Chapitre 6 – Théorèmes de Pythagore et de Thalès

3e prépa-métiers | Mathématiques | Espace et géométrie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Reconnaître un angle droit et lire son codage (le petit carré).
Calculer avec des nombres décimaux, par exemple \(1{,}4 \times 1{,}4 = 1{,}96\).
Arrondir un nombre au dixième, par exemple \(4{,}47 \approx 4{,}5\).

Objectifs du chapitre :

C1 – Repérer l'hypoténuse d'un triangle rectangle et écrire l'égalité de Pythagore.
C2 – Calculer la longueur de l'hypoténuse.
C3 – Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit.
C4 – Utiliser la réciproque de Pythagore pour savoir si un triangle est rectangle.
C5 – Calculer une longueur avec le théorème de Thalès (triangles emboîtés ou papillon).
C6 – Utiliser la réciproque de Thalès pour savoir si deux droites sont parallèles.

1. Rappels : carré, racine carrée et triangle rectangle

1.1 Le carré d'un nombre

Définition Le carré d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même. On l'écrit avec un petit 2 en haut.
Exemples : \(7^2 = 7 \times 7 = 49\) ; \(2{,}5^2 = 2{,}5 \times 2{,}5 = 6{,}25\).
Sur la calculatrice, on utilise la touche x².

Attention \(7^2\) ne fait pas \(7 \times 2 = 14\). On fait \(7 \times 7 = 49\).

1.2 La racine carrée et la touche √

Définition La racine carrée fait le chemin inverse du carré. \(\sqrt{49}\) est le nombre positif dont le carré est 49 : \(\sqrt{49} = 7\), car \(7^2 = 49\).

Méthode Utiliser la touche √ de la calculatrice

Appuyer sur la touche √.

Taper le nombre, puis appuyer sur = (ou EXE, ou entrer).

Si le résultat a beaucoup de chiffres, on l'arrondit au dixième (un seul chiffre après la virgule) et on écrit \(\approx\).

Exemples :

\(\sqrt{36} = 6\), car \(6 \times 6 = 36\).
\(\sqrt{20}\) : la calculatrice affiche 4,472135955… On écrit \(\sqrt{20} \approx 4{,}5\).

1.3 Le vocabulaire du triangle rectangle

Définition

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. On le code avec un petit carré.
L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit. C'est toujours le côté le plus long.
Les deux autres côtés forment l'angle droit : ce sont les côtés de l'angle droit.

Triangle ABC rectangle en A : l'hypoténuse est [BC], en rouge, en face de l'angle droit.

Astuce Pour trouver l'hypoténuse : pose ton doigt sur le petit carré, puis regarde le côté juste en face. L'hypoténuse ne touche jamais l'angle droit.

2. L'égalité de Pythagore (C1)

Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Dans le triangle ABC rectangle en A (figure du 1.3) : \[BC^2 = AB^2 + AC^2\]

On retient : hypoténuse² = côté² + côté². L'hypoténuse est seule de son côté du signe =.

Méthode Écrire l'égalité de Pythagore

Repérer l'angle droit (le petit carré).

Repérer l'hypoténuse : le côté en face de l'angle droit.

Écrire : hypoténuse² = (premier côté)² + (deuxième côté)².

Exemple : le triangle RST est rectangle en S.

Triangle RST rectangle en S.

L'angle droit est en S.

Le côté en face de S est [RT] : c'est l'hypoténuse.

Égalité de Pythagore : \(RT^2 = RS^2 + ST^2\).

Attention L'hypoténuse n'est pas toujours en bas ni à droite : cela dépend de la position de l'angle droit. Cherche toujours le petit carré d'abord.

À toi

Triangle 1 : EFG rectangle en F. Triangle 2 : KLM rectangle en M.

Pour chaque triangle : a) nomme l'hypoténuse ; b) écris l'égalité de Pythagore.

Triangle 1 : l'angle droit est en F. L'hypoténuse est [EG]. \(EG^2 = EF^2 + FG^2\).
Triangle 2 : l'angle droit est en M. L'hypoténuse est [KL]. \(KL^2 = KM^2 + ML^2\).

3. Calculer l'hypoténuse (C2)

Méthode Calculer la longueur de l'hypoténuse

Écrire l'égalité de Pythagore (section 2).

Remplacer les longueurs connues et calculer les carrés.

Additionner les deux carrés.

Prendre la racine carrée (touche √), arrondir si besoin, et écrire l'unité.

Rédaction modèle Le triangle … est rectangle en … .
D'après le théorème de Pythagore : …² = …² + …²
…² = …² + …² = … + … = …
… = √… ≈ … (unité)

Exemple 1 : le triangle ABC est rectangle en A, avec \(AB = 3\) cm et \(AC = 4\) cm. Calculer BC.

Triangle ABC rectangle en A : AB = 3 cm, AC = 4 cm. On cherche BC.

Le triangle ABC est rectangle en A. L'hypoténuse est [BC].
D'après le théorème de Pythagore : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(BC = \sqrt{25} = 5\). Donc BC = 5 cm.

Exemple 2 (écran de télévision) : un écran mesure 80 cm de large et 45 cm de haut. La taille d'un écran, c'est la longueur de sa diagonale. Calculer cette diagonale.

Écran de télévision : 80 cm de large, 45 cm de haut. On cherche la diagonale.

La largeur, la hauteur et la diagonale forment un triangle rectangle. La diagonale est l'hypoténuse.
diagonale² = \(80^2 + 45^2 = 6\,400 + 2\,025 = 8\,425\)
diagonale = \(\sqrt{8\,425} \approx 91{,}8\). La diagonale mesure environ 91,8 cm.

Dans les magasins, on donne la diagonale en pouces (1 pouce = 2,54 cm) : \(91{,}8 : 2{,}54 \approx 36\). C'est un écran d'environ 36 pouces.

Attention

On n'oublie pas la dernière étape : \(BC^2 = 25\) ne veut pas dire \(BC = 25\). On prend \(\sqrt{25} = 5\).
\(3 + 4 = 7\) n'est pas la réponse : on additionne les carrés, pas les longueurs.
Vérification rapide : l'hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux autres côtés.

À toi

a) DEF rectangle en D. b) PQR rectangle en P.

a) Calcule EF. b) Calcule QR, arrondi au dixième.

a) DEF est rectangle en D : \(EF^2 = DE^2 + DF^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\). \(EF = \sqrt{169} = 13\). EF = 13 cm.
b) PQR est rectangle en P : \(QR^2 = PQ^2 + PR^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\). \(QR = \sqrt{13} \approx 3{,}6\). QR ≈ 3,6 m.

4. Calculer un côté de l'angle droit (C3)

Méthode Calculer un côté de l'angle droit

Écrire l'égalité de Pythagore (l'hypoténuse seule d'un côté).

Remplacer les longueurs connues et calculer les carrés.

Soustraire : côté cherché² = hypoténuse² − côté connu².

Prendre la racine carrée (touche √), arrondir si besoin, et écrire l'unité.

Exemple 1 : le triangle DEF est rectangle en E, avec \(DE = 6\) cm et \(DF = 10\) cm. Calculer EF.

Triangle DEF rectangle en E : DE = 6 cm, DF = 10 cm (hypoténuse). On cherche EF.

Le triangle DEF est rectangle en E. L'hypoténuse est [DF].
D'après le théorème de Pythagore : \(DF^2 = DE^2 + EF^2\), donc \(10^2 = 6^2 + EF^2\), soit \(100 = 36 + EF^2\).
On enlève 36 des deux côtés (chapitre 5) : \(EF^2 = 100 - 36 = 64\)
\(EF = \sqrt{64} = 8\). Donc EF = 8 cm.

Exemple 2 (échelle contre un mur) : une échelle de 5 m est posée contre un mur. Son pied est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur arrive-t-elle sur le mur ?

Échelle de 5 m contre un mur : le pied est à 1,4 m du mur. Le mur et le sol forment un angle droit.

Le mur et le sol forment un angle droit. L'échelle est l'hypoténuse.
hauteur² = \(5^2 - 1{,}4^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04\)
hauteur = \(\sqrt{23{,}04} = 4{,}8\). L'échelle arrive à 4,8 m de haut.

Attention

Quand on connaît l'hypoténuse, on soustrait : on part toujours de l'hypoténuse² (le plus grand nombre).
Un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse. Si tu trouves plus grand, tu as additionné au lieu de soustraire.

À toi

a) KLM rectangle en K : on cherche KM. b) Échelle de 4 m, pied à 1 m du mur : on cherche la hauteur.

a) Calcule KM. b) Calcule la hauteur atteinte par l'échelle, arrondie au dixième.

a) KLM est rectangle en K et l'hypoténuse est [LM] : \(KM^2 = LM^2 - KL^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\). \(KM = \sqrt{225} = 15\). KM = 15 cm.
b) L'échelle est l'hypoténuse : hauteur² \(= 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15\). hauteur \(= \sqrt{15} \approx 3{,}9\). L'échelle arrive à environ 3,9 m de haut.

5. Savoir si un triangle est rectangle (C4)

Réciproque de Pythagore Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. L'angle droit est en face du plus grand côté.

Si les deux résultats ne sont pas égaux, le triangle n'est pas rectangle.

Méthode Savoir si un triangle est rectangle

Repérer le plus grand côté.

Calculer à part le carré du plus grand côté.

Calculer à part la somme des carrés des deux autres côtés.

Comparer et conclure par une phrase.

Rédaction modèle Le plus grand côté est [ … ].
D'une part : …² = … D'autre part : …² + …² = … + … = …
Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle … est rectangle en … .
(Sinon : les deux résultats sont différents, donc le triangle … n'est pas rectangle.)

Exemple 1 (cadre en bois) : un menuisier fabrique un cadre. Il mesure AB = 80 cm, AC = 60 cm et la diagonale BC = 100 cm. Le coin A est-il un angle droit ?

Cadre en bois : AB = 80 cm, AC = 60 cm, BC = 100 cm. L'angle en A est-il droit ?

Le plus grand côté est [BC].
D'une part : \(BC^2 = 100^2 = 10\,000\). D'autre part : \(AB^2 + AC^2 = 80^2 + 60^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000\).
Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. Le coin est bien d'équerre.

Exemple 2 : un triangle a des côtés de 5 cm, 6 cm et 8 cm. Est-il rectangle ?

Le plus grand côté mesure 8 cm.
D'une part : \(8^2 = 64\). D'autre part : \(5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\).
64 et 61 sont différents : ce triangle n'est pas rectangle.

Attention

On ne regarde pas la figure « à l'œil » : un angle peut sembler droit sans l'être. On calcule.
Le plus grand côté se met seul. On ne l'ajoute pas avec les autres.

À toi

a) Triangle RST. b) Triangle UVW. On ne sait pas s'ils sont rectangles.

Chaque triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?

a) Le plus grand côté est [ST]. \(ST^2 = 15^2 = 225\) et \(RS^2 + RT^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\). C'est égal : RST est rectangle en R.
b) Le plus grand côté est [UV]. \(UV^2 = 11^2 = 121\) et \(UW^2 + VW^2 = 8^2 + 7^2 = 64 + 49 = 113\). 121 et 113 sont différents : UVW n'est pas rectangle.

6. Calculer une longueur avec Thalès (C5)

6.1 Les triangles emboîtés

Théorème de Thalès Dans un triangle ABC, M est sur le côté [AB] et N est sur le côté [AC].
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs du petit triangle AMN et du grand triangle ABC sont proportionnelles : \[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\]

En haut : le petit triangle AMN. En bas : le grand triangle ABC. Chaque fraction compare deux côtés « qui se correspondent ».

Méthode Calculer une longueur avec Thalès

Vérifier que les deux droites sont parallèles (c'est écrit dans l'énoncé ou codé).

Écrire les trois fractions égales : petit triangle en haut, grand triangle en bas.

Remplacer les longueurs connues. Garder les deux fractions qui contiennent le nombre cherché et une fraction complète.

Calculer avec le produit en croix (ci-dessous), et écrire l'unité.

Le produit en croix Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{?}\), alors \(? = \dfrac{b \times c}{a}\).
On multiplie les deux nombres en diagonale (b et c), puis on divise par le nombre qui reste (a).

Rédaction modèle Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\)
On remplace : … = … . Donc … = (… × …) : … = … (unité).

Exemple 1 : (MN) // (BC), AM = 3 cm, AB = 9 cm et MN = 4 cm. Calculer BC.

M est sur [AB], N est sur [AC], et (MN) // (BC) (en rouge). AM = 3 cm, AB = 9 cm, MN = 4 cm.

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).

On remplace : \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{BC}\). On garde \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{BC}\).

Produit en croix : \(BC = \dfrac{9 \times 4}{3} = \dfrac{36}{3} = 12\). Donc BC = 12 cm.

Exemple 2 (l'ombre d'un arbre) : un bâton vertical de 2 m fait une ombre de 3 m. Au même moment, l'ombre d'un arbre mesure 15 m. Les deux ombres se terminent au même point A. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

Le bâton [MN] et l'arbre [BC] sont verticaux, donc parallèles. AM = 3 m, AB = 15 m, MN = 2 m.

Le bâton et l'arbre sont tous les deux verticaux : (MN) et (BC) sont parallèles. A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés.
D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), donc \(\dfrac{3}{15} = \dfrac{2}{BC}\).
Produit en croix : \(BC = \dfrac{15 \times 2}{3} = \dfrac{30}{3} = 10\). L'arbre mesure 10 m de haut.

6.2 La configuration papillon

Thalès « papillon » Les droites (BM) et (CN) se coupent en A. Les deux triangles ABC et AMN sont de part et d'autre du point A, comme les ailes d'un papillon.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a la même égalité : \[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\]

On écrit en haut les côtés d'un triangle, en bas les côtés de l'autre triangle, toujours dans le même ordre.

Exemple 3 : (BC) // (MN), AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 5 cm et AM = 8 cm. Calculer AN et MN.

Papillon : (BM) et (CN) se coupent en A, et (BC) // (MN) (en rouge). AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 5 cm, AM = 8 cm.

Les droites (BM) et (CN) se coupent en A, et (BC) // (MN).
D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), donc \(\dfrac{8}{4} = \dfrac{AN}{6} = \dfrac{MN}{5}\).

Avec \(\dfrac{8}{4} = \dfrac{AN}{6}\) : \(AN = \dfrac{8 \times 6}{4} = \dfrac{48}{4} = 12\). Donc AN = 12 cm.
Avec \(\dfrac{8}{4} = \dfrac{MN}{5}\) : \(MN = \dfrac{8 \times 5}{4} = \dfrac{40}{4} = 10\). Donc MN = 10 cm.

Attention

Sans droites parallèles, on ne peut pas utiliser Thalès.
Dans les fractions, on écrit AB (le grand côté entier), pas MB.
Toutes les fractions ont le petit triangle en haut et le grand en bas : on ne mélange pas.

À toi

a) (MN) // (BC) : on cherche BC. b) (BC) // (MN) : on cherche AN.

a) (MN) // (BC), AM = 2 cm, AB = 8 cm et MN = 3 cm. Calcule BC.
b) (BC) // (MN), AB = 3 cm, AC = 4 cm et AM = 6 cm. Calcule AN.

a) D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), donc \(\dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{BC}\). \(BC = \dfrac{8 \times 3}{2} = \dfrac{24}{2} = 12\). BC = 12 cm.
b) D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), donc \(\dfrac{6}{3} = \dfrac{AN}{4}\). \(AN = \dfrac{6 \times 4}{3} = \dfrac{24}{3} = 8\). AN = 8 cm.

7. Savoir si deux droites sont parallèles (C6)

Réciproque de Thalès Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés, dans le même ordre.
Si \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\), alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Si les deux fractions ne sont pas égales, les droites ne sont pas parallèles.

Méthode Savoir si deux droites sont parallèles

Calculer à part \(\dfrac{AM}{AB}\) à la calculatrice (une division).

Calculer à part \(\dfrac{AN}{AC}\).

Comparer les deux résultats et conclure par une phrase.

Rédaction modèle D'une part : \(\dfrac{AM}{AB}\) = … : … = … D'autre part : \(\dfrac{AN}{AC}\) = … : … = …
Les deux résultats sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
(Sinon : les deux résultats sont différents, donc les droites ne sont pas parallèles.)

Exemple 1 : AM = 3 cm, AB = 7,5 cm, AN = 2 cm et AC = 5 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

A, M, B sont alignés ; A, N, C sont alignés. AM = 3 cm, AB = 7,5 cm, AN = 2 cm, AC = 5 cm.

D'une part : \(\dfrac{AM}{AB} = 3 : 7{,}5 = 0{,}4\). D'autre part : \(\dfrac{AN}{AC} = 2 : 5 = 0{,}4\).
Les deux résultats sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles.

Exemple 2 : sur la même figure, on a maintenant AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 5 cm et AC = 12 cm.

D'une part : \(\dfrac{AM}{AB} = 4 : 10 = 0{,}4\). D'autre part : \(\dfrac{AN}{AC} = 5 : 12 \approx 0{,}42\).
Les deux résultats sont différents, donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Attention On compare des résultats exacts. Deux nombres « presque pareils », comme 0,4 et 0,416…, ne sont pas égaux.

À toi

M est sur [AB] et N est sur [AC]. Les longueurs sont données sous la figure.

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
a) AM = 3 cm, AB = 12 cm, AN = 2 cm, AC = 8 cm. b) AM = 5 cm, AB = 20 cm, AN = 4 cm, AC = 15 cm.

a) \(\dfrac{AM}{AB} = 3 : 12 = 0{,}25\) et \(\dfrac{AN}{AC} = 2 : 8 = 0{,}25\). C'est égal : d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles.
b) \(\dfrac{AM}{AB} = 5 : 20 = 0{,}25\) et \(\dfrac{AN}{AC} = 4 : 15 \approx 0{,}27\). C'est différent : (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

8. L'essentiel à retenir

À retenir :

L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit, le plus long.
Pythagore : dans un triangle rectangle, hypoténuse² = côté² + côté². Exemple : \(5^2 = 3^2 + 4^2\).
Pour l'hypoténuse, on additionne les carrés ; pour un côté de l'angle droit, on soustrait. On finit par la touche √.
Réciproque de Pythagore : on calcule à part le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés. Égaux → triangle rectangle.
Thalès (emboîtés ou papillon) : si (MN) // (BC), alors \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\). On finit par un produit en croix.
Réciproque de Thalès : on calcule à part \(\dfrac{AM}{AB}\) et \(\dfrac{AN}{AC}\). Égaux (points dans le même ordre) → droites parallèles.
On conclut toujours par une phrase, avec l'unité.