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Vidange d'un réservoir

Co-intervention Maths-Sciences | Seconde Bac Pro TNE | Apport professionnel ICCER/MEE « Fluides » — avec simulation

Dernière mise à jour : 25 septembre 2026

Objectifs
Identification de la ressource
Documents à imprimer — séance d'une heure

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Vidange d'une cuve d'eau

Un installateur en génie climatique doit vidanger une cuve de récupération d'eau de pluie avant une intervention. La cuve se vide par un robinet de purge situé tout en bas. Le chef de chantier lui demande : « Combien de temps va prendre la vidange ? Si on ouvre un robinet plus gros, est-ce que ça ira deux fois plus vite ? Et pourquoi l'eau coule-t-elle de moins en moins fort à la fin ? »

Pour répondre, on va d'abord observer le phénomène sur une simulation, puis le mettre en équations.
🛢️ Ouvrir la simulation « Vidange d'un réservoir »
Règle la hauteur d'eau, la section et le diamètre de l'orifice, lance la vidange et relève les mesures. Ouvrir →

2. Vitesse de sortie : la loi de Torricelli

Propriété — Vitesse de sortie de l'eau
L'eau qui sort par un orifice situé à une hauteur \(h\) sous la surface a une vitesse : \[ v = \sqrt{2 \, g \, h} \] avec \(v\) en m/s, \(g = 9{,}81\) m/s² (intensité de la pesanteur) et \(h\) en mètres.
Attention — prendre le temps calculé pour le temps réel
Les formules de cette page décrivent un modèle idéal : liquide parfait, petit orifice, grande cuve. Elles négligent les frottements et la forme du robinet. Une vraie vidange est plus lente : la simulation donne un temps théorique, pas un temps d'intervention garanti.
Lien avec les mathématiques — la racine carrée
Comme \(v\) dépend de \(\sqrt{h}\), la vitesse n'est pas proportionnelle à la hauteur. Par exemple, si \(h\) est multiplié par 9, \(\sqrt{h}\) est multiplié par 3 : \(v\) n'est multipliée que par 3.

3. Débit et section de l'orifice

Définition — Section d'un orifice circulaire
Un orifice (robinet, trou) de diamètre \(d\) a une section, c'est-à-dire l'aire du disque : \[ s = \frac{\pi \, d^2}{4} \] avec \(s\) en m² et \(d\) en m. Le diamètre se convertit d'abord en mètres.
Définition — Débit qui sort de la cuve
Le débit volumique qui s'écoule par l'orifice vaut \(Q = s \times v\), avec \(Q\) en m³/s, \(s\) en m² et \(v\) en m/s. On rappelle que 1 m³ = 1 000 L.
Propriété — Temps de vidange
Le débit diminue à mesure que le niveau baisse. On admet que le temps total de vidange d'une cuve de section \(S\), remplie sur une hauteur \(h_0\), par un orifice de section \(s\), vaut : \[ t = \frac{S}{s}\sqrt{\frac{2 h_0}{g}} \]

4. Schéma de la situation

h surface v = √(2gh) orifice de section s — débit Q = s·v Cuve — section S

La cuve vue de côté, schéma sans échelle. L'eau monte à la hauteur h au-dessus de l'orifice de section s ; le jet sort à la vitesse v avec le débit Q. S est la section de la cuve.

5. Exercices

Socle Exercice 1 — Découvrir la loi avec la simulation

Exemple — sur d'autres valeurs
Pour h = 60 cm, soit 0,60 m : 2 × 9,81 × 0,60 = 11,772 et √11,772 ≈ 3,43 m/s. La simulation affiche 3,43 m/s pour une hauteur de 60 cm.
À toi de jouer.
Ouvre la simulation « Vidange d'un réservoir ». Règle la section \(S = 1000\) cm² et le diamètre \(d = 12\) mm. Sans lancer la vidange, fais varier la hauteur d'eau initiale et relève la vitesse de sortie \(v\) affichée pour chaque hauteur :
Hauteur \(h\) (cm)\(h\) (m)\(v\) lue sur la simulation (m/s)\(\sqrt{2\times 9{,}81\times h}\) calculée
200,20…………
450,45…………
800,80…………
1201,20…………
  1. Comparer la colonne « \(v\) lue » et la colonne « calculée ». Que remarque-t-on ?
  2. Quand on passe de \(h = 20\) cm à \(h = 80\) cm (hauteur \(\times 4\)), par combien la vitesse est-elle multipliée ?
  3. Lancer maintenant la vidange et observer le jet : pourquoi faiblit-il au cours du temps ?
\(h\) (m)\(v=\sqrt{2gh}\) (m/s)
0,20≈ 1,98
0,45≈ 2,97
0,80≈ 3,96
1,20≈ 4,85
  1. Les deux colonnes donnent les mêmes valeurs : la simulation applique bien \(v=\sqrt{2gh}\).
  2. De 20 cm à 80 cm, la hauteur est multipliée par 4, mais la vitesse passe de 1,98 à 3,96 m/s : elle est seulement multipliée par 2 (effet de la racine carrée).
  3. Le niveau \(h\) baisse pendant la vidange ; comme \(v=\sqrt{2gh}\), la vitesse diminue, donc le jet faiblit et la vidange ralentit à la fin.
Socle Exercice 2 — Calculer une vitesse de sortie

Exemple — sur d'autres valeurs
Pour h = 0,30 m : 2 × 9,81 × 0,30 = 5,886, puis v = √5,886 ≈ 2,43 m/s.
À toi de jouer.
Une cuve a une hauteur d'eau \(h = 0{,}50\) m au-dessus du robinet de purge. On prend \(g = 9{,}81\) m/s².
  1. Calculer le produit \(2 \times g \times h\).
  2. En déduire la vitesse \(v\), en m/s, arrondie au centième.
  1. \(2 \times 9{,}81 \times 0{,}50 = 9{,}81\)
  2. \(v = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13\) m/s
Socle Exercice 3 — Section d'un orifice

Exemple — sur d'autres valeurs
Pour d = 8 mm : 1 m = 1 000 mm, donc d = 8 ÷ 1 000 = 0,008 m. Puis d² = 0,008 × 0,008 = 0,000 064 m² et s = π × 0,000 064 ÷ 4 ≈ 0,000 050 3 m². En écriture scientifique, on décale la virgule de 5 rangs vers la droite : s ≈ 5,03 × 10⁻⁵ m².
À toi de jouer.
Le robinet de purge a un diamètre \(d = 10\) mm.
  1. Convertir le diamètre en mètres.
  2. Calculer la section \(s = \dfrac{\pi \, d^2}{4}\), en m². Donner le résultat en écriture scientifique.
  1. \(d = 10 \div 1000 = 0{,}010\) m
  2. \(s = \dfrac{\pi \times (0{,}010)^2}{4} = \dfrac{\pi \times 0{,}0001}{4} \approx 7{,}85 \times 10^{-5}\) m²
Socle Exercice 4 — Calculer un débit

Exemple — sur d'autres valeurs
Pour s = 5,0 × 10⁻⁵ m² et v = 2,0 m/s : Q = 5,0 × 10⁻⁵ × 2,0 = 1,0 × 10⁻⁴ m³/s, soit 1,0 × 10⁻⁴ × 1 000 = 0,10 L/s.
À toi de jouer.
À un instant donné, l'eau sort à \(v = 3{,}0\) m/s par un orifice de section \(s = 8{,}0 \times 10^{-5}\) m².
  1. Calculer le débit \(Q = s \times v\), en m³/s.
  2. Convertir ce débit en litres par seconde (1 m³ = 1 000 L).
  1. \(Q = 8{,}0 \times 10^{-5} \times 3{,}0 = 2{,}4 \times 10^{-4}\) m³/s
  2. \(Q = 2{,}4 \times 10^{-4} \times 1000 = 0{,}24\) L/s
Standard Exercice 5 — Lire un temps de vidange sur la simulation

Exemple — sur d'autres valeurs
Pour S = 0,20 m², h₀ = 0,45 m et s = 2,0 × 10⁻⁴ m² : S ÷ s = 0,20 ÷ 0,000 2 = 1 000 ; √(2 × 0,45 ÷ 9,81) ≈ 0,303 ; t ≈ 1 000 × 0,303 = 303 s.
À toi de jouer.
Sur la simulation, on règle une cuve de section \(S = 1000\) cm², remplie sur \(h_0 = 80\) cm, avec un orifice \(d = 12\) mm.
  1. Lancer la vidange et relever le temps de vidange total affiché.
  2. Retrouver ce temps par le calcul avec \(t = \dfrac{S}{s}\sqrt{\dfrac{2 h_0}{g}}\), sachant \(S = 0{,}10\) m², \(s = 1{,}13 \times 10^{-4}\) m², \(h_0 = 0{,}80\) m.
  3. Le résultat lu et le résultat calculé sont-ils cohérents ?
  1. La simulation affiche un temps de vidange total de 357 s (environ 6 min).
  2. \(\dfrac{S}{s} = \dfrac{0{,}10}{1{,}13\times10^{-4}} \approx 885\) ; \(\sqrt{\dfrac{2 \times 0{,}80}{9{,}81}} = \sqrt{0{,}1631} \approx 0{,}4039\). Donc \(t \approx 885 \times 0{,}4039 \approx 357\) s.
  3. Oui : 357 s calculées et 357 s affichées par la simulation, les deux concordent.
Approfondissement Exercice 6 — Effet du diamètre : un orifice deux fois plus gros

Exemple — sur d'autres valeurs
Un diamètre qui passe de 4 mm à 12 mm est multiplié par 3. La section, qui dépend de d², est multipliée par 3 × 3 = 9. Comme t = (S ÷ s) × √(2h₀ ÷ g), le temps de vidange est divisé par 9.
À toi de jouer.
Sur la simulation, on garde \(S = 1000\) cm² et \(h_0 = 80\) cm. On compare un orifice de \(d = 10\) mm et un orifice de \(d = 20\) mm (diamètre doublé).
  1. Calculer la section \(s\) dans les deux cas. Quand le diamètre double, par combien la section est-elle multipliée ?
  2. D'après \(t = \dfrac{S}{s}\sqrt{\dfrac{2h_0}{g}}\), par combien le temps de vidange est-il divisé quand on passe de 10 à 20 mm ?
  3. Vérifier en lançant les deux vidanges sur la simulation et en comparant les temps affichés.
  1. \(s_{10} = \dfrac{\pi (0{,}010)^2}{4} \approx 7{,}85\times10^{-5}\) m² ; \(s_{20} = \dfrac{\pi (0{,}020)^2}{4} \approx 3{,}14\times10^{-4}\) m². Quand le diamètre double, la section est multipliée par 4 (à cause du \(d^2\)).
  2. \(t\) est inversement proportionnel à \(s\) : si \(s\) est multipliée par 4, le temps de vidange est divisé par 4. Un robinet de diamètre double vide donc la cuve environ 4 fois plus vite, et non 2 fois.
  3. La simulation affiche 514 s avec \(d = 10\) mm et 129 s avec \(d = 20\) mm : \(514 \div 129 \approx 3{,}98\), soit un temps environ 4 fois plus court.
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