Le mur fait-il la bonne longueur ?

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro — famille Bâtiment | Compétence C3.3

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 17:00

Objectifs

Calculer un écart et un écart relatif entre une valeur mesurée et une valeur nominale
Traduire une tolérance \(\pm t\) en intervalle et conclure sur la conformité
Distinguer la dispersion de l'appareil de l'écart réel de l'ouvrage
Comprendre pourquoi des écarts individuellement conformes peuvent se cumuler hors tolérance

Identification de la ressource

Compétence commune : C3.3 — contrôler la conformité d'un ouvrage réalisé
Chapitre du site : maths ch01 (proportionnalité et pourcentages)
Notions : écart absolu et relatif, pourcentage, encadrement, moyenne et étendue
Niveau : 2de Bac Pro — famille des métiers des études et de la modélisation numérique du bâtiment

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Réception d'un mur de refend

Un technicien contrôle un mur de refend à la réception du gros œuvre. Le plan indique une longueur de 12,00 m. Au télémètre laser, il relève 12,04 m.

Donnée fournie : la tolérance admise sur une longueur de mur inférieure à 15 m est de ± 2 cm.

« 4 centimètres sur 12 mètres, c'est rien du tout, non ? »

2. Écart, écart relatif, tolérance

Valeur nominale et valeur mesurée La valeur nominale est celle du plan : ce que l'ouvrage devrait mesurer. La valeur mesurée est celle du relevé. L'écart est leur différence :
\(e = \text{mesurée} - \text{nominale}\)
Il a un signe : positif si l'ouvrage est trop grand, négatif s'il est trop petit.

Écart relatif L'écart relatif rapporte l'écart à la valeur nominale, et s'exprime en pourcentage :
\(e_{\text{rel}} = \dfrac{|e|}{\text{nominale}} \times 100\)
Il permet de comparer des écarts sur des ouvrages de tailles différentes.

Intervalle de tolérance Une tolérance notée \(\pm t\) définit un intervalle à l'intérieur duquel la mesure est acceptée :
\([\,\text{nominale} - t \;;\; \text{nominale} + t\,]\)
L'ouvrage est conforme si la mesure appartient à cet intervalle, non conforme sinon. Il n'y a pas de « presque conforme ».

Attention — l'écart relatif ne décide pas de la conformité 4 cm sur 12 m, c'est 0,33 % : c'est un petit pourcentage. Mais la tolérance du chantier est exprimée en centimètres, pas en pourcentage. C'est elle qui tranche. L'écart relatif sert à comparer, la tolérance sert à décider.

3. Exercices

Socle Exercice 1 — L'écart

Le plan indique 12,00 m ; le télémètre relève 12,04 m.

Calculer l'écart : \(e = 12{,}04 - \text{……} = \text{……} \; \text{m}\)
Convertir cet écart en centimètres : \(\text{……}\) cm
Le mur est-il trop long ou trop court ?

\(12{,}04 - 12{,}00 = \mathbf{0{,}04} \; \text{m}\)
\(0{,}04 \; \text{m} = \mathbf{4} \; \text{cm}\)
L'écart est positif : le mur est trop long de 4 cm.

Socle Exercice 2 — L'intervalle de tolérance

La tolérance est de ± 2 cm, soit ± 0,02 m.

Calculer la borne basse : \(12{,}00 - 0{,}02 = \text{……} \; \text{m}\)
Calculer la borne haute : \(12{,}00 + 0{,}02 = \text{……} \; \text{m}\)
La mesure 12,04 m appartient-elle à cet intervalle ? Conclure sur la conformité.

\(\mathbf{11{,}98} \; \text{m}\)
\(\mathbf{12{,}02} \; \text{m}\)
\(12{,}04 > 12{,}02\) : la mesure n'appartient pas à \([11{,}98 \;;\; 12{,}02]\). Le mur est non conforme.

Socle Exercice 3 — Des écarts à convertir

Trois contrôles ont donné les écarts suivants. Compléter le tableau.

Écart en m	+ 0,03	− 0,015	+ 0,008
en cm	………	………	………
en mm	………	………	………
trop long ou trop court ?	………	………	………

+ 0,03 m = 3 cm = 30 mm — trop long.
− 0,015 m = −1,5 cm = −15 mm — trop court.
+ 0,008 m = 0,8 cm = 8 mm — trop long.

Le signe porte l'information : positif, l'ouvrage dépasse ; négatif, il manque de matière. Deux défauts de même taille ne se rattrapent pas de la même façon.

Socle Exercice 4 — Conforme ou non ?

Une cote de plan vaut 4,00 m, avec une tolérance de ± 1 cm.

Écrire l'intervalle de tolérance : \([\text{……} \;;\; \text{……}]\)
Pour chacune des trois mesures, dire si l'ouvrage est conforme : 4,005 m · 3,988 m · 4,012 m

\([\,3{,}99 \;;\; 4{,}01\,]\)
4,005 m : dans l'intervalle → conforme.
3,988 m : \(3{,}988 < 3{,}99\) → non conforme, de 2 mm.
4,012 m : \(4{,}012 > 4{,}01\) → non conforme, de 2 mm.
Les deux derniers ratent la tolérance de 2 mm seulement — mais rater de 2 mm, c'est rater.

Standard Exercice 5 — Le pourcentage et la décision

Calculer l'écart relatif du mur, en pourcentage, arrondi au centième.
Le chef de chantier objecte : « 0,33 %, c'est négligeable. » Expliquer en deux phrases pourquoi cet argument ne suffit pas.
De combien le mur dépasse-t-il la borne haute de tolérance ?
Quelle longueur maximale aurait été acceptée ? Et quelle longueur minimale ?

\(\dfrac{0{,}04}{12{,}00} \times 100 = 0{,}333\ldots \approx \mathbf{0{,}33\ \%}\)
Réponse attendue : la tolérance du chantier est fixée en centimètres, pas en pourcentage — elle ne dépend pas de la longueur du mur. Un écart peut être un très faible pourcentage et rester inacceptable, parce que ce sont les ouvrages voisins (menuiseries, cloisons, dallages) qui devront rattraper ces 4 cm.
\(12{,}04 - 12{,}02 = \mathbf{0{,}02} \; \text{m}\), soit 2 cm au-delà de la limite.
Maximale : 12,02 m. Minimale : 11,98 m.

Standard Exercice 6 — Est-ce l'appareil qui se trompe ?

Le technicien refait quatre relevés de la même longueur, au millimètre :
12,041 m — 12,038 m — 12,043 m — 12,042 m

Calculer la moyenne de ces quatre relevés.
Calculer l'étendue (mesure la plus grande moins la plus petite), en millimètres.
Comparer cette étendue à l'écart de 41 mm constaté avec le plan. Que peut-on en conclure sur l'origine de l'écart ?

\(\dfrac{12{,}041 + 12{,}038 + 12{,}043 + 12{,}042}{4} = \dfrac{48{,}164}{4} = \mathbf{12{,}041} \; \text{m}\)
\(12{,}043 - 12{,}038 = 0{,}005 \; \text{m} = \mathbf{5} \; \text{mm}\)
L'appareil disperse de 5 mm ; l'écart avec le plan est de 41 mm, soit huit fois plus. L'écart ne vient donc pas de la mesure : le mur est réellement trop long. Un défaut de mesure aurait donné des relevés très différents entre eux.

Standard Exercice 7 — Lequel des deux est le plus mal fait ?

Deux ouvrages sont contrôlés sur le même chantier :

le mur de refend : 12,00 m attendus, 4 cm d'écart ;
une allège de fenêtre : 1,20 m attendus, 1 cm d'écart.

Lequel présente le plus grand écart en centimètres ?
Calculer l'écart relatif de chacun, en pourcentage arrondi au centième.
Lequel est le plus mal fait, au sens de l'écart relatif ? Le classement change-t-il ?
Expliquer en une phrase à quoi sert l'écart relatif, puisque ce n'est pas lui qui décide de la conformité.

Le mur : 4 cm contre 1 cm.
Mur : \(\dfrac{4}{1\,200} \times 100 = \mathbf{0{,}33\ \%}\). Allège : \(\dfrac{1}{120} \times 100 = \mathbf{0{,}83\ \%}\).
L'allège, avec 0,83 % contre 0,33 %. Le classement s'inverse : le plus petit écart absolu est le plus gros écart relatif.
Il sert à comparer la qualité d'exécution d'ouvrages de tailles différentes — 1 cm sur 1,20 m est un travail plus grossier que 4 cm sur 12 m. La conformité, elle, se juge sur la tolérance en centimètres écrite au marché.

Approfondissement Exercice 8 — Cinq fois un centimètre

Sur un autre ouvrage, une file de 5 travées de 3,00 m chacune est implantée. Chaque travée est mesurée à 3,01 m. Données fournies : la tolérance est de ± 2 cm sur une travée, et de ± 2 cm sur la longueur totale de la file.

Calculer l'écart sur une travée. Chaque travée est-elle conforme ?
Calculer la longueur totale mesurée de la file, puis l'écart avec la longueur nominale.
La file entière est-elle conforme ? Justifier avec l'intervalle de tolérance.
Expliquer en deux phrases le paradoxe : comment cinq travées conformes donnent-elles une file non conforme ?
Le technicien propose de contrôler la longueur totale d'abord, puis les travées. En quoi cet ordre est-il meilleur ? Répondre en une phrase.

\(3{,}01 - 3{,}00 = 0{,}01 \; \text{m} = 1\) cm. \(1 < 2\) : chaque travée est conforme.
\(5 \times 3{,}01 = \mathbf{15{,}05} \; \text{m}\) ; nominale \(5 \times 3{,}00 = 15{,}00\) m ; écart \(\mathbf{0{,}05} \; \text{m} = 5\) cm.
L'intervalle est \([14{,}98 \;;\; 15{,}02]\). \(15{,}05 > 15{,}02\) : la file est non conforme, de 3 cm.
Réponse attendue : les écarts ne se compensent pas, ils vont tous dans le même sens et s'additionnent. Une tolérance s'applique à la cote sur laquelle elle est écrite ; elle ne se transmet pas à une somme de cotes.
Contrôler la totalité d'abord permet de détecter immédiatement un défaut cumulé, et de le répartir sur les travées restantes avant que le mur ne soit monté.

Approfondissement Exercice 9 — La menuiserie passera-t-elle ?

Une réservation de fenêtre est cotée 1,40 m avec une tolérance de ± 5 mm. La menuiserie livrée mesure 1,392 m, et la pose exige un jeu de 5 mm de chaque côté pour le calfeutrement.

Écrire l'intervalle de tolérance de la réservation, en mètres.
Quelle largeur de réservation la menuiserie exige-t-elle au minimum, jeux compris ?
La menuiserie passe-t-elle à coup sûr ? Comparer au pire cas, c'est-à-dire à la réservation la plus étroite autorisée.
Sur toute la plage de tolérance, quelle proportion des réservations laisse passer la menuiserie ? Exprimer en pourcentage.
Le poseur dit : « la réservation est conforme, donc la menuiserie rentre ». Où est l'erreur de raisonnement ?

\([\,1{,}395 \;;\; 1{,}405\,]\) m.
\(1{,}392 + 2 \times 0{,}005 = \mathbf{1{,}402}\) m.
Non. Dans le pire cas la réservation fait 1,395 m, or il en faut 1,402 : il manquerait 7 mm. La menuiserie ne rentrerait pas, ou rentrerait sans jeu de calfeutrement.
Elle passe si la réservation est dans \([\,1{,}402 \;;\; 1{,}405\,]\), soit 3 mm sur les 10 mm de la plage : 30 %.
Réponse attendue : « conforme » signifie dans la tolérance, pas égal à la cote. Le poseur raisonne sur la valeur nominale 1,40 m, alors que la réservation peut légitimement mesurer 1,395 m. Deux pièces chacune conformes peuvent parfaitement ne pas aller ensemble : c'est le cumul des tolérances qu'il faut vérifier, pas chaque cote isolément.

Approfondissement Exercice 10 — Rattraper les cinq centimètres

On reprend la file de 5 travées : elle mesure 15,05 m au lieu de 15,00 m. Les deux premières travées sont déjà maçonnées et ne peuvent plus bouger. La tolérance sur une travée reste de ± 2 cm.

Combien de centimètres faut-il rattraper au total ?
Si l'on répartit ce rattrapage sur les 3 dernières travées, de combien faut-il raccourcir chacune ? Chaque travée reste-t-elle dans sa tolérance ?
Et si l'on ne reprenait que les 2 dernières ? Conclure.
En notant \(n\) le nombre de travées reprises, écrire l'inéquation que doit vérifier \(n\), puis la résoudre. Quel est le nombre minimal de travées à reprendre ?
Que faudrait-il faire pour ne jamais avoir à rattraper ainsi ? Une phrase.

\(15{,}05 - 15{,}00 = 0{,}05\) m, soit 5 cm.
\(5 \div 3 \approx \mathbf{1{,}67}\) cm par travée. Chaque travée passerait à \(3{,}00 - 0{,}0167 \approx 2{,}983\) m, écart de 1,67 cm : \(1{,}67 < 2\), donc chaque travée reste conforme. C'est jouable.
\(5 \div 2 = \mathbf{2{,}5}\) cm par travée : \(2{,}5 > 2\), hors tolérance. Deux travées ne suffisent pas.
\(\dfrac{5}{n} \le 2\), donc \(n \ge \dfrac{5}{2} = 2{,}5\). Comme \(n\) est entier, \(n \ge 3\) : il faut reprendre au moins 3 travées.
Contrôler la longueur cumulée après chaque travée, et non chaque travée isolément : l'écart se voit alors dès la deuxième, quand il ne coûte encore rien à corriger.