Résistance thermique d'un toit-terrasse

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro ICCER | S4.5 — Thermique

Objectifs

Calculer la résistance thermique d'une toiture-terrasse multicouche
Déterminer le coefficient U et vérifier la conformité réglementaire
Choisir l'épaisseur d'isolant adaptée
Calculer les déperditions par la toiture

Identification de la ressource

Savoir professionnel ICCER : S4.5 — Caractéristiques thermiques
Notions mathématiques : Fractions, sommes, inverse, calcul littéral, inégalités
Niveau : Première Bac Pro ICCER

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Isolation d'un toit-terrasse pour pose d'une PAC

Un installateur thermique doit poser une pompe à chaleur (PAC) air-eau sur le toit-terrasse d'un immeuble de bureaux. Avant l'installation, l'architecte demande de vérifier l'isolation de la toiture : « Le toit représente 30 % des déperditions du bâtiment. Vérifie que le coefficient U est conforme à la RE 2020 avant qu'on installe la PAC. »

2. Rappel — Résistance thermique et coefficient U

Formules
\[ R_{\text{total}} = \sum \frac{e_i}{\lambda_i} \qquad U = \frac{1}{R_{\text{total}}} \] Déperditions : \(\Phi = U \times S \times \Delta T\) en watts

Conductivités thermiques des matériaux de toiture

Matériau	λ (W/(m·K))
Dalle béton armé	1,75
Polyuréthane (PUR)	0,022
Polystyrène extrudé (XPS)	0,032
Laine de roche	0,036
Enduit plâtre	0,35
Étanchéité bitume	0,23

Exigence RE 2020 — Toiture
U_toiture ≤ 0,20 W/(m²·K) → R_total ≥ 5,0 m²·K/W

Exemple — Toiture-terrasse isolée PUR
Composition : enduit 1,5 cm + béton 20 cm + PUR 12 cm + étanchéité 1 cm.

\(R = \dfrac{0{,}015}{0{,}35} + \dfrac{0{,}20}{1{,}75} + \dfrac{0{,}12}{0{,}022} + \dfrac{0{,}01}{0{,}23}\)
\(= 0{,}043 + 0{,}114 + 5{,}455 + 0{,}043 = 5{,}655\) m²·K/W

\(U = 1 / 5{,}655 = 0{,}177\) W/(m²·K) ≤ 0,20 → conforme RE 2020

À retenir

Toiture-terrasse : dalle béton + isolant + étanchéité
L'isolant (PUR, XPS, laine de roche) fournit > 95 % de la résistance thermique
RE 2020 toiture : U ≤ 0,20 W/(m²·K) → R ≥ 5,0
Le PUR (λ = 0,022) est le plus performant à épaisseur égale

Exercices

Exercice 1R de chaque couche (guidé)Socle

Calculer R pour chaque couche :
a) Béton 20 cm : R = 0,20 / 1,75 = …
b) PUR 10 cm : R = 0,10 / 0,022 = …
c) Enduit 1,5 cm : R = 0,015 / 0,35 = …
d) Quelle couche contribue le plus à l'isolation ?

Correction :
a) 0,114 b) 4,545 c) 0,043
d) Le PUR (4,545 sur un total d'environ 4,7) représente 97 % de l'isolation.

Exercice 2R total et U (guidé)Socle

Toiture : enduit 1,5 cm + béton 20 cm + XPS 8 cm + étanchéité 1 cm.

R = 0,043 + 0,114 + 0,08/0,032 + 0,043 = 0,043 + 0,114 + … + 0,043 = …
U = 1 / … = … W/(m²·K). Conforme RE 2020 (U ≤ 0,20) ?

Correction :
R_XPS = 0,08/0,032 = 2,500. R_total = 0,043 + 0,114 + 2,500 + 0,043 = 2,700.
U = 1/2,700 = 0,370. 0,370 > 0,20 → non conforme.

Exercice 3Comparer PUR et laine de roche (guidé)Socle

Calculer R pour 10 cm d'isolant :
a) PUR (λ = 0,022) : R = …
b) Laine de roche (λ = 0,036) : R = …
c) Lequel isole le mieux ? Combien de fois ?

Correction :
a) R = 0,10/0,022 = 4,545
b) R = 0,10/0,036 = 2,778
c) Le PUR isole 4,545/2,778 = 1,64 fois mieux à épaisseur égale.

Exercice 4Déperditions par la toiture (guidé)Socle

Toiture de S = 200 m², U = 0,18 W/(m²·K). T_int = 20 °C, T_ext = 2 °C.

Φ = U × S × ΔT = 0,18 × 200 × … = … W

Correction : ΔT = 18 °C. Φ = 0,18 × 200 × 18 = 648 W

Exercice 5Épaisseur minimale d'isolantStandard

Une toiture-terrasse (béton 20 cm + enduit 1,5 cm + étanchéité 1 cm) doit atteindre U ≤ 0,20 (R ≥ 5,0). On utilise du XPS (λ = 0,032).

1. Calculer R sans l'isolant.
2. Quel R minimum doit fournir l'isolant ?
3. Quelle épaisseur minimale de XPS ?

Correction :
1. R_sans = 0,043 + 0,114 + 0,043 = 0,200
2. R_isolant ≥ 5,0 − 0,200 = 4,800
3. e = R × λ = 4,800 × 0,032 = 0,154 m = 16 cm (arrondir à 16 cm).

Exercice 6Comparer trois isolantsStandard

Pour atteindre R_isolant = 5,0, calculer l'épaisseur nécessaire avec :
a) PUR (λ = 0,022) b) XPS (λ = 0,032) c) Laine de roche (λ = 0,036)

Isolant	λ	e (cm)	Prix indicatif (€/m²)
PUR	0,022	…	35
XPS	0,032	…	25
Laine de roche	0,036	…	18

Quel est le meilleur choix pour un toit-terrasse où l'épaisseur est limitée ?

Correction :
a) PUR : e = 5,0 × 0,022 = 11 cm
b) XPS : e = 5,0 × 0,032 = 16 cm
c) Laine de roche : e = 5,0 × 0,036 = 18 cm

Si l'épaisseur est limitée, le PUR est le meilleur choix (11 cm au lieu de 18 cm), malgré un prix plus élevé.

Exercice 7Déperditions avant/après isolationStandard

Toiture de 300 m². Avant isolation : U = 2,5 W/(m²·K) (béton seul). Après isolation PUR 12 cm : U = 0,18. ΔT = 20 °C, chauffage 2 000 h/an, électricité 0,25 €/kWh.

1. Calculer Φ avant et après.
2. Calculer l'économie annuelle d'énergie (kWh) et d'argent (€).

Correction :
1. Avant : Φ = 2,5 × 300 × 20 = 15 000 W. Après : Φ = 0,18 × 300 × 20 = 1 080 W.
2. ΔΦ = 15 000 − 1 080 = 13 920 W = 13,92 kW. Énergie : 13,92 × 2 000 = 27 840 kWh/an. Économie : 27 840 × 0,25 = 6 960 €/an.

Exercice 8Toiture végétaliséeApprofondissement

Une toiture végétalisée ajoute une couche de substrat (terre + plantes) de 10 cm (λ = 0,50) au-dessus de l'étanchéité. La toiture de base (béton 20 cm + PUR 10 cm + étanchéité 1 cm + enduit 1,5 cm) a R = 4,745.

1. Calculer R du substrat végétal.
2. Calculer le nouveau R_total et U.
3. Le substrat améliore-t-il significativement l'isolation ?
4. Quels sont les autres avantages d'une toiture végétalisée (non thermiques) ?

Correction :
1. R = 0,10/0,50 = 0,200
2. R_total = 4,745 + 0,200 = 4,945. U = 1/4,945 = 0,202
3. Amélioration marginale (R passe de 4,745 à 4,945, soit +4 %). Le substrat n'est pas un isolant performant.
4. Avantages : rétention des eaux pluviales, biodiversité, protection de l'étanchéité (UV, chocs thermiques), réduction des îlots de chaleur urbains, esthétique.

Exercice 9Dimensionner l'isolation pour une PACApprofondissement

Un technicien chauffagiste dimensionne une PAC air-eau pour un bâtiment de bureaux (500 m² au sol). La toiture représente 30 % des déperditions totales. L'objectif est de limiter les déperditions totales à 15 kW (pour dimensionner la PAC).

1. Quelles déperditions maximales par la toiture ?
2. Pour ΔT = 25 °C, quel U_max pour la toiture ?
3. Quelle épaisseur de PUR (λ = 0,022) faut-il (en négligeant les autres couches) ?
4. Pourquoi une bonne isolation de la toiture permet-elle de choisir une PAC plus petite (et moins chère) ?

Correction :
1. Φ_toiture = 15 000 × 0,30 = 4 500 W
2. U = Φ / (S × ΔT) = 4 500 / (500 × 25) = 0,36 W/(m²·K)
3. R = 1/0,36 = 2,78. e = 2,78 × 0,022 = 0,061 m = 7 cm minimum (mais pour RE 2020, il faut U ≤ 0,20 → 11 cm).
4. La PAC est dimensionnée pour compenser les déperditions maximales. Si le bâtiment est mieux isolé, les déperditions sont plus faibles → la PAC peut être plus petite, moins chère à l'achat et plus économe en fonctionnement.

Exercice 10Bilan thermique complet — toiture + murs + vitragesApprofondissement

Un bâtiment de bureaux a les parois extérieures suivantes :

Paroi	S (m²)	U (W/(m²·K))
Toiture	400	0,18
Murs isolés	600	0,28
Vitrages DV	120	1,20
Sol	400	0,30

ΔT = 22 °C. Renouvellement d'air : 2 000 m³/h (ρ = 1,2 kg/m³, c = 1 005 J/(kg·°C)).

1. Calculer Φ pour chaque paroi et le total parois.
2. Calculer Φ_air = ⋅m × c × ΔT / 3 600.
3. Calculer Φ total. Quelle puissance de PAC faut-il (marge 20 %) ?
4. Quel poste représente le plus de déperditions ? En pourcentage.

Correction :
1. Toiture : 0,18 × 400 × 22 = 1 584 W. Murs : 0,28 × 600 × 22 = 3 696 W. Vitrages : 1,20 × 120 × 22 = 3 168 W. Sol : 0,30 × 400 × 22 = 2 640 W. Total parois : 11 088 W.
2. ⋅m = 2 000 × 1,2 = 2 400 kg/h. Φ_air = 2 400 × 1 005 × 22 / 3 600 = 14 740 W.
3. Φ_total = 11 088 + 14 740 = 25 828 W ≈ 26 kW. PAC : 26 × 1,2 = 31 kW.
4. Le renouvellement d'air est le premier poste (14 740 / 25 828 = 57 %). Ensuite les murs (14 %), les vitrages (12 %), le sol (10 %) et la toiture (6 %). D'où l'importance de la VMC double flux pour récupérer la chaleur de l'air extrait.