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Masse d'un panneau — Masse volumique

Co-intervention Maths-Sciences | Seconde Bac Pro MAMA | Matériaux et masse volumique

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Préparation d'une livraison de panneaux

Vous êtes apprenti dans un atelier de fabrication de cuisines sur mesure. Le chef d'atelier vous demande de préparer le chargement d'un utilitaire pour livrer une cuisine chez un client.

La commande comprend : Le chef d'atelier vous demande : « Calcule-moi le poids total de ces panneaux. L'utilitaire supporte 750 kg de charge utile, est-ce qu'on passe ? »
L (longueur) l (largeur) e Volume du panneau : V = L × l × e

2. Masse volumique

Définition — Masse volumique ρ
La masse volumique d'un matériau est la masse d'un mètre cube de ce matériau : \[ \rho = \frac{m}{V} \] Plus \(\rho\) est grand, plus le matériau est lourd à volume égal.
Formules dérivées
\[ m = \rho \times V \qquad \text{et} \qquad V = \frac{m}{\rho} \]

3. Volume d'un panneau rectangulaire

Formule du volume
Pour un panneau rectangulaire : \[ V = L \times l \times e \]
Attention — Conversion mm → m
En atelier, les dimensions sont toujours données en millimètres. Il faut les convertir en mètres avant de calculer le volume :
Diviser par 1 000
Exemples : 2 500 mm = 2,500 m  |  600 mm = 0,600 m  |  19 mm = 0,019 m
Exemple — Panneau de MDF mélaminé
Dimensions : 2 500 × 600 × 19 mm  |  Masse volumique du MDF : \(\rho = 750\) kg/m³

1. Conversion en mètres :
\(L = 2{,}500\) m   \(l = 0{,}600\) m   \(e = 0{,}019\) m

2. Volume :
\(V = 2{,}500 \times 0{,}600 \times 0{,}019 = 0{,}0285\) m³

3. Masse :
\(m = \rho \times V = 750 \times 0{,}0285 = 21{,}4\) kg

4. Masses volumiques des matériaux courants en menuiserie

Tableau — Masses volumiques
Matériau ρ (kg/m³) Caractéristique
Sapin / Épicéa450Résineux léger, charpente
Pin maritime530Résineux, menuiserie courante
Aggloméré mélaminé650Panneau de particules revêtu
Contreplaqué bouleau680Multi-plis, résistant
Hêtre690Feuillu dur, escaliers
Chêne720Feuillu dur, agencement haut de gamme
MDF750Panneau de fibres, surfaces lisses
Méthode — Calculer la masse d'un panneau
  1. Relever les dimensions L, l, e en mm
  2. Convertir chaque dimension en mètres (÷ 1 000)
  3. Calculer le volume : \(V = L \times l \times e\) en m³
  4. Lire la masse volumique \(\rho\) du matériau dans le tableau
  5. Calculer la masse : \(m = \rho \times V\) en kg
À retenir

Exercices

Exercice 1 Masse d'une étagère en MDF (guidé) Socle
Une étagère en MDF mesure 800 × 300 × 19 mm. La masse volumique du MDF est \(\rho = 750\) kg/m³.

Étape 1 : Convertir les dimensions en mètres.
\(L = 800 \div 1\,000 = \ldots\) m   \(l = 300 \div 1\,000 = \ldots\) m   \(e = 19 \div 1\,000 = \ldots\) m

Étape 2 : Calculer le volume.
\(V = \ldots \times \ldots \times \ldots = \ldots\) m³

Étape 3 : Calculer la masse.
\(m = \rho \times V = 750 \times \ldots = \ldots\) kg
Correction :
Étape 1 : \(L = 0{,}800\) m   \(l = 0{,}300\) m   \(e = 0{,}019\) m
Étape 2 : \(V = 0{,}800 \times 0{,}300 \times 0{,}019 = 0{,}00456\) m³
Étape 3 : \(m = 750 \times 0{,}00456 = 3{,}42\) kg
Exercice 2 Comparer deux panneaux (guidé) Socle
On dispose de deux panneaux de mêmes dimensions : 1 200 × 600 × 18 mm.
• Panneau A : aggloméré mélaminé (\(\rho = 650\) kg/m³)
• Panneau B : MDF (\(\rho = 750\) kg/m³)

1. Convertir les dimensions en m et calculer le volume (identique pour les deux).
2. Calculer la masse de chaque panneau.
3. Quel est le panneau le plus lourd ? De combien de kg ?
Correction :
1. \(V = 1{,}200 \times 0{,}600 \times 0{,}018 = 0{,}01296\) m³
2. Panneau A : \(m = 650 \times 0{,}01296 = 8{,}42\) kg
Panneau B : \(m = 750 \times 0{,}01296 = 9{,}72\) kg
3. Le panneau B (MDF) est plus lourd de \(9{,}72 - 8{,}42 = 1{,}30\) kg.
Exercice 3 Chargement d'un utilitaire Standard
Un menuisier doit transporter dans son utilitaire (charge utile : 750 kg) :
• 8 panneaux d'aggloméré mélaminé de 2 800 × 2 070 × 19 mm (\(\rho = 650\) kg/m³)
• 4 panneaux de contreplaqué de 2 500 × 1 220 × 15 mm (\(\rho = 680\) kg/m³)

1. Calculer la masse d'un panneau d'aggloméré puis la masse totale des 8 panneaux.
2. Calculer la masse d'un panneau de contreplaqué puis la masse totale des 4 panneaux.
3. La charge utile de l'utilitaire est-elle suffisante ? Justifier.
Correction :
1. Aggloméré : \(V = 2{,}800 \times 2{,}070 \times 0{,}019 = 0{,}1101\) m³
\(m_1 = 650 \times 0{,}1101 = 71{,}6\) kg → 8 panneaux : \(8 \times 71{,}6 = 572{,}5\) kg

2. Contreplaqué : \(V = 2{,}500 \times 1{,}220 \times 0{,}015 = 0{,}04575\) m³
\(m_1 = 680 \times 0{,}04575 = 31{,}1\) kg → 4 panneaux : \(4 \times 31{,}1 = 124{,}4\) kg

3. Masse totale : \(572{,}5 + 124{,}4 = 696{,}9\) kg < 750 kg → la charge utile est suffisante, mais il reste très peu de marge (53 kg) pour le reste du chargement (quincaillerie, outils).
Exercice 4 Masse d'un meuble à assembler Standard
Un meuble bas de cuisine est composé des éléments suivants, tous en aggloméré mélaminé (\(\rho = 650\) kg/m³) :
• 2 joues (côtés) : 720 × 560 × 16 mm
• 1 fond : 600 × 560 × 8 mm
• 1 dessus : 600 × 560 × 16 mm
• 1 plinthe : 600 × 150 × 16 mm

1. Calculer la masse de chaque élément.
2. Calculer la masse totale du meuble (sans la quincaillerie).
Correction :
1.
• Joue : \(V = 0{,}720 \times 0{,}560 \times 0{,}016 = 0{,}006451\) m³ → \(m = 650 \times 0{,}006451 = 4{,}19\) kg → 2 joues : 8,38 kg
• Fond : \(V = 0{,}600 \times 0{,}560 \times 0{,}008 = 0{,}002688\) m³ → \(m = 650 \times 0{,}002688 = 1{,}75\) kg
• Dessus : \(V = 0{,}600 \times 0{,}560 \times 0{,}016 = 0{,}005376\) m³ → \(m = 650 \times 0{,}005376 = 3{,}49\) kg
• Plinthe : \(V = 0{,}600 \times 0{,}150 \times 0{,}016 = 0{,}001440\) m³ → \(m = 650 \times 0{,}001440 = 0{,}94\) kg

2. Masse totale : \(8{,}38 + 1{,}75 + 3{,}49 + 0{,}94 = 14{,}56\) kg
Exercice 5 Choix du matériau pour un plan de travail Approfondissement
Un client hésite entre deux plans de travail de cuisine de dimensions 3 000 × 650 × 38 mm :
• Option A : aggloméré stratifié (\(\rho = 650\) kg/m³) — prix : 85 €
• Option B : chêne massif (\(\rho = 720\) kg/m³) — prix : 320 €

1. Calculer la masse de chaque plan de travail.
2. Le meuble support admet une charge maximale de 60 kg. Les deux plans de travail sont-ils compatibles ?
3. Calculer le prix au kilogramme pour chaque option. Commenter.
Correction :
1. Volume commun : \(V = 3{,}000 \times 0{,}650 \times 0{,}038 = 0{,}07410\) m³
Option A : \(m = 650 \times 0{,}07410 = 48{,}2\) kg
Option B : \(m = 720 \times 0{,}07410 = 53{,}4\) kg

2. Les deux sont inférieurs à 60 kg → les deux sont compatibles. Le chêne laisse seulement 6,6 kg de marge (ustensiles, électroménager posé).

3. Option A : \(85 / 48{,}2 = 1{,}76\) €/kg
Option B : \(320 / 53{,}4 = 5{,}99\) €/kg
Le chêne massif coûte environ 3,4 fois plus cher au kg que l'aggloméré.
Exercice 6 Problème inverse — retrouver une épaisseur Approfondissement
Un panneau de MDF (\(\rho = 750\) kg/m³) mesure 2 440 × 1 220 mm. Un opérateur le pèse sur une balance industrielle : la balance affiche 33,4 kg.

1. Calculer la surface S du panneau en m².
2. En déduire le volume V du panneau à partir de sa masse et de sa masse volumique.
3. Retrouver l'épaisseur e du panneau en mètres, puis en mm.
4. Parmi les épaisseurs commerciales (10, 12, 16, 19, 22 mm), laquelle correspond ?
Correction :
1. \(S = 2{,}440 \times 1{,}220 = 2{,}977\) m²
2. \(V = m / \rho = 33{,}4 / 750 = 0{,}04453\) m³
3. \(e = V / S = 0{,}04453 / 2{,}977 = 0{,}01496\) m = 14,96 mm
4. Aucune épaisseur commerciale ne correspond exactement. La plus proche est 16 mm. L'écart peut s'expliquer par un panneau légèrement sous-densifié (\(\rho\) réel un peu inférieur à 750) ou des tolérances d'usinage. En vérifiant avec un pied à coulisse, on trouverait vraisemblablement 16 mm.
Exercice 7 Lire le tableau des masses volumiques (guidé) Socle
À l'aide du tableau de la section 4, répondre aux questions :

a) Quel matériau est le plus lourd au m³ ?
b) Quel matériau est le plus léger au m³ ?
c) Classer du plus léger au plus lourd : MDF, chêne, sapin, aggloméré.
d) Un panneau de sapin et un panneau de MDF ont le même volume. Lequel est le plus lourd ? Combien de fois plus lourd ?
Correction :
a) MDF (750 kg/m³)
b) Sapin (450 kg/m³)
c) Sapin (450) < aggloméré (650) < chêne (720) < MDF (750)
d) Le MDF est plus lourd : \(750 / 450 = 1{,}67\) fois plus lourd que le sapin.
Exercice 8 Volume et conversion (guidé) Socle
1 500 mm 500 mm e = 22 mm
Un panneau de hêtre mesure 1 500 × 500 × 22 mm (\(\rho = 690\) kg/m³).

Étape 1 : Convertir en mètres.
\(L = \ldots\) m   \(l = \ldots\) m   \(e = \ldots\) m

Étape 2 : Calculer le volume.
\(V = \ldots \times \ldots \times \ldots = \ldots\) m³

Étape 3 : Calculer la masse.
\(m = 690 \times \ldots = \ldots\) kg
Correction :
Étape 1 : \(L = 1{,}500\) m   \(l = 0{,}500\) m   \(e = 0{,}022\) m
Étape 2 : \(V = 1{,}500 \times 0{,}500 \times 0{,}022 = 0{,}01650\) m³
Étape 3 : \(m = 690 \times 0{,}01650 = 11{,}4\) kg
Exercice 9 Masse totale d'un dressing Standard
Un menuisier fabrique un dressing en aggloméré mélaminé (\(\rho = 650\) kg/m³) composé de :
• 2 joues : 2 400 × 600 × 19 mm
• 5 tablettes : 1 200 × 600 × 19 mm
• 1 dos : 2 400 × 1 200 × 8 mm
• 2 portes coulissantes en MDF (\(\rho = 750\) kg/m³) : 2 350 × 600 × 16 mm

1. Calculer la masse de chaque type de pièce.
2. Calculer la masse totale du dressing.
3. Le mur en placo BA13 supporte 30 kg par point de fixation. Il y a 6 points de fixation. Le dressing tient-il ?
Correction :
1.
Joue : \(V = 2{,}400 \times 0{,}600 \times 0{,}019 = 0{,}02736\) m³ → \(m = 650 \times 0{,}02736 = 17{,}78\) kg × 2 = 35,56 kg
Tablette : \(V = 1{,}200 \times 0{,}600 \times 0{,}019 = 0{,}01368\) m³ → \(m = 650 \times 0{,}01368 = 8{,}89\) kg × 5 = 44,46 kg
Dos : \(V = 2{,}400 \times 1{,}200 \times 0{,}008 = 0{,}02304\) m³ → \(m = 650 \times 0{,}02304 = 14{,}98\) kg
Porte : \(V = 2{,}350 \times 0{,}600 \times 0{,}016 = 0{,}02256\) m³ → \(m = 750 \times 0{,}02256 = 16{,}92\) kg × 2 = 33,84 kg

2. Masse totale : \(35{,}56 + 44{,}46 + 14{,}98 + 33{,}84 = 128{,}84\) kg

3. Capacité totale des fixations : \(6 \times 30 = 180\) kg. \(128{,}84 < 180\) → oui, le dressing tient. Marge : 51 kg (pour les vêtements et accessoires).
Exercice 10 Optimiser le matériau pour alléger un meuble Approfondissement
Un fabricant de mobilier conçoit un meuble TV composé de 4 panneaux identiques de 1 800 × 400 × 19 mm. Il hésite entre trois matériaux :

Matériau ρ (kg/m³) Prix (€/m² en 19 mm)
Aggloméré mélaminé65012
MDF75015
Contreplaqué bouleau68028

1. Calculer la masse des 4 panneaux pour chaque matériau.
2. Calculer le coût matériau total pour chaque option (surface × prix/m²).
3. Le client veut un meuble léger (moins de 25 kg) et économique (moins de 50 €). Quel matériau recommander ?
4. Le contreplaqué est le plus cher. Dans quel cas serait-il quand même justifié ?
Correction :
Volume d'un panneau : \(V = 1{,}800 \times 0{,}400 \times 0{,}019 = 0{,}01368\) m³
Surface d'un panneau : \(S = 1{,}800 \times 0{,}400 = 0{,}72\) m²

1. Masses (4 panneaux) :
Aggloméré : \(4 \times 650 \times 0{,}01368 = 35{,}6\) kg
MDF : \(4 \times 750 \times 0{,}01368 = 41{,}0\) kg
Contreplaqué : \(4 \times 680 \times 0{,}01368 = 37{,}2\) kg

2. Coûts (4 panneaux) :
Aggloméré : \(4 \times 0{,}72 \times 12 = 34{,}56\) €
MDF : \(4 \times 0{,}72 \times 15 = 43{,}20\) €
Contreplaqué : \(4 \times 0{,}72 \times 28 = 80{,}64\) €

3. Aucun matériau ne satisfait les deux critères simultanément (tous dépassent 25 kg). L'aggloméré est le plus léger (35,6 kg) et le moins cher (34,56 €). Pour alléger davantage, il faudrait réduire l'épaisseur (16 mm au lieu de 19 mm) ou les dimensions.

4. Le contreplaqué est justifié pour des pièces nécessitant une forte résistance mécanique (tablettes chargées, tiroirs) ou un aspect esthétique (chants visibles en bouleau naturel).
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