Résistance thermique d'une paroi

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro ERA | Savoir S4.1 — CME 6

Objectifs

Calculer la résistance thermique d'une couche de matériau avec \(R = e / \lambda\)
Additionner les résistances thermiques d'une paroi composée
Déduire le coefficient de transmission thermique \(U = 1 / R_{\text{total}}\)
Comparer l'efficacité de différents isolants à partir de leur conductivité thermique

Identification de la ressource

Savoir professionnel ERA : S4.1 — Isolation thermique
Module sciences : CME 6 — Comment fonctionnent certains dispositifs de chauffage ?
Notions mathématiques : Division, fractions, somme, inverse — calcul littéral
Niveau : Première Bac Pro ERA

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Habillage d'un couloir dans une maison individuelle

Un menuisier agenceur réalise l'habillage intérieur d'un mur extérieur dans un couloir d'entrée. La paroi finale est composée de trois couches superposées, de l'extérieur vers l'intérieur :

Béton banché : épaisseur 20 cm, conductivité λ = 1,75 W/(m·K)
Laine de verre (panneau rigide) : épaisseur 10 cm, conductivité λ = 0,035 W/(m·K)
Plaque de plâtre BA13 : épaisseur 1,3 cm, conductivité λ = 0,25 W/(m·K)

Le maître d'ouvrage vous demande : « Est-ce que ce mur respecte bien la réglementation thermique ? Et si l'on doublait l'épaisseur de laine de verre, le coefficient U serait-il deux fois meilleur ? »

2. Conductivité thermique et résistance thermique

Définition — Conductivité thermique λ (lambda)
La conductivité thermique d'un matériau caractérise sa capacité à laisser passer la chaleur. Plus λ est faible, plus le matériau est isolant.

Unité : W/(m·K)
Exemples : acier ≈ 50, béton ≈ 1,75, bois massif ≈ 0,12, laine de verre ≈ 0,035

Définition — Résistance thermique R d'une couche
La résistance thermique d'une couche de matériau homogène se calcule par : \[ R = \frac{e}{\lambda} \]

\(R\) : résistance thermique en m²·K/W
\(e\) : épaisseur de la couche en mètres (m)
\(\lambda\) : conductivité thermique en W/(m·K)

Plus \(R\) est grand, plus la paroi est isolante.

Propriété — Résistance thermique d'une paroi composée
Pour une paroi formée de plusieurs couches successives, les résistances thermiques s'additionnent : \[ R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots = \frac{e_1}{\lambda_1} + \frac{e_2}{\lambda_2} + \frac{e_3}{\lambda_3} + \cdots \]

Définition — Coefficient de transmission thermique U
Le coefficient \(U\) (anciennement noté K) est l'inverse de la résistance thermique totale : \[ U = \frac{1}{R_{\text{total}}} \]

Unité : W/(m²·K)
Plus \(U\) est faible, plus la paroi est isolante
La réglementation thermique fixe des valeurs maximales de \(U\) pour les parois des bâtiments

3. Conductivités thermiques de matériaux courants en agencement

Matériau	λ (W/m·K)
Acier	50
Aluminium	160
Béton banché	1,75
Brique creuse	0,60
Plaque de plâtre BA13	0,25
Bois massif (chêne)	0,17

Matériau	λ (W/m·K)
Contreplaqué	0,13
Panneau MDF	0,11
Mousse polyuréthane	0,024
Laine de verre	0,035
Laine de roche	0,038
Air (couche mince)	0,025

4. Application — Paroi du couloir

Calcul de la résistance thermique de la paroi du couloir

On convertit d'abord les épaisseurs en mètres :

Béton : e₁ = 20 cm = 0,20 m — λ₁ = 1,75 W/(m·K)
Laine de verre : e₂ = 10 cm = 0,10 m — λ₂ = 0,035 W/(m·K)
Plaque de plâtre : e₃ = 1,3 cm = 0,013 m — λ₃ = 0,25 W/(m·K)

On calcule chaque résistance : \[ R_1 = \frac{0{,}20}{1{,}75} \approx 0{,}11 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] \[ R_2 = \frac{0{,}10}{0{,}035} \approx 2{,}86 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] \[ R_3 = \frac{0{,}013}{0{,}25} \approx 0{,}05 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] Résistance totale : \[ R_{\text{total}} = 0{,}11 + 2{,}86 + 0{,}05 = 3{,}02 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] Coefficient U : \[ U = \frac{1}{3{,}02} \approx 0{,}33 \; \text{W/(m}^2\text{·K)} \]

La réglementation thermique en rénovation fixe généralement U ≤ 0,40 W/(m²·K) pour un mur. Ici U = 0,33 W/(m²·K) : la paroi est conforme.

Méthode — Répondre à la question du client
Si l'on double l'épaisseur de laine de verre (20 cm au lieu de 10 cm) : \[ R_2' = \frac{0{,}20}{0{,}035} \approx 5{,}71 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] \[ R_{\text{total}}' = 0{,}11 + 5{,}71 + 0{,}05 = 5{,}87 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] \[ U' = \frac{1}{5{,}87} \approx 0{,}17 \; \text{W/(m}^2\text{·K)} \] Le U est divisé par presque 2 (de 0,33 à 0,17), ce qui confirme : doubler l'isolant améliore très significativement le U, presque par un facteur 2.

5. Schéma de la paroi composée

6. Exercices

Socle Exercice 1 — Résistance d'un isolant seul

Un artisan menuisier pose un panneau de laine de roche d'épaisseur 8 cm (λ = 0,038 W/(m·K)) sur un mur.

Convertir 8 cm en mètres : e = ……… m
Calculer \(R = e / \lambda\) :
\(R = \dfrac{\text{……}}{0{,}038} = \text{……} \; \text{m}^2\text{·K/W}\)
Calculer le coefficient U de ce panneau seul :
\(U = 1 / R = \text{……} \; \text{W/(m}^2\text{·K)}\)

e = 0,08 m
R = 0,08 / 0,038 ≈ 2,11 m²·K/W
U = 1 / 2,11 ≈ 0,47 W/(m²·K)

Socle Exercice 2 — Paroi à deux couches

Une cloison d'atelier est formée de :

Plaque de plâtre : e = 1,3 cm, λ = 0,25 W/(m·K)
Laine de verre : e = 6 cm, λ = 0,035 W/(m·K)

Compléter :

Couche	e (m)	λ (W/m·K)	R = e/λ (m²·K/W)
Plâtre	0,013	0,25	……
Laine de verre	……	0,035	……
Total	—	—	……

Calculer ensuite U de la cloison.

Couche	e (m)	λ	R
Plâtre	0,013	0,25	0,052
Laine de verre	0,06	0,035	1,714
Total	—	—	1,766

U = 1 / 1,766 ≈ 0,57 W/(m²·K)

Standard Exercice 3 — Façade de maison : trois couches

La façade d'une maison rénovée par un menuisier agenceur comprend, de l'extérieur vers l'intérieur :

Enduit extérieur : e = 2 cm, λ = 0,87 W/(m·K)
Brique creuse : e = 15 cm, λ = 0,60 W/(m·K)
Mousse polyuréthane projetée : e = 12 cm, λ = 0,024 W/(m·K)
Plaque de plâtre BA13 : e = 1,3 cm, λ = 0,25 W/(m·K)

Calculer la résistance thermique de chaque couche.
Calculer R_total et le coefficient U de la façade.
La réglementation impose U ≤ 0,36 W/(m²·K) pour un mur en rénovation. La façade est-elle conforme ?

- R_enduit = 0,02 / 0,87 ≈ 0,023 m²·K/W
- R_brique = 0,15 / 0,60 = 0,25 m²·K/W
- R_mousse = 0,12 / 0,024 = 5,00 m²·K/W
- R_plâtre = 0,013 / 0,25 = 0,052 m²·K/W
R_total = 0,023 + 0,25 + 5,00 + 0,052 = 5,325 m²·K/W
U = 1 / 5,325 ≈ 0,19 W/(m²·K)
U = 0,19 W/(m²·K) < 0,36 W/(m²·K) → la façade est conforme (et même très performante).

Standard Exercice 4 — Comparaison de deux solutions d'isolation

Pour isoler un plancher d'un bureau d'accueil (S = 25 m²), deux solutions sont proposées :

Solution A : laine de verre 10 cm (λ = 0,035 W/(m·K))
Solution B : mousse polyuréthane 6 cm (λ = 0,024 W/(m·K))

Calculer R et U pour chaque solution.
Laquelle est la plus isolante ?
Quel avantage pratique la solution B présente-t-elle sur un chantier d'agencement ?

Solution A : R = 0,10 / 0,035 ≈ 2,86 m²·K/W → U = 0,35 W/(m²·K)
Solution B : R = 0,06 / 0,024 = 2,50 m²·K/W → U = 0,40 W/(m²·K)
La solution A est légèrement plus isolante (R plus grand, U plus petit).
La solution B (polyuréthane) est deux fois moins épaisse (6 cm vs 10 cm), ce qui libère de la hauteur sous plafond et peut être décisif dans un bureau d'accueil bas de plafond.

Approfondissement Exercice 5 — Optimisation d'une paroi : trouver l'épaisseur nécessaire

Un technicien d'agencement conçoit la paroi séparative d'un showroom. Le cahier des charges impose un coefficient U ≤ 0,25 W/(m²·K). La paroi comprend :

Plaque de plâtre côté A : e = 1,3 cm, λ = 0,25 W/(m·K)
Laine de roche (épaisseur x à déterminer) : λ = 0,038 W/(m·K)
Plaque de plâtre côté B : e = 1,3 cm, λ = 0,25 W/(m·K)

Exprimer R_total en fonction de x (en m).
À partir de la condition U ≤ 0,25, établir l'inégalité sur R_total.
En déduire l'épaisseur minimale x de laine de roche (en cm).
Quel panneau standard (en cm) le technicien doit-il commander parmi les épaisseurs disponibles : 6, 8, 10, 12, 15 cm ?

R_plâtre = 0,013 / 0,25 = 0,052 m²·K/W (×2)
R_total = 0,052 + x/0,038 + 0,052 = 0,104 + x/0,038
U ≤ 0,25 ⟺ 1/R_total ≤ 0,25 ⟺ R_total ≥ 4 m²·K/W
Donc : 0,104 + x/0,038 ≥ 4
x/0,038 ≥ 3,896
x ≥ 3,896 × 0,038 ≈ 0,148 m → x ≥ 14,8 cm
Il faut commander l'épaisseur 15 cm (la première épaisseur standard supérieure à 14,8 cm).

Approfondissement Exercice 6 — Impact économique de l'isolation

Un mur de 30 m² (S = 30 m²) sépare un atelier chauffé à 19 °C de l'extérieur à −3 °C (ΔT = 22 K). On compare deux états :

Avant travaux : U₁ = 1,20 W/(m²·K) — mur béton nu sans isolation
Après travaux : U₂ = 0,28 W/(m²·K) — après habillage bois + laine de verre

Le kWh électrique coûte 0,23 €. L'atelier est chauffé 14 h/jour pendant 180 jours par an.

Calculer les déperditions à travers ce mur avant et après travaux (en W).
Calculer l'énergie perdue à travers ce mur sur une saison (en kWh) dans les deux cas.
Calculer l'économie annuelle sur la facture de chauffage grâce à l'isolation.
Si le coût des travaux d'isolation (pose du bardage bois + laine de verre) est de 2 400 €, en combien d'années est-il rentabilisé ?

Φ₁ = U₁ × S × ΔT = 1,20 × 30 × 22 = 792 W
Φ₂ = U₂ × S × ΔT = 0,28 × 30 × 22 = 184,8 W
Durée saisonnière : 180 × 14 = 2 520 h
E₁ = 0,792 × 2 520 ≈ 1 996 kWh
E₂ = 0,1848 × 2 520 ≈ 466 kWh
Économie d'énergie : 1 996 − 466 = 1 530 kWh/an
Économie financière : 1 530 × 0,23 ≈ 352 € / an
Temps de retour : 2 400 / 352 ≈ 6,8 ans, soit environ 7 ans.

Socle Exercice 7 — Classer les matériaux (guidé)

À l'aide du tableau des conductivités thermiques du cours, classer les matériaux suivants du plus isolant au moins isolant :

Béton — Laine de verre — Bois massif — Plaque de plâtre — Acier

Rappel : plus λ est faible, plus le matériau est isolant.

Correction :
Du plus isolant au moins isolant :
Laine de verre (0,035) → Bois massif (0,12) → Plaque de plâtre (0,25) → Béton (1,75) → Acier (50)

Socle Exercice 8 — Calcul de R pour une seule couche (guidé)

Un panneau de bois massif a une épaisseur de 40 mm et une conductivité λ = 0,15 W/(m·K).

Étape 1 : Convertir l'épaisseur en mètres : e = 40 mm = … m
Étape 2 : Appliquer R = e / λ = … / … = … m²·K/W
Étape 3 : Ce panneau est-il un bon isolant ? Comparer avec R d'une laine de verre de même épaisseur (λ = 0,035).

Correction :
Étape 1 : e = 0,040 m
Étape 2 : R = 0,040 / 0,15 = 0,267 m²·K/W
Étape 3 : Laine de verre même épaisseur : R = 0,040 / 0,035 = 1,143 m²·K/W.
La laine de verre est 4,3 fois plus isolante que le bois à épaisseur égale. Le bois seul n'est pas un bon isolant.

Standard Exercice 9 — Paroi d'une salle de bain agencée

Un menuisier agenceur habille le mur d'une salle de bain. La paroi est composée de (ext. → int.) :

Parpaing creux : e = 20 cm, λ = 1,10 W/(m·K)
Polystyrène expansé : e = 8 cm, λ = 0,038 W/(m·K)
Panneau hydrofuge : e = 12 mm, λ = 0,20 W/(m·K)
Carrelage : e = 8 mm, λ = 1,00 W/(m·K)

1. Calculer la résistance thermique de chaque couche.
2. Calculer R_total et U.
3. Quelle couche contribue le plus à l'isolation ? Quel pourcentage de R_total représente-t-elle ?

Correction :
1. Parpaing : R = 0,20/1,10 = 0,182 ; Polystyrène : R = 0,08/0,038 = 2,105 ; Panneau : R = 0,012/0,20 = 0,060 ; Carrelage : R = 0,008/1,00 = 0,008
2. R_total = 0,182 + 2,105 + 0,060 + 0,008 = 2,355 m²·K/W → U = 1/2,355 = 0,425 W/(m²·K)
3. Le polystyrène contribue à 2,105/2,355 = 89,4 % de la résistance thermique totale.

Approfondissement Exercice 10 — Comparer deux solutions d'isolation

Pour isoler un mur béton de 20 cm (λ = 1,75), un architecte propose deux solutions :

	Solution A	Solution B
Isolant	Laine de verre (λ = 0,035)	Polyuréthane (λ = 0,022)
Épaisseur isolant	12 cm	8 cm
Finition	BA13 (1,3 cm, λ = 0,25)	BA13 (1,3 cm, λ = 0,25)
Prix total	35 €/m²	55 €/m²

1. Calculer R_total et U pour chaque solution.
2. Quelle solution est la plus performante thermiquement ?
3. Quelle épaisseur totale de paroi obtient-on dans chaque cas ? Quel est l'avantage de la solution B pour un petit local ?
4. Pour un mur de 25 m², calculer le surcoût de la solution B et l'économie annuelle de chauffage (ΔT = 20 °C, 10 h/jour, 180 jours, 0,25 €/kWh). La solution B vaut-elle le surcoût ?

Correction :
1.
Solution A : R = 0,20/1,75 + 0,12/0,035 + 0,013/0,25 = 0,114 + 3,429 + 0,052 = 3,595 → U = 0,278 W/(m²·K)
Solution B : R = 0,114 + 0,08/0,022 + 0,052 = 0,114 + 3,636 + 0,052 = 3,802 → U = 0,263 W/(m²·K)

2. Solution B est légèrement meilleure (U = 0,263 vs 0,278).

3. Solution A : 20 + 12 + 1,3 = 33,3 cm. Solution B : 20 + 8 + 1,3 = 29,3 cm. La solution B fait gagner 4 cm d'espace intérieur, précieux dans un petit local.

4. Surcoût : 25 × (55 − 35) = 500 €.
Φ_A = 0,278 × 25 × 20 = 139 W ; Φ_B = 0,263 × 25 × 20 = 131,5 W
Différence : 7,5 W → énergie : 0,0075 × 10 × 180 = 13,5 kWh → économie : 13,5 × 0,25 = 3,38 €/an
Retour sur investissement : 500 / 3,38 = 148 ans. Le surcoût n'est pas justifié thermiquement, mais il l'est si on a besoin de gagner de l'espace.