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Résistance thermique d'une fenêtre double vitrage

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro MA | S0.4 + S3.1 — Thermique

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Remplacement de fenêtres dans une maison

Un menuisier agenceur remplace les anciennes fenêtres simple vitrage d'une maison par des fenêtres bois à double vitrage. Le client demande : « Mon artisan précédent m'a dit que le double vitrage isole 3 fois mieux que le simple. C'est vrai ? Et est-ce que vos fenêtres respectent la réglementation thermique ? »
Extérieur 4 mm Lame 16 mm 4 mm Cadre bois Intérieur Flux de chaleur → Notation : 4/16/4 = verre/lame/verre Ug = coeff. du vitrage Uf = coeff. du cadre Uw = coeff. de la fenêtre

2. Structure d'un double vitrage

Définition — Double vitrage
Un double vitrage est composé de deux plaques de verre séparées par une lame d'air (ou d'argon) immobile. La lame d'air est le principal isolant car l'air immobile conduit très mal la chaleur.

Notation courante : 4/16/4 signifie verre 4 mm / lame 16 mm / verre 4 mm.
Conductivités thermiques
Matériau λ (W/(m·K))
Verre1,00
Lame d'air immobile0,025
Lame d'argon0,018
Bois massif (cadre)0,13
PVC (cadre)0,17
Aluminium (cadre)160

3. Coefficient U du vitrage

Calcul simplifié du Ug
Pour un double vitrage, la résistance thermique du vitrage seul est : \[ R_g = \frac{e_1}{\lambda_{\text{verre}}} + \frac{e_{\text{lame}}}{\lambda_{\text{lame}}} + \frac{e_2}{\lambda_{\text{verre}}} \] Le coefficient de transmission du vitrage est : \[ U_g = \frac{1}{R_g} \]
Exemple — Double vitrage 4/16/4 air
\(R_g = \dfrac{0{,}004}{1{,}00} + \dfrac{0{,}016}{0{,}025} + \dfrac{0{,}004}{1{,}00} = 0{,}004 + 0{,}640 + 0{,}004 = 0{,}648\) m²·K/W

\(U_g = 1 / 0{,}648 = 1{,}54\) W/(m²·K)

En pratique, Ug réel ≈ 1,1 W/(m²·K) avec un traitement basse émissivité (ITR) sur un verre.
Simple vitrage vs double vitrage
Simple vitrage 4 mm : \(R = 0{,}004 / 1{,}00 = 0{,}004\) → \(U = 250\) W/(m²·K) (en conduction seule).
En réalité, avec les résistances superficielles (convection air), Usimple ≈ 5,8 W/(m²·K).
Double vitrage 4/16/4 : Ug ≈ 1,1 à 1,5 W/(m²·K).
Le double vitrage isole 4 à 5 fois mieux que le simple vitrage.

4. Coefficient Uw de la fenêtre complète

Formule simplifiée
Le coefficient de la fenêtre entière (vitrage + cadre) se calcule par une moyenne pondérée : \[ U_w = \frac{U_g \times S_g + U_f \times S_f}{S_g + S_f} \]
Valeurs réglementaires (RE 2020)
Type de fenêtre Uw max (W/(m²·K))
Fenêtre bois DV1,6
Fenêtre PVC DV1,4
Fenêtre alu DV (avec rupture de pont thermique)1,8
Triple vitrage (tout matériau)1,0
À retenir

Exercices

Exercice 1 R d'une couche de verre (guidé) Socle
Calculer la résistance thermique d'une plaque de verre de 4 mm (\(\lambda = 1{,}00\)) :

Étape 1 : Convertir : e = 4 mm = … m
Étape 2 : \(R = e / \lambda = \ldots / \ldots = \ldots\) m²·K/W

Le verre isole-t-il bien ? Comparer avec la lame d'air de 16 mm (\(\lambda = 0{,}025\)).
Correction :
Étape 1 : e = 0,004 m
Étape 2 : R = 0,004 / 1,00 = 0,004 m²·K/W
Lame d'air : R = 0,016 / 0,025 = 0,640 m²·K/W
La lame d'air isole 160 fois mieux que le verre ! C'est la lame d'air qui fait l'isolation, pas le verre.
Exercice 2 R total d'un double vitrage (guidé) Socle
Double vitrage 4/12/4 (lame d'air de 12 mm) :

1. \(R_{\text{verre 1}} = 0{,}004 / 1{,}00 = \ldots\)
2. \(R_{\text{lame}} = 0{,}012 / 0{,}025 = \ldots\)
3. \(R_{\text{verre 2}} = \ldots\)
4. \(R_g = \ldots + \ldots + \ldots = \ldots\) m²·K/W
5. \(U_g = 1 / R_g = \ldots\) W/(m²·K)
Correction :
1. 0,004   2. 0,480   3. 0,004
4. R_g = 0,004 + 0,480 + 0,004 = 0,488
5. U_g = 1 / 0,488 = 2,05 W/(m²·K)
Exercice 3 Comparer air et argon (guidé) Socle
Double vitrage 4/16/4. Calculer Ug avec :
a) Lame d'air (\(\lambda = 0{,}025\))
b) Lame d'argon (\(\lambda = 0{,}018\))
c) Lequel isole le mieux ? De combien de % ?
Correction :
a) Air : R = 0,004 + 0,640 + 0,004 = 0,648 → U = 1,54
b) Argon : R = 0,004 + 0,016/0,018 + 0,004 = 0,004 + 0,889 + 0,004 = 0,897 → U = 1,11
c) L'argon isole mieux. Amélioration : (1,54 − 1,11) / 1,54 × 100 = 28 % de mieux.
Exercice 4 Lire les valeurs réglementaires (guidé) Socle
À l'aide du tableau RE 2020 :

a) Quel Uw max pour une fenêtre bois double vitrage ?
b) Une fenêtre PVC avec Uw = 1,5 est-elle conforme ?
c) Quel type de vitrage permet d'atteindre Uw ≤ 1,0 ?
Correction :
a) Uw max = 1,6 W/(m²·K)
b) 1,5 > 1,4 → non conforme pour le PVC
c) Le triple vitrage
Exercice 5 Uw d'une fenêtre bois complète Standard
Une fenêtre bois de 1,20 m × 1,40 m a les caractéristiques suivantes :
• Surface totale : \(S_w = 1{,}68\) m²
• Surface de vitrage : \(S_g = 1{,}20\) m² avec \(U_g = 1{,}1\) W/(m²·K)
• Surface de cadre : \(S_f = 0{,}48\) m² avec \(U_f = 1{,}5\) W/(m²·K)

1. Calculer \(U_w\) avec la formule de la moyenne pondérée.
2. Cette fenêtre est-elle conforme à la RE 2020 (bois DV : Uw ≤ 1,6) ?
Correction :
1. \(U_w = \dfrac{1{,}1 \times 1{,}20 + 1{,}5 \times 0{,}48}{1{,}20 + 0{,}48} = \dfrac{1{,}32 + 0{,}72}{1{,}68} = \dfrac{2{,}04}{1{,}68} = 1{,}21\) W/(m²·K)
2. 1,21 < 1,6 → conforme.
Exercice 6 Déperditions par les fenêtres Standard
Une maison a 8 fenêtres identiques (Uw = 1,3 W/(m²·K), S = 1,5 m² chacune). Températures : intérieur 20 °C, extérieur 2 °C.

1. Calculer \(\Delta T\).
2. Calculer les déperditions d'une fenêtre : \(\Phi_1 = U_w \times S \times \Delta T\).
3. Calculer les déperditions totales des 8 fenêtres.
4. Si on remplace par du triple vitrage (Uw = 0,8), quelle économie de puissance réalise-t-on ?
Correction :
1. ΔT = 20 − 2 = 18 °C
2. Φ1 = 1,3 × 1,5 × 18 = 35,1 W
3. Φtotal = 8 × 35,1 = 280,8 W
4. Triple : Φ = 8 × 0,8 × 1,5 × 18 = 172,8 W. Économie : 280,8 − 172,8 = 108 W (réduction de 38 %).
Exercice 7 Influence du cadre — bois vs aluminium Standard
Deux fenêtres de mêmes dimensions (\(S_g = 1{,}20\) m², \(S_f = 0{,}48\) m²) avec le même vitrage (\(U_g = 1{,}1\)).
• Fenêtre A : cadre bois, \(U_f = 1{,}5\)
• Fenêtre B : cadre aluminium sans RPT, \(U_f = 5{,}0\)

1. Calculer Uw pour chaque fenêtre.
2. Laquelle est conforme à la RE 2020 ?
3. Pourquoi le cadre aluminium dégrade-t-il autant les performances ? Quel lien avec la conductivité \(\lambda\) de l'aluminium ?
Correction :
1. Bois : \(U_w = (1{,}1 \times 1{,}20 + 1{,}5 \times 0{,}48) / 1{,}68 = 2{,}04 / 1{,}68 = 1{,}21\)
Alu : \(U_w = (1{,}1 \times 1{,}20 + 5{,}0 \times 0{,}48) / 1{,}68 = (1{,}32 + 2{,}40) / 1{,}68 = 2{,}21\)

2. Bois : 1,21 < 1,6 → conforme. Alu : 2,21 > 1,8 → non conforme.

3. L'aluminium a \(\lambda = 160\) W/(m·K), soit 1 200 fois plus que le bois (0,13). Le cadre alu laisse passer énormément de chaleur → c'est un pont thermique. Solution : la rupture de pont thermique (RPT) insère un isolant dans le profil alu.
Exercice 8 Triple vitrage — calcul et intérêt Approfondissement
Un triple vitrage 4/12/4/12/4 comporte 3 vitres et 2 lames d'argon (\(\lambda = 0{,}018\)).

1. Calculer Rg du triple vitrage.
2. Calculer Ug.
3. Comparer avec le double vitrage 4/16/4 argon (exercice 3).
4. Le triple vitrage est plus lourd (3 vitres au lieu de 2). Quel impact pour le menuisier qui fabrique et pose les fenêtres ?
Correction :
1. R = 3 × (0,004/1,00) + 2 × (0,012/0,018) = 0,012 + 2 × 0,667 = 0,012 + 1,333 = 1,345
2. Ug = 1 / 1,345 = 0,74 W/(m²·K)
3. DV argon 4/16/4 : U = 1,11. Le triple vitrage est 33 % meilleur.
4. Masse plus élevée → quincaillerie plus robuste (paumelles, compas), cadre renforcé, manutention plus difficile en pose. Le menuisier doit adapter ses fixations et vérifier que le dormant supporte le poids supplémentaire.
Exercice 9 Rentabilité du remplacement simple → double Approfondissement
Une maison a 10 fenêtres simple vitrage (Uw = 5,0, S = 1,5 m²). On les remplace par du double vitrage bois (Uw = 1,3). Conditions : ΔT = 18 °C, chauffage 10 h/jour, 180 jours/an, 0,25 €/kWh. Coût du remplacement : 8 000 €.

1. Calculer les déperditions totales avant et après remplacement.
2. Calculer l'économie annuelle en €.
3. Calculer le temps de retour sur investissement.
Correction :
1. Avant : Φ = 10 × 5,0 × 1,5 × 18 = 1 350 W
Après : Φ = 10 × 1,3 × 1,5 × 18 = 351 W

2. ΔΦ = 1 350 − 351 = 999 W = 0,999 kW
Énergie : 0,999 × 10 × 180 = 1 798 kWh/an
Économie : 1 798 × 0,25 = 449,50 €/an

3. Retour : 8 000 / 449,50 = 17,8 ans ≈ 18 ans.
Exercice 10 Concevoir une fenêtre conforme RE 2020 Approfondissement
Un menuisier doit concevoir une fenêtre bois conforme RE 2020 (Uw ≤ 1,6). Les dimensions sont : Sg = 0,90 m² et Sf = 0,60 m² (petite fenêtre avec beaucoup de cadre). Le cadre bois a Uf = 1,5.

1. Quel Ug maximal le vitrage doit-il avoir pour que Uw ≤ 1,6 ?
Indication : poser l'inégalité \(\dfrac{U_g \times 0{,}90 + 1{,}5 \times 0{,}60}{1{,}50} \leq 1{,}6\) et résoudre.

2. Quel type de vitrage choisir (simple, double air, double argon, triple) ?
3. Pourquoi les petites fenêtres (avec beaucoup de cadre par rapport au vitrage) sont-elles plus difficiles à rendre conformes ?
Correction :
1. \(U_g \times 0{,}90 + 0{,}90 \leq 1{,}6 \times 1{,}50 = 2{,}40\)
\(U_g \times 0{,}90 \leq 2{,}40 - 0{,}90 = 1{,}50\)
\(U_g \leq 1{,}50 / 0{,}90 = 1{,}67\) W/(m²·K)

2. DV 4/16/4 air : Ug ≈ 1,54 < 1,67 → conforme (de justesse).
DV 4/16/4 argon : Ug ≈ 1,11 → conforme avec marge.
Un double vitrage argon est le choix optimal.

3. Plus le rapport Sf/Sg est élevé, plus le cadre (moins isolant que le vitrage) pèse dans la moyenne → Uw augmente. Les petites fenêtres ont proportionnellement plus de cadre → plus difficiles à rendre conformes.
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