
3,9204 et 4 sont différents, donc le triangle ABC n'est pas rectangle : le coin n'est pas d'équerre. (Pour un angle droit, le cordeau devrait mesurer 2 m.)

Exercice 17 La hauteur du lampadaire (C5) Standard

En plein soleil, Ana mesure 1,6 m et son ombre mesure 2 m. Au même moment, l'ombre d'un lampadaire mesure 7,5 m. Les deux ombres se terminent au même point A.

Ana [MN] et le lampadaire [BC] sont verticaux, donc parallèles. AM = 2 m, AB = 7,5 m, MN = 1,6 m.

1. Pourquoi les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

2. Écris l'égalité de Thalès, puis remplace les longueurs connues.

3. Calcule la hauteur du lampadaire. Réponds par une phrase.

1. Ana et le lampadaire sont tous les deux verticaux : (MN) et (BC) sont parallèles.

2. A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés. D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), donc \(\dfrac{2}{7{,}5} = \dfrac{1{,}6}{BC}\).

3. Produit en croix : \(BC = \dfrac{7{,}5 \times 1{,}6}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\). Le lampadaire mesure 6 m de haut.

Exercice 18 L'écart des pieds du tréteau (C5) Standard

Un menuisier fabrique un tréteau. Vu de face, les deux pieds en bois se croisent en A. Le plateau (BC) et le sol (MN) sont parallèles. On donne AB = 40 cm, AM = 60 cm et BC = 50 cm.

Tréteau vu de face : les pieds [BM] et [CN] se croisent en A. Le plateau (BC) et le sol (MN) sont parallèles (en rouge).

1. Quelle configuration de Thalès reconnais-tu : triangles emboîtés ou papillon ?

2. Calcule l'écart MN entre les pieds, au sol.

1. Les triangles ABC et AMN sont de part et d'autre du point A : c'est la configuration papillon.

2. Les droites (BM) et (CN) se coupent en A, et (BC) // (MN). D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), donc \(\dfrac{60}{40} = \dfrac{MN}{50}\).
\(MN = \dfrac{60 \times 50}{40} = \dfrac{3\,000}{40} = 75\). Au sol, les pieds sont écartés de 75 cm.

Exercice 19 La traverse est-elle horizontale ? (C6) Standard

Dans une charpente, la poutre du bas (BC) est horizontale. Un charpentier fixe une traverse [MN]. Il veut savoir si elle est parallèle à (BC), c'est-à-dire horizontale. Les points A, M, B sont alignés, ainsi que A, N, C.

Charpente : M est sur [AB], N est sur [AC]. La traverse [MN] est en rouge. Les longueurs sont dans le tableau.

Essai	AM	AB	AN	AC
Essai 1	1,2 m	4 m	1,5 m	5 m
Essai 2	1,2 m	4 m	1,6 m	5 m

1. Essai 1 : la traverse est-elle parallèle à (BC) ? Rédige.

2. Essai 2 : même question.

1. D'une part : \(\dfrac{AM}{AB} = 1{,}2 : 4 = 0{,}3\). D'autre part : \(\dfrac{AN}{AC} = 1{,}5 : 5 = 0{,}3\).
Les deux résultats sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles : la traverse est horizontale.

2. D'une part : \(\dfrac{AM}{AB} = 1{,}2 : 4 = 0{,}3\). D'autre part : \(\dfrac{AN}{AC} = 1{,}6 : 5 = 0{,}32\).
Les deux résultats sont différents, donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles : la traverse n'est pas horizontale.

Approfondissement — je résous seul

Exercice 20 Les barres de l'échafaudage (C2, C3) Approfondissement

Un cadre d'échafaudage est un rectangle de 1,5 m de large et 2 m de haut. Pour le rendre solide, on fixe une barre de renfort en diagonale.

Cadre d'échafaudage : 1,5 m de large, 2 m de haut. La barre de renfort est la diagonale.

1. Sur le chantier, il reste des barres de 2,40 m. Sont-elles assez longues pour ce cadre ?

2. Pour un autre cadre de 2 m de haut, on a des barres de 2,30 m. Quelle doit être la largeur du cadre pour que la barre aille exactement d'un coin à l'autre ? Arrondis au dixième.

1. La largeur, la hauteur et la barre forment un triangle rectangle ; la barre est l'hypoténuse.
barre² \(= 1{,}5^2 + 2^2 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25\) ; barre \(= \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\) m.
Il faut une barre de 2,5 m. Une barre de 2,40 m est trop courte : non, elles ne sont pas assez longues.

2. Cette fois, la barre (2,30 m) est l'hypoténuse et on cherche un côté de l'angle droit : on soustrait.
largeur² \(= 2{,}3^2 - 2^2 = 5{,}29 - 4 = 1{,}29\) ; largeur \(= \sqrt{1{,}29} \approx 1{,}1\) (la calculatrice affiche 1,135…).
Le cadre doit mesurer environ 1,1 m de large.

Exercice 21 Le demi-toit et sa traverse (C3, C5) Approfondissement

Un charpentier prépare un demi-toit. Le triangle ABC est rectangle en C. La poutre penchée [AB] mesure 5 m et la poutre du bas [BC] mesure 4 m. Il ajoute une traverse [MN] parallèle à (BC), avec M sur [AB], N sur [AC] et AM = 2 m.

Demi-toit : ABC est rectangle en C. AB = 5 m, BC = 4 m. La traverse [MN] (en rouge) est parallèle à (BC), avec AM = 2 m.

1. Calcule la hauteur AC du toit.

2. Calcule la longueur MN de la traverse.

3. À quelle distance du sommet A la traverse est-elle fixée sur [AC] ? (On cherche AN.)

1. Le triangle ABC est rectangle en C, l'hypoténuse est [AB]. D'après le théorème de Pythagore : \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).
\(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\) ; \(AC = \sqrt{9} = 3\). La hauteur du toit est AC = 3 m.

2. A, M, B sont alignés, A, N, C sont alignés et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), donc \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{AN}{3} = \dfrac{MN}{4}\).
\(MN = \dfrac{2 \times 4}{5} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6\). La traverse mesure 1,6 m.

3. \(AN = \dfrac{2 \times 3}{5} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2\). La traverse est fixée à 1,2 m sous le sommet A.

Exercice 22 Trouver les erreurs (C4, C6) Approfondissement

Partie A. Un triangle a des côtés de 7 cm, 24 cm et 25 cm. Yanis écrit : « \(7^2 + 25^2 = 49 + 625 = 674\) et \(24^2 = 576\). C'est différent, donc le triangle n'est pas rectangle. »

1. Quelle erreur Yanis a-t-il faite ?

2. Ce triangle est-il rectangle ? Rédige la bonne réponse.

Partie B. Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N est sur [AC], dans le même ordre. AM = 2 cm, AB = 7 cm, AN = 3 cm et AC = 10 cm. Inès écrit : « \(2 : 7 \approx 0{,}3\) et \(3 : 10 = 0{,}3\). C'est pareil, donc (MN) et (BC) sont parallèles. »

3. Inès a-t-elle raison ? Explique.

1. Yanis n'a pas mis le plus grand côté seul. Le plus grand côté mesure 25 cm : c'est son carré qu'il faut calculer à part.

2. D'une part : \(25^2 = 625\). D'autre part : \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\).
Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. L'angle droit est en face du côté de 25 cm.

3. Non, Inès a tort. \(2 : 7 = 0{,}2857\ldots\), qu'elle a arrondi à 0,3. Or \(3 : 10 = 0{,}3\) exactement. On compare des résultats exacts : 0,2857… et 0,3 sont différents. Donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.