Un menuisier fabrique une pergola en bois massif (chêne). Les poteaux verticaux de 2,50 m de haut supportent la structure du toit. Le client veut des poteaux aussi fins que possible pour l'esthétique.
Le chef d'atelier prévient : « Attention, des poteaux trop fins risquent de flamber sous la charge. Vérifie l'élancement avant de lancer la fabrication. »
2. Le phénomène de flambement
Définition — Flambement
Le flambement est un phénomène d'instabilité : une pièce longue et fine soumise à une compression axiale se déforme latéralement de manière brutale et irréversible. C'est une rupture par instabilité, pas par dépassement de la résistance du matériau.
Plus une pièce est longue et fine, plus elle risque de flamber.
Un poteau court et trapu ne flambe jamais — il casse en compression. Un poteau long et fin flambe avant d'atteindre la résistance en compression du matériau.
3. Élancement λ
Définition — Élancement
L'élancement \(\lambda\) est le rapport qui caractérise le risque de flambement :
\[ \lambda = \frac{L_f}{i} \]
\(L_f\) : longueur de flambement en mm (= longueur du poteau pour un poteau encastré/libre ou L/2 pour encastré/encastré)
\(i\) : rayon de giration de la section en mm
Rayon de giration d'une section rectangulaire
Pour une section rectangulaire de côtés b et h (h ≤ b) :
\[ i = \frac{h}{\sqrt{12}} \approx \frac{h}{3{,}46} \]
On prend la plus petite dimension h, car le flambement se produit dans la direction la plus faible.
Critère de flambement
Élancement λ
Risque
λ ≤ 50
Pas de risque de flambement — ruine par compression
50 < λ ≤ 100
Risque modéré — vérifier avec un coefficient de réduction
λ > 100
Risque élevé — le poteau flambera avant de casser en compression
Règle pratique en menuiserie bois : \(\lambda \leq 50\) pour éviter tout problème.
Exemple — Poteau de pergola
Poteau chêne de 2 500 mm de haut, section 100 × 100 mm.
Longueur de flambement : \(L_f = 2\,500\) mm (poteau articulé aux deux extrémités).
\(i = \dfrac{100}{3{,}46} = 28{,}9\) mm
\(\lambda = \dfrac{2\,500}{28{,}9} = 86{,}5\)
λ = 86,5 > 50 → risque de flambement modéré. Il faut soit augmenter la section, soit ajouter un contreventement.
Méthode — Vérifier le flambement
Mesurer la longueur Lf du poteau
Identifier la plus petite dimension h de la section
Flambement = instabilité d'une pièce longue et fine en compression
\(\lambda = L_f / i\) — élancement
\(i = h / \sqrt{12} \approx h / 3{,}46\) pour une section rectangulaire
\(\lambda \leq 50\) → pas de risque — \(\lambda > 100\) → danger
Exercices
Exercice 1Calculer un rayon de giration (guidé)Socle
Calculer i pour les sections suivantes : a) Section 80 × 80 mm : i = 80 / 3,46 = … mm b) Section 60 × 100 mm : i = … / 3,46 = … mm (prendre la plus petite dimension) c) Section 120 × 120 mm : i = … mm
Correction : a) i = 80/3,46 = 23,1 mm b) i = 60/3,46 = 17,3 mm (on prend 60, la plus petite) c) i = 120/3,46 = 34,7 mm
Exercice 2Calculer un élancement (guidé)Socle
Poteau de Lf = 2 000 mm, section 80 × 80 mm (i = 23,1 mm).
Un poteau de 1 800 mm. Comparer : a) Section 60 × 60 mm → i = … → λ = … b) Section 100 × 100 mm → i = … → λ = …
Lequel est sûr ?
Correction : a) i = 17,3 mm → λ = 1 800/17,3 = 104 → DANGER b) i = 28,9 mm → λ = 1 800/28,9 = 62,3 → risque modéré Le 100 × 100 est meilleur mais pas encore sûr (λ > 50).
Exercice 4Section minimale pour λ ≤ 50 (guidé)Socle
Un poteau de Lf = 2 000 mm doit avoir λ ≤ 50.
1. Calculer imin = Lf / 50 = … mm 2. Calculer hmin = imin × 3,46 = … mm 3. Quelle section carrée minimale ?
Correction : 1. imin = 2 000/50 = 40 mm 2. hmin = 40 × 3,46 = 138,4 mm 3. Section carrée minimale : 140 × 140 mm (arrondi au-dessus)
Exercice 5Poteau de pergola — vérificationStandard
Pergola en chêne, poteaux de 2 800 mm, section 120 × 120 mm.
1. Calculer i et λ. 2. Le poteau est-il conforme (λ ≤ 50) ? 3. Si non, quelle section carrée minimale faut-il ?
Correction : 1. i = 120/3,46 = 34,7 mm. λ = 2 800/34,7 = 80,7 2. 80,7 > 50 → non conforme 3. hmin = (2 800/50) × 3,46 = 56 × 3,46 = 193,8 mm → section 200 × 200 mm minimum. Ou bien réduire la hauteur libre en ajoutant des traverses de contreventement.
Exercice 6Section rectangulaire — sens du flambementStandard
Un montant de cloison en sapin fait 2 400 mm de haut, section 40 × 90 mm.
1. Calculer λ pour le flambement dans le sens des 40 mm (le plus faible). 2. Calculer λ pour le flambement dans le sens des 90 mm. 3. Dans quel sens le montant risque-t-il de flamber ? 4. Comment empêcher le flambement dans le sens faible ?
Correction : 1. i = 40/3,46 = 11,6 mm → λ = 2 400/11,6 = 207 → très élancé 2. i = 90/3,46 = 26,0 mm → λ = 2 400/26,0 = 92,3 3. Le montant flambera dans le sens des 40 mm (λ = 207 >> 100). 4. Fixer des entretoises (tasseaux horizontaux) entre les montants pour réduire la longueur de flambement dans ce sens. Avec une entretoise à mi-hauteur : Lf = 1 200 mm → λ = 1 200/11,6 = 103 (amélioré mais encore élevé). Avec 2 entretoises : Lf = 800 mm → λ = 69 (correct).
Exercice 7Contreventement — réduction de LfStandard
Un poteau de 3 000 mm, section 100 × 100 mm (λ = 103,8, dangereux). On ajoute un contreventement à mi-hauteur.
1. Quelle est la nouvelle longueur de flambement ? 2. Calculer le nouveau λ. 3. Le poteau est-il maintenant conforme (λ ≤ 50) ? 4. Combien de contreventements faudrait-il pour atteindre λ ≤ 50 ?
Correction : 1. Lf = 3 000 / 2 = 1 500 mm 2. i = 28,9 mm. λ = 1 500/28,9 = 51,9 3. 51,9 ≈ 50 → juste à la limite. 4. Avec 2 contreventements : Lf = 1 000 mm → λ = 1 000/28,9 = 34,6 ≤ 50 ✓
Exercice 8Poteau porteur d'une mezzanineApprofondissement
Un menuisier fabrique une mezzanine. Le poteau porteur en chêne fait 2 600 mm de haut et supporte une charge de 8 000 N. Section : 100 × 140 mm.
1. Vérifier le flambement (λ ≤ 50 ?). 2. Vérifier la compression (σadm = 10 MPa). 3. Le poteau est-il sûr pour les deux critères ?
Correction : 1. h = 100 mm (plus petite dimension). i = 100/3,46 = 28,9 mm. λ = 2 600/28,9 = 89,9 > 50 → risque flambement. 2. S = 100 × 140 = 14 000 mm². σ = 8 000/14 000 = 0,57 MPa < 10 → compression OK. 3. Le poteau résiste en compression mais risque de flamber. Il faut augmenter la section à au minimum 150 × 150 mm (λ = 2 600/43,4 = 59,9 ≈ 60, encore limite) ou ajouter un contreventement.
Exercice 9Section ronde vs carréeApprofondissement
Pour une section circulaire de diamètre d, le rayon de giration est :
\[ i = \frac{d}{4} \]
Un poteau de 2 000 mm est disponible en deux sections : a) Carrée 100 × 100 mm (S = 10 000 mm²) b) Ronde ø 113 mm (S = 10 029 mm² ≈ même section)
1. Calculer i et λ pour les deux sections. 2. Laquelle est la plus résistante au flambement ? 3. Pourquoi les poteaux ronds sont-ils rares en menuiserie ?
Correction : 1. Carrée : i = 100/3,46 = 28,9 mm → λ = 69,2. Ronde : i = 113/4 = 28,25 mm → λ = 70,8. 2. À section égale, les deux sont quasi équivalentes (différence négligeable). 3. Les poteaux ronds sont plus difficiles à assembler (équerrage, tenon-mortaise impossible), plus chers à usiner (tournage), et les sections carrées s'intègrent mieux dans l'agencement.
Exercice 10Problème complet — escalier à poteau centralApprofondissement
Un menuisier fabrique un escalier à quart tournant avec un poteau central en hêtre de 3 200 mm de haut. Le poteau supporte une charge de 4 500 N (poids de l'escalier + 2 personnes). Il est fixé en pied (encastré) et libre en tête.
Pour un poteau encastré/libre : \(L_f = 2 \times L\) (la longueur de flambement double).
1. Calculer Lf. 2. Calculer la section carrée minimale pour λ ≤ 50. 3. Vérifier la compression pour cette section (σadm = 10 MPa). 4. Le client veut un poteau de 120 × 120 mm (esthétique). Que proposer ?
Correction : 1. Lf = 2 × 3 200 = 6 400 mm 2. imin = 6 400/50 = 128 mm. h = 128 × 3,46 = 443 mm. Section carrée 450 × 450 mm ! Beaucoup trop gros. 3. σ = 4 500 / (450 × 450) = 0,022 MPa << 10 MPa. Compression OK mais la section est absurde. 4. Le poteau 120 × 120 seul est impossible (λ = 6 400/34,7 = 184). Solutions : • Fixer le poteau en tête (encastré/encastré) : Lf = L/2 = 1 600 mm → λ = 1 600/34,7 = 46,1 ≤ 50 ✓ • Ou utiliser un poteau métallique (tube acier ø 60 mm, beaucoup plus rigide).