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Lire et exploiter un plan à l'échelle

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro — famille Bâtiment | Compétence C3.5

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 17:12

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Le Patio, La Crau (83260)

Un assistant en architecture exploite les plans d'un ensemble immobilier : trois volumes disposés en U, R+2, commerces en rez-de-chaussée et bureaux aux étages, autour d'un patio central. L'emprise au sol du projet est de 980 m². La parcelle est cadastrée section AP n° 319 et n° 142.

Le plan d'étage lui est remis à l'échelle 1/50. Il doit relever des dimensions pour l'aménagement intérieur, puis produire un plan de repérage à l'échelle 1/100 qui tienne sur une feuille A3.

« Une cloison mesure 24,0 cm sur mon plan. Combien fait-elle en vrai ? Et sur mon nouveau plan ? »

2. Ce qu'est une échelle

Définition L'échelle d'un plan est le rapport entre une longueur mesurée sur le plan et la longueur réelle correspondante, exprimées dans la même unité.
Une échelle 1/50 signifie : 1 cm sur le plan représente 50 cm en réalité.
Propriété Pour une échelle \(1/n\) :
\(\text{longueur réelle} = \text{longueur sur le plan} \times n\)
\(\text{longueur sur le plan} = \text{longueur réelle} \div n\)
C'est une situation de proportionnalité : le coefficient est \(n\).
Attention — l'erreur la plus fréquente Une échelle relie des longueurs, pas des aires. Passer du 1/50 au 1/100 divise les longueurs par 2, mais divise les aires par 4 : la surface de papier occupée est quatre fois plus petite, pas deux.
Méthode — convertir sans se tromper
  1. Mesurer sur le plan, en centimètres.
  2. Multiplier par le dénominateur de l'échelle → on obtient des centimètres réels.
  3. Convertir en mètres en divisant par 100.
Exemple : 8,0 cm au 1/50 → \(8{,}0 \times 50 = 400\) cm → \(\mathbf{4{,}00}\) m.

3. Du plan au réel

sur le plan (échelle 1/50) 8,0 cm × 50 en réalité le mur 4,00 m

4. Exercices

Socle Exercice 1 — Du plan au réel

Le plan d'étage est à l'échelle 1/50.
  1. Une cloison mesure 24,0 cm sur le plan.
    \(24{,}0 \times 50 = \text{……} \; \text{cm} = \text{……} \; \text{m}\)
  2. Une porte mesure 1,8 cm sur le plan.
    \(1{,}8 \times 50 = \text{……} \; \text{cm} = \text{……} \; \text{m}\)
  1. \(24{,}0 \times 50 = 1\,200\) cm = 12,00 m
  2. \(1{,}8 \times 50 = 90\) cm = 0,90 m — la largeur réglementaire d'une porte accessible.
Socle Exercice 2 — Du réel au plan

Toujours au 1/50.
  1. Un mur mesure 7,50 m en réalité. Le convertir en centimètres : \(\text{……}\) cm
  2. Calculer sa longueur sur le plan : \(\text{……} \div 50 = \text{……}\) cm
  1. 7,50 m = 750 cm
  2. \(750 \div 50 = \mathbf{15{,}0}\) cm sur le plan.
Socle Exercice 3 — Un plan de masse au 1/200

Le plan de masse du projet est à l'échelle 1/200 : 1 cm sur le plan représente 200 cm en réalité.
  1. Une allée mesure 3,5 cm sur ce plan.
    \(3{,}5 \times 200 = \text{……} \; \text{cm} = \text{……} \; \text{m}\)
  2. Une limite de parcelle mesure 24,00 m en réalité.
    \(2\,400 \div 200 = \text{……} \; \text{cm}\) sur le plan
  1. \(3{,}5 \times 200 = 700\) cm = 7,00 m.
  2. \(2\,400 \div 200 = \mathbf{12}\) cm.
Socle Exercice 4 — Retrouver l'échelle d'un plan

Un plan arrive sans indication d'échelle. On sait qu'un mur du bâtiment mesure 6,00 m en réalité.
  1. Sur le premier plan, ce mur mesure 12,0 cm. Calculer \(600 \div 12\), puis donner l'échelle.
  2. Sur un second plan, le même mur mesure 6,0 cm. Quelle est l'échelle ?
  3. Lequel des deux plans donne le dessin le plus grand ? Le dénominateur de l'échelle est-il plus grand ou plus petit ?
  1. \(600 \div 12 = 50\) : l'échelle est 1/50.
  2. \(600 \div 6 = 100\) : l'échelle est 1/100.
  3. Le premier, au 1/50. Plus le dénominateur est petit, plus le dessin est grand — c'est l'inverse de ce que l'intuition suggère, parce que le dénominateur dit par combien on a divisé le réel.
Standard Exercice 5 — Changer d'échelle

L'assistant en architecture doit reprendre son plan du 1/50 au 1/100.
  1. Un local mesure 18,0 cm sur 11,0 cm au 1/50. Donner ses dimensions réelles, en mètres.
  2. Donner ses dimensions sur le nouveau plan au 1/100.
  3. Le plan complet occupe 62,0 cm sur 41,0 cm au 1/50. Tiendra-t-il sur une feuille A3 (42,0 cm × 29,7 cm) après passage au 1/100 ? Justifier.
  1. \(18{,}0 \times 50 = 900\) cm = 9,00 m ; \(11{,}0 \times 50 = 550\) cm = 5,50 m.
  2. \(900 \div 100 = \mathbf{9{,}0}\) cm et \(550 \div 100 = \mathbf{5{,}5}\) cm.
  3. Au 1/100 les longueurs sont divisées par 2 : \(62{,}0 \div 2 = 31{,}0\) cm et \(41{,}0 \div 2 = 20{,}5\) cm.
    \(31{,}0 \lt 42{,}0\) et \(20{,}5 \lt 29{,}7\) : le plan tient sur l'A3, avec de la marge.
Standard Exercice 6 — Contrôler une cote douteuse

Sur le plan au 1/50, une cote écrite annonce 3,60 m pour un local que l'assistant mesure à 6,9 cm au double décimètre.
  1. Quelle longueur réelle correspond à 6,9 cm mesurés ?
  2. L'écart avec la cote écrite est-il acceptable ? On tolère 2 mm d'imprécision de lecture sur le plan.
  3. Que doit faire l'assistant : croire la cote écrite ou sa mesure ? Justifier en une phrase.
  1. \(6{,}9 \times 50 = 345\) cm = 3,45 m.
  2. Écart : \(3{,}60 - 3{,}45 = 0{,}15\) m, soit 15 cm en réalité. Sur le plan, cela représente \(15 \div 50 = 0{,}3\) cm, c'est-à-dire 3 mm. Or on ne tolère que 2 mm : l'écart dépasse la tolérance de lecture. Ce n'est donc pas une simple imprécision de double décimètre — il se passe autre chose.
  3. Il croit la cote écrite. Puisque l'écart dépasse ce qu'une lecture peut expliquer, c'est le support qui est en cause : le plan a été reproduit à une échelle altérée — photocopie réduite, PDF remis à l'échelle à l'impression. La règle du métier est de ne jamais mesurer ce qui est coté ; et si l'on doit mesurer, on vérifie d'abord l'échelle sur une cote connue.
Standard Exercice 7 — Le plan photocopié

Un plan au 1/50 est photocopié en réduction à 71 % pour tenir dans un dossier. Personne ne le note sur le tirage.
  1. Une cote mesurée 10,0 cm sur l'original représente quelle longueur réelle ?
  2. Combien mesure-t-elle sur la photocopie ?
  3. Quelqu'un mesure cette cote sur la photocopie en croyant être au 1/50. Quelle longueur réelle annonce-t-il ? De combien se trompe-t-il ?
  4. Quelle est en réalité l'échelle de la photocopie ? Arrondir le dénominateur au dixième.
  5. Quelle précaution simple aurait évité l'erreur ? Une phrase.
  1. \(10{,}0 \times 50 = 500\) cm = 5,00 m.
  2. \(10{,}0 \times 0{,}71 = \mathbf{7{,}1}\) cm.
  3. Il annonce \(7{,}1 \times 50 = 355\) cm = 3,55 m, au lieu de 5,00 m : il se trompe de 1,45 m, soit 29 % de moins.
  4. 7,1 cm représentent 500 cm : \(500 \div 7{,}1 \approx 70{,}4\). La photocopie est au 1/70,4 — une échelle qui n'existe dans aucune norme.
  5. Porter sur le plan une échelle graphique — une réglette dessinée — plutôt qu'une échelle écrite : elle se réduit avec le plan et reste juste quelle que soit la photocopie.
Approfondissement Exercice 8 — Pourquoi l'aire ne suit pas

Un local rectangulaire de 9,00 m sur 5,50 m est représenté au 1/50, puis au 1/100.
  1. Calculer l'aire réelle du local, en m².
  2. Calculer l'aire qu'il occupe sur le papier au 1/50, puis au 1/100, en cm².
  3. Par combien l'aire sur le papier a-t-elle été divisée en passant du 1/50 au 1/100 ? Comparer au rapport des longueurs et expliquer.
  4. L'emprise au sol du projet est de 980 m². Un stagiaire affirme : « au 1/100, l'ensemble tient sur 9,80 cm² de papier ». Où est son erreur ?
  1. \(9{,}00 \times 5{,}50 = \mathbf{49{,}50} \; \text{m}^2\).
  2. Au 1/50 : 18,0 cm × 11,0 cm = 198 cm². Au 1/100 : 9,0 cm × 5,5 cm = 49,5 cm².
  3. \(198 \div 49{,}5 = \mathbf{4}\). Les longueurs ont été divisées par 2, l'aire par \(2^2 = 4\) : une aire est le produit de deux longueurs, chacune divisée par 2.
  4. Il a divisé l'aire par 100 au lieu de \(100^2 = 10\,000\). En cm² : \(980 \; \text{m}^2 = 9\,800\,000 \; \text{cm}^2\), et \(9\,800\,000 \div 10\,000 = \mathbf{980} \; \text{cm}^2\) — soit environ 31 cm de côté, pas 3 cm. Son plan serait cent fois trop petit en surface.
Approfondissement Exercice 9 — Et le volume, alors ?

Le bureau d'études fait réaliser une maquette au 1/50 du projet. On s'intéresse au local de 9,00 m × 5,50 m × 2,50 m de hauteur. Relation fournie : à l'échelle \(1/n\), les longueurs sont divisées par \(n\), les aires par \(n^2\) et les volumes par \(n^3\).
  1. Calculer le volume réel du local, en m³.
  2. Calculer \(50^3\).
  3. En déduire le volume de ce local sur la maquette, en m³ puis en cm³.
  4. Un litre vaut 1 000 cm³. Ce volume vous paraît-il grand ? À quel objet courant le comparer ?
  5. Les longueurs sont divisées par 50 et les volumes par 125 000. Expliquer en une phrase pourquoi l'écart est si spectaculaire.
  1. \(9{,}00 \times 5{,}50 \times 2{,}50 = \mathbf{123{,}75} \; \text{m}^3\).
  2. \(50^3 = 50 \times 50 \times 50 = \mathbf{125\,000}\).
  3. \(123{,}75 \div 125\,000 = 0{,}00099 \; \text{m}^3\), soit \(\mathbf{990} \; \text{cm}^3\).
  4. Un peu moins d'un litre : la maquette de ce local tient dans une bouteille d'eau. Un local de 124 m³ — de quoi loger une classe — se réduit à moins d'un litre de carton.
  5. Parce que le volume met en jeu trois longueurs à la fois : chacune étant divisée par 50, le volume l'est par \(50 \times 50 \times 50\). L'effet d'une réduction se multiplie avec le nombre de dimensions concernées.
Approfondissement Exercice 10 — Choisir l'échelle du plan

L'ensemble du projet occupe 62,00 m × 41,00 m. L'assistant en architecture doit le dessiner sur une feuille A3 (42,0 cm × 29,7 cm), en laissant 2 cm de marge de chaque côté. Les échelles normalisées disponibles sont 1/100, 1/200 et 1/500.
  1. Calculer les dimensions de la zone réellement dessinable sur la feuille.
  2. Pour chacune des trois échelles, calculer les dimensions du dessin et dire si le plan tient.
  3. Quelle est la plus grande échelle utilisable, c'est-à-dire celle qui donne le plus grand dessin tout en tenant ?
  4. Quelle échelle exacte remplirait la largeur de la zone dessinable ? Pourquoi ne l'utilise-t-on pas ?
  5. Au 1/500, le dessin ne fait plus que 12,4 cm de large. Quel inconvénient cela présente-t-il pour l'usage du plan sur un chantier ?
  1. \(42{,}0 - 2 \times 2 = \mathbf{38{,}0}\) cm sur \(29{,}7 - 2 \times 2 = \mathbf{25{,}7}\) cm.
  2. 1/100 : \(6\,200 \div 100 = 62{,}0\) cm et \(4\,100 \div 100 = 41{,}0\) cm → ne tient pas (62,0 > 38,0).
    1/200 : \(31{,}0\) cm et \(20{,}5\) cm → tient.
    1/500 : \(12{,}4\) cm et \(8{,}2\) cm → tient, largement.
  3. Le 1/200 : c'est la plus grande des deux qui tiennent, donc celle qui donne le dessin le plus lisible.
  4. \(6\,200 \div 38 \approx 163{,}2\), soit le 1/163,2. On ne l'utilise pas parce que les échelles sont normalisées : un plan à une échelle inventée ne peut être lu avec aucune réglette graduée, et personne ne pourrait y mesurer une cote.
  5. Au 1/500, 1 mm de tracé représente 50 cm de réel : les cloisons deviennent des traits confondus, on ne peut plus ni coter ni mesurer une pièce. Un plan trop réduit se regarde mais ne se travaille pas.
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