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Moment d'une force — Étagère murale

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro ERA | Statique — S5.2

Dernière mise à jour : 4 septembre 2026

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Fixation d'une étagère murale dans une boutique

Un menuisier agenceur installe des étagères murales dans une boutique de décoration. Chaque étagère est fixée au mur par deux équerres. Le gérant veut y poser des objets lourds (vases, livres).

Le chef d'équipe vous demande d'établir un modèle d'équilibre et de calculer le moment dû aux objets. La tenue réelle de l'étagère, des équerres et de leurs fixations devra être contrôlée avec les données des produits et du support.
Mur A P Poids des objets d = distance au pivot L = 30 cm

2. Représentation d'une force

Définition — Force
Une force est une action mécanique caractérisée par : On la représente par un vecteur \(\vec{F}\).
Propriété — Poids d'un objet
Le poids d'un objet est la force exercée par la Terre. Il est dirigé vers le bas (vertical) : \[ P = m \times g \]
Exemple
Un vase de 3 kg posé sur une étagère exerce un poids :
\(P = 3 \times 10 = 30\) N (dirigé vers le bas)

3. Moment d'une force

Définition — Moment d'une force par rapport à un point
Le moment d'une force \(\vec{F}\) par rapport à un point A mesure sa capacité à faire tourner le système autour de A : \[ \mathcal{M}_A(\vec{F}) = F \times d \]
Attention — Signe du moment
Convention usuelle en mécanique : sens anti-horaire = positif.
Condition d'équilibre en rotation
Un système est en équilibre de rotation si la somme des moments par rapport à un point est nulle : \[ \sum \mathcal{M}_A = 0 \] Cela signifie que les moments « qui font tourner dans un sens » compensent exactement ceux « qui font tourner dans l'autre sens ».
Exemple — Étagère murale
Une étagère de 30 cm de profondeur est fixée au mur au point A. Un vase de 3 kg est posé à 25 cm du mur (d = 0,25 m).

Poids du vase : \(P = 3 \times 10 = 30\) N
Moment par rapport à A : \(\mathcal{M}_A = P \times d = 30 \times 0{,}25 = 7{,}5\) N·m

L'équerre de fixation doit exercer un moment opposé de 7,5 N·m pour maintenir l'étagère en équilibre.
Méthode — Vérifier l'équilibre d'une étagère
  1. Identifier le point de pivot A (fixation au mur)
  2. Lister toutes les forces (poids des objets, poids de l'étagère, réaction de la fixation)
  3. Calculer le bras de levier d de chaque force par rapport à A
  4. Calculer chaque moment : \(\mathcal{M} = F \times d\)
  5. Vérifier que \(\sum \mathcal{M} = 0\)
À retenir

Exercices

Socle Exercice 1 — Calculer un poids (guidé)

Calculer le poids des objets suivants (\(g = 10\) N/kg) :
  1. Un livre de 1,5 kg : \(P = \ldots \times \ldots = \ldots\) N
  2. Un vase de 4 kg : \(P = \ldots\) N
  3. Une étagère en chêne de 6 kg : \(P = \ldots\) N
  4. Un lot de 8 assiettes, chacune de 0,4 kg : \(P = \ldots\) N
  1. \(P = 1{,}5 \times 10 = 15\) N
  2. \(P = 4 \times 10 = 40\) N
  3. \(P = 6 \times 10 = 60\) N
  4. Masse totale : \(8 \times 0{,}4 = 3{,}2\) kg → \(P = 3{,}2 \times 10 = 32\) N
Socle Exercice 2 — Calculer un moment (guidé)

A P = 50 N d = 0,20 m
Un objet de poids P = 50 N est posé sur une étagère, à une distance d = 0,20 m du point de fixation A.

Étape 1 : Écrire la formule du moment.
\(\mathcal{M}_A = \ldots \times \ldots\)

Étape 2 : Remplacer par les valeurs.
\(\mathcal{M}_A = \ldots \times \ldots = \ldots\) N·m
  1. Étape 1 : \(\mathcal{M}_A = F \times d\)
  2. Étape 2 : \(\mathcal{M}_A = 50 \times 0{,}20 = 10\) N·m
Socle Exercice 3 — Comparer deux positions de charge (guidé)

Un même objet de P = 30 N est posé sur une étagère dans deux positions :
• Position 1 : à 10 cm du mur (d = 0,10 m)
• Position 2 : à 25 cm du mur (d = 0,25 m)
  1. Calculer le moment dans chaque position.
  2. Dans quelle position la fixation est-elle la plus sollicitée ?
  3. Pourquoi conseille-t-on de placer les objets lourds près du mur ?
  1. Position 1 : \(\mathcal{M} = 30 \times 0{,}10 = 3\) N·m
    Position 2 : \(\mathcal{M} = 30 \times 0{,}25 = 7{,}5\) N·m
  2. La fixation est 2,5 fois plus sollicitée en position 2.
  3. Plus l'objet est près du mur, plus le bras de levier est court, et plus le moment est faible → moins de risque d'arrachement.
Socle Exercice 4 — Convertir cm en m puis calculer (guidé)

Compléter le tableau :

Objet m (kg) P (N) d (cm) d (m) \(\mathcal{M}\) (N·m)
Livre2…15……
Pot5…20……
Cadre1,5…30……
  1. Livre : P = 20 N, d = 0,15 m, \(\mathcal{M}\) = 20 × 0,15 = 3,0 N·m
    Pot : P = 50 N, d = 0,20 m, \(\mathcal{M}\) = 50 × 0,20 = 10,0 N·m
    Cadre : P = 15 N, d = 0,30 m, \(\mathcal{M}\) = 15 × 0,30 = 4,5 N·m
Standard Exercice 5 — Étagère avec plusieurs objets

Une étagère de 40 cm de profondeur est fixée au mur au point A. On y pose :
• Un vase de 2 kg à 10 cm du mur
• Trois livres (total 4 kg) à 20 cm du mur
• Un cadre photo de 1 kg à 35 cm du mur
  1. Calculer le poids de chaque charge.
  2. Calculer le moment de chaque charge par rapport à A.
  3. Calculer le moment total.
  4. Le modèle fournit un seuil fictif de 20 N·m pour l'ensemble. Ce critère est-il satisfait ?
  1. Vase : P = 20 N ; Livres : P = 40 N ; Cadre : P = 10 N
  2. Vase : \(\mathcal{M} = 20 \times 0{,}10 = 2\) N·m
    Livres : \(\mathcal{M} = 40 \times 0{,}20 = 8\) N·m
    Cadre : \(\mathcal{M} = 10 \times 0{,}35 = 3{,}5\) N·m
  3. \(\mathcal{M}_{\text{total}} = 2 + 8 + 3{,}5 = 13{,}5\) N·m
  4. 13,5 N·m < 20 N·m : le critère fictif est satisfait, avec un écart de 6,5 N·m. Cela ne valide pas la tenue réelle de l'ensemble.
Standard Exercice 6 — Limite calculée dans le modèle

Une étagère est modélisée avec deux équerres et un seuil fictif de 15 N·m par équerre, soit 30 N·m pour l'exercice. L'étagère elle-même pèse 4 kg et son centre de gravité est à 15 cm du mur.
  1. Calculer le moment dû au poids propre de l'étagère.
  2. Quel moment reste-t-il disponible pour les objets ?
  3. Pour une charge unique au bord de l'étagère (d = 28 cm du mur), quelle masse correspond à la limite du modèle ?
  1. \(P_{\text{étag}} = 4 \times 10 = 40\) N → \(\mathcal{M}_{\text{étag}} = 40 \times 0{,}15 = 6\) N·m
  2. Moment disponible : \(30 - 6 = 24\) N·m
  3. \(\mathcal{M}_{\max} = P \times d\) → \(P = \mathcal{M} / d = 24 / 0{,}28 = 85{,}7\) N
    Masse : \(m = P / g = 85{,}7 / 10 = 8{,}6\) kg. La limite mathématique vaut environ 8,6 kg dans ce modèle ; elle n'est pas une charge autorisée en situation réelle.
Standard Exercice 7 — Équilibre d'une planche en porte-à-faux

Appui B P = ? d = 0,50 m Contrepoids
Un menuisier utilise une planche de 1 m posée sur un tréteau comme « balance » pour peser un lot de pièces. Le tréteau est placé à 15 cm de l'extrémité gauche (point B). Les pièces sont posées à l'extrémité droite (d = 0,50 m du tréteau). Pour équilibrer, il place un contrepoids de 8 kg à l'extrémité gauche (d = 0,15 m du tréteau).
  1. Calculer le moment du contrepoids par rapport à B.
  2. À l'équilibre, \(\sum \mathcal{M}_B = 0\). Écrire l'équation d'équilibre.
  3. En déduire le poids P des pièces, puis leur masse.
  1. \(\mathcal{M}_{\text{contrepoids}} = 80 \times 0{,}15 = 12\) N·m (sens anti-horaire)
  2. Équilibre : \(80 \times 0{,}15 = P \times 0{,}50\)
  3. \(P = 12 / 0{,}50 = 24\) N → \(m = 24 / 10 = 2{,}4\) kg
Approfondissement Exercice 8 — Étagère à deux équerres — répartition des efforts

Une étagère de 80 cm de long est fixée au mur par deux équerres placées à 10 cm de chaque extrémité. La profondeur de l'étagère est de 30 cm. On pose une charge de 15 kg au centre de l'étagère (centrée à 15 cm du mur).
  1. Calculer le poids total de la charge.
  2. Comme la charge est centrée entre les deux équerres, chaque équerre supporte la moitié du poids. Calculer le poids sur chaque équerre.
  3. Calculer le moment exercé sur chaque équerre (d = 0,15 m).
  4. Pour cet exercice, un seuil fictif de 12 N·m par équerre est fourni. Le critère numérique est-il satisfait ?
  1. \(P = 15 \times 10 = 150\) N
  2. Par équerre : \(150 / 2 = 75\) N
  3. \(\mathcal{M} = 75 \times 0{,}15 = 11{,}25\) N·m par équerre
  4. 11,25 < 12 N·m : le critère fictif est satisfait, avec un écart de seulement 6 %. Cela ne valide pas l'installation réelle, qui dépend du produit complet, des fixations, du support et de la mise en œuvre.
Approfondissement Exercice 9 — Dimensionner les fixations d'un meuble suspendu

Un technicien d'agencement installe un meuble haut de cuisine suspendu sur un rail. Le meuble a une profondeur de 35 cm et pèse 12 kg à vide. Son centre de gravité est à 18 cm du mur. Une fois rempli, la masse totale sera de 40 kg et le centre de gravité se déplacera à 20 cm du mur. Pour établir un modèle simplifié, le rail est fixé par quatre vis réparties en deux rangées horizontales de deux vis, espacées verticalement de 20 cm.
  1. Calculer le moment par rapport au point de fixation, meuble vide.
  2. Calculer le moment, meuble plein.
  3. Le moment est repris par un couple de forces séparées de 0,20 m. Calculer la force totale de traction dans la rangée haute : \(F = \mathcal{M}/h\).
  4. En supposant cette traction également répartie sur les deux vis hautes, calculer la traction par vis. Calculer aussi le cisaillement moyen par vis dû au poids.
  5. Pourquoi ces résultats ne suffisent-ils pas à choisir les fixations sur un chantier ?
  1. Meuble vide : \(P = 120\) N → \(\mathcal{M} = 120 \times 0{,}18 = 21{,}6\) N·m
  2. Meuble plein : \(P = 400\) N → \(\mathcal{M} = 400 \times 0{,}20 = 80\) N·m
  3. Force totale dans le couple : \(F = 80/0{,}20 = 400\) N.
  4. Traction théorique par vis haute : \(400/2 = 200\) N. Cisaillement moyen : \(400/4 = 100\) N par vis.
  5. Ce modèle suppose des rangées rigides et une répartition idéale. Le choix réel dépend du rail, du support, des distances aux bords et entre fixations, de la profondeur d'ancrage, de la mise en œuvre et des valeurs indiquées par le fabricant.
Approfondissement Exercice 10 — Problème inverse — à quelle distance maximale ?

Dans un modèle d'exercice, une étagère de 50 cm de profondeur est associée à un seuil fictif de 25 N·m. L'étagère elle-même pèse 3 kg (centre de gravité à 25 cm du mur). On étudie la position d'un dictionnaire de 5 kg.
  1. Calculer le moment dû au poids propre de l'étagère.
  2. Quel moment reste-t-il disponible pour le dictionnaire ?
  3. À quelle distance maximale du mur peut-on poser le dictionnaire ? Exprimer la réponse en cm.
  4. Peut-on le poser au bord de l'étagère (d = 50 cm) ? Justifier.
  1. \(\mathcal{M}_{\text{étag}} = 30 \times 0{,}25 = 7{,}5\) N·m
  2. Moment disponible : \(25 - 7{,}5 = 17{,}5\) N·m
  3. \(d_{\max} = \mathcal{M} / P = 17{,}5 / 50 = 0{,}35\) m = 35 cm
  4. Au bord (d = 0,50 m) : \(\mathcal{M} = 50 \times 0{,}50 = 25\) N·m. Moment total : \(7{,}5 + 25 = 32{,}5\) N·m > 25 N·m : le critère du modèle est dépassé. La distance de 35 cm est uniquement la limite mathématique de cet exercice, pas une consigne d'utilisation réelle.
Sources et limite d'emploi — vérifiées le 4 septembre 2026
Le calcul du moment d'une force et l'équilibre en rotation relèvent du programme de physique-chimie de Première professionnelle, BO spécial n° 1 du 6 février 2020.
Le calcul d'ancrage réel exige les données du produit et du support : voir la documentation technique Hilti sur le chevillage. Les résultats de cette page sont des modèles d'apprentissage, pas des prescriptions de pose.
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