COP d'une pompe à chaleur

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro ICCER | S4.10 — Thermodynamique

Objectifs

Comprendre le principe de fonctionnement d'une pompe à chaleur (PAC)
Calculer le COP : \(\text{COP} = Q_c / W\)
Comparer PAC et chauffage direct (gaz, électrique)
Comprendre l'influence de la température extérieure sur le COP

Identification de la ressource

Savoir professionnel ICCER : S4.10 — Thermodynamique (COP, PAC)
Notions mathématiques : Division, pourcentages, comparaisons, graphiques
Niveau : Première Bac Pro ICCER

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Remplacement d'une chaudière fioul par une PAC

Un technicien en énergies renouvelables remplace une vieille chaudière fioul par une pompe à chaleur air-eau. Le client hésite : « On m'a dit qu'une PAC consomme 1 kWh d'électricité pour produire 3 kWh de chaleur. Comment est-ce possible ? Ça viole la physique, non ? »

2. Principe de la pompe à chaleur

Définition — PAC
Une pompe à chaleur prélève de la chaleur à une source froide (air extérieur, sol, nappe d'eau) et la restitue à une source chaude (radiateurs, plancher chauffant). Le compresseur consomme de l'électricité W pour « pomper » la chaleur du froid vers le chaud.

Bilan énergétique
\[ Q_c = Q_f + W \]

\(Q_c\) : chaleur fournie à la maison (kWh)
\(Q_f\) : chaleur prélevée à l'extérieur (gratuite)
\(W\) : énergie électrique du compresseur (payée)

La PAC ne crée pas d'énergie : elle déplace la chaleur de l'extérieur vers l'intérieur.

3. Coefficient de performance (COP)

Formule du COP
\[ \text{COP} = \frac{Q_c}{W} \]

COP = 3 signifie : pour 1 kWh d'électricité consommé, la PAC fournit 3 kWh de chaleur
COP typique d'une PAC air-eau : 2,5 à 4 selon la température extérieure
Un radiateur électrique a un COP = 1 (1 kWh élec → 1 kWh chaleur)

Le COP dépend de la température extérieure

T extérieure (°C)	COP typique (air-eau)
+7	3,5 à 4,0
0	2,8 à 3,2
−7	2,0 à 2,5
−15	1,5 à 2,0

Plus il fait froid, plus le COP diminue (la PAC travaille plus dur pour extraire la chaleur d'un air très froid).

Exemple
PAC air-eau de 12 kW thermique, COP = 3.
Puissance électrique consommée : \(W = Q_c / \text{COP} = 12 / 3 = 4\) kW
Chaleur prélevée à l'extérieur : \(Q_f = Q_c - W = 12 - 4 = 8\) kW

Sur 8 kW payés à EDF, 8 kW sont « gratuits » (prélevés dans l'air extérieur).

À retenir

\(\text{COP} = Q_c / W\) — chaleur fournie / électricité consommée
COP = 3 → 3 kWh chaleur pour 1 kWh électrique
PAC air-eau : COP ≈ 2,5 à 4 selon T extérieure
Plus il fait froid, plus le COP baisse
SCOP (COP saisonnier moyen) : valeur moyenne sur toute la saison

Exercices

Exercice 1Calculer W à partir du COP (guidé)Socle

PAC fournit Q_c = 9 kW, COP = 3.
W = Q_c / COP = 9 / 3 = … kW

Correction : W = 3 kW

Exercice 2Calculer Q_f (guidé)Socle

Q_c = 12 kW, W = 4 kW.
Q_f = Q_c − W = … kW. D'où vient cette énergie ?

Correction : Q_f = 12 − 4 = 8 kW. Elle vient de l'air extérieur (gratuit).

Exercice 3COP d'un radiateur électrique (guidé)Socle

Un radiateur électrique consomme 2 kW et fournit 2 kW de chaleur.
COP = Q_c / W = 2 / 2 = …
Comparer avec une PAC de COP = 3. Laquelle est la plus économe ?

Correction : COP = 1. La PAC est 3 fois plus économe en électricité.

Exercice 4Coût de chauffage avec PAC (guidé)Socle

Besoins : 15 000 kWh/an. PAC de COP = 3. Électricité : 0,25 €/kWh.
W = 15 000 / 3 = … kWh. Coût = … × 0,25 = … €/an.

Correction : W = 5 000 kWh. Coût = 5 000 × 0,25 = 1 250 €/an

Exercice 5PAC vs chaudière gaz — coût annuelStandard

Besoins : 18 000 kWh/an.
• Chaudière gaz (η = 105 %) : gaz à 0,12 €/kWh
• PAC air-eau (SCOP = 3,2) : élec à 0,25 €/kWh

1. Coût annuel gaz. 2. Coût annuel PAC. 3. Économie de la PAC.

Correction :
1. Gaz : 18 000/1,05 × 0,12 = 2 057 €
2. PAC : 18 000/3,2 × 0,25 = 1 406 €
3. Économie : 2 057 − 1 406 = 651 €/an

Exercice 6Influence de la température extérieureStandard

PAC de 12 kW thermique. Calculer W pour :
a) T_ext = +7 °C, COP = 3,8
b) T_ext = 0 °C, COP = 3,0
c) T_ext = −7 °C, COP = 2,2
d) T_ext = −15 °C, COP = 1,6

Que constatez-vous ? Quand fait-il le plus froid, la PAC consomme-t-elle plus ou moins ?

Correction :
a) W = 12/3,8 = 3,16 kW
b) W = 12/3,0 = 4,00 kW
c) W = 12/2,2 = 5,45 kW
d) W = 12/1,6 = 7,50 kW

Quand il fait plus froid, le COP baisse et la PAC consomme plus d'électricité pour la même chaleur fournie.

Exercice 7Rentabilité du remplacement fioul → PACStandard

Un client passe du fioul (consommation 2 000 L/an à 1,20 €/L) à une PAC (SCOP = 3, élec 0,25 €/kWh). PCI fioul = 10 kWh/L, rendement chaudière = 85 %. La PAC coûte 12 000 € (aides déduites).

1. Énergie utile annuelle (via fioul).
2. Coût fioul annuel.
3. Coût PAC annuel.
4. Temps de retour sur investissement.

Correction :
1. E_utile = 2 000 × 10 × 0,85 = 17 000 kWh
2. Coût fioul = 2 000 × 1,20 = 2 400 €
3. PAC : W = 17 000/3 = 5 667 kWh. Coût = 5 667 × 0,25 = 1 417 €
4. Économie = 2 400 − 1 417 = 983 €/an. Retour = 12 000/983 = 12,2 ans

Exercice 8SCOP — COP saisonnier moyenApprofondissement

Le SCOP est la moyenne pondérée du COP sur toute la saison. La répartition horaire du chauffage est :
• 600 h à T_ext = +7 °C (COP = 3,8)
• 800 h à T_ext = 0 °C (COP = 3,0)
• 400 h à T_ext = −7 °C (COP = 2,2)
• 200 h à T_ext = −15 °C (COP = 1,6)

1. Calculer le SCOP (moyenne pondérée par les heures).
2. Comparer avec le COP nominal (à +7 °C). Pourquoi le SCOP est-il toujours inférieur ?

Correction :
1. SCOP = (600×3,8 + 800×3,0 + 400×2,2 + 200×1,6) / (600+800+400+200)
= (2 280 + 2 400 + 880 + 320) / 2 000 = 5 880 / 2 000 = 2,94
2. COP nominal = 3,8 mais SCOP = 2,94 : le SCOP est 23 % plus bas car la PAC fonctionne souvent par temps froid où le COP est dégradé. Le SCOP est plus réaliste pour estimer les coûts.

Exercice 9PAC air-eau vs géothermieApprofondissement

	PAC air-eau	PAC géothermique
SCOP	3,0	4,5
Coût install.	10 000 €	25 000 €

Besoins : 20 000 kWh/an, élec 0,25 €/kWh.

1. Coût annuel pour chaque PAC. 2. Économie annuelle de la géothermie.
3. Temps de retour du surcoût de la géothermie.
4. Pourquoi le COP de la géothermie est-il plus stable que celui de l'air-eau ?

Correction :
1. Air-eau : 20 000/3 × 0,25 = 1 667 €. Géo : 20 000/4,5 × 0,25 = 1 111 €
2. Économie : 1 667 − 1 111 = 556 €/an
3. Surcoût : 25 000 − 10 000 = 15 000 €. Retour : 15 000/556 = 27 ans
4. La source froide de la géothermie est le sol, dont la température reste constante toute l'année (≈ 12 °C en France). L'air extérieur varie de −15 à +35 °C → COP très variable.

Exercice 10Bilan global — économique + environnementalApprofondissement

Un client hésite entre 3 solutions pour chauffer sa maison (besoins : 15 000 kWh/an) :
• Chaudière gaz condensation (η = 105 %, gaz 0,12 €/kWh, CO₂ gaz = 0,227 kg/kWh)
• PAC air-eau (SCOP = 3, élec 0,25 €/kWh, CO₂ élec = 0,052 kg/kWh)
• PAC + panneaux solaires thermiques (couvrent 30 % des besoins, reste PAC SCOP = 3)

1. Coût annuel de chaque solution.
2. Émissions CO₂ annuelles de chaque solution.
3. Classer du plus économe au plus cher et du plus écologique au plus polluant.
4. Quelle solution recommander et pourquoi ?

Correction :
1. Gaz : 15 000/1,05 × 0,12 = 1 714 €. PAC : 15 000/3 × 0,25 = 1 250 €. PAC+solaire : (15 000×0,70)/3 × 0,25 = 875 €
2. Gaz : 14 286 × 0,227 = 3 243 kg. PAC : 5 000 × 0,052 = 260 kg. PAC+solaire : 3 500 × 0,052 = 182 kg
3. Coût : PAC+solaire < PAC < gaz. CO₂ : PAC+solaire < PAC << gaz.
4. La PAC seule est le meilleur compromis coût/environnement. La PAC+solaire est la meilleure mais nécessite un investissement initial plus élevé. Le gaz est à éviter (émissions 12× plus élevées).