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Efforts dans un treillis de charpente

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro MA | S4.24 — Systèmes triangulés

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 20:18

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Charpente légère d'un appentis

Un menuisier fabrique une charpente légère pour un appentis. La ferme triangulée est composée d'un entrait (barre horizontale), de deux arbalétriers (barres inclinées) et d'un poinçon (barre verticale centrale). L'architecte demande de vérifier que les sections de bois sont suffisantes pour reprendre les efforts.
Entrait Arbalétrier Arbalétrier Poinçon F α L

2. Principe du treillis

Définition — Système triangulé
Un treillis (ou système triangulé) est une structure formée de barres articulées aux nœuds, assemblées en triangles. Le triangle est la seule forme géométrique indéformable → très utilisé en charpente.
Traction et compression

3. Décomposition des forces — trigonométrie

Rappels trigonométriques
Dans un triangle rectangle d'angle \(\alpha\) : \[ \cos \alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \]
Effort dans l'arbalétrier
Pour une ferme simple avec une charge F au sommet et un angle α entre l'arbalétrier et l'horizontale :

Effort dans chaque arbalétrier : \[ N_{\text{arb}} = \frac{F}{2 \times \sin \alpha} \] Effort dans l'entrait (traction horizontale) : \[ N_{\text{ent}} = \frac{F}{2 \times \tan \alpha} \]
Exemple — Ferme d'appentis
Charge au sommet F = 6 000 N (poids toiture + neige). Angle α = 30°.

Arbalétrier : \(N = \dfrac{6\,000}{2 \times \sin 30°} = \dfrac{6\,000}{2 \times 0{,}5} = 6\,000\) N (compression)

Entrait : \(N = \dfrac{6\,000}{2 \times \tan 30°} = \dfrac{6\,000}{2 \times 0{,}577} = 5\,196\) N (traction)
Attention — Faible pente
Plus l'angle α est petit (toit plat), plus les efforts dans les barres sont grands. À α = 15° : \(N_{\text{arb}} = F / (2 \times 0{,}259) = 1{,}93 \times F\) ! Un toit à faible pente sollicite beaucoup plus la structure.
À retenir

Exercices

Socle Exercice 1 — Rappels trigonométrie (guidé)

Calculer à la calculatrice :
  1. sin 30° = …
  2. cos 30° = …
  3. tan 30° = …
  4. sin 45° = …
  5. cos 45° = …
  6. tan 45° = …
  7. sin 60° = …
  8. tan 60° = …
  1. 0,500
  2. 0,866
  3. 0,577
  4. 0,707
  5. 0,707
  6. 1,000
  7. 0,866
  8. 1,732
Socle Exercice 2 — Traction ou compression ? (guidé)

Pour la ferme du schéma du cours, indiquer si chaque barre est en traction (T) ou compression (C) :
  1. Arbalétrier gauche : …
  2. Arbalétrier droit : …
  3. Entrait : …
  4. Poinçon : …
  1. C (compression)
  2. C
  3. T (traction)
  4. T
Socle Exercice 3 — Effort arbalétrier à 45° (guidé)

F = 4 000 N, α = 45°, sin 45° = 0,707.

\(N_{\text{arb}} = \dfrac{F}{2 \times \sin \alpha} = \dfrac{4\,000}{2 \times \ldots} = \dfrac{4\,000}{\ldots} = \ldots\) N
  1. \(N = 4\,000 / (2 \times 0{,}707) = 4\,000 / 1{,}414 = 2\,829\) N
Socle Exercice 4 — Effort dans l'entrait (guidé)

Mêmes données : F = 4 000 N, α = 45°, tan 45° = 1,000.

\(N_{\text{ent}} = \dfrac{4\,000}{2 \times 1{,}000} = \ldots\) N
  1. \(N = 4\,000 / 2 = 2\,000\) N
Standard Exercice 5 — Comparer deux pentes

Charge F = 8 000 N. Calculer Narb et Nent pour :
  1. α = 30°
  2. α = 45°
  3. α = 60°
Que constatez-vous quand l'angle augmente ?
  1. Narb = 8 000/(2×0,5) = 8 000 N. Nent = 8 000/(2×0,577) = 6 928 N
  2. Narb = 8 000/1,414 = 5 657 N. Nent = 8 000/2 = 4 000 N
  3. Narb = 8 000/1,732 = 4 619 N. Nent = 8 000/3,464 = 2 309 N
Quand α augmente (pente plus raide), les efforts diminuent dans les deux barres.
Standard Exercice 6 — Vérifier la section de l'entrait

L'entrait d'une ferme en sapin (α = 30°, F = 6 000 N) travaille en traction. La contrainte admissible du sapin en traction est \(\sigma_{\text{adm}} = 8\) MPa (= 8 N/mm²).
  1. Calculer Nent.
  2. La section minimale de l'entrait est : \(S_{\min} = N / \sigma_{\text{adm}}\). Calculer.
  3. L'entrait fait 80 × 100 mm. Sa section est-elle suffisante ?
  1. Nent = 6 000 / (2 × 0,577) = 5 196 N
  2. Smin = 5 196 / 8 = 650 mm²
  3. Section réelle : 80 × 100 = 8 000 mm² >> 650 → largement suffisante.
Standard Exercice 7 — Ferme avec charge de neige

Une ferme de charpente a une portée L = 6 m et une pente α = 35°. Les charges sont :
• Poids propre toiture : 1 500 N
• Charge de neige : 2 400 N
  1. Calculer la charge totale F au sommet.
  2. Calculer Narb et Nent.
  3. En hiver (avec neige), les efforts sont-ils plus importants qu'en été (sans neige) ? De combien ?
  1. F = 1 500 + 2 400 = 3 900 N
  2. sin 35° = 0,574, tan 35° = 0,700
    Narb = 3 900 / (2 × 0,574) = 3 397 N
    Nent = 3 900 / (2 × 0,700) = 2 786 N
  3. Sans neige : Narb = 1 500 / 1,148 = 1 307 N. Avec neige : 3 397 N → 2,6 fois plus d'effort en hiver.
Approfondissement Exercice 8 — Trouver l'angle à partir des dimensions

Une ferme a une portée de 5 m et une hauteur au faîtage de 2 m.
  1. Calculer la demi-portée.
  2. Calculer l'angle α de l'arbalétrier avec \(\tan \alpha = \text{hauteur} / \text{demi-portée}\).
  3. Calculer la longueur de l'arbalétrier (Pythagore).
  4. Pour F = 5 000 N, calculer Narb et Nent.
  1. Demi-portée = 5/2 = 2,5 m
  2. tan α = 2/2,5 = 0,800 → α = arctan(0,8) = 38,7°
  3. Larb = √(2,5² + 2²) = √(6,25 + 4) = √10,25 = 3,20 m
  4. sin 38,7° = 0,625. Narb = 5 000 / (2 × 0,625) = 4 000 N. Nent = 5 000 / (2 × 0,800) = 3 125 N.
Approfondissement Exercice 9 — Pente minimale pour une section donnée

Un menuisier dispose de bois de section 60 × 80 mm (S = 4 800 mm²) pour l'entrait. La contrainte admissible en traction est 8 N/mm². La charge est F = 10 000 N.
  1. Calculer l'effort maximal que l'entrait peut supporter.
  2. Écrire l'inégalité Nent ≤ Nmax en fonction de α.
  3. En déduire tan α minimum, puis α minimum.
  4. Quelle est la pente minimale du toit pour que l'entrait tienne ?
  1. Nmax = σ × S = 8 × 4 800 = 38 400 N
  2. F / (2 tan α) ≤ 38 400 → 10 000 / (2 tan α) ≤ 38 400
  3. tan α ≥ 10 000 / (2 × 38 400) = 0,130 → α ≥ arctan(0,130) = 7,4°
  4. Pente minimale ≈ 7,5°. En pratique, les charpentes bois ont rarement moins de 15° (écoulement des eaux).
Approfondissement Exercice 10 — Ferme complète — dimensionnement

Ferme de charpente en chêne pour un garage : portée 7 m, hauteur 3 m. Charges : toiture 2 000 N, neige 3 500 N, vent (soulèvement) −800 N.
  1. Calculer α et la longueur de l'arbalétrier.
  2. Calculer Narb et Nent en charge maximale (toiture + neige).
  3. Vérifier l'arbalétrier (section 80 × 120 mm, σcompression = 10 MPa).
  4. En cas de vent (soulèvement), la charge F diminue. Quel effet sur les efforts ? L'entrait reste-t-il en traction ?
  1. Demi-portée = 3,5 m. tan α = 3/3,5 = 0,857 → α = 40,6°. sin 40,6° = 0,651. Larb = √(3,5² + 3²) = √(12,25+9) = 4,61 m.
  2. F = 2 000 + 3 500 = 5 500 N. Narb = 5 500 / (2 × 0,651) = 4 224 N. Nent = 5 500 / (2 × 0,857) = 3 209 N.
  3. S = 80 × 120 = 9 600 mm². σ = 4 224 / 9 600 = 0,44 MPa << 10 MPa → largement suffisant.
  4. F = 2 000 − 800 = 1 200 N (réduit). Nent = 1 200 / 1,714 = 700 N. L'entrait reste en traction (F reste positif = charge vers le bas). Si le vent était assez fort pour créer un soulèvement net (F < 0), l'entrait passerait en compression.
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