Aide : un nombre négatif se met entre parenthèses : \(2 \times (-2)\).
1.
a) \(3 \times 5 + 2 = 15 + 2 =\) 17
b) \(4 \times 5 - 6 = 20 - 6 =\) 14
c) \(2 \times (5 + 1) = 2 \times 6 =\) 12
d) \(5 \times 5 =\) 25
e) \(5 \times 5 + 5 = 25 + 5 =\) 30
2. \(2x + 9 = 2 \times (-2) + 9 = -4 + 9 =\) 5. On fait d'abord la multiplication : \(2 \times (-2) = -4\). Puis \(-4 + 9\) : je perds 4, je gagne 9, il reste 5.
Exercice 5La commande de pizzas (C1, C2)Socle
Une pizzeria vend chaque pizza 9 €. La livraison coûte 4 €, une seule fois pour toute la commande.
On appelle \(x\) le nombre de pizzas commandées.
1. Explique pourquoi le prix à payer est \(9x + 4\) euros.
2. Complète le tableau en calculant \(9x + 4\).
Nombre de pizzas \(x\)
1
2
5
10
Prix à payer (€)
\(9 \times 1 + 4 =\) …
3. Lina a 30 €. Peut-elle commander 3 pizzas ? Fais le calcul.
1. \(x\) pizzas à 9 € coûtent \(9 \times x = 9x\) euros. On ajoute 4 € de livraison, une seule fois : le prix est \(9x + 4\) euros.
2.
\(x = 1\) : \(9 \times 1 + 4 = 9 + 4 =\) 13 €
\(x = 2\) : \(9 \times 2 + 4 = 18 + 4 =\) 22 €
\(x = 5\) : \(9 \times 5 + 4 = 45 + 4 =\) 49 €
\(x = 10\) : \(9 \times 10 + 4 = 90 + 4 =\) 94 €
3. \(x = 3\) : \(9 \times 3 + 4 = 27 + 4 = 31\) €. Or 31 > 30 : il manque 1 €. Non, elle ne peut pas.
Exercice 6Les boîtes avec les boîtes (C3)Socle
Aide : imagine que \(x\) est une boîte de crayons et qu'un nombre seul compte des crayons hors des boîtes. On compte les boîtes avec les boîtes, et les crayons seuls avec les crayons seuls. N'oublie pas : \(x\), c'est \(1x\).
1. Réduis :
a) \(2x + 5x =\) b) \(8x - 3x =\) c) \(x + x + x =\)
2. Souligne les \(x\) en bleu et les nombres seuls en rouge, puis réduis :
a) \(4x + 1 + 2x + 3\) → les \(x\) : \(4x + 2x =\) ; les nombres : \(1 + 3 =\)
b) \(6x + 7 - x - 2\)
3. Théo écrit \(3x + 2 = 5x\). A-t-il raison ?
1. a) \(2x + 5x =\) \(7x\) (2 boîtes + 5 boîtes) b) \(8x - 3x =\) \(5x\) c) \(1x + 1x + 1x =\) \(3x\)
2.
a) Les \(x\) : \(4x + 2x = 6x\). Les nombres : \(1 + 3 = 4\). Résultat : \(6x + 4\).
b) Les \(x\) : \(6x - 1x = 5x\). Les nombres : \(7 - 2 = 5\). Résultat : \(5x + 5\).
3.Non. \(3x\) compte des boîtes, 2 compte des crayons seuls : on ne les mélange pas. \(3x + 2\) ne peut pas se réduire.
Vérification avec \(x = 1\) : \(3 \times 1 + 2 = 5\) mais \(5 \times 1 = 5\)… même résultat ! Essayons \(x = 2\) : \(3 \times 2 + 2 = 8\) et \(5 \times 2 = 10\). Ce n'est pas pareil : c'est bien faux.
Exercice 7La longueur de plinthe (C3, C2)Socle
Une plinthe est une planche fine posée en bas des murs. Un menuisier pose une plinthe tout autour d'une chambre rectangulaire. La largeur de la chambre est 4 m. Sa longueur \(x\) change selon la chambre.
Plan de la chambre : longueur x (en m), largeur 4 m. Le trait épais vert représente la plinthe.
Aide : la plinthe fait le tour de la pièce. On ajoute les 4 côtés : longueur + largeur + longueur + largeur.
1. Complète la longueur de plinthe : \(x + 4 +\) \(+\)
2. Réduis cette expression.
3. La chambre de Yanis a une longueur de 5 m. Calcule la longueur de plinthe avec ton expression réduite.
4. Vérifie en faisant le tour de la chambre : \(5 + 4 + 5 + 4\).
1. Longueur de plinthe : \(x + 4 + x + 4\).
2. Les \(x\) : \(x + x = 2x\). Les nombres : \(4 + 4 = 8\). Longueur de plinthe : \(2x + 8\) mètres.
3. \(x = 5\) : \(2 \times 5 + 8 = 10 + 8 = 18\). Il faut 18 m de plinthe.
4. \(5 + 4 + 5 + 4 = 18\) m. On trouve le même résultat. ✓
Exercice 8Développer avec deux flèches (C4)Socle
Aide : le nombre devant la parenthèse multiplie chaque terme de la parenthèse. On trace deux flèches. On garde le signe + ou − du milieu. Exemple : \(3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15\).
1. Développe en complétant :
a) \(2(x + 4) = 2 \times x + 2 \times 4 =\)
b) \(5(x + 3) = 5 \times x + 5 \times\) \(=\)
c) \(3(x - 2) = 3 \times x - 3 \times\) \(=\)
d) \(4(2x + 1) =\)
e) \(x(x + 5) =\)
2. Vérifie ton résultat du a) en remplaçant \(x\) par 1 des deux côtés.
Un carreleur pose du carrelage dans une cuisine et dans le cellier juste à côté. Les deux pièces ont la même largeur : 3 m. La cuisine a une longueur \(x\). Le cellier a une longueur de 2 m.
Cuisine (longueur x) et cellier (longueur 2 m), tous deux de largeur 3 m.
Aide : aire d'un rectangle = longueur × largeur.
1. Écris l'aire de la cuisine, puis l'aire du cellier.
2. Additionne : écris l'aire totale avec deux morceaux.
3. Le grand rectangle a une longueur \(x + 2\) et une largeur 3. Écris son aire avec des parenthèses.
4. Complète l'égalité : \(3(x + 2) =\)
5. La cuisine mesure 4 m de long. Calcule la surface de carrelage à poser.
1. Cuisine : \(x \times 3 = 3x\) (en m²). Cellier : \(2 \times 3 = 6\) (en m²).
2. Aire totale : \(3x + 6\) (en m²).
3. Aire du grand rectangle : \(3 \times (x + 2) =\) \(3(x + 2)\).
4. C'est la même aire, calculée de deux façons : \(3(x + 2) = 3x + 6\). C'est la simple distributivité : \(3 \times x + 3 \times 2\).
5. \(x = 4\) : \(3 \times 4 + 6 = 12 + 6 = 18\). Il faut poser 18 m² de carrelage.
Aide : dans \((x + 2)(x + 4)\), le \(x\) puis le 2 multiplient chacun les deux termes de la deuxième parenthèse. Cela fait 4 multiplications. Ensuite, on réduit les termes en \(x\). Exemple : \((x + 4)(x + 1) = x^2 + x + 4x + 4 = x^2 + 5x + 4\).
1. Complète le tableau pour \((x + 2)(x + 4)\). Chaque case = le nombre de la ligne × le nombre de la colonne.
×
\(x\)
\(4\)
\(x\)
\(x \times x =\) …
\(2\)
2. Additionne les 4 cases, puis réduis : \((x + 2)(x + 4) =\)
3. De la même façon, développe et réduis :
a) \((x + 1)(x + 3)\) b) \((x + 5)(x + 2)\)
4. Vérifie ta réponse de la question 2 en remplaçant \(x\) par 1.
1. Les 4 cases : \(x \times x = x^2\) ; \(x \times 4 = 4x\) ; \(2 \times x = 2x\) ; \(2 \times 4 = 8\).
a) \(x \times x + x \times 3 + 1 \times x + 1 \times 3 = x^2 + 3x + x + 3\). Or \(3x + x = 4x\). Résultat : \(x^2 + 4x + 3\).
b) \(x \times x + x \times 2 + 5 \times x + 5 \times 2 = x^2 + 2x + 5x + 10\). Or \(2x + 5x = 7x\). Résultat : \(x^2 + 7x + 10\).
4. Avec \(x = 1\) : \((1 + 2) \times (1 + 4) = 3 \times 5 = 15\) et \(1 + 6 + 8 = 15\). Même résultat ✓.
Exercice 11Le jardin partagé en 4 (C5)Socle
Un jardin rectangulaire est partagé en 4 parties A, B, C et D. Sa longueur est \(x + 5\) (en m). Sa largeur est \(x + 1\) (en m).
Jardin de longueur x + 5 et de largeur x + 1, partagé en 4 parties (dimensions en m).
Aide : chaque partie est un rectangle. Son aire = longueur × largeur. Lis les deux dimensions sur les bords.
1. Écris l'aire de chaque partie : A = B = C = D =
2. Additionne les 4 aires, puis réduis.
3. Recopie et complète : \((x + 5)(x + 1) =\)
4. Vérifie avec \(x = 1\).
1. A : \(x \times x = x^2\). B : \(5 \times x = 5x\). C : \(x \times 1 = x\). D : \(5 \times 1 = 5\).
2. \(x^2 + 5x + x + 5\). On réduit : \(5x + x = 6x\). Aire totale : \(x^2 + 6x + 5\) (en m²).
3. L'aire du grand rectangle est aussi \((x + 5)(x + 1)\). Donc \((x + 5)(x + 1) = x^2 + 6x + 5\).
4. Avec \(x = 1\) : \((1 + 5) \times (1 + 1) = 6 \times 2 = 12\) et \(1 + 6 + 5 = 12\). Même résultat ✓.
Exercice 12Factoriser pas à pas (C6)Socle
Aide : 1. Écris chaque terme comme une multiplication avec le même nombre. 2. Mets ce nombre devant une parenthèse. 3. Écris dans la parenthèse ce qui reste. Exemple : \(5x + 15 = 5 \times x + 5 \times 3 = 5(x + 3)\).
1. Factorise en complétant :
a) \(3x + 12 = 3 \times x + 3 \times\) \(= 3(x +\) \()\)
b) \(5x + 10 = 5 \times x + 5 \times\) \(=\)
c) \(2x - 8 = 2 \times x - 2 \times\) \(=\)
d) \(7x + 7 = 7 \times x + 7 \times\) \(=\)
2. Vérifie ta réponse du a) en développant.
1.
a) \(3 \times x + 3 \times 4 =\) \(3(x + 4)\)
b) \(5 \times x + 5 \times 2 =\) \(5(x + 2)\)
c) \(2 \times x - 2 \times 4 =\) \(2(x - 4)\)
d) \(7 \times x + 7 \times 1 =\) \(7(x + 1)\). Attention au piège : quand on sort tout le 7, il reste 1.
2. \(3(x + 4) = 3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12\). On retrouve bien \(3x + 12\) ✓.
Exercice 13Relier et factoriser (C6)Socle
Partie A. Relie chaque produit à la somme qui lui est égale.
Produit
Somme
\(4(x + 2)\)
\(2x + 8\)
\(2(x + 4)\)
\(x^2 + 4x\)
\(4(x + 1)\)
\(4x + 8\)
\(x(x + 4)\)
\(4x + 4\)
Aide : développe chaque produit (deux flèches), puis cherche le résultat dans la colonne de droite.
Partie B. Ici, le facteur commun est la lettre \(x\). Complète.
1. \(x^2 + 3x = x \times x + x \times 3 =\)
2. \(x^2 + 8x = x \times\) \(+ x \times\) \(=\)
Partie A.
\(4(x + 2) = 4x + 8\)
\(2(x + 4) = 2x + 8\)
\(4(x + 1) = 4x + 4\)
\(x(x + 4) = x^2 + 4x\)
Attention : \(4(x + 2)\) et \(2(x + 4)\) se ressemblent, mais ne donnent pas la même somme.
Choisir un nombre. Lui ajouter 3. Multiplier le résultat par 4.
Choisir un nombre. Le multiplier par 4. Ajouter 12.
1. Applique les deux programmes au nombre 5.
2. Applique les deux programmes au nombre 0.
3. Écris l'expression obtenue avec chaque programme, en partant du nombre \(x\).
4. Développe l'expression du programme A. Que remarques-tu ?
1. A : \(5 + 3 = 8\), puis \(8 \times 4 = 32\). B : \(5 \times 4 = 20\), puis \(20 + 12 = 32\). Les deux donnent 32.
2. A : \(0 + 3 = 3\), puis \(3 \times 4 = 12\). B : \(0 \times 4 = 0\), puis \(0 + 12 = 12\). Les deux donnent 12.
3. A : \(x + 3\), puis \((x + 3) \times 4\) : \(4(x + 3)\). B : \(4x\), puis \(4x + 12\).
4. \(4(x + 3) = 4 \times x + 4 \times 3 = 4x + 12\). C'est l'expression du programme B : les deux programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi.
Exercice 15La découpe des planches d'une étagère (C1, C4, C3, C2)Standard
Un menuisier fabrique une étagère. Il découpe dans une longue planche :
3 tablettes de longueur \(x\) (en cm) ;
2 montants (les côtés) qui mesurent chacun 20 cm de plus qu'une tablette.
On ne tient pas compte de l'épaisseur des traits de scie.
1. Écris la longueur d'un montant.
2. Explique pourquoi la longueur totale de bois est \(3x + 2(x + 20)\).
3. Développe, puis réduis cette expression.
4. Les tablettes mesurent 60 cm. Calcule la longueur totale de bois.
5. La planche mesure 4 m. Est-elle assez longue ?
1. 20 cm de plus qu'une tablette : \(x + 20\) (en cm).
2. 3 tablettes de \(x\) cm : \(3 \times x = 3x\). 2 montants de \((x + 20)\) cm : \(2 \times (x + 20) = 2(x + 20)\). On ajoute : \(3x + 2(x + 20)\).
3. On développe : \(2(x + 20) = 2x + 40\). Donc \(3x + 2x + 40\). On réduit : \(3x + 2x = 5x\). Longueur totale : \(5x + 40\) (en cm).
4. \(x = 60\) : \(5 \times 60 + 40 = 300 + 40 = 340\). Il faut 340 cm de bois, soit 3,40 m.
Vérification : 3 tablettes de 60 cm = 180 cm ; 2 montants de 80 cm = 160 cm ; \(180 + 160 = 340\) cm ✓.
5. 4 m = 400 cm. Or 340 < 400 : oui, la planche est assez longue. Il reste 60 cm.
Exercice 16Carreler une salle (C5, C2)Standard
Le sol d'une salle est un rectangle. Sa longueur est \(x + 4\) et sa largeur est \(x + 3\) (en m).
1. Écris l'aire du sol sous forme d'un produit.
2. Développe et réduis cette aire.
3. Vérifie ton résultat avec \(x = 1\).
4. Pour cette salle, \(x = 2\). Calcule l'aire du sol de deux façons : avec le produit, puis avec ton expression développée.
5. Le carrelage choisi coûte 20 € le m². Calcule le prix du carrelage.
Exercice 20Trouver les erreurs de Tom (C3, C4, C5, C6)Approfondissement
Voici la copie de Tom. Toutes ses réponses sont fausses.
Copie de Tom
a)
\(3(x + 5) = 3x + 5\)
b)
\((x + 2)(x + 3) = x^2 + 6\)
c)
\(2x + 6 = 8x\)
d)
\(8x + 8 = 8(x + 0)\)
1. Pour chaque ligne, calcule les deux côtés avec \(x = 1\). Le test montre-t-il l'erreur à chaque fois ?
2. Explique chaque erreur, puis écris la bonne réponse.
1. Avec \(x = 1\) :
a) \(3 \times (1 + 5) = 18\) et \(3 + 5 = 8\) : différent, l'erreur se voit.
b) \((1 + 2) \times (1 + 3) = 12\) et \(1 + 6 = 7\) : différent, l'erreur se voit.
c) \(2 + 6 = 8\) et \(8 \times 1 = 8\) : même résultat ! Le test avec 1 ne voit pas l'erreur. Avec \(x = 2\) : \(4 + 6 = 10\) et \(8 \times 2 = 16\) : différent.
d) \(8 + 8 = 16\) et \(8 \times (1 + 0) = 8\) : différent, l'erreur se voit.
À retenir : si le test donne deux résultats différents, le calcul est sûrement faux. S'il donne le même résultat, c'est bon signe, mais on peut tester une deuxième valeur.
2.
a) Tom a oublié la deuxième flèche : le 3 multiplie aussi le 5. \(3(x + 5) = 3x + 15\).
b) Tom a oublié les termes du milieu : il faut 4 multiplications. \(x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\).
c) Tom a mélangé les \(x\) et les nombres seuls. \(2x + 6\) ne se réduit pas. (On peut le factoriser : \(2x + 6 = 2(x + 3)\).)
d) Quand on sort tout le 8, il reste 1, pas 0 : \(8x + 8 = 8 \times x + 8 \times 1 = 8(x + 1)\).
Exercice 21Plinthe et carrelage d'une pièce (C1, C3, C4, C2)Approfondissement
Une pièce rectangulaire a une largeur \(x\) et une longueur 3 m de plus que sa largeur. La porte fait 1 m de large : on ne pose pas de plinthe devant la porte.
Plan de la pièce : largeur x (en m) ; la porte de 1 m est sur un grand côté.
1. Écris la longueur de la pièce en fonction de \(x\).
2. Écris le périmètre de la pièce, puis réduis-le.
3. Déduis-en la longueur de plinthe à poser.
4. Écris l'aire du sol sous forme d'un produit, puis développe-la.
5. Pour cette pièce, \(x = 4\). La plinthe coûte 3 € le mètre et le carrelage 25 € le m². Calcule le prix total de la plinthe et du carrelage.
1. Longueur : \(x + 3\) (en m).
2. On fait le tour : \(x + (x + 3) + x + (x + 3) = x + x + 3 + x + x + 3\). Les \(x\) : \(1 + 1 + 1 + 1 = 4\), donc \(4x\). Les nombres : \(3 + 3 = 6\). Périmètre : \(4x + 6\) (en m).
3. On enlève la porte : \(4x + 6 - 1 =\) \(4x + 5\) (en m).
4. Aire = longueur × largeur = \((x + 3) \times x = x(x + 3)\). On développe : \(x \times x + x \times 3 =\) \(x^2 + 3x\) (en m²).