Flexion d'un panneau d'agencement

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro ERA | RDM — S5.3

Objectifs

Reconnaître une sollicitation de flexion sur une tablette de meuble
Comprendre la notion de flèche et de flèche admissible
Lire un abaque de flèche pour vérifier une tablette
Calculer une flèche avec la formule simplifiée \(f = \dfrac{5 \times q \times L^4}{384 \times E \times I}\)

Identification de la ressource

Savoir professionnel ERA : S5.3 — Résistance des matériaux (flexion)
Notions mathématiques : Puissances (L&sup4;), formule littérale, inégalités, unités (MPa, N, mm)
Niveau : Première Bac Pro ERA

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Tablette de bibliothèque

Un menuisier agenceur fabrique une bibliothèque murale. Les tablettes ont une portée de 80 cm (distance entre les deux appuis latéraux). Le client veut y ranger des livres lourds.

Le chef d'atelier vous demande : « Vérifie que la tablette en mélaminé 19 mm ne va pas fléchir de manière visible sous le poids des livres. La flèche ne doit pas dépasser L/300. »

2. Sollicitation de flexion

Définition — Flexion
Une pièce est sollicitée en flexion lorsqu'elle est soumise à des forces perpendiculaires à son axe, qui tendent à la courber.

En agencement, les tablettes de meubles, les étagères et les plans de travail sont couramment sollicités en flexion.

Définition — Flèche f
La flèche est la déformation maximale de la pièce sous charge, mesurée au milieu de la portée. Elle s'exprime en mm.

Critère de flèche admissible
Pour un meuble d'agencement, la flèche ne doit pas être visible à l'œil nu. On utilise le critère : \[ f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \] où L est la portée en mm.
Exemple : pour L = 800 mm → \(f_{\text{adm}} = 800/300 = 2{,}67\) mm.

3. Formule de la flèche (charge uniformément répartie)

Formule simplifiée
Pour une tablette sur deux appuis simples, soumise à une charge uniformément répartie q : \[ f = \frac{5 \times q \times L^4}{384 \times E \times I} \]

\(f\) : flèche en mm
\(q\) : charge linéique en N/mm (poids total divisé par la longueur de la tablette)
\(L\) : portée entre appuis en mm
\(E\) : module d'Young du matériau en MPa (N/mm²)
\(I\) : moment quadratique de la section en mm&sup4;

Moment quadratique d'une section rectangulaire
Pour une tablette de largeur b et d'épaisseur h : \[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

\(b\) : largeur (profondeur de la tablette) en mm
\(h\) : épaisseur de la tablette en mm

Tableau — Module d'Young des matériaux courants

Matériau	E (MPa)
Aggloméré mélaminé	2 500
MDF	3 000
Contreplaqué bouleau	8 000
Chêne massif	12 000
Hêtre massif	13 000
Acier	210 000

Exemple — Tablette mélaminée 19 mm
Tablette : L = 800 mm, b = 300 mm, h = 19 mm, E = 2 500 MPa.
Charge : 30 kg de livres → P = 300 N → \(q = 300/800 = 0{,}375\) N/mm.

\(I = \dfrac{300 \times 19^3}{12} = \dfrac{300 \times 6\,859}{12} = 171\,475\) mm&sup4;

\(f = \dfrac{5 \times 0{,}375 \times 800^4}{384 \times 2\,500 \times 171\,475} = \dfrac{5 \times 0{,}375 \times 4{,}096 \times 10^{11}}{384 \times 2\,500 \times 171\,475}\)

\(f = \dfrac{7{,}68 \times 10^{11}}{1{,}647 \times 10^{11}} = 4{,}66\) mm

Flèche admissible : \(f_{\text{adm}} = 800/300 = 2{,}67\) mm
4,66 mm > 2,67 mm → la tablette fléchit trop ! Il faut augmenter l'épaisseur ou changer de matériau.

Solutions pour réduire la flèche

Augmenter l'épaisseur h : la flèche dépend de \(h^3\) → passer de 19 à 25 mm divise la flèche par \((25/19)^3 = 2{,}28\)
Réduire la portée L : ajouter un appui intermédiaire (montant central)
Changer de matériau : contreplaqué ou bois massif ont un E bien plus élevé
Ajouter un renfort : tasseau collé sous la tablette

À retenir

Flèche admissible : \(f_{\text{adm}} = L / 300\)
\(f = \dfrac{5 \times q \times L^4}{384 \times E \times I}\)
\(I = \dfrac{b \times h^3}{12}\) pour une section rectangulaire
La flèche dépend fortement de \(L^4\) (portée) et de \(h^3\) (épaisseur)

Exercices

Exercice 1 Calculer la flèche admissible (guidé) Socle

Calculer la flèche admissible \(f_{\text{adm}} = L/300\) pour les portées suivantes :

a) L = 600 mm : \(f_{\text{adm}} = \ldots\) mm
b) L = 900 mm : \(f_{\text{adm}} = \ldots\) mm
c) L = 1 200 mm : \(f_{\text{adm}} = \ldots\) mm

Correction :
a) \(f_{\text{adm}} = 600/300 = 2{,}0\) mm
b) \(f_{\text{adm}} = 900/300 = 3{,}0\) mm
c) \(f_{\text{adm}} = 1\,200/300 = 4{,}0\) mm

Exercice 2 Calculer un moment quadratique (guidé) Socle

Calculer le moment quadratique I pour les sections rectangulaires suivantes :

a) b = 300 mm, h = 16 mm : \(I = \dfrac{300 \times 16^3}{12} = \ldots\) mm&sup4;

b) b = 300 mm, h = 19 mm : \(I = \ldots\) mm&sup4;

c) b = 300 mm, h = 25 mm : \(I = \ldots\) mm&sup4;

d) Que constatez-vous quand l'épaisseur augmente ?

Correction :
a) \(I = 300 \times 4\,096 / 12 = 102\,400\) mm&sup4;
b) \(I = 300 \times 6\,859 / 12 = 171\,475\) mm&sup4;
c) \(I = 300 \times 15\,625 / 12 = 390\,625\) mm&sup4;
d) I augmente très rapidement (car \(h^3\)). Passer de 16 à 25 mm multiplie I par 3,8 → la tablette est beaucoup plus rigide.

Exercice 3 Charge linéique q (guidé) Socle

Calculer la charge linéique q pour les cas suivants :

a) Masse de livres : 20 kg sur une tablette de 600 mm → P = … N → q = P/L = … N/mm
b) Masse de vaisselle : 15 kg sur 800 mm → q = … N/mm
c) Masse de classeurs : 40 kg sur 1 000 mm → q = … N/mm

Correction :
a) P = 200 N → q = 200/600 = 0,333 N/mm
b) P = 150 N → q = 150/800 = 0,188 N/mm
c) P = 400 N → q = 400/1000 = 0,400 N/mm

Exercice 4 Vérifier : la flèche est-elle acceptable ? (guidé) Socle

On a calculé la flèche d'une tablette : f = 3,2 mm. La portée est L = 900 mm.

1. Calculer \(f_{\text{adm}} = L/300\).
2. Comparer f et \(f_{\text{adm}}\).
3. La tablette est-elle acceptable ?

Correction :
1. \(f_{\text{adm}} = 900/300 = 3{,}0\) mm
2. \(f = 3{,}2\) mm > \(f_{\text{adm}} = 3{,}0\) mm
3. Non, la flèche dépasse la valeur admissible. Il faut renforcer la tablette.

Exercice 5 Calcul complet d'une tablette de dressing Standard

Une tablette d'aggloméré mélaminé d'un dressing a les caractéristiques suivantes :
• Portée : L = 600 mm • Largeur : b = 500 mm • Épaisseur : h = 19 mm
• Module d'Young : E = 2 500 MPa • Charge : 25 kg de vêtements

1. Calculer q, I et f.
2. Calculer \(f_{\text{adm}}\).
3. La tablette est-elle acceptable ?

Correction :
1. q = 250/600 = 0,417 N/mm
I = 500 × 19³ / 12 = 500 × 6 859 / 12 = 285 792 mm&sup4;
f = (5 × 0,417 × 600&sup4;) / (384 × 2 500 × 285 792)
f = (5 × 0,417 × 1,296 × 10¹¹) / (384 × 2 500 × 285 792)
f = 2,702 × 10¹¹ / 2,744 × 10¹¹ = 0,98 mm

2. \(f_{\text{adm}} = 600/300 = 2{,}0\) mm
3. 0,98 < 2,0 → oui, la tablette est acceptable. Marge confortable.

Exercice 6 Comparer deux épaisseurs Standard

On reprend la tablette de la mise en situation (L = 800 mm, b = 300 mm, E = 2 500 MPa, charge = 30 kg).

1. Calculer la flèche pour h = 19 mm (déjà fait dans le cours : f ≈ 4,66 mm).
2. Calculer la flèche pour h = 25 mm.
3. L'épaisseur 25 mm respecte-t-elle le critère L/300 ?
4. De combien de fois la flèche a-t-elle diminué en passant de 19 à 25 mm ?

Correction :
1. f = 4,66 mm (cf. cours)
2. I = 300 × 25³ / 12 = 390 625 mm&sup4;
q = 300/800 = 0,375 N/mm
f = (5 × 0,375 × 800&sup4;) / (384 × 2 500 × 390 625) = 7,68 × 10¹¹ / 3,75 × 10¹¹ = 2,05 mm
3. \(f_{\text{adm}} = 800/300 = 2{,}67\) mm. 2,05 < 2,67 → oui, c'est acceptable.
4. Rapport : 4,66 / 2,05 = 2,27. La flèche a diminué de 2,3 fois en augmentant l'épaisseur de 6 mm.

Exercice 7 Changer de matériau pour gagner en rigidité Standard

Une tablette de L = 1 000 mm, b = 400 mm, h = 19 mm supporte 20 kg. On compare trois matériaux :

Matériau	E (MPa)	f (mm)	Conforme ?
Aggloméré	2 500	…	…
Contreplaqué	8 000	…	…
Chêne massif	12 000	…	…

Correction :
I = 400 × 19³ / 12 = 228 633 mm&sup4; q = 200/1000 = 0,2 N/mm \(f_{\text{adm}} = 1000/300 = 3{,}33\) mm

Aggloméré : f = (5 × 0,2 × 10¹²) / (384 × 2 500 × 228 633) = 10¹² / 2,195 × 10¹¹ = 4,55 mm → NON
Contreplaqué : f = 10¹² / (384 × 8 000 × 228 633) = 10¹² / 7,024 × 10¹¹ = 1,42 mm → OUI
Chêne : f = 10¹² / (384 × 12 000 × 228 633) = 10¹² / 1,054 × 10¹² = 0,95 mm → OUI

Seul l'aggloméré ne convient pas pour cette portée de 1 m en 19 mm.

Exercice 8 Portée maximale d'une tablette Approfondissement

Un fabricant de mobilier veut déterminer la portée maximale d'une tablette mélaminée 19 mm (b = 300 mm, E = 2 500 MPa) chargée à 25 kg/m linéaire (q = 0,25 N/mm).

1. Écrire la condition \(f \leq f_{\text{adm}}\) en remplaçant par les formules.
2. Simplifier pour obtenir une inégalité sur \(L^3\).
3. En déduire \(L_{\max}\).

Correction :
1. \(\dfrac{5qL^4}{384EI} \leq \dfrac{L}{300}\)

2. Simplifier par L : \(\dfrac{5qL^3}{384EI} \leq \dfrac{1}{300}\)
\(L^3 \leq \dfrac{384EI}{5q \times 300} = \dfrac{384 \times 2\,500 \times 171\,475}{5 \times 0{,}25 \times 300}\)
\(L^3 \leq \dfrac{1{,}647 \times 10^{11}}{375} = 4{,}39 \times 10^8\) mm³

3. \(L \leq \sqrt[3]{4{,}39 \times 10^8} \approx 760\) mm
Portée maximale : 760 mm (≈ 76 cm).

Exercice 9 Ajout d'un montant central Approfondissement

Une bibliothèque a une tablette mélaminée de portée totale 1 200 mm (b = 300 mm, h = 19 mm, E = 2 500 MPa). La charge est de 40 kg de livres.

1. Calculer la flèche sans montant central (L = 1 200 mm). Est-elle acceptable ?
2. On ajoute un montant central. La portée de chaque travée passe à L = 600 mm et la charge se répartit en deux (20 kg par travée). Calculer la nouvelle flèche.
3. De combien de fois la flèche a-t-elle diminué ?
4. Expliquer pourquoi diviser la portée par 2 divise la flèche par bien plus que 2.

Correction :
I = 171 475 mm&sup4;
1. q = 400/1200 = 0,333 N/mm. f = (5 × 0,333 × 1200&sup4;) / (384 × 2500 × 171475)
= (5 × 0,333 × 2,074 × 10¹²) / (1,647 × 10¹¹) = 3,452 × 10¹² / 1,647 × 10¹¹ = 20,9 mm
f_adm = 1200/300 = 4,0 mm → 20,9 >> 4,0 → totalement inacceptable.

2. q = 200/600 = 0,333 N/mm. f = (5 × 0,333 × 600&sup4;) / (384 × 2500 × 171475)
= (5 × 0,333 × 1,296 × 10¹¹) / (1,647 × 10¹¹) = 2,157 × 10¹¹ / 1,647 × 10¹¹ = 1,31 mm
f_adm = 600/300 = 2,0 mm → 1,31 < 2,0 → acceptable.

3. 20,9 / 1,31 = 16 fois moins de flèche !
4. La flèche dépend de \(L^4\). Diviser L par 2 → divise \(L^4\) par \(2^4 = 16\). C'est pourquoi un simple montant central améliore radicalement la rigidité.

Exercice 10 Renfort par tasseau — section en T Approfondissement

Au lieu de changer d'épaisseur, un menuisier colle un tasseau de 20 × 40 mm sous une tablette mélaminée 300 × 19 mm. La section composée équivaut approximativement à une section rectangulaire de b = 20 mm et h = 59 mm (19 + 40) pour le calcul simplifié du moment quadratique du tasseau seul.

1. Calculer I du tasseau seul (b = 20 mm, h = 40 mm).
2. Comparer avec I de la tablette seule (b = 300 mm, h = 19 mm).
3. Un tasseau de 20 × 40 mm apporte-t-il un gain significatif par rapport à la tablette de 300 mm de large ? Pourquoi la largeur b du tasseau est-elle si faible par rapport à la tablette ?
4. Quel serait l'avantage d'utiliser un profil en U (rail métallique) à la place d'un tasseau bois ?

Correction :
1. I_tasseau = 20 × 40³ / 12 = 20 × 64 000 / 12 = 106 667 mm&sup4;
2. I_tablette = 300 × 19³ / 12 = 171 475 mm&sup4;
Le tasseau seul a un I de 62 % de celui de la tablette, malgré ses petites dimensions. C'est parce que h = 40 mm est bien plus grand que 19 mm, et I dépend de h³.

3. La largeur b du tasseau (20 mm) est faible car il sert de nervure de renfort, pas de surface portante. Son efficacité vient de sa hauteur (40 mm) qui augmente le h global de la section. La tablette travaille en compression (fibre supérieure) et le tasseau en traction (fibre inférieure).

4. Un profil métallique en U a un E beaucoup plus élevé (acier : 210 000 MPa vs bois : 12 000 MPa), donc il apporte plus de rigidité pour une section plus petite. Il est aussi plus léger à performance égale et ne se déforme pas avec l'humidité.