Efforts dans un treillis de charpente

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro MA | S4.24 — Systèmes triangulés

Objectifs

Reconnaître un système triangulé (treillis, ferme de charpente)
Identifier les barres en traction et en compression
Utiliser la trigonométrie (sin, cos, tan) pour décomposer les forces aux nœuds
Calculer les efforts dans les barres d'un treillis simple

Identification de la ressource

Savoir professionnel MA : S4.24 — Efforts dans les systèmes triangulés (spécifique MA)
Notions mathématiques : Trigonométrie (sin, cos, tan), vecteurs, équations
Niveau : Première Bac Pro MA

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Charpente légère d'un appentis

Un menuisier fabrique une charpente légère pour un appentis. La ferme triangulée est composée d'un entrait (barre horizontale), de deux arbalétriers (barres inclinées) et d'un poinçon (barre verticale centrale). L'architecte demande de vérifier que les sections de bois sont suffisantes pour reprendre les efforts.

2. Principe du treillis

Définition — Système triangulé
Un treillis (ou système triangulé) est une structure formée de barres articulées aux nœuds, assemblées en triangles. Le triangle est la seule forme géométrique indéformable → très utilisé en charpente.

Traction et compression

Une barre en traction est « étirée » → l'entrait est souvent en traction
Une barre en compression est « poussée » → les arbalétriers sont souvent en compression
Le poinçon vertical est en traction (il retient l'entrait)

3. Décomposition des forces — trigonométrie

Rappels trigonométriques
Dans un triangle rectangle d'angle \(\alpha\) : \[ \cos \alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \]

Effort dans l'arbalétrier
Pour une ferme simple avec une charge F au sommet et un angle α entre l'arbalétrier et l'horizontale :

Effort dans chaque arbalétrier : \[ N_{\text{arb}} = \frac{F}{2 \times \sin \alpha} \] Effort dans l'entrait (traction horizontale) : \[ N_{\text{ent}} = \frac{F}{2 \times \tan \alpha} \]

Exemple — Ferme d'appentis
Charge au sommet F = 6 000 N (poids toiture + neige). Angle α = 30°.

Arbalétrier : \(N = \dfrac{6\,000}{2 \times \sin 30°} = \dfrac{6\,000}{2 \times 0{,}5} = 6\,000\) N (compression)

Entrait : \(N = \dfrac{6\,000}{2 \times \tan 30°} = \dfrac{6\,000}{2 \times 0{,}577} = 5\,196\) N (traction)

Attention — Faible pente
Plus l'angle α est petit (toit plat), plus les efforts dans les barres sont grands. À α = 15° : \(N_{\text{arb}} = F / (2 \times 0{,}259) = 1{,}93 \times F\) ! Un toit à faible pente sollicite beaucoup plus la structure.

À retenir

Le triangle est indéformable → base des charpentes
Arbalétriers : compression — Entrait : traction — Poinçon : traction
\(N_{\text{arb}} = F / (2 \sin \alpha)\) — \(N_{\text{ent}} = F / (2 \tan \alpha)\)
Plus la pente est faible, plus les efforts sont grands

Exercices

Exercice 1Rappels trigonométrie (guidé)Socle

Calculer à la calculatrice :
a) sin 30° = … b) cos 30° = … c) tan 30° = …
d) sin 45° = … e) cos 45° = … f) tan 45° = …
g) sin 60° = … h) tan 60° = …

Correction :
a) 0,500 b) 0,866 c) 0,577 d) 0,707 e) 0,707 f) 1,000 g) 0,866 h) 1,732

Exercice 2Traction ou compression ? (guidé)Socle

Pour la ferme du schéma du cours, indiquer si chaque barre est en traction (T) ou compression (C) :
a) Arbalétrier gauche : … b) Arbalétrier droit : …
c) Entrait : … d) Poinçon : …

Correction :
a) C (compression) b) C c) T (traction) d) T

Exercice 3Effort arbalétrier à 45° (guidé)Socle

F = 4 000 N, α = 45°, sin 45° = 0,707.

\(N_{\text{arb}} = \dfrac{F}{2 \times \sin \alpha} = \dfrac{4\,000}{2 \times \ldots} = \dfrac{4\,000}{\ldots} = \ldots\) N

Correction : \(N = 4\,000 / (2 \times 0{,}707) = 4\,000 / 1{,}414 = 2\,829\) N

Exercice 4Effort dans l'entrait (guidé)Socle

Mêmes données : F = 4 000 N, α = 45°, tan 45° = 1,000.

\(N_{\text{ent}} = \dfrac{4\,000}{2 \times 1{,}000} = \ldots\) N

Correction : \(N = 4\,000 / 2 = 2\,000\) N

Exercice 5Comparer deux pentesStandard

Charge F = 8 000 N. Calculer N_arb et N_ent pour :
a) α = 30° b) α = 45° c) α = 60°

Que constatez-vous quand l'angle augmente ?

Correction :
a) N_arb = 8 000/(2×0,5) = 8 000 N. N_ent = 8 000/(2×0,577) = 6 928 N
b) N_arb = 8 000/1,414 = 5 657 N. N_ent = 8 000/2 = 4 000 N
c) N_arb = 8 000/1,732 = 4 619 N. N_ent = 8 000/3,464 = 2 309 N

Quand α augmente (pente plus raide), les efforts diminuent dans les deux barres.

Exercice 6Vérifier la section de l'entraitStandard

L'entrait d'une ferme en sapin (α = 30°, F = 6 000 N) travaille en traction. La contrainte admissible du sapin en traction est \(\sigma_{\text{adm}} = 8\) MPa (= 8 N/mm²).

1. Calculer N_ent.
2. La section minimale de l'entrait est : \(S_{\min} = N / \sigma_{\text{adm}}\). Calculer.
3. L'entrait fait 80 × 100 mm. Sa section est-elle suffisante ?

Correction :
1. N_ent = 6 000 / (2 × 0,577) = 5 196 N
2. S_min = 5 196 / 8 = 650 mm²
3. Section réelle : 80 × 100 = 8 000 mm² >> 650 → largement suffisante.

Exercice 7Ferme avec charge de neigeStandard

Une ferme de charpente a une portée L = 6 m et une pente α = 35°. Les charges sont :
• Poids propre toiture : 1 500 N
• Charge de neige : 2 400 N

1. Calculer la charge totale F au sommet.
2. Calculer N_arb et N_ent.
3. En hiver (avec neige), les efforts sont-ils plus importants qu'en été (sans neige) ? De combien ?

Correction :
1. F = 1 500 + 2 400 = 3 900 N
2. sin 35° = 0,574, tan 35° = 0,700
N_arb = 3 900 / (2 × 0,574) = 3 397 N
N_ent = 3 900 / (2 × 0,700) = 2 786 N
3. Sans neige : N_arb = 1 500 / 1,148 = 1 307 N. Avec neige : 3 397 N → 2,6 fois plus d'effort en hiver.

Exercice 8Trouver l'angle à partir des dimensionsApprofondissement

Une ferme a une portée de 5 m et une hauteur au faîtage de 2 m.

1. Calculer la demi-portée.
2. Calculer l'angle α de l'arbalétrier avec \(\tan \alpha = \text{hauteur} / \text{demi-portée}\).
3. Calculer la longueur de l'arbalétrier (Pythagore).
4. Pour F = 5 000 N, calculer N_arb et N_ent.

Correction :
1. Demi-portée = 5/2 = 2,5 m
2. tan α = 2/2,5 = 0,800 → α = arctan(0,8) = 38,7°
3. L_arb = √(2,5² + 2²) = √(6,25 + 4) = √10,25 = 3,20 m
4. sin 38,7° = 0,625. N_arb = 5 000 / (2 × 0,625) = 4 000 N. N_ent = 5 000 / (2 × 0,800) = 3 125 N.

Exercice 9Pente minimale pour une section donnéeApprofondissement

Un menuisier dispose de bois de section 60 × 80 mm (S = 4 800 mm²) pour l'entrait. La contrainte admissible en traction est 8 N/mm². La charge est F = 10 000 N.

1. Calculer l'effort maximal que l'entrait peut supporter.
2. Écrire l'inégalité N_ent ≤ N_max en fonction de α.
3. En déduire tan α minimum, puis α minimum.
4. Quelle est la pente minimale du toit pour que l'entrait tienne ?

Correction :
1. N_max = σ × S = 8 × 4 800 = 38 400 N
2. F / (2 tan α) ≤ 38 400 → 10 000 / (2 tan α) ≤ 38 400
3. tan α ≥ 10 000 / (2 × 38 400) = 0,130 → α ≥ arctan(0,130) = 7,4°
4. Pente minimale ≈ 7,5°. En pratique, les charpentes bois ont rarement moins de 15° (écoulement des eaux).

Exercice 10Ferme complète — dimensionnementApprofondissement

Ferme de charpente en chêne pour un garage : portée 7 m, hauteur 3 m. Charges : toiture 2 000 N, neige 3 500 N, vent (soulèvement) −800 N.

1. Calculer α et la longueur de l'arbalétrier.
2. Calculer N_arb et N_ent en charge maximale (toiture + neige).
3. Vérifier l'arbalétrier (section 80 × 120 mm, σ_compression = 10 MPa).
4. En cas de vent (soulèvement), la charge F diminue. Quel effet sur les efforts ? L'entrait reste-t-il en traction ?

Correction :
1. Demi-portée = 3,5 m. tan α = 3/3,5 = 0,857 → α = 40,6°. sin 40,6° = 0,651. L_arb = √(3,5² + 3²) = √(12,25+9) = 4,61 m.
2. F = 2 000 + 3 500 = 5 500 N. N_arb = 5 500 / (2 × 0,651) = 4 224 N. N_ent = 5 500 / (2 × 0,857) = 3 209 N.
3. S = 80 × 120 = 9 600 mm². σ = 4 224 / 9 600 = 0,44 MPa << 10 MPa → largement suffisant.
4. F = 2 000 − 800 = 1 200 N (réduit). N_ent = 1 200 / 1,714 = 700 N. L'entrait reste en traction (F reste positif = charge vers le bas). Si le vent était assez fort pour créer un soulèvement net (F < 0), l'entrait passerait en compression.