Flambement d'un poteau bois
Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro MA | S4.3 — RDM (flambement)
Dernière mise à jour : 4 septembre 2026
Objectifs
- Comprendre le phénomène de flambement (instabilité en compression)
- Calculer l'élancement d'un poteau : \(\lambda = L_f / i\)
- Déterminer le rayon de giration d'une section rectangulaire
- Comparer l'influence de la section, de la longueur libre et des appuis
- Distinguer un indicateur pédagogique d'une vérification réglementaire de stabilité
Identification de la ressource
- Savoir professionnel MA : S4.3 — RDM, élancement, flambement (spécifique MA)
- Notions mathématiques : Racine carrée, fractions, inégalités
- Niveau : Première Bac Pro MA
1. Mise en situation professionnelle
Contexte professionnel — Poteaux d'une pergola
Un menuisier fabrique une pergola en bois massif (chêne). Les poteaux verticaux de 2,50 m de haut supportent la structure du toit. Le client veut des poteaux aussi fins que possible pour l'esthétique.
Le chef d'atelier prévient : « Attention, des poteaux trop fins peuvent flamber sous la charge. Compare leur élancement, puis fais valider la stabilité avec les charges, le bois et les assemblages réels. »
Un menuisier fabrique une pergola en bois massif (chêne). Les poteaux verticaux de 2,50 m de haut supportent la structure du toit. Le client veut des poteaux aussi fins que possible pour l'esthétique.
Le chef d'atelier prévient : « Attention, des poteaux trop fins peuvent flamber sous la charge. Compare leur élancement, puis fais valider la stabilité avec les charges, le bois et les assemblages réels. »
2. Le phénomène de flambement
Définition — Flambement
Le flambement est un phénomène d'instabilité : une pièce comprimée peut se déformer latéralement et perdre sa capacité portante. La déformation peut d'abord être élastique, puis conduire à une rupture ou à une déformation permanente.
Le flambement est un phénomène d'instabilité : une pièce comprimée peut se déformer latéralement et perdre sa capacité portante. La déformation peut d'abord être élastique, puis conduire à une rupture ou à une déformation permanente.
Plus une pièce est longue et fine, plus elle risque de flamber.
À matériau, charge et appuis identiques, augmenter la longueur libre ou diminuer la rigidité de la section rend l'instabilité plus probable. Aucun poteau ne peut toutefois être déclaré sûr à partir de sa seule forme.
À matériau, charge et appuis identiques, augmenter la longueur libre ou diminuer la rigidité de la section rend l'instabilité plus probable. Aucun poteau ne peut toutefois être déclaré sûr à partir de sa seule forme.
3. Élancement λ
Définition — Élancement
L'élancement \(\lambda\) est le rapport qui caractérise le risque de flambement : \[ \lambda = \frac{L_f}{i} \]
L'élancement \(\lambda\) est le rapport qui caractérise le risque de flambement : \[ \lambda = \frac{L_f}{i} \]
- \(L_f\) : longueur de flambement en mm, avec \(L_f=kL\)
- \(i\) : rayon de giration de la section en mm
Conditions d'appui idéalisées — coefficients fournis
| Modèle d'appui idéal | k | Lf |
|---|---|---|
| Articulé — articulé | 1 | L |
| Encastré — libre | 2 | 2L |
| Encastré — articulé | 0,7 | 0,7L |
| Encastré — encastré | 0,5 | 0,5L |
Une liaison réelle n'est pas automatiquement un encastrement parfait : le coefficient doit correspondre au modèle structural effectivement justifié.
Rayon de giration d'une section rectangulaire
Pour une section rectangulaire de côtés b et h (h ≤ b) : \[ i = \frac{h}{\sqrt{12}} \approx \frac{h}{3{,}46} \] On prend la plus petite dimension h, car le flambement se produit dans la direction la plus faible.
Pour une section rectangulaire de côtés b et h (h ≤ b) : \[ i = \frac{h}{\sqrt{12}} \approx \frac{h}{3{,}46} \] On prend la plus petite dimension h, car le flambement se produit dans la direction la plus faible.
Ce que dit l'élancement — et ce qu'il ne dit pas
À longueur égale, le poteau dont l'élancement est le plus faible est le moins élancé. Mais aucune valeur universelle de \(\lambda\) ne prouve à elle seule qu'un poteau « tient » : une vérification de stabilité doit aussi intégrer la charge, la classe et l'humidité du bois, les défauts, la durée de chargement, les appuis et les coefficients réglementaires. Dans les exercices, la valeur 50 est seulement un objectif de comparaison imposé par l'énoncé, jamais un certificat de sécurité.
À longueur égale, le poteau dont l'élancement est le plus faible est le moins élancé. Mais aucune valeur universelle de \(\lambda\) ne prouve à elle seule qu'un poteau « tient » : une vérification de stabilité doit aussi intégrer la charge, la classe et l'humidité du bois, les défauts, la durée de chargement, les appuis et les coefficients réglementaires. Dans les exercices, la valeur 50 est seulement un objectif de comparaison imposé par l'énoncé, jamais un certificat de sécurité.
Exemple — Poteau de pergola
Poteau chêne de 2 500 mm de haut, section 100 × 100 mm.
Longueur de flambement : \(L_f = 2\,500\) mm (poteau articulé aux deux extrémités).
\(i = \dfrac{100}{3{,}46} = 28{,}9\) mm
\(\lambda = \dfrac{2\,500}{28{,}9} = 86{,}5\)
Cet élancement sert à comparer des variantes : augmenter la section ou réduire la longueur non contreventée le diminuera. Il ne permet pas, seul, d'autoriser la fabrication.
Poteau chêne de 2 500 mm de haut, section 100 × 100 mm.
Longueur de flambement : \(L_f = 2\,500\) mm (poteau articulé aux deux extrémités).
\(i = \dfrac{100}{3{,}46} = 28{,}9\) mm
\(\lambda = \dfrac{2\,500}{28{,}9} = 86{,}5\)
Cet élancement sert à comparer des variantes : augmenter la section ou réduire la longueur non contreventée le diminuera. Il ne permet pas, seul, d'autoriser la fabrication.
Méthode — Comparer l'élancement
- Choisir un modèle d'appui justifié et calculer Lf = kL
- Identifier la plus petite dimension h de la section
- Calculer \(i = h / 3{,}46\)
- Calculer \(\lambda = L_f / i\)
- Comparer les variantes ; confier la vérification de stabilité à la note de calcul applicable
À retenir
- Flambement = instabilité d'une pièce longue et fine en compression
- \(\lambda = L_f / i\) — élancement
- \(i = h / \sqrt{12} \approx h / 3{,}46\) pour une section rectangulaire
- Un élancement plus faible est favorable, mais il ne constitue pas une vérification de stabilité
Exercices
Socle
Exercice 1 — Calculer un rayon de giration (guidé)
Calculer i pour les sections suivantes :
a) Section 80 × 80 mm : i = 80 / 3,46 = … mm
b) Section 60 × 100 mm : i = … / 3,46 = … mm (prendre la plus petite dimension)
c) Section 120 × 120 mm : i = … mm
Calculer i pour les sections suivantes :
a) Section 80 × 80 mm : i = 80 / 3,46 = … mm
b) Section 60 × 100 mm : i = … / 3,46 = … mm (prendre la plus petite dimension)
c) Section 120 × 120 mm : i = … mm
a) i = 80/3,46 = 23,1 mm
b) i = 60/3,46 = 17,3 mm (on prend 60, la plus petite)
c) i = 120/3,46 = 34,7 mm
b) i = 60/3,46 = 17,3 mm (on prend 60, la plus petite)
c) i = 120/3,46 = 34,7 mm
Socle
Exercice 2 — Calculer un élancement (guidé)
Poteau de Lf = 2 000 mm, section 80 × 80 mm (i = 23,1 mm).
\(\lambda = L_f / i = 2\,000 / 23{,}1 = \ldots\)
Que peut-on conclure — et ne pas conclure — à partir de cette seule valeur ?
Poteau de Lf = 2 000 mm, section 80 × 80 mm (i = 23,1 mm).
\(\lambda = L_f / i = 2\,000 / 23{,}1 = \ldots\)
Que peut-on conclure — et ne pas conclure — à partir de cette seule valeur ?
λ = 2 000/23,1 = 86,6. La pièce est plus élancée qu'une variante de même longueur et de plus forte section. Sans charge, propriétés du bois et modèle d'appuis vérifié, on ne peut pas conclure à sa sécurité.
Socle
Exercice 3 — Comparer deux sections (guidé)
Un poteau de 1 800 mm. Comparer :
a) Section 60 × 60 mm → i = … → λ = …
b) Section 100 × 100 mm → i = … → λ = …
Lequel est le moins élancé ? Peut-on dire qu'il est sûr ?
Un poteau de 1 800 mm. Comparer :
a) Section 60 × 60 mm → i = … → λ = …
b) Section 100 × 100 mm → i = … → λ = …
Lequel est le moins élancé ? Peut-on dire qu'il est sûr ?
a) i = 17,3 mm → λ = 1 800/17,3 = 104
b) i = 28,9 mm → λ = 1 800/28,9 = 62,3
Le 100 × 100 est le moins élancé. Aucune des deux valeurs ne suffit à déclarer un poteau sûr.
b) i = 28,9 mm → λ = 1 800/28,9 = 62,3
Le 100 × 100 est le moins élancé. Aucune des deux valeurs ne suffit à déclarer un poteau sûr.
Socle
Exercice 4 — Section correspondant à un objectif λ ≤ 50 (guidé)
Pour comparer des variantes, l'énoncé fixe l'objectif pédagogique λ ≤ 50 pour un poteau de Lf = 2 000 mm.
Pour comparer des variantes, l'énoncé fixe l'objectif pédagogique λ ≤ 50 pour un poteau de Lf = 2 000 mm.
- Calculer imin = Lf / 50 = … mm
- Calculer hmin = imin × 3,46 = … mm
- Quelle section carrée minimale atteint cet objectif de comparaison ?
- imin = 2 000/50 = 40 mm
- hmin = 40 × 3,46 = 138,4 mm
- Section carrée minimale répondant à l'objectif : 140 × 140 mm (arrondi au-dessus). Ce résultat ne remplace pas une vérification de stabilité.
Standard
Exercice 5 — Poteau de pergola — vérification
Pergola en chêne, poteaux de 2 800 mm, section 120 × 120 mm.
Pergola en chêne, poteaux de 2 800 mm, section 120 × 120 mm.
- Calculer i et λ.
- Atteint-il l'objectif de comparaison λ ≤ 50 ?
- Si non, quelle section carrée minimale atteindrait cet objectif ?
- i = 120/3,46 = 34,7 mm. λ = 2 800/34,7 = 80,7
- 80,7 > 50 : l'objectif de comparaison n'est pas atteint.
- hmin = (2 800/50) × 3,46 = 56 × 3,46 = 193,8 mm → section 200 × 200 mm pour atteindre l'objectif. Une solution réelle peut aussi réduire la longueur non contreventée, mais doit être justifiée.
Standard
Exercice 6 — Section rectangulaire — sens du flambement
Un montant de cloison en sapin fait 2 400 mm de haut, section 40 × 90 mm.
Un montant de cloison en sapin fait 2 400 mm de haut, section 40 × 90 mm.
- Calculer λ pour le flambement dans le sens des 40 mm (le plus faible).
- Calculer λ pour le flambement dans le sens des 90 mm.
- Dans quel sens le montant est-il le plus élancé ?
- Comment diminuer l'élancement dans ce sens ?
- i = 40/3,46 = 11,6 mm → λ = 2 400/11,6 = 207 → très élancé
- i = 90/3,46 = 26,0 mm → λ = 2 400/26,0 = 92,3
- Le montant est le plus élancé dans le sens des 40 mm (λ = 207).
- Des entretoises correctement assemblées peuvent réduire la longueur non contreventée : à mi-hauteur, λ = 1 200/11,6 = 103 ; avec deux appuis intermédiaires régulièrement espacés, λ = 800/11,6 = 69. La stabilité des appuis doit être vérifiée.
Standard
Exercice 7 — Contreventement — réduction de Lf
Un poteau de 3 000 mm, section 100 × 100 mm (λ = 103,8). On ajoute un appui latéral efficace à mi-hauteur.
Un poteau de 3 000 mm, section 100 × 100 mm (λ = 103,8). On ajoute un appui latéral efficace à mi-hauteur.
- Quelle est la nouvelle longueur de flambement ?
- Calculer le nouveau λ.
- L'objectif pédagogique λ ≤ 50 est-il atteint ?
- Combien d'appuis intermédiaires régulièrement espacés faudrait-il pour atteindre cet objectif ?
- Lf = 3 000 / 2 = 1 500 mm
- i = 28,9 mm. λ = 1 500/28,9 = 51,9
- 51,9 > 50 : l'objectif n'est pas atteint.
- Avec deux appuis intermédiaires efficaces : Lf = 1 000 mm → λ = 1 000/28,9 = 34,6 ≤ 50. Ce calcul suppose que chaque appui bloque réellement le déplacement latéral.
Approfondissement
Exercice 8 — Poteau porteur d'une mezzanine
Un menuisier fabrique une mezzanine. Le poteau porteur en chêne fait 2 600 mm de haut et supporte une charge de 8 000 N. Section : 100 × 140 mm.
Un menuisier fabrique une mezzanine. Le poteau porteur en chêne fait 2 600 mm de haut et supporte une charge de 8 000 N. Section : 100 × 140 mm.
- Calculer l'élancement et le comparer à l'objectif pédagogique λ ≤ 50.
- Vérifier la compression (σadm = 10 MPa).
- Ces deux calculs suffisent-ils à valider le poteau ?
- h = 100 mm (plus petite dimension). i = 100/3,46 = 28,9 mm. λ = 2 600/28,9 = 89,9 : l'objectif n'est pas atteint.
- S = 100 × 140 = 14 000 mm². σ = 8 000/14 000 = 0,57 MPa < 10 → compression OK.
- Non. La contrainte de compression simple est faible, mais la stabilité n'est pas vérifiée. Une note de calcul doit intégrer les propriétés du bois, les charges et les appuis ; une section 150 × 150 mm aurait encore λ ≈ 59,9 dans ce modèle.
Approfondissement
Exercice 9 — Section ronde vs carrée
Pour une section circulaire de diamètre d, le rayon de giration est : \[ i = \frac{d}{4} \] Un poteau de 2 000 mm est disponible en deux sections :
a) Carrée 100 × 100 mm (S = 10 000 mm²)
b) Ronde ø 113 mm (S = 10 029 mm² ≈ même section)
Pour une section circulaire de diamètre d, le rayon de giration est : \[ i = \frac{d}{4} \] Un poteau de 2 000 mm est disponible en deux sections :
a) Carrée 100 × 100 mm (S = 10 000 mm²)
b) Ronde ø 113 mm (S = 10 029 mm² ≈ même section)
- Calculer i et λ pour les deux sections.
- Laquelle est la moins élancée dans ce modèle ?
- Pourquoi les poteaux ronds sont-ils rares en menuiserie ?
- Carrée : i = 100/3,46 = 28,9 mm → λ = 69,2. Ronde : i = 113/4 = 28,25 mm → λ = 70,8.
- À section presque égale, la section carrée est ici légèrement moins élancée ; les deux indicateurs restent proches.
- Les poteaux ronds sont plus difficiles à assembler (équerrage, tenon-mortaise impossible), plus chers à usiner (tournage), et les sections carrées s'intègrent mieux dans l'agencement.
Approfondissement
Exercice 10 — Problème complet — escalier à poteau central
Un menuisier fabrique un escalier à quart tournant avec un poteau central en hêtre de 3 200 mm de haut. Le poteau supporte une charge de 4 500 N (poids de l'escalier + 2 personnes). Il est fixé en pied (encastré) et libre en tête.
Pour un poteau encastré/libre : \(L_f = 2 \times L\) (la longueur de flambement double).
Un menuisier fabrique un escalier à quart tournant avec un poteau central en hêtre de 3 200 mm de haut. Le poteau supporte une charge de 4 500 N (poids de l'escalier + 2 personnes). Il est fixé en pied (encastré) et libre en tête.
Pour un poteau encastré/libre : \(L_f = 2 \times L\) (la longueur de flambement double).
- Calculer Lf.
- Calculer la section carrée correspondant à l'objectif pédagogique λ ≤ 50.
- Vérifier la compression pour cette section (σadm = 10 MPa).
- Le client veut un poteau de 120 × 120 mm (esthétique). Que proposer ?
- Lf = 2 × 3 200 = 6 400 mm
- imin = 6 400/50 = 128 mm. h = 128 × 3,46 = 443 mm, soit une section carrée de 450 × 450 mm pour atteindre l'objectif dans ce modèle.
- σ = 4 500 / (450 × 450) = 0,022 MPa << 10 MPa. La compression simple est faible, mais ce calcul ne valide toujours pas la stabilité.
- Pour 120 × 120 mm, λ = 6 400/34,7 = 184. Il faut faire étudier un maintien réel en tête, un contreventement ou une autre solution structurale. On ne peut pas assimiler une fixation courante à un encastrement parfait ni choisir un tube métallique sur son seul diamètre.
Sources et limites du modèle
- Commission européenne, support Eurocode 5 — stabilité et longueurs de flambement idéalisées.
- Référentiel Bac Pro Technicien menuisier-agenceur, savoir S4.3.
Cette page fait travailler l'élancement et l'effet des appuis. Elle ne constitue pas une note de calcul et ne doit pas servir à dimensionner un élément porteur réel.