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Vidange d'un réservoir

Co-intervention Maths-Sciences | Seconde Bac Pro TNE | Module CME 6 / Fluides — avec simulation

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Vidange d'une cuve d'eau

Un installateur en génie climatique doit vidanger une cuve de récupération d'eau de pluie avant une intervention. La cuve se vide par un robinet de purge situé tout en bas. Le chef de chantier lui demande : « Combien de temps va prendre la vidange ? Si on ouvre un robinet plus gros, est-ce que ça ira deux fois plus vite ? Et pourquoi l'eau coule-t-elle de moins en moins fort à la fin ? »

Pour répondre, on va d'abord observer le phénomène sur une simulation, puis le mettre en équations.
🛢️ Ouvrir la simulation « Vidange d'un réservoir »
Règle la hauteur d'eau, la section et le diamètre de l'orifice, lance la vidange et relève les mesures. Ouvrir →

2. Vitesse de sortie : la loi de Torricelli

Propriété — Vitesse de sortie de l'eau
L'eau qui sort par un orifice situé à une profondeur \(h\) sous la surface a une vitesse : \[ v = \sqrt{2 \, g \, h} \] Comme \(h\) diminue pendant la vidange, \(v\) diminue aussi : l'eau coule de moins en moins fort vers la fin.
Lien avec les mathématiques — la racine carrée
Comme \(v\) dépend de \(\sqrt{h}\), la vitesse ne double pas quand la hauteur double.

3. Débit et section de l'orifice

Définition — Section d'un orifice circulaire
Un orifice (robinet, trou) de diamètre \(d\) a une section (aire du disque) : \[ s = \frac{\pi \, d^2}{4} \] avec \(s\) en m² et \(d\) en m. (Penser à convertir les mm en m : 12 mm = 0,012 m.)
Définition — Débit qui sort de la cuve
Le débit volumique qui s'écoule par l'orifice vaut : \[ Q = s \times v \] Un orifice plus gros (\(s\) plus grand) → plus de débit → vidange plus rapide.
Propriété — Temps de vidange
Comme le débit diminue à mesure que le niveau baisse, on démontre que le temps total de vidange d'une cuve de section \(S\), remplie sur une hauteur \(h_0\), par un orifice de section \(s\), vaut : \[ t = \frac{S}{s}\sqrt{\frac{2 h_0}{g}} \]
Cette formule confirme l'intuition du chantier : doubler la section de l'orifice \(s\) divise par 2 le temps de vidange.

4. Schéma de la situation

h surface v = √(2gh) orifice de section s — débit Q = s·v Cuve — section S

5. Activité guidée avec la simulation

Découvrir la loi avec la simulation

Ouvre la simulation « Vidange d'un réservoir ». Règle la section \(S = 1000\) cm² et le diamètre \(d = 12\) mm. Sans lancer la vidange, fais varier la hauteur d'eau initiale et relève la vitesse de sortie \(v\) affichée pour chaque hauteur :
Hauteur \(h\) (cm)\(h\) (m)\(v\) lue sur la simulation (m/s)\(\sqrt{2\times 9{,}81\times h}\) calculée
200,20…………
450,45…………
800,80…………
1201,20…………
1. Compare la colonne « \(v\) lue » et la colonne « calculée ». Que remarque-t-on ?
2. Quand on passe de \(h = 20\) cm à \(h = 80\) cm (hauteur \(\times 4\)), par combien la vitesse est-elle multipliée ?
3. Lance maintenant la vidange et observe le jet : pourquoi faiblit-il au cours du temps ?
\(h\) (m)\(v=\sqrt{2gh}\) (m/s)
0,20≈ 1,98
0,45≈ 2,97
0,80≈ 3,96
1,20≈ 4,85
1. Les deux colonnes donnent les mêmes valeurs : la simulation applique bien \(v=\sqrt{2gh}\).
2. De 20 cm à 80 cm, la hauteur est multipliée par 4, mais la vitesse passe de 1,98 à 3,96 m/s : elle est seulement multipliée par 2 (effet de la racine carrée).
3. Le niveau \(h\) baisse pendant la vidange ; comme \(v=\sqrt{2gh}\), la vitesse diminue donc le jet faiblit (et la vidange ralentit à la fin).

6. Exercices

Socle Exercice 1 — Calculer une vitesse de sortie (guidé)

Une cuve a une hauteur d'eau \(h = 0{,}50\) m au-dessus du robinet de purge. On prend \(g = 9{,}81\) m/s².
  1. Calculer le produit \(2 \times g \times h = 2 \times 9{,}81 \times 0{,}50 = \text{……}\)
  2. Calculer la vitesse \(v = \sqrt{\text{……}} = \text{……}\) m/s (arrondir au centième).
  1. \(2 \times 9{,}81 \times 0{,}50 = 9{,}81\)
  2. \(v = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13\) m/s
Socle Exercice 2 — Section d'un orifice (guidé)

Le robinet de purge a un diamètre \(d = 10\) mm.
  1. Convertir le diamètre en mètres : \(d = 10\) mm \(= \text{……}\) m.
  2. Calculer la section : \(s = \dfrac{\pi \, d^2}{4} = \dfrac{\pi \times (\text{……})^2}{4} = \text{……}\) m² (donner le résultat en écriture scientifique).
  1. \(d = 0{,}010\) m
  2. \(s = \dfrac{\pi \times (0{,}010)^2}{4} = \dfrac{\pi \times 0{,}0001}{4} \approx 7{,}85 \times 10^{-5}\) m²
Socle Exercice 3 — Calculer un débit

À un instant donné, l'eau sort à \(v = 3{,}0\) m/s par un orifice de section \(s = 8{,}0 \times 10^{-5}\) m².
  1. Calculer le débit \(Q = s \times v\) (en m³/s).
  2. Convertir ce débit en litres par seconde (1 m³ = 1000 L).
  1. \(Q = 8{,}0 \times 10^{-5} \times 3{,}0 = 2{,}4 \times 10^{-4}\) m³/s
  2. \(Q = 2{,}4 \times 10^{-4} \times 1000 = 0{,}24\) L/s
Standard Exercice 4 — Vitesse, débit puis vérification sur la simulation

Un plombier-chauffagiste purge un ballon : la hauteur d'eau est \(h = 0{,}80\) m et l'orifice a un diamètre \(d = 12\) mm.
  1. Calculer la vitesse de sortie \(v = \sqrt{2gh}\).
  2. Calculer la section \(s = \dfrac{\pi d^2}{4}\) de l'orifice.
  3. En déduire le débit \(Q = s \times v\), en m³/s puis en L/min (1 m³/s = 60000 L/min).
  4. Vérifier ces valeurs sur la simulation (h = 80 cm, d = 12 mm) : retrouve-t-on bien \(v\) et \(Q\) ?
  1. \(v = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 0{,}80} = \sqrt{15{,}70} \approx 3{,}96\) m/s
  2. \(s = \dfrac{\pi \times (0{,}012)^2}{4} \approx 1{,}13 \times 10^{-4}\) m²
  3. \(Q = 1{,}13 \times 10^{-4} \times 3{,}96 \approx 4{,}48 \times 10^{-4}\) m³/s \(\approx 26{,}9\) L/min
  4. La simulation affiche les mêmes valeurs (\(v \approx 3{,}96\) m/s, \(Q \approx 27\) L/min) : le calcul est confirmé.
Standard Exercice 5 — Lire un temps de vidange sur la simulation

Sur la simulation, on règle une cuve de section \(S = 1000\) cm², remplie sur \(h_0 = 80\) cm, avec un orifice \(d = 12\) mm.
  1. Lancer la vidange et relever le temps de vidange total affiché.
  2. Retrouver ce temps par le calcul avec \(t = \dfrac{S}{s}\sqrt{\dfrac{2 h_0}{g}}\), sachant \(S = 0{,}10\) m², \(s = 1{,}13 \times 10^{-4}\) m², \(h_0 = 0{,}80\) m.
  3. Le résultat lu et le résultat calculé sont-ils cohérents ?
  1. La simulation affiche un temps de vidange d'environ 360 s (≈ 6 min).
  2. \(\dfrac{S}{s} = \dfrac{0{,}10}{1{,}13\times10^{-4}} \approx 885\) ; \(\sqrt{\dfrac{2 \times 0{,}80}{9{,}81}} = \sqrt{0{,}163} \approx 0{,}404\). Donc \(t \approx 885 \times 0{,}404 \approx 357\) s.
  3. Oui : ≈ 357 s calculé ≈ 360 s lu sur la simulation, les deux concordent.
Standard Exercice 6 — « Deux fois plus vite ? »

Le chef de chantier demande si, en remplissant la cuve deux fois plus haut, l'eau sortira deux fois plus vite.
  1. Pour \(h = 0{,}50\) m, calculer \(v_1 = \sqrt{2gh}\).
  2. Pour \(h = 1{,}00\) m (hauteur doublée), calculer \(v_2\).
  3. La vitesse a-t-elle doublé ? Par quel facteur a-t-elle été multipliée ? Expliquer avec la racine carrée.
  1. \(v_1 = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 0{,}50} = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13\) m/s
  2. \(v_2 = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 1{,}00} = \sqrt{19{,}62} \approx 4{,}43\) m/s
  3. Non : la vitesse passe de 3,13 à 4,43 m/s, soit \(\times 1{,}41\) (c'est \(\sqrt{2}\)), pas \(\times 2\). Doubler \(h\) multiplie \(v\) par \(\sqrt{2}\). Pour doubler \(v\), il faudrait une hauteur \(\times 4\).
Approfondissement Exercice 7 — Choisir le diamètre du robinet de purge

Un technicien de maintenance énergétique veut vider une cuve (section \(S = 0{,}50\) m², hauteur d'eau \(h_0 = 1{,}0\) m) en moins de 5 minutes (300 s). Il dispose de robinets de diamètre 12, 16, 20 et 25 mm.
  1. Avec un orifice \(d = 16\) mm (\(s \approx 2{,}01 \times 10^{-4}\) m²), calculer le temps de vidange \(t = \dfrac{S}{s}\sqrt{\dfrac{2h_0}{g}}\).
  2. Ce robinet permet-il de respecter les 5 minutes ?
  3. Tester \(d = 20\) mm (\(s \approx 3{,}14 \times 10^{-4}\) m²). Conclure sur le choix.
  1. \(\sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}0}{9{,}81}} = \sqrt{0{,}204} \approx 0{,}452\). Avec \(d=16\) mm : \(\dfrac{S}{s} = \dfrac{0{,}50}{2{,}01\times10^{-4}} \approx 2488\) → \(t \approx 2488 \times 0{,}452 \approx 1124\) s (≈ 19 min).
  2. Non : 1124 s ≫ 300 s, c'est beaucoup trop lent.
  3. Avec \(d=20\) mm : \(\dfrac{S}{s} = \dfrac{0{,}50}{3{,}14\times10^{-4}} \approx 1592\) → \(t \approx 1592 \times 0{,}452 \approx 720\) s (12 min). C'est mieux mais toujours \(\gt\) 300 s : même un orifice de 20 mm ne suffit pas. Pour vider une si grande cuve en 5 min, il faudrait un orifice beaucoup plus gros (ou une pompe).
Approfondissement Exercice 8 — Effet du diamètre : un orifice deux fois plus gros

Sur la simulation, on garde \(S = 1000\) cm² et \(h_0 = 80\) cm. On compare un orifice de \(d = 10\) mm et un orifice de \(d = 20\) mm (diamètre doublé).
  1. Calculer la section \(s\) dans les deux cas. Quand le diamètre double, par combien la section est-elle multipliée ?
  2. D'après \(t = \dfrac{S}{s}\sqrt{\dfrac{2h_0}{g}}\), par combien le temps de vidange est-il divisé quand on passe de 10 à 20 mm ?
  3. Vérifier en lançant les deux vidanges sur la simulation et en comparant les temps affichés.
  1. \(s_{10} = \dfrac{\pi (0{,}010)^2}{4} \approx 7{,}85\times10^{-5}\) m² ; \(s_{20} = \dfrac{\pi (0{,}020)^2}{4} \approx 3{,}14\times10^{-4}\) m². Quand le diamètre double, la section est multipliée par 4 (à cause du \(d^2\)).
  2. \(t\) est inversement proportionnel à \(s\) : si \(s\) est multipliée par 4, le temps de vidange est divisé par 4.
  3. Sur la simulation, le temps avec \(d=20\) mm est bien environ 4 fois plus court qu'avec \(d=10\) mm.
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