Déperditions thermiques et puissance de chauffage

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro ERA | Savoir S4.1 — CME 6

Objectifs

Calculer les déperditions thermiques d'un local à partir de la formule \(\Phi = U \times S \times \Delta T\)
Additionner les déperditions de chaque paroi pour obtenir la perte totale
Dimensionner un appareil de chauffage avec une marge de sécurité de 20 %
Calculer l'énergie consommée et le coût mensuel d'un chauffage électrique
Comparer l'impact de l'isolation sur la facture d'énergie

Identification de la ressource

Savoir professionnel ERA : S4.1 — Isolation thermique
Module sciences : CME 6 — Comment fonctionnent certains dispositifs de chauffage ?
Notions mathématiques : Multiplication, unités de puissance/énergie, calcul de coût
Niveau : Première Bac Pro ERA

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Bureau d'accueil agencé

Un menuisier agenceur vient de terminer l'installation complète d'un bureau d'accueil dans des locaux commerciaux. La pièce mesure 5 m × 4 m pour une hauteur sous plafond de 2,5 m.

Les parois présentent les caractéristiques suivantes :

Murs extérieurs (déduction faite de la fenêtre) : S = 40 m², U = 0,35 W/(m²·K)
Fenêtre double vitrage : S = 5 m², U = 1,4 W/(m²·K)
Plafond isolé : S = 20 m², U = 0,20 W/(m²·K)
Plancher sur terre-plein : S = 20 m², U = 0,40 W/(m²·K)

Le client vous demande : « Quel radiateur électrique faut-il installer pour maintenir 20 °C quand il fait −5 °C dehors ? Et combien ça va coûter par mois ? »

2. Les déperditions thermiques par transmission

Définition — Déperditions thermiques Φ
Les déperditions thermiques d'une paroi représentent la puissance thermique perdue à travers cette paroi. On les calcule par : \[ \Phi = U \times S \times \Delta T \]

\(\Phi\) : déperditions en watts (W)
\(U\) : coefficient de transmission thermique en W/(m²·K)
\(S\) : surface de la paroi en m²
\(\Delta T = T_{\text{int}} - T_{\text{ext}}\) : écart de température en °C ou K

Propriété — Déperditions totales
Les déperditions totales d'un local sont la somme des déperditions de chaque paroi : \[ \Phi_{\text{total}} = \Phi_{\text{murs}} + \Phi_{\text{fenêtres}} + \Phi_{\text{plafond}} + \Phi_{\text{sol}} \]

Attention
\(\Delta T\) est toujours positif pour un calcul de chauffage : c'est la différence entre la température intérieure souhaitée et la température extérieure de dimensionnement.
Ex. : T_int = 20 °C, T_ext = −5 °C → \(\Delta T = 20 - (-5) = 25\) °C.

3. Dimensionner le chauffage

Propriété — Puissance de chauffage
Le radiateur doit fournir au minimum autant de puissance que les déperditions totales. En pratique, on applique une marge de sécurité de 20 % pour compenser les ponts thermiques, l'ouverture des portes, etc. : \[ P_{\text{chauf}} = 1{,}2 \times \Phi_{\text{total}} \] On choisit ensuite le modèle commercial immédiatement supérieur (500 W, 750 W, 1 000 W, 1 500 W, 2 000 W…).

Méthode — Démarche de dimensionnement

Lister toutes les parois du local avec leur surface S et leur coefficient U
Calculer \(\Delta T\) entre la température intérieure souhaitée et la température extérieure de projet
Calculer \(\Phi_i = U_i \times S_i \times \Delta T\) pour chaque paroi
Faire la somme : \(\Phi_{\text{total}} = \sum \Phi_i\)
Calculer \(P_{\text{chauf}} = 1{,}2 \times \Phi_{\text{total}}\)
Choisir le radiateur commercial de puissance immédiatement supérieure

4. Coût énergétique

Propriété — Énergie et coût
L'énergie consommée par un chauffage électrique de puissance P fonctionnant pendant une durée t : \[ E = P \times t \quad \text{(P en kW, t en h, E en kWh)} \] Le coût de la consommation est : \[ \text{Coût} = E \times p_{\text{kWh}} \quad \text{(€)} \] où \(p_{\text{kWh}}\) est le prix du kilowattheure (environ 0,20 €/kWh en 2024).

5. Application complète — Bureau d'accueil

Application — Calcul complet pour le bureau d'accueil
Données : T_int = 20 °C, T_ext = −5 °C → \(\Delta T = 25\) °C

Étape 1 — Déperditions par paroi :

Paroi	U (W/m²·K)	S (m²)	ΔT (°C)	Φ (W)
Murs	0,35	40	25	350
Fenêtre	1,4	5	25	175
Plafond	0,20	20	25	100
Plancher	0,40	20	25	200
Total				825 W

Étape 2 — Puissance avec marge de sécurité :
\[ P_{\text{chauf}} = 1{,}2 \times 825 = 990 \text{ W} \] → On choisit un radiateur de 1 000 W (gamme commerciale).

Étape 3 — Coût mensuel (8 h/jour, 30 jours, prix = 0,20 €/kWh) :
\[ t = 8 \times 30 = 240 \text{ h} \] \[ E = 1{,}0 \text{ kW} \times 240 \text{ h} = 240 \text{ kWh} \] \[ \text{Coût} = 240 \times 0{,}20 = \mathbf{48{,}00 \text{ €}} \]

À retenir

\(\Phi = U \times S \times \Delta T\) — déperditions en W
\(\Phi_{\text{total}} = \sum \Phi_i\) — somme de toutes les parois
\(P_{\text{chauf}} = 1{,}2 \times \Phi_{\text{total}}\) — marge de sécurité 20 %
\(E = P \times t\) — énergie en kWh (P en kW, t en h)
\(\text{Coût} = E \times p_{\text{kWh}}\) — coût en €
La fenêtre est souvent le point faible thermique (U élevé) malgré une petite surface

Exercices

Exercice 1 Calcul d'une déperdition (guidé) Socle

Un mur de paroi d'agencement a les caractéristiques suivantes : U = 0,40 W/(m²·K), S = 15 m².
La température intérieure est 19 °C et la température extérieure est −1 °C.

Étape 1 : Calculer \(\Delta T\).
\(\Delta T = T_{\text{int}} - T_{\text{ext}} = \ldots - (\ldots) = \ldots\) °C

Étape 2 : Écrire la formule des déperditions.
\(\Phi = \ldots \times \ldots \times \ldots\)

Étape 3 : Calculer numériquement.
\(\Phi = \ldots \times \ldots \times \ldots = \ldots\) W

Correction :
Étape 1 : \(\Delta T = 19 - (-1) = 20\) °C
Étape 2 : \(\Phi = U \times S \times \Delta T\)
Étape 3 : \(\Phi = 0{,}40 \times 15 \times 20 = \mathbf{120 \text{ W}}\)

Exercice 2 Puissance de chauffage avec marge Socle

Les déperditions totales d'une cabine d'essayage agencée sont \(\Phi_{\text{total}} = 480\) W.

Étape 1 : Calculer la puissance de chauffage avec la marge de 20 %.
\(P_{\text{chauf}} = 1{,}2 \times \ldots = \ldots\) W

Étape 2 : Choisir dans la gamme : 250 W, 500 W, 750 W, 1 000 W.
Je choisis : ……… W

Correction :
Étape 1 : \(P_{\text{chauf}} = 1{,}2 \times 480 = 576\) W
Étape 2 : 576 W → on choisit le modèle immédiatement supérieur : 750 W

Exercice 3 Bilan thermique d'une cabine d'essayage Standard

Une cabine d'essayage agencée dans un magasin a les caractéristiques suivantes :

Murs : S = 18 m², U = 0,35 W/(m²·K)
Plafond : S = 12 m², U = 0,22 W/(m²·K)
Plancher : S = 12 m², U = 0,45 W/(m²·K)

Conditions : T_int = 20 °C, T_ext = −2 °C.

1. Calculer \(\Phi\) pour chaque paroi.
2. Calculer \(\Phi_{\text{total}}\).
3. Calculer \(P_{\text{chauf}}\) et choisir le radiateur dans la gamme : 500 W / 750 W / 1 000 W / 1 500 W.

Correction :
\(\Delta T = 20 - (-2) = 22\) °C
\(\Phi_{\text{murs}} = 0{,}35 \times 18 \times 22 = 138{,}6\) W
\(\Phi_{\text{plafond}} = 0{,}22 \times 12 \times 22 = 58{,}1\) W
\(\Phi_{\text{sol}} = 0{,}45 \times 12 \times 22 = 118{,}8\) W
\(\Phi_{\text{total}} = 138{,}6 + 58{,}1 + 118{,}8 = 315{,}5\) W
\(P_{\text{chauf}} = 1{,}2 \times 315{,}5 = 378{,}6\) W → on choisit 500 W

Exercice 4 Coût mensuel de chauffage Standard

Un radiateur électrique de 1 200 W chauffe un espace de présentation agencé.
Il fonctionne 6 h par jour pendant 25 jours. Le prix de l'électricité est 0,20 €/kWh.

1. Calculer la durée totale de fonctionnement en heures.
2. Calculer l'énergie consommée en kWh.
3. Calculer le coût total.

Correction :
1. \(t = 6 \times 25 = 150\) h
2. \(E = 1{,}2 \text{ kW} \times 150 \text{ h} = 180\) kWh
3. Coût \(= 180 \times 0{,}20 = \mathbf{36{,}00 \text{ €}}\)

Exercice 5 Rentabilité d'une amélioration d'isolation Approfondissement

Un agenceur propose à son client deux solutions pour une cloison de cuisine (S = 12 m², ΔT = 25 °C) :

Solution A : cloison standard — U = 0,35 W/(m²·K)
Solution B : cloison renforcée — U = 0,22 W/(m²·K) — surcoût de 180 €

Le chauffage fonctionne 2 000 h/an. Le prix de l'électricité est 0,20 €/kWh.

1. Calculer \(\Phi_A\) et \(\Phi_B\).
2. Calculer l'économie annuelle d'énergie en kWh, puis en euros.
3. Calculer le temps de retour sur investissement (en années).
4. Conclure sur l'intérêt économique de la solution B.

Correction :
1. \(\Phi_A = 0{,}35 \times 12 \times 25 = 105\) W ; \(\Phi_B = 0{,}22 \times 12 \times 25 = 66\) W
2. \(\Delta\Phi = 105 - 66 = 39\) W = 0,039 kW
Économie annuelle : \(E = 0{,}039 \times 2\,000 = 78\) kWh → \(78 \times 0{,}20 = 15{,}60\) €/an
3. Retour = \(180 \div 15{,}60 \approx 11{,}5\) ans
4. Sur le plan purement économique, le retour est long (≈ 12 ans). Mais la solution B améliore aussi le confort thermique et peut valoriser le bien. Pour un client sensible à la performance énergétique, elle reste intéressante.

Exercice 6 Comparaison avant/après isolation — rentabilité sur 15 ans Approfondissement

Un menuisier agenceur propose d'isoler les murs d'un espace bureau de 25 m² : U actuel = 0,80 W/(m²·K), U cible = 0,28 W/(m²·K). ΔT = 22 °C.
Le chauffage fonctionne 2 200 h/an. Électricité à 0,22 €/kWh. Coût des travaux : 2 400 €.

1. Calculer \(\Phi_{\text{avant}}\) et \(\Phi_{\text{après}}\).
2. Calculer l'économie annuelle d'énergie en euros.
3. Sur 15 ans, le client récupère-t-il la mise de 2 400 € ?
4. Quels arguments non financiers peut avancer l'agenceur pour convaincre le client ?

Correction :
1. \(\Phi_{\text{avant}} = 0{,}80 \times 25 \times 22 = 440\) W ; \(\Phi_{\text{après}} = 0{,}28 \times 25 \times 22 = 154\) W
2. \(\Delta\Phi = 440 - 154 = 286\) W = 0,286 kW
Économie annuelle : \(0{,}286 \times 2\,200 \times 0{,}22 = 138{,}4\) €/an
3. Sur 15 ans : \(138{,}4 \times 15 = 2\,076\) € → le client récupère 2 076 € sur 2 400 € investis. L'investissement n'est pas totalement remboursé en 15 ans (retour ≈ 17 ans).
4. Arguments non financiers : meilleur confort thermique (pas de murs froids, pas de courant d'air), valorisation du bien immobilier, réduction de l'empreinte carbone, potentielle amélioration du DPE.

Exercice 7 Calculer Φ pour une seule paroi (guidé) Socle

Un mur de bureau a les caractéristiques suivantes : U = 0,40 W/(m²·K), S = 10 m². La température intérieure est de 19 °C et la température extérieure est de 4 °C.

Étape 1 : \(\Delta T = \ldots - \ldots = \ldots\) °C
Étape 2 : \(\Phi = U \times S \times \Delta T = \ldots \times \ldots \times \ldots = \ldots\) W

Correction :
Étape 1 : \(\Delta T = 19 - 4 = 15\) °C
Étape 2 : \(\Phi = 0{,}40 \times 10 \times 15 = 60\) W

Exercice 8 Additionner les déperditions (guidé) Socle

Un local a trois parois donnant sur l'extérieur. Les déperditions de chaque paroi sont indiquées sur le schéma.

1. Calculer \(\Phi_{\text{total}}\).
2. Quelle paroi provoque le plus de pertes ?
3. Quel radiateur choisir : 200 W, 300 W ou 500 W ?

Correction :
1. \(\Phi_{\text{total}} = 80 + 120 + 60 = 260\) W
2. La fenêtre (120 W) provoque le plus de pertes.
3. Il faut choisir le radiateur 300 W (premier calibre au-dessus de 260 W).

Exercice 9 Influence de la température extérieure Standard

Un magasin agencé a des déperditions totales \(\Phi = 1\,200\) W quand \(T_{\text{int}} = 20\) °C et \(T_{\text{ext}} = 0\) °C (soit \(\Delta T = 20\) °C).

1. Calculer le coefficient global de déperdition \(K = \Phi / \Delta T\) en W/°C.
2. En utilisant ce coefficient, calculer les déperditions pour \(T_{\text{ext}} = -5\) °C.
3. Même question pour \(T_{\text{ext}} = 10\) °C.
4. Tracer un graphique montrant \(\Phi\) en fonction de \(T_{\text{ext}}\) (de −10 °C à +15 °C).

Correction :
1. \(K = 1\,200 / 20 = 60\) W/°C
2. \(\Delta T = 20 - (-5) = 25\) °C → \(\Phi = 60 \times 25 = 1\,500\) W
3. \(\Delta T = 20 - 10 = 10\) °C → \(\Phi = 60 \times 10 = 600\) W
4. Droite passant par (20 °C ext, 0 W) et (−10 °C ext, 1 800 W). Relation linéaire : plus il fait froid, plus les déperditions augmentent.

Exercice 10 Bilan complet d'un local agencé Approfondissement

Un architecte d'intérieur demande à un menuisier agenceur de vérifier le bilan thermique d'un bureau de 20 m². Le local a les parois extérieures suivantes :

Paroi	S (m²)	U (W/(m²·K))
Mur isolé	12	0,30
Baie vitrée DV	6	1,10
Plafond	20	0,22
Sol sur terre-plein	20	0,35

Renouvellement d'air : débit de 50 m³/h (\(\rho_{\text{air}} = 1{,}2\) kg/m³, \(c = 1\,005\) J/(kg·°C)).
Conditions : \(T_{\text{int}} = 20\) °C, \(T_{\text{ext}} = -5\) °C.

1. Calculer les déperditions par chaque paroi.
2. Calculer les déperditions par renouvellement d'air : \(\Phi_{\text{air}} = \dot{m} \times c \times \Delta T / 3\,600\) (avec \(\dot{m}\) en kg/h).
3. Calculer les déperditions totales.
4. Quelle puissance de chauffage installer (prendre une marge de 20 %) ?

Correction :
\(\Delta T = 20 - (-5) = 25\) °C

1. Mur : \(0{,}30 \times 12 \times 25 = 90\) W
Baie : \(1{,}10 \times 6 \times 25 = 165\) W
Plafond : \(0{,}22 \times 20 \times 25 = 110\) W
Sol : \(0{,}35 \times 20 \times 25 = 175\) W
Total parois : \(90 + 165 + 110 + 175 = 540\) W

2. \(\dot{m} = 50 \times 1{,}2 = 60\) kg/h
\(\Phi_{\text{air}} = 60 \times 1\,005 \times 25 / 3\,600 = 419\) W

3. \(\Phi_{\text{total}} = 540 + 419 = 959\) W

4. Avec marge 20 % : \(959 \times 1{,}20 = 1\,151\) W → installer un radiateur de 1 200 W minimum (soit 1,2 kW).