Efforts dans un treillis de charpente
Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro MA | S4.24 — Systèmes triangulés
Dernière mise à jour : 4 septembre 2026
Objectifs
- Reconnaître un système triangulé (treillis, ferme de charpente)
- Identifier les barres en traction et en compression
- Utiliser la trigonométrie (sin, cos, tan) pour décomposer les forces aux nœuds
- Calculer les efforts dans les barres d'un treillis simple
Identification de la ressource
- Savoir professionnel MA : S4.24 — Efforts dans les systèmes triangulés (spécifique MA)
- Notions mathématiques : Trigonométrie (sin, cos, tan), vecteurs, équations
- Niveau : Première Bac Pro MA
1. Mise en situation professionnelle
Contexte professionnel — Charpente légère d'un appentis
Un menuisier fabrique une charpente légère pour un appentis. La ferme triangulée est composée d'un entrait (barre horizontale), de deux arbalétriers (barres inclinées) et d'un poinçon (barre verticale centrale). Il réalise un premier calcul d'équilibre sur un modèle idéal avant de transmettre les résultats au bureau d'études chargé du dimensionnement.
Un menuisier fabrique une charpente légère pour un appentis. La ferme triangulée est composée d'un entrait (barre horizontale), de deux arbalétriers (barres inclinées) et d'un poinçon (barre verticale centrale). Il réalise un premier calcul d'équilibre sur un modèle idéal avant de transmettre les résultats au bureau d'études chargé du dimensionnement.
2. Principe du treillis
Définition — Système triangulé
Dans le modèle de treillis idéal, les barres sont droites, articulées aux nœuds et les charges sont appliquées aux nœuds. Elles travaillent alors uniquement en traction ou en compression. La triangulation rend la géométrie stable ; les assemblages réels, les charges réparties et la flexion demandent une vérification complémentaire.
Dans le modèle de treillis idéal, les barres sont droites, articulées aux nœuds et les charges sont appliquées aux nœuds. Elles travaillent alors uniquement en traction ou en compression. La triangulation rend la géométrie stable ; les assemblages réels, les charges réparties et la flexion demandent une vérification complémentaire.
Traction et compression
- Une barre en traction est « étirée » → l'entrait est souvent en traction
- Une barre en compression est « poussée » → les arbalétriers sont souvent en compression
- Le poinçon peut être en traction, en compression ou ne transmettre aucun effort selon les charges et les assemblages
3. Décomposition des forces — trigonométrie
Rappels trigonométriques
Dans un triangle rectangle d'angle \(\alpha\) : \[ \cos \alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \]
Dans un triangle rectangle d'angle \(\alpha\) : \[ \cos \alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \]
Effort dans l'arbalétrier
Pour une ferme simple avec une charge F au sommet et un angle α entre l'arbalétrier et l'horizontale :
Effort dans chaque arbalétrier : \[ N_{\text{arb}} = \frac{F}{2 \times \sin \alpha} \] Effort dans l'entrait (traction horizontale) : \[ N_{\text{ent}} = \frac{F}{2 \times \tan \alpha} \] Ces relations correspondent uniquement au modèle symétrique représenté : charge verticale ponctuelle F au sommet, appuis idéalisés et poids propre des barres négligé. Le poinçon y porte un effort nul.
Pour une ferme simple avec une charge F au sommet et un angle α entre l'arbalétrier et l'horizontale :
Effort dans chaque arbalétrier : \[ N_{\text{arb}} = \frac{F}{2 \times \sin \alpha} \] Effort dans l'entrait (traction horizontale) : \[ N_{\text{ent}} = \frac{F}{2 \times \tan \alpha} \] Ces relations correspondent uniquement au modèle symétrique représenté : charge verticale ponctuelle F au sommet, appuis idéalisés et poids propre des barres négligé. Le poinçon y porte un effort nul.
Exemple — Ferme d'appentis
Charge au sommet F = 6 000 N (poids toiture + neige). Angle α = 30°.
Arbalétrier : \(N = \dfrac{6\,000}{2 \times \sin 30°} = \dfrac{6\,000}{2 \times 0{,}5} = 6\,000\) N (compression)
Entrait : \(N = \dfrac{6\,000}{2 \times \tan 30°} = \dfrac{6\,000}{2 \times 0{,}577} = 5\,196\) N (traction)
Charge au sommet F = 6 000 N (poids toiture + neige). Angle α = 30°.
Arbalétrier : \(N = \dfrac{6\,000}{2 \times \sin 30°} = \dfrac{6\,000}{2 \times 0{,}5} = 6\,000\) N (compression)
Entrait : \(N = \dfrac{6\,000}{2 \times \tan 30°} = \dfrac{6\,000}{2 \times 0{,}577} = 5\,196\) N (traction)
Attention — Faible pente
Plus l'angle α est petit (toit plat), plus les efforts dans les barres sont grands. À α = 15° : \(N_{\text{arb}} = F / (2 \times 0{,}259) = 1{,}93 \times F\) ! Un toit à faible pente sollicite beaucoup plus la structure.
Plus l'angle α est petit (toit plat), plus les efforts dans les barres sont grands. À α = 15° : \(N_{\text{arb}} = F / (2 \times 0{,}259) = 1{,}93 \times F\) ! Un toit à faible pente sollicite beaucoup plus la structure.
À retenir
- Le triangle est indéformable → base des charpentes
- Dans le modèle chargé au sommet : arbalétriers en compression, entrait en traction, poinçon à effort nul
- \(N_{\text{arb}} = F / (2 \sin \alpha)\) — \(N_{\text{ent}} = F / (2 \tan \alpha)\)
- Plus la pente est faible, plus les efforts calculés sont grands
- Ce calcul d'équilibre n'est pas un dimensionnement de charpente
Exercices
Socle
Exercice 1 — Rappels trigonométrie (guidé)
Calculer à la calculatrice :
Calculer à la calculatrice :
- sin 30° = …
- cos 30° = …
- tan 30° = …
- sin 45° = …
- cos 45° = …
- tan 45° = …
- sin 60° = …
- tan 60° = …
- 0,500
- 0,866
- 0,577
- 0,707
- 0,707
- 1,000
- 0,866
- 1,732
Socle
Exercice 2 — Traction ou compression ? (guidé)
Pour la ferme du schéma du cours, indiquer si chaque barre est en traction (T) ou compression (C) :
Pour la ferme du schéma du cours, indiquer si chaque barre est en traction (T) ou compression (C) :
- Arbalétrier gauche : …
- Arbalétrier droit : …
- Entrait : …
- Poinçon, dans ce modèle sans charge au nœud inférieur : …
- C (compression)
- C
- T (traction)
- Effort nul. Au nœud central inférieur, les deux parties de l'entrait sont colinéaires et aucune charge extérieure n'est appliquée ; l'équilibre impose un effort nul dans le poinçon.
Socle
Exercice 3 — Effort arbalétrier à 45° (guidé)
F = 4 000 N, α = 45°, sin 45° = 0,707.
\(N_{\text{arb}} = \dfrac{F}{2 \times \sin \alpha} = \dfrac{4\,000}{2 \times \ldots} = \dfrac{4\,000}{\ldots} = \ldots\) N
F = 4 000 N, α = 45°, sin 45° = 0,707.
\(N_{\text{arb}} = \dfrac{F}{2 \times \sin \alpha} = \dfrac{4\,000}{2 \times \ldots} = \dfrac{4\,000}{\ldots} = \ldots\) N
- \(N = 4\,000 / (2 \times 0{,}707) = 4\,000 / 1{,}414 = 2\,829\) N
Socle
Exercice 4 — Effort dans l'entrait (guidé)
Mêmes données : F = 4 000 N, α = 45°, tan 45° = 1,000.
\(N_{\text{ent}} = \dfrac{4\,000}{2 \times 1{,}000} = \ldots\) N
Mêmes données : F = 4 000 N, α = 45°, tan 45° = 1,000.
\(N_{\text{ent}} = \dfrac{4\,000}{2 \times 1{,}000} = \ldots\) N
- \(N = 4\,000 / 2 = 2\,000\) N
Standard
Exercice 5 — Comparer deux pentes
Charge F = 8 000 N. Calculer Narb et Nent pour :
Charge F = 8 000 N. Calculer Narb et Nent pour :
- α = 30°
- α = 45°
- α = 60°
- Narb = 8 000/(2×0,5) = 8 000 N. Nent = 8 000/(2×0,577) = 6 928 N
- Narb = 8 000/1,414 = 5 657 N. Nent = 8 000/2 = 4 000 N
- Narb = 8 000/1,732 = 4 619 N. Nent = 8 000/3,464 = 2 309 N
Standard
Exercice 6 — Comparer une contrainte à une limite fournie
Dans le modèle idéal, l'entrait d'une ferme en sapin (α = 30°, F = 6 000 N) travaille en traction. Pour cet exercice, on fournit une limite de comparaison \(\sigma_{\text{lim}} = 8\) MPa (= 8 N/mm²).
Dans le modèle idéal, l'entrait d'une ferme en sapin (α = 30°, F = 6 000 N) travaille en traction. Pour cet exercice, on fournit une limite de comparaison \(\sigma_{\text{lim}} = 8\) MPa (= 8 N/mm²).
- Calculer Nent.
- La section minimale de l'entrait est : \(S_{\min} = N / \sigma_{\text{adm}}\). Calculer.
- L'entrait fait 80 × 100 mm. Le critère de contrainte simple est-il satisfait ? Peut-on valider la pièce avec ce seul calcul ?
- Nent = 6 000 / (2 × 0,577) = 5 196 N
- Smin = 5 196 / 8 = 650 mm²
- Section réelle : 80 × 100 = 8 000 mm² > 650 : le critère fourni est satisfait. Cela ne valide pas la pièce réelle, car les assemblages, la classe du bois, les combinaisons de charges et les coefficients réglementaires ne sont pas étudiés.
Standard
Exercice 7 — Ferme avec charge de neige
Une ferme de charpente a une portée L = 6 m et une pente α = 35°. Les charges sont :
• Poids propre toiture : 1 500 N
• Charge de neige : 2 400 N
Une ferme de charpente a une portée L = 6 m et une pente α = 35°. Les charges sont :
• Poids propre toiture : 1 500 N
• Charge de neige : 2 400 N
- Calculer la charge totale F au sommet.
- Calculer Narb et Nent.
- En hiver (avec neige), les efforts sont-ils plus importants qu'en été (sans neige) ? De combien ?
- F = 1 500 + 2 400 = 3 900 N
- sin 35° = 0,574, tan 35° = 0,700
Narb = 3 900 / (2 × 0,574) = 3 397 N
Nent = 3 900 / (2 × 0,700) = 2 786 N - Sans neige : Narb = 1 500 / 1,148 = 1 307 N. Avec neige : 3 397 N → 2,6 fois plus d'effort en hiver.
Approfondissement
Exercice 8 — Trouver l'angle à partir des dimensions
Une ferme a une portée de 5 m et une hauteur au faîtage de 2 m.
Une ferme a une portée de 5 m et une hauteur au faîtage de 2 m.
- Calculer la demi-portée.
- Calculer l'angle α de l'arbalétrier avec \(\tan \alpha = \text{hauteur} / \text{demi-portée}\).
- Calculer la longueur de l'arbalétrier (Pythagore).
- Pour F = 5 000 N, calculer Narb et Nent.
- Demi-portée = 5/2 = 2,5 m
- tan α = 2/2,5 = 0,800 → α = arctan(0,8) = 38,7°
- Larb = √(2,5² + 2²) = √(6,25 + 4) = √10,25 = 3,20 m
- sin 38,7° = 0,625. Narb = 5 000 / (2 × 0,625) = 4 000 N. Nent = 5 000 / (2 × 0,800) = 3 125 N.
Approfondissement
Exercice 9 — Seuil du modèle pour une section donnée
Un menuisier étudie une section 60 × 80 mm (S = 4 800 mm²) pour l'entrait. La limite de comparaison fournie est 8 N/mm² et la charge ponctuelle du modèle vaut F = 10 000 N.
Un menuisier étudie une section 60 × 80 mm (S = 4 800 mm²) pour l'entrait. La limite de comparaison fournie est 8 N/mm² et la charge ponctuelle du modèle vaut F = 10 000 N.
- Calculer l'effort maximal que l'entrait peut supporter.
- Écrire l'inégalité Nent ≤ Nmax en fonction de α.
- En déduire tan α minimum, puis α minimum.
- Quel angle minimal satisfait ce critère simplifié ? Pourquoi ne s'agit-il pas d'une pente à prescrire ?
- Nmax = σ × S = 8 × 4 800 = 38 400 N
- F / (2 tan α) ≤ 38 400 → 10 000 / (2 tan α) ≤ 38 400
- tan α ≥ 10 000 / (2 × 38 400) = 0,130 → α ≥ arctan(0,130) = 7,4°
- Le seuil du modèle vaut environ 7,5°. Il ne constitue pas une pente à prescrire : couverture, climat, charges réparties, assemblages et règles de calcul ne sont pas intégrés.
Approfondissement
Exercice 10 — Ferme complète — pré-calcul
Ferme de charpente en chêne pour un garage : portée 7 m, hauteur 3 m. Charges : toiture 2 000 N, neige 3 500 N, vent (soulèvement) −800 N.
Ferme de charpente en chêne pour un garage : portée 7 m, hauteur 3 m. Charges : toiture 2 000 N, neige 3 500 N, vent (soulèvement) −800 N.
- Calculer α et la longueur de l'arbalétrier.
- Calculer Narb et Nent en charge maximale (toiture + neige).
- Comparer la compression simple de l'arbalétrier à la limite fournie de 10 MPa, puis citer la vérification manquante.
- En cas de vent (soulèvement), la charge F diminue. Quel effet sur les efforts ? L'entrait reste-t-il en traction ?
- Demi-portée = 3,5 m. tan α = 3/3,5 = 0,857 → α = 40,6°. sin 40,6° = 0,651. Larb = √(3,5² + 3²) = √(12,25+9) = 4,61 m.
- F = 2 000 + 3 500 = 5 500 N. Narb = 5 500 / (2 × 0,651) = 4 224 N. Nent = 5 500 / (2 × 0,857) = 3 209 N.
- S = 80 × 120 = 9 600 mm². σ = 4 224 / 9 600 = 0,44 MPa < 10 MPa : le critère de compression simple est satisfait. Il manque notamment la vérification au flambement, ainsi que les assemblages et combinaisons réglementaires.
- F = 2 000 − 800 = 1 200 N (réduit). Nent = 1 200 / 1,714 = 700 N. L'entrait reste en traction (F reste positif = charge vers le bas). Si le vent était assez fort pour créer un soulèvement net (F < 0), l'entrait passerait en compression.
Sources et limites du modèle
- Commission européenne, support Eurocode 5 — calcul des structures en bois
- Référentiel du baccalauréat professionnel Technicien menuisier-agenceur
Les formules de la page décrivent un treillis plan, symétrique et articulé sous une charge ponctuelle au sommet. Elles servent à comprendre l'équilibre et ne constituent pas une note de calcul de charpente.