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Moment d'une force — Étagère murale

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro ERA | Statique — S5.2

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Fixation d'une étagère murale dans une boutique

Un menuisier agenceur installe des étagères murales dans une boutique de décoration. Chaque étagère est fixée au mur par deux équerres. Le gérant veut y poser des objets lourds (vases, livres).

Le chef d'équipe vous demande : « Vérifie que les équerres supportent la charge. Calcule le moment de la force exercée par les objets pour vérifier que l'étagère ne bascule pas. »
Mur A \(\vec{P}\) Poids des objets d = distance au pivot L = 30 cm

2. Représentation d'une force

Définition — Force
Une force est une action mécanique caractérisée par : On la représente par un vecteur \(\vec{F}\).
Propriété — Poids d'un objet
Le poids d'un objet est la force exercée par la Terre. Il est dirigé vers le bas (vertical) : \[ P = m \times g \]
Exemple
Un vase de 3 kg posé sur une étagère exerce un poids :
\(P = 3 \times 10 = 30\) N (dirigé vers le bas)

3. Moment d'une force

Définition — Moment d'une force par rapport à un point
Le moment d'une force \(\vec{F}\) par rapport à un point A mesure sa capacité à faire tourner le système autour de A : \[ \mathcal{M}_A(\vec{F}) = F \times d \]
Attention — Signe du moment
Convention usuelle en mécanique : sens anti-horaire = positif.
Condition d'équilibre en rotation
Un système est en équilibre de rotation si la somme des moments par rapport à un point est nulle : \[ \sum \mathcal{M}_A = 0 \] Cela signifie que les moments « qui font tourner dans un sens » compensent exactement ceux « qui font tourner dans l'autre sens ».
Exemple — Étagère murale
Une étagère de 30 cm de profondeur est fixée au mur au point A. Un vase de 3 kg est posé à 25 cm du mur (d = 0,25 m).

Poids du vase : \(P = 3 \times 10 = 30\) N
Moment par rapport à A : \(\mathcal{M}_A = P \times d = 30 \times 0{,}25 = 7{,}5\) N·m

L'équerre de fixation doit exercer un moment opposé de 7,5 N·m pour maintenir l'étagère en équilibre.
Méthode — Vérifier l'équilibre d'une étagère
  1. Identifier le point de pivot A (fixation au mur)
  2. Lister toutes les forces (poids des objets, poids de l'étagère, réaction de la fixation)
  3. Calculer le bras de levier d de chaque force par rapport à A
  4. Calculer chaque moment : \(\mathcal{M} = F \times d\)
  5. Vérifier que \(\sum \mathcal{M} = 0\)
À retenir

Exercices

Exercice 1 Calculer un poids (guidé) Socle
Calculer le poids des objets suivants (\(g = 10\) N/kg) :

a) Un livre de 1,5 kg : \(P = \ldots \times \ldots = \ldots\) N
b) Un vase de 4 kg : \(P = \ldots\) N
c) Une étagère en chêne de 6 kg : \(P = \ldots\) N
d) Un lot de 8 assiettes, chacune de 0,4 kg : \(P = \ldots\) N
Correction :
a) \(P = 1{,}5 \times 10 = 15\) N
b) \(P = 4 \times 10 = 40\) N
c) \(P = 6 \times 10 = 60\) N
d) Masse totale : \(8 \times 0{,}4 = 3{,}2\) kg → \(P = 3{,}2 \times 10 = 32\) N
Exercice 2 Calculer un moment (guidé) Socle
A P = 50 N d = 0,20 m
Un objet de poids P = 50 N est posé sur une étagère, à une distance d = 0,20 m du point de fixation A.

Étape 1 : Écrire la formule du moment.
\(\mathcal{M}_A = \ldots \times \ldots\)

Étape 2 : Remplacer par les valeurs.
\(\mathcal{M}_A = \ldots \times \ldots = \ldots\) N·m
Correction :
Étape 1 : \(\mathcal{M}_A = F \times d\)
Étape 2 : \(\mathcal{M}_A = 50 \times 0{,}20 = 10\) N·m
Exercice 3 Comparer deux positions de charge (guidé) Socle
Un même objet de P = 30 N est posé sur une étagère dans deux positions :
• Position 1 : à 10 cm du mur (d = 0,10 m)
• Position 2 : à 25 cm du mur (d = 0,25 m)

1. Calculer le moment dans chaque position.
2. Dans quelle position la fixation est-elle la plus sollicitée ?
3. Pourquoi conseille-t-on de placer les objets lourds près du mur ?
Correction :
1. Position 1 : \(\mathcal{M} = 30 \times 0{,}10 = 3\) N·m
Position 2 : \(\mathcal{M} = 30 \times 0{,}25 = 7{,}5\) N·m
2. La fixation est 2,5 fois plus sollicitée en position 2.
3. Plus l'objet est près du mur, plus le bras de levier est court, et plus le moment est faible → moins de risque d'arrachement.
Exercice 4 Convertir cm en m puis calculer (guidé) Socle
Compléter le tableau :

Objet m (kg) P (N) d (cm) d (m) \(\mathcal{M}\) (N·m)
Livre2…15……
Pot5…20……
Cadre1,5…30……
Correction :
Livre : P = 20 N, d = 0,15 m, \(\mathcal{M}\) = 20 × 0,15 = 3,0 N·m
Pot : P = 50 N, d = 0,20 m, \(\mathcal{M}\) = 50 × 0,20 = 10,0 N·m
Cadre : P = 15 N, d = 0,30 m, \(\mathcal{M}\) = 15 × 0,30 = 4,5 N·m
Exercice 5 Étagère avec plusieurs objets Standard
Une étagère de 40 cm de profondeur est fixée au mur au point A. On y pose :
• Un vase de 2 kg à 10 cm du mur
• Trois livres (total 4 kg) à 20 cm du mur
• Un cadre photo de 1 kg à 35 cm du mur

1. Calculer le poids de chaque charge.
2. Calculer le moment de chaque charge par rapport à A.
3. Calculer le moment total.
4. Les équerres de fixation supportent un moment maximal de 20 N·m. L'étagère tient-elle ?
Correction :
1. Vase : P = 20 N ; Livres : P = 40 N ; Cadre : P = 10 N
2. Vase : \(\mathcal{M} = 20 \times 0{,}10 = 2\) N·m
Livres : \(\mathcal{M} = 40 \times 0{,}20 = 8\) N·m
Cadre : \(\mathcal{M} = 10 \times 0{,}35 = 3{,}5\) N·m
3. \(\mathcal{M}_{\text{total}} = 2 + 8 + 3{,}5 = 13{,}5\) N·m
4. 13,5 N·m < 20 N·m → oui, l'étagère tient. Marge : 6,5 N·m.
Exercice 6 Charge maximale admissible Standard
Une étagère est fixée par deux équerres qui supportent chacune un moment maximal de 15 N·m (soit 30 N·m au total). L'étagère elle-même pèse 4 kg et son centre de gravité est à 15 cm du mur.

1. Calculer le moment dû au poids propre de l'étagère.
2. Quel moment reste-t-il disponible pour les objets ?
3. On veut poser une charge unique au bord de l'étagère (d = 28 cm du mur). Quelle masse maximale peut-on poser ?
Correction :
1. \(P_{\text{étag}} = 4 \times 10 = 40\) N → \(\mathcal{M}_{\text{étag}} = 40 \times 0{,}15 = 6\) N·m
2. Moment disponible : \(30 - 6 = 24\) N·m
3. \(\mathcal{M}_{\max} = P \times d\) → \(P = \mathcal{M} / d = 24 / 0{,}28 = 85{,}7\) N
Masse : \(m = P / g = 85{,}7 / 10 = 8{,}6\) kg → on peut poser au maximum 8,5 kg au bord.
Exercice 7 Équilibre d'une planche en porte-à-faux Standard
Appui B P = ? d = 0,50 m Contrepoids
Un menuisier utilise une planche de 1 m posée sur un tréteau comme « balance » pour peser un lot de pièces. Le tréteau est placé à 15 cm de l'extrémité gauche (point B). Les pièces sont posées à l'extrémité droite (d = 0,50 m du tréteau). Pour équilibrer, il place un contrepoids de 8 kg à l'extrémité gauche (d = 0,15 m du tréteau).

1. Calculer le moment du contrepoids par rapport à B.
2. À l'équilibre, \(\sum \mathcal{M}_B = 0\). Écrire l'équation d'équilibre.
3. En déduire le poids P des pièces, puis leur masse.
Correction :
1. \(\mathcal{M}_{\text{contrepoids}} = 80 \times 0{,}15 = 12\) N·m (sens anti-horaire)
2. Équilibre : \(80 \times 0{,}15 = P \times 0{,}50\)
3. \(P = 12 / 0{,}50 = 24\) N → \(m = 24 / 10 = 2{,}4\) kg
Exercice 8 Étagère à deux équerres — répartition des efforts Approfondissement
Une étagère de 80 cm de long est fixée au mur par deux équerres placées à 10 cm de chaque extrémité. La profondeur de l'étagère est de 30 cm. On pose une charge de 15 kg au centre de l'étagère (centrée à 15 cm du mur).

1. Calculer le poids total de la charge.
2. Comme la charge est centrée entre les deux équerres, chaque équerre supporte la moitié du poids. Calculer le poids sur chaque équerre.
3. Calculer le moment exercé sur chaque équerre (d = 0,15 m).
4. Le fabricant d'équerres indique une capacité de 12 N·m par équerre. L'installation est-elle conforme ?
Correction :
1. \(P = 15 \times 10 = 150\) N
2. Par équerre : \(150 / 2 = 75\) N
3. \(\mathcal{M} = 75 \times 0{,}15 = 11{,}25\) N·m par équerre
4. 11,25 < 12 N·m → conforme, mais très juste (marge de seulement 6 %). Il serait prudent d'utiliser des équerres renforcées ou de répartir la charge différemment.
Exercice 9 Dimensionner les fixations d'un meuble suspendu Approfondissement
Un technicien d'agencement installe un meuble haut de cuisine suspendu au mur. Le meuble a une profondeur de 35 cm et pèse 12 kg à vide. Son centre de gravité est à 18 cm du mur. Une fois rempli (vaisselle), la masse totale sera de 40 kg et le centre de gravité se déplacera à 20 cm du mur.

1. Calculer le moment par rapport au point de fixation, meuble vide.
2. Calculer le moment, meuble plein.
3. Le meuble est fixé par 4 vis. Quel moment doit supporter chaque vis au minimum (meuble plein) ?
4. Pourquoi fixe-t-on toujours les meubles hauts de cuisine avec des rails de suspension (et non de simples vis) ?
Correction :
1. Meuble vide : \(P = 120\) N → \(\mathcal{M} = 120 \times 0{,}18 = 21{,}6\) N·m
2. Meuble plein : \(P = 400\) N → \(\mathcal{M} = 400 \times 0{,}20 = 80\) N·m
3. Par vis : \(80 / 4 = 20\) N·m minimum
4. Un rail de suspension répartit la charge sur toute la largeur du meuble (et non sur 4 points). Il permet aussi un réglage en hauteur et en profondeur, et il réduit le risque d'arrachement car la force est transmise au mur par cisaillement plutôt que par traction.
Exercice 10 Problème inverse — à quelle distance maximale ? Approfondissement
Une étagère de 50 cm de profondeur est fixée par une équerre dont le moment maximal admissible est de 25 N·m. L'étagère elle-même pèse 3 kg (centre de gravité à 25 cm du mur). On veut y poser un gros dictionnaire de 5 kg.

1. Calculer le moment dû au poids propre de l'étagère.
2. Quel moment reste-t-il disponible pour le dictionnaire ?
3. À quelle distance maximale du mur peut-on poser le dictionnaire ? Exprimer la réponse en cm.
4. Peut-on le poser au bord de l'étagère (d = 50 cm) ? Justifier.
Correction :
1. \(\mathcal{M}_{\text{étag}} = 30 \times 0{,}25 = 7{,}5\) N·m
2. Moment disponible : \(25 - 7{,}5 = 17{,}5\) N·m
3. \(d_{\max} = \mathcal{M} / P = 17{,}5 / 50 = 0{,}35\) m = 35 cm
4. Au bord (d = 0,50 m) : \(\mathcal{M} = 50 \times 0{,}50 = 25\) N·m. Moment total : \(7{,}5 + 25 = 32{,}5\) N·m > 25 N·m → non, l'équerre cèderait. Il faut poser le dictionnaire à 35 cm du mur au maximum.
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