Contexte professionnel — Réception d'un mur de refend
Un technicien contrôle un mur de refend à la réception du gros œuvre. Le plan indique une longueur de 12,00 m. Au télémètre laser, il relève 12,04 m.
Donnée fournie : le cahier des charges du chantier fixe la tolérance sur la longueur de ce mur à ± 2 cm.
« 4 centimètres sur 12 mètres, c'est rien du tout, non ? »
2. Écart, écart relatif, tolérance
Valeur nominale et valeur mesurée
La valeur nominale est celle du plan : ce que l'ouvrage devrait mesurer. La valeur mesurée est celle du relevé. L'écart est leur différence :
\(e = \text{mesurée} - \text{nominale}\)
Il a un signe : positif si l'ouvrage est trop grand, négatif s'il est trop petit.
Écart relatif
L'écart relatif rapporte l'écart à la valeur nominale, et s'exprime en pourcentage :
\(e_{\text{rel}} = \dfrac{|e|}{\text{nominale}} \times 100\)
Il permet de comparer des écarts sur des ouvrages de tailles différentes.
Intervalle de tolérance
Une tolérance notée \(\pm t\) définit un intervalle à l'intérieur duquel la mesure est acceptée :
\([\,\text{nominale} - t \;;\; \text{nominale} + t\,]\)
L'ouvrage est conforme si la mesure appartient à cet intervalle, non conforme sinon. Il n'y a pas de « presque conforme ».
Attention — l'écart relatif ne décide pas de la conformité
4 cm sur 12 m, c'est 0,33 % : c'est un petit pourcentage. Mais la tolérance du chantier est exprimée en centimètres, pas en pourcentage. C'est elle qui tranche. L'écart relatif sert à comparer, la tolérance sert à décider.
3. Exercices
SocleExercice 1 — L'écart
Exemple — sur d'autres valeurs Le plan indique 5,00 m, la mesure donne 4,97 m : e = 4,97 − 5,00 = −0,03 m, soit −3 cm. L'écart est négatif : l'ouvrage est trop court.
À toi de jouer.
Le plan indique 12,00 m ; le télémètre relève 12,04 m.
L'écart est positif : le mur est trop long de 4 cm.
SocleExercice 2 — L'intervalle de tolérance
Exemple — sur d'autres valeurs Une cote de 8,00 m avec une tolérance de ± 3 cm, soit ± 0,03 m : borne basse 8,00 − 0,03 = 7,97 m, borne haute 8,00 + 0,03 = 8,03 m. Une mesure de 8,02 m est dans [7,97 ; 8,03] : conforme.
À toi de jouer.
La tolérance est de ± 2 cm, soit ± 0,02 m.
Calculer la borne basse de l'intervalle de tolérance.
Calculer la borne haute.
La mesure 12,04 m appartient-elle à cet intervalle ? Conclure sur la conformité.
\(\mathbf{11{,}98} \; \text{m}\)
\(\mathbf{12{,}02} \; \text{m}\)
\(12{,}04 > 12{,}02\) : la mesure n'appartient pas à \([11{,}98 \;;\; 12{,}02]\). Le mur est non conforme.
SocleExercice 3 — Conforme ou non ?
Exemple — sur d'autres valeurs Une cote de 2,50 m avec une tolérance de ± 5 mm, soit ± 0,005 m : intervalle [2,495 ; 2,505]. 2,503 m est dedans : conforme. 2,507 m dépasse 2,505 : non conforme.
À toi de jouer.
Une cote de plan vaut 4,00 m, avec une tolérance de ± 1 cm.
Écrire l'intervalle de tolérance.
Pour chacune des trois mesures, dire si l'ouvrage est conforme : 4,005 m · 3,988 m · 4,012 m
\([\,3{,}99 \;;\; 4{,}01\,]\)
4,005 m : dans l'intervalle → conforme.
3,988 m : \(3{,}988 < 3{,}99\) → non conforme, de 2 mm.
4,012 m : \(4{,}012 > 4{,}01\) → non conforme, de 2 mm.
Les deux derniers ratent la tolérance de 2 mm seulement — mais rater de 2 mm, c'est rater.
StandardExercice 4 — Le pourcentage et la décision
Exemple — sur d'autres valeurs Un écart de 3 cm sur 6,00 m : 0,03 ÷ 6,00 × 100 = 0,5 %. Avec une tolérance de ± 2 cm, l'ouvrage n'est pas conforme, malgré ce petit pourcentage.
À toi de jouer.
On reprend le mur de la situation : 12,00 m au plan, 12,04 m mesurés, tolérance ± 2 cm.
Calculer l'écart relatif du mur, en pourcentage, arrondi au centième.
Le chef de chantier objecte : « 0,33 %, c'est négligeable. » Expliquer en deux phrases pourquoi cet argument ne suffit pas.
De combien le mur dépasse-t-il la borne haute de tolérance ?
Quelle longueur maximale aurait été acceptée ? Et quelle longueur minimale ?
Réponse attendue : la tolérance du chantier est fixée en centimètres, pas en pourcentage — elle ne dépend pas de la longueur du mur. Un écart peut être un très faible pourcentage et rester inacceptable, parce que ce sont les ouvrages voisins (menuiseries, cloisons, dallages) qui devront rattraper ces 4 cm.
\(12{,}04 - 12{,}02 = \mathbf{0{,}02} \; \text{m}\), soit 2 cm au-delà de la limite.
Maximale : 12,02 m. Minimale : 11,98 m.
ApprofondissementExercice 5 — Cinq fois un centimètre
Exemple — sur d'autres valeurs Trois panneaux de 1,20 m mesurent chacun 1,21 m : 1 cm d'écart par panneau. Au total, 3 × 1,21 = 3,63 m au lieu de 3 × 1,20 = 3,60 m : 3 cm d'écart. Les écarts s'additionnent.
À toi de jouer.
Sur un autre ouvrage, une file de 5 travées de 3,00 m chacune est implantée. Chaque travée est mesurée à 3,01 m. Données fournies : la tolérance est de ± 2 cm sur une travée, et de ± 2 cm sur la longueur totale de la file.
Calculer l'écart sur une travée. Chaque travée est-elle conforme ?
Calculer la longueur totale mesurée de la file, puis l'écart avec la longueur nominale.
La file entière est-elle conforme ? Justifier avec l'intervalle de tolérance.
Expliquer en deux phrases le paradoxe : comment cinq travées conformes donnent-elles une file non conforme ?
Le technicien propose de contrôler la longueur totale d'abord, puis les travées. En quoi cet ordre est-il meilleur ? Répondre en une phrase.
\(3{,}01 - 3{,}00 = 0{,}01 \; \text{m} = 1\) cm. \(1 < 2\) : chaque travée est conforme.
L'intervalle est \([14{,}98 \;;\; 15{,}02]\). \(15{,}05 > 15{,}02\) : la file est non conforme, de 3 cm.
Réponse attendue : les écarts ne se compensent pas, ils vont tous dans le même sens et s'additionnent. Une tolérance s'applique à la cote sur laquelle elle est écrite ; elle ne se transmet pas à une somme de cotes.
Contrôler la totalité d'abord permet de détecter immédiatement un défaut cumulé, et de le répartir sur les travées restantes avant que le mur ne soit monté.