Chapitre 4 – Calcul littéral

3e prépa-métiers | Mathématiques | Nombres et calculs

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Tes tables de multiplication (de 2 à 10).
Les priorités de calcul : parenthèses, puis × et :, puis + et − (chapitre 1).
Calculer avec des nombres négatifs, par exemple \(2 \times (-3) = -6\) (chapitre 1).
Calculer le périmètre et l'aire d'un rectangle.

Objectifs du chapitre :

C1 – Écrire une expression littérale pour traduire une situation ou un programme de calcul.
C2 – Calculer la valeur d'une expression pour une valeur donnée de la lettre.
C3 – Réduire une expression (regrouper les termes semblables).
C4 – Développer avec la simple distributivité \(k(a + b)\).
C5 – Développer avec la double distributivité \((a + b)(c + d)\).
C6 – Factoriser une expression par un facteur commun simple.

1. Situation d'entrée — Des t-shirts pour le club

Situation — La commande de t-shirts

Le club de foot du collège commande des t-shirts sur un site internet.

Un t-shirt coûte 8 €.
Les frais de port coûtent 5 €, une seule fois, quel que soit le nombre de t-shirts.

On ne sait pas encore combien de joueurs vont en vouloir.

Question 1 : comment écrire le prix à payer, quel que soit le nombre de t-shirts ?
Question 2 : finalement, 12 joueurs veulent un t-shirt. Combien faut-il payer ?

Pour répondre, on va utiliser une lettre à la place du nombre qu'on ne connaît pas. C'est le calcul littéral. Les réponses sont données dans les sections 2 et 4.

2. Écrire une expression littérale (C1)

2.1 Une lettre à la place d'un nombre

Définition

Une lettre (souvent \(x\)) remplace un nombre qu'on ne connaît pas, ou un nombre qui peut changer.
Une expression littérale est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres.
Exemples : \(8 \times x + 5\) ; \(3 \times (x + 2)\) ; \(x \times x\).

Réponse à la question 1 de la situation : on appelle \(x\) le nombre de t-shirts.

Prix des t-shirts : \(x\) t-shirts à 8 € chacun, c'est \(8 \times x\).
On ajoute les frais de port : 5 €.

Le prix à payer est \(8 \times x + 5\) euros. Cette écriture marche pour 3 t-shirts, pour 12 t-shirts, pour 30 t-shirts…

2.2 Les conventions d'écriture

Règle Pour écrire plus vite, on enlève le signe × devant une lettre ou devant une parenthèse :

\(3 \times x\) s'écrit \(3x\) ;
\(x \times 3\) s'écrit aussi \(3x\) (le nombre se met devant) ;
\(1 \times x\) s'écrit \(x\) ;
\(4 \times (x + 1)\) s'écrit \(4(x + 1)\) ;
\(x \times x\) s'écrit \(x^2\) (on lit « \(x\) au carré »).

Attention

Entre deux nombres, on garde toujours le signe × : \(3 \times 5\) ne s'écrit pas 35 !
\(x^2\) et \(2x\) ne sont pas pareils : \(x^2 = x \times x\) alors que \(2x = 2 \times x\).

2.3 Traduire une situation

Exemple 1 (terrasse) : Une terrasse a la forme d'un rectangle. Sa largeur est 3 m. Sa longueur \(x\) n'est pas encore choisie.

Terrasse rectangulaire : longueur x (en m), largeur 3 m.

Aire = longueur × largeur = \(x \times 3\) = \(3x\) (en m²).
Périmètre = 2 × (longueur + largeur) = \(2 \times (x + 3)\) = \(2(x + 3)\) (en m).

Exemple 2 (des mots aux lettres) :

En français	En calcul littéral
le double de \(x\)	\(2x\)
le triple de \(x\)	\(3x\)
\(x\) augmenté de 6 (on ajoute 6)	\(x + 6\)
\(x\) diminué de 4 (on enlève 4)	\(x - 4\)
le carré de \(x\)	\(x^2\)

Application

a) Écris sans le signe × : \(5 \times x\) ; \(x \times 7\) ; \(4 \times (x + 1)\) ; \(x \times x\).
b) Traduis par une expression : « le double de \(x\), augmenté de 3 ».
c) Une place de cinéma coûte 9 €. Écris le prix de \(x\) places.

a) \(5x\) ; \(7x\) (le nombre se met devant) ; \(4(x + 1)\) ; \(x^2\).
b) Le double de \(x\) : \(2x\). On ajoute 3 : \(2x + 3\).
c) \(x\) places à 9 € : \(9 \times x\) = \(9x\) euros.

3. Les programmes de calcul (C1)

Définition Un programme de calcul est une liste d'étapes à suivre dans l'ordre, en partant d'un nombre choisi.

Exemple 1 : le programme A.

Programme A	Avec le nombre 4	Avec le nombre \(x\)
Choisir un nombre.	4	\(x\)
Le multiplier par 3.	\(4 \times 3 = 12\)	\(3x\)
Ajouter 5.	\(12 + 5 = 17\)	\(3x + 5\)

Le programme A donne l'expression \(3x + 5\).

Exemple 2 : le programme B. Ici, l'ordre des étapes change tout.

Programme B	Avec le nombre 4	Avec le nombre \(x\)
Choisir un nombre.	4	\(x\)
Lui ajouter 2.	\(4 + 2 = 6\)	\(x + 2\)
Multiplier le résultat par 5.	\(6 \times 5 = 30\)	\((x + 2) \times 5 = 5(x + 2)\)

Le programme B donne l'expression \(5(x + 2)\). On multiplie tout le résultat \(x + 2\) : il faut des parenthèses.

Méthode Traduire un programme de calcul

Écrire \(x\) pour le nombre choisi.

Faire chaque étape sur toute l'expression obtenue juste avant.

Si on multiplie un résultat qui contient un + ou un −, mettre ce résultat entre parenthèses.

Attention Pour le programme B, écrire \(x + 2 \times 5\) est faux : avec les priorités, on ferait seulement \(2 \times 5\). Avec 4, on trouverait \(4 + 10 = 14\) au lieu de 30.

Application

Programme : « Choisir un nombre. Lui soustraire 1. Multiplier le résultat par 4. »
a) Applique ce programme au nombre 6. b) Écris l'expression obtenue avec le nombre \(x\).

a) \(6 - 1 = 5\), puis \(5 \times 4 = 20\). Résultat : 20.
b) \(x - 1\), puis \((x - 1) \times 4\). Expression : \(4(x - 1)\) (avec des parenthèses).

4. Calculer une expression pour une valeur (C2)

Méthode Calculer une expression quand on connaît \(x\)

Remettre les signes × qui sont cachés : \(8x\) devient \(8 \times x\).

Remplacer \(x\) par sa valeur. Si la valeur est négative, la mettre entre parenthèses.

Calculer en respectant les priorités (chapitre 1).

Réponse à la question 2 de la situation : le prix est \(8x + 5\). On calcule pour \(x = 12\). \[8x + 5 = 8 \times 12 + 5 = 96 + 5 = 101\]

Pour 12 t-shirts, le club paie 101 €.

Exemple 1 (avec des parenthèses) : calculer \(5(x + 2)\) pour \(x = 4\). \[5(x + 2) = 5 \times (4 + 2) = 5 \times 6 = 30\]

On retrouve bien le résultat du programme B avec le nombre 4.

Exemple 2 (avec un carré) : calculer \(3x^2\) pour \(x = 4\). \[3x^2 = 3 \times 4 \times 4 = 3 \times 16 = 48\]

Exemple 3 (avec un nombre négatif) : calculer \(2x - 7\) pour \(x = -3\). \[2x - 7 = 2 \times (-3) - 7 = -6 - 7 = -13\]

On fait d'abord la multiplication : \(2 \times (-3) = -6\). Puis \(-6 - 7\) : on perd 6, puis on perd encore 7.

Attention

Pour \(x = 4\), \(3x\) vaut \(3 \times 4 = 12\), et pas 34 !
Pour \(x = -3\), \(x^2\) vaut \((-3) \times (-3) = 9\) : un carré n'est jamais négatif.

Application

Calcule : a) \(4x + 3\) pour \(x = 5\) b) \(2(x - 1)\) pour \(x = 6\) c) \(x^2 + 1\) pour \(x = 3\) d) \(3x - 2\) pour \(x = -2\)

a) \(4 \times 5 + 3 = 20 + 3 = \) 23
b) \(2 \times (6 - 1) = 2 \times 5 = \) 10
c) \(3 \times 3 + 1 = 9 + 1 = \) 10
d) \(3 \times (-2) - 2 = -6 - 2 = \) −8

5. Réduire une expression (C3)

Astuce Imagine que \(x\) est une boîte de crayons (on ne sait pas combien il y a de crayons dedans) et qu'un nombre seul compte des crayons hors des boîtes.
On compte les boîtes avec les boîtes, et les crayons seuls avec les crayons seuls.

Les boîtes (x) avec les boîtes, les crayons seuls (en rouge) avec les crayons seuls.

Définition

Des termes semblables sont des termes de la même famille : les termes en \(x\) (\(3x\), \(2x\), \(x\)…), les termes en \(x^2\) (\(4x^2\), \(x^2\)…), les nombres seuls (\(5\), \(-1\)…).
Réduire une expression, c'est regrouper les termes semblables pour l'écrire le plus simplement possible.

Méthode Réduire une expression

Souligner les termes en \(x\) d'une couleur, les nombres seuls d'une autre couleur (et les \(x^2\) d'une troisième s'il y en a).

Calculer les \(x\) avec les \(x\) : on additionne les nombres devant \(x\). Garder le signe qui est devant chaque terme.

Calculer les nombres seuls avec les nombres seuls.

Exemple 1 :

\(3x + 2x = 5x\) (3 boîtes + 2 boîtes = 5 boîtes).
\(7x - 2x = 5x\).
\(x + x = 2x\) (car \(x\), c'est \(1x\)).
\(6x - x = 5x\).

Exemple 2 : réduire \(5x + 8 - 3x - 2\).

Les termes en \(x\) : \(5x\) et \(-3x\). Les nombres seuls : \(8\) et \(-2\).

\(5x - 3x = 2x\).

\(8 - 2 = 6\).

Donc \(5x + 8 - 3x - 2 = \) \(2x + 6\).

Exemple 3 (retour à la terrasse) : le périmètre est aussi \(x + 3 + x + 3\) (on fait le tour).

\(x + x = 2x\) et \(3 + 3 = 6\). Le périmètre est \(2x + 6\) mètres.

Exemple 4 (avec des carrés) : réduire \(2x^2 + 3x + x^2 + 4x\).

Les \(x^2\) : \(2x^2 + x^2 = 3x^2\). Les \(x\) : \(3x + 4x = 7x\).

Donc \(2x^2 + 3x + x^2 + 4x = \) \(3x^2 + 7x\).

Attention

On ne mélange pas les boîtes et les crayons seuls : \(2x + 6\) ne fait pas \(8x\). On ne peut pas réduire plus.
On ne mélange pas les \(x^2\) et les \(x\) : \(3x^2 + 7x\) reste comme ça.

Application

Réduis : a) \(4x + 5x\) b) \(6x - x\) c) \(2x + 3 + 4x + 5\) d) \(7x + 4 - 2x - 1\) e) \(x^2 + 2x + 3x^2\)

a) \(9x\)
b) \(6x - 1x = \) \(5x\)
c) \(2x + 4x = 6x\) et \(3 + 5 = 8\) : \(6x + 8\)
d) \(7x - 2x = 5x\) et \(4 - 1 = 3\) : \(5x + 3\)
e) \(x^2 + 3x^2 = 4x^2\), et il reste \(2x\) : \(4x^2 + 2x\)

6. Développer : la simple distributivité (C4)

Définition Développer, c'est transformer un produit (une multiplication) en une somme (une addition ou une soustraction).

Pour comprendre : l'aire d'un rectangle coupé en deux. Un rectangle a une largeur de 4 et une longueur de \(x + 3\).

Aire totale : 4(x + 3). En additionnant les deux parties : 4x + 12.

On calcule l'aire de deux façons : en une fois, \(4(x + 3)\) ; en deux morceaux, \(4x + 12\). Donc \(4(x + 3) = 4x + 12\).

Règle — Simple distributivité Le nombre devant la parenthèse multiplie chaque terme de la parenthèse : \[k(a + b) = k \times a + k \times b \qquad k(a - b) = k \times a - k \times b\]

Méthode Développer \(k(a + b)\) avec deux flèches

Tracer une flèche du nombre devant la parenthèse vers le premier terme, et une flèche vers le deuxième terme.

Écrire les deux multiplications, en gardant le signe + ou − du milieu.

Calculer chaque multiplication.

Exemple 1 : \[3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15\]

Exemple 2 : \[2(4x - 1) = 2 \times 4x - 2 \times 1 = 8x - 2\]

Exemple 3 (avec \(x\) devant) : \[x(x + 2) = x \times x + x \times 2 = x^2 + 2x\]

Exemple 4 (salle de concert) : Une salle a 4 rangées. Chaque rangée a \(x\) sièges et 3 places pour fauteuil roulant. Nombre total de places : \(4(x + 3) = 4x + 12\).

Attention On n'oublie pas la deuxième flèche !
\(3(x + 5)\) ne fait pas \(3x + 5\). Le bon résultat est \(3x + 15\).
Vérification avec \(x = 1\) : \(3 \times (1 + 5) = 18\) et \(3 \times 1 + 15 = 18\). ✓ (Avec \(3x + 5\), on trouverait 8 : c'est faux.)

Application

Développe : a) \(5(x + 2)\) b) \(3(x - 4)\) c) \(2(3x + 1)\) d) \(x(x + 7)\)

a) \(5 \times x + 5 \times 2 = \) \(5x + 10\)
b) \(3 \times x - 3 \times 4 = \) \(3x - 12\)
c) \(2 \times 3x + 2 \times 1 = \) \(6x + 2\)
d) \(x \times x + x \times 7 = \) \(x^2 + 7x\)

7. Développer : la double distributivité (C5)

Pour comprendre : un rectangle coupé en 4 parties. Un rectangle a une longueur de \(x + 3\) et une largeur de \(x + 2\).

Aire totale : (x + 2)(x + 3). En additionnant les 4 parties : x² + 5x + 6.

Les 4 parties donnent \(x^2 + 3x + 2x + 6\). On réduit : \(3x + 2x = 5x\). Donc \((x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6\).

Règle — Double distributivité Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la deuxième parenthèse. Cela fait 4 multiplications. \[(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d\]

La méthode des 4 flèches : le x (en bleu) puis le 2 (en rouge) multiplient chacun les deux termes de la deuxième parenthèse.

Méthode Développer \((a + b)(c + d)\) en 3 étapes

Tracer les 4 flèches et écrire les 4 multiplications, avec leur signe.

Calculer chaque multiplication.

Réduire : regrouper les termes en \(x\) (section 5).

Exemple 1 : développer et réduire \((x + 4)(x + 1)\).

\(x \times x + x \times 1 + 4 \times x + 4 \times 1\)

\(x^2 + x + 4x + 4\)

\(x + 4x = 5x\). Résultat : \(x^2 + 5x + 4\).

Exemple 2 (avec un signe −) : développer et réduire \((x + 5)(x - 2)\).

\(x \times x - x \times 2 + 5 \times x - 5 \times 2\)

\(x^2 - 2x + 5x - 10\)

\(-2x + 5x = 3x\). Résultat : \(x^2 + 3x - 10\).

Exemple 3 : développer et réduire \((2x + 1)(x + 3)\).

\(2x \times x + 2x \times 3 + 1 \times x + 1 \times 3\)

\(2x^2 + 6x + x + 3\)

\(6x + x = 7x\). Résultat : \(2x^2 + 7x + 3\).

Astuce — Vérifier avec \(x = 1\) On calcule l'expression de départ et le résultat pour \(x = 1\) (section 4). On doit trouver la même chose.
Exemple 1 : \((1 + 4) \times (1 + 1) = 5 \times 2 = 10\) et \(1 + 5 + 4 = 10\). ✓

Pour aller plus loin — pourquoi ça marche ? On remplace \(a + b\) par une seule lettre \(k\), et on utilise deux fois la simple distributivité : \[(a + b)(c + d) = k(c + d) = k \times c + k \times d = (a + b) \times c + (a + b) \times d = ac + bc + ad + bd\]

Attention On n'oublie pas les termes « du milieu » !
\((x + 2)(x + 3)\) ne fait pas \(x^2 + 6\). Il y a 4 multiplications, pas 2. Le bon résultat est \(x^2 + 5x + 6\).

Application

Développe et réduis : a) \((x + 1)(x + 5)\) b) \((x + 3)(x + 4)\) c) \((x + 6)(x - 1)\) d) \((3x + 2)(x + 1)\)

a) \(x^2 + 5x + x + 5 = \) \(x^2 + 6x + 5\)
b) \(x^2 + 4x + 3x + 12 = \) \(x^2 + 7x + 12\)
c) \(x^2 - x + 6x - 6 = \) \(x^2 + 5x - 6\)
d) \(3x^2 + 3x + 2x + 2 = \) \(3x^2 + 5x + 2\)
Vérification de a) avec \(x = 1\) : \(2 \times 6 = 12\) et \(1 + 6 + 5 = 12\). ✓

8. Factoriser (C6)

Définition Factoriser, c'est transformer une somme en un produit. C'est le chemin inverse de développer.

Développer et factoriser : le même calcul, dans un sens ou dans l'autre.

Définition Un facteur commun est un nombre (ou une lettre) qui se trouve dans chaque terme de la somme.
Dans \(4x + 12 = 4 \times x + 4 \times 3\), le facteur commun est 4.

Méthode Factoriser une somme

Écrire chaque terme comme une multiplication pour faire apparaître le facteur commun.

Écrire le facteur commun devant une parenthèse.

Écrire dans la parenthèse ce qui reste de chaque terme, avec le signe + ou −.

Vérifier en développant : on doit retrouver la somme de départ.

Exemple 1 : factoriser \(5x + 15\). \[5x + 15 = 5 \times x + 5 \times 3 = 5(x + 3)\]

Vérification : \(5(x + 3) = 5x + 15\). ✓

Exemple 2 : factoriser \(6x - 12\). \[6x - 12 = 6 \times x - 6 \times 2 = 6(x - 2)\]

Exemple 3 (la lettre est le facteur commun) : factoriser \(x^2 + 4x\). \[x^2 + 4x = x \times x + x \times 4 = x(x + 4)\]

Exemple 4 (le piège du 1) : factoriser \(3x + 3\). \[3x + 3 = 3 \times x + 3 \times 1 = 3(x + 1)\]

Attention

Quand on « sort » tout un terme, il reste 1 : \(3x + 3 = 3(x + 1)\), et pas \(3(x + 0)\) ni \(3x\).
Toujours vérifier en développant. C'est rapide et on évite les erreurs.

Application

Factorise : a) \(2x + 10\) b) \(7x - 14\) c) \(x^2 + 9x\) d) \(4x + 4\)

a) \(2 \times x + 2 \times 5 = \) \(2(x + 5)\)
b) \(7 \times x - 7 \times 2 = \) \(7(x - 2)\)
c) \(x \times x + x \times 9 = \) \(x(x + 9)\)
d) \(4 \times x + 4 \times 1 = \) \(4(x + 1)\)
Vérification de a) : \(2(x + 5) = 2x + 10\). ✓

9. L'essentiel à retenir

À retenir :

Écrire : une lettre remplace un nombre. \(3 \times x = 3x\) ; \(x \times x = x^2\) ; \(4 \times (x + 1) = 4(x + 1)\).
Programme de calcul : on fait chaque étape sur tout le résultat ; parenthèses si on multiplie une somme.
Calculer pour une valeur : remettre les ×, remplacer \(x\), respecter les priorités. Pour \(x = 4\), \(3x = 12\).
Réduire : les \(x\) avec les \(x\), les nombres avec les nombres. \(5x + 8 - 3x - 2 = 2x + 6\).
Développer (simple) : \(k(a + b) = ka + kb\). Exemple : \(3(x + 5) = 3x + 15\).
Développer (double) : 4 flèches, puis réduire. \((x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6\).
Factoriser : le chemin inverse. \(5x + 15 = 5(x + 3)\).
Vérifier : on remplace \(x\) par 1 des deux côtés ; on doit trouver le même nombre.