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Isolation d'un logement : résistance thermique

Co-intervention Maths-Sciences | Seconde Bac Pro TNE | Module CME 6 — Confort thermique

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Rénovation énergétique d'un pavillon

Un technicien en rénovation énergétique intervient chez des particuliers dont le pavillon des années 1970 est mal isolé. La facture de chauffage est très élevée : les murs sont en parpaing nu et les combles ne sont pas isolés.

Le technicien doit proposer une solution d'isolation pour les murs et pour les combles. Pour cela, il choisit des isolants à partir de leur fiche technique : Les propriétaires demandent : « Quelle épaisseur d'isolant faut-il poser pour que notre logement soit conforme et bien isolé ? »

2. Conductivité thermique et résistance thermique

Définition — Conductivité thermique λ (lambda)
La conductivité thermique d'un matériau mesure sa capacité à laisser passer la chaleur. Plus λ est faible, plus le matériau est isolant.
Définition — Résistance thermique R d'une couche
La résistance thermique d'une couche de matériau se calcule par : \[ R = \frac{e}{\lambda} \] Plus \(R\) est grand, plus la paroi est isolante. Attention : il faut convertir l'épaisseur en mètres avant le calcul.
Propriété — Résistance thermique d'une paroi à plusieurs couches
Quand une paroi est formée de plusieurs couches superposées, les résistances thermiques s'additionnent : \[ R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots = \frac{e_1}{\lambda_1} + \frac{e_2}{\lambda_2} + \frac{e_3}{\lambda_3} + \cdots \]
Définition — Coefficient de transmission thermique U
Le coefficient \(U\) est l'inverse de la résistance thermique totale : \[ U = \frac{1}{R_{\text{total}}} \]

3. Conductivités thermiques de matériaux courants

Matériauλ (W/m·K)
Béton1,75
Brique0,60
Plaque de plâtre (placo)0,25
Bois0,15
Isolantλ (W/m·K)
Laine de roche0,038
Polystyrène expansé0,038
Laine de verre0,035
Mousse polyuréthane0,024

On remarque que les isolants ont tous une conductivité λ très faible (inférieure à 0,04) : c'est ce qui les rend efficaces. Le polyuréthane (0,024) est le plus performant.

4. Application — Mur isolé d'un pavillon

Calcul de la résistance thermique d'un mur isolé

Le technicien isole un mur en brique de l'intérieur. La paroi est composée de trois couches : On calcule chaque résistance : \[ R_1 = \frac{0{,}20}{0{,}60} \approx 0{,}33 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] \[ R_2 = \frac{0{,}12}{0{,}035} \approx 3{,}43 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] \[ R_3 = \frac{0{,}013}{0{,}25} \approx 0{,}05 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] Résistance totale : \[ R_{\text{total}} = 0{,}33 + 3{,}43 + 0{,}05 = 3{,}81 \; \text{m}^2\text{·K/W} \] Coefficient U : \[ U = \frac{1}{3{,}81} \approx 0{,}26 \; \text{W/(m}^2\text{·K)} \]
En rénovation, on vise U ≤ 0,40 W/(m²·K) pour un mur. Ici U = 0,26 W/(m²·K) : le mur est conforme et bien isolé. C'est la laine de verre qui apporte presque toute la résistance.
Méthode — Calculer R et U d'une paroi
  1. Convertir toutes les épaisseurs en mètres (cm → m : on divise par 100).
  2. Calculer la résistance de chaque couche : \(R = e / \lambda\).
  3. Additionner toutes les résistances : \(R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + \dots\)
  4. Calculer le coefficient : \(U = 1 / R_{\text{total}}\).
  5. Comparer U à la valeur réglementaire pour conclure.

5. Schéma de la paroi du mur isolé

Brique e = 20 cm λ = 0,60 Laine de verre e = 12 cm λ = 0,035 Plâtre 1,3 cm ⇦ Ext. ⇦ Int. Chaleur R_total = 0,33 + 3,43 + 0,05 = 3,81 m²·K/W — U = 0,26 W/(m²·K)

6. Exercices

Socle Exercice 1 — Convertir des épaisseurs (guidé)

Avant tout calcul de résistance thermique, il faut convertir les épaisseurs en mètres. Rappel : pour passer des cm aux m, on divise par 100.
  1. 10 cm = ……… m
  2. 12 cm = ……… m
  3. 8 cm = ……… m
  4. 1,3 cm = ……… m
  5. 20 cm = ……… m
  1. 10 cm = 0,10 m
  2. 12 cm = 0,12 m
  3. 8 cm = 0,08 m
  4. 1,3 cm = 0,013 m
  5. 20 cm = 0,20 m
Socle Exercice 2 — Résistance d'un isolant seul

Un technicien en rénovation énergétique pose un panneau de laine de roche d'épaisseur 10 cm (λ = 0,038 W/(m·K)) dans des combles.
  1. Convertir 10 cm en mètres : e = ……… m
  2. Calculer \(R = e / \lambda\) :
    \(R = \dfrac{\text{……}}{0{,}038} = \text{……} \; \text{m}^2\text{·K/W}\)
  3. Calculer le coefficient U de ce panneau seul :
    \(U = 1 / R = \text{……} \; \text{W/(m}^2\text{·K)}\)
  1. e = 0,10 m
  2. R = 0,10 / 0,038 ≈ 2,63 m²·K/W
  3. U = 1 / 2,63 ≈ 0,38 W/(m²·K)
Socle Exercice 3 — Classer des isolants (guidé)

À l'aide du tableau du cours, classer les isolants suivants du plus isolant au moins isolant :

Laine de verre (0,035) — Polyuréthane (0,024) — Laine de roche (0,038) — Bois (0,15)

Rappel : plus λ est faible, plus le matériau est isolant.
Correction :
Du plus isolant au moins isolant :
Polyuréthane (0,024) → Laine de verre (0,035) → Laine de roche (0,038) → Bois (0,15)
Socle Exercice 4 — Tableau de résistances (guidé)

Un installateur en génie climatique compare trois isolants posés en 12 cm d'épaisseur (e = 0,12 m). Compléter le tableau en calculant \(R = e / \lambda\).
Isolante (m)λ (W/m·K)R = e/λ (m²·K/W)
Laine de roche0,120,038……
Laine de verre0,120,035……
Polyuréthane0,120,024……
Quel isolant donne la plus grande résistance ?
IsolantR
Laine de roche0,12 / 0,038 ≈ 3,16
Laine de verre0,12 / 0,035 ≈ 3,43
Polyuréthane0,12 / 0,024 = 5,00
Le polyuréthane donne la plus grande résistance (5,00) car c'est l'isolant dont λ est le plus faible.
Standard Exercice 5 — Mur isolé à deux couches

Un monteur en installations thermiques isole un mur en parpaing. La paroi comprend :
  1. Calculer la résistance thermique de chaque couche.
  2. Calculer Rtotal et le coefficient U.
  3. En rénovation on impose U ≤ 0,40 W/(m²·K). Le mur est-il conforme ?
  1. Rparpaing = 0,20 / 1,10 ≈ 0,18 m²·K/W ; Rlaine = 0,10 / 0,035 ≈ 2,86 m²·K/W
  2. Rtotal = 0,18 + 2,86 = 3,04 m²·K/W → U = 1 / 3,04 ≈ 0,33 W/(m²·K)
  3. U = 0,33 W/(m²·K) ≤ 0,40 W/(m²·K) → le mur est conforme.
Standard Exercice 6 — Mur de pavillon : trois couches

Un technicien en rénovation énergétique isole un mur de pavillon. De l'extérieur vers l'intérieur :
  1. Calculer la résistance thermique de chaque couche.
  2. Calculer Rtotal et U.
  3. La réglementation impose U ≤ 0,40 W/(m²·K). Le mur est-il conforme ?
  1. Rbéton = 0,16 / 1,75 ≈ 0,09 m²·K/W
    Rpolystyrène = 0,10 / 0,038 ≈ 2,63 m²·K/W
    Rplâtre = 0,013 / 0,25 ≈ 0,05 m²·K/W
  2. Rtotal = 0,09 + 2,63 + 0,05 = 2,77 m²·K/W → U = 1 / 2,77 ≈ 0,36 W/(m²·K)
  3. U = 0,36 W/(m²·K) ≤ 0,40 W/(m²·K) → le mur est conforme.
Standard Exercice 7 — Isolation des combles

Un plombier-chauffagiste constate que les combles d'un pavillon ne sont pas isolés. Il pose 20 cm de laine de verre (λ = 0,035 W/(m·K)) directement sur le plancher des combles.
  1. Calculer la résistance thermique R de cette couche.
  2. En rénovation, on recommande R ≥ 7 m²·K/W pour des combles. La pose de 20 cm est-elle suffisante ?
  3. Calculer l'épaisseur de laine de verre nécessaire pour atteindre R = 7 m²·K/W.
  1. R = 0,20 / 0,035 ≈ 5,71 m²·K/W
  2. R = 5,71 m²·K/W < 7 m²·K/W → la pose de 20 cm n'est pas suffisante.
  3. R = e / λ donc e = R × λ = 7 × 0,035 = 0,245 m, soit environ 25 cm de laine de verre.
Approfondissement Exercice 8 — Trouver l'épaisseur d'isolant pour un U cible

Un installateur en génie climatique doit isoler un mur en brique (e = 20 cm, λ = 0,60 W/(m·K)) avec de la laine de roche (λ = 0,038 W/(m·K)) puis une plaque de plâtre (e = 1,3 cm, λ = 0,25 W/(m·K)). Le cahier des charges impose U ≤ 0,30 W/(m²·K).
  1. Calculer la résistance de la brique et de la plaque de plâtre.
  2. Exprimer Rtotal en fonction de l'épaisseur x (en m) de laine de roche.
  3. À partir de U ≤ 0,30, établir la condition sur Rtotal.
  4. En déduire l'épaisseur minimale x de laine de roche (en cm).
  1. Rbrique = 0,20 / 0,60 ≈ 0,33 m²·K/W ; Rplâtre = 0,013 / 0,25 ≈ 0,05 m²·K/W
  2. Rtotal = 0,33 + x/0,038 + 0,05 = 0,38 + x/0,038
  3. U ≤ 0,30 équivaut à Rtotal ≥ 1/0,30 ≈ 3,33 m²·K/W
  4. 0,38 + x/0,038 ≥ 3,33
    x/0,038 ≥ 2,95
    x ≥ 2,95 × 0,038 ≈ 0,112 m → x ≥ 11,2 cm. Il faut donc poser au moins 12 cm de laine de roche.
Approfondissement Exercice 9 — Comparer deux solutions d'isolation

Pour isoler un mur, un technicien de maintenance énergétique compare deux solutions (avec, dans les deux cas, une plaque de plâtre de 1,3 cm, λ = 0,25 W/(m·K), posée sur un mur en brique de Rbrique = 0,33 m²·K/W) :
Solution A Solution B
IsolantLaine de verre (λ = 0,035)Polyuréthane (λ = 0,024)
Épaisseur12 cm8 cm
Prix30 €/m²48 €/m²
  1. Calculer Rtotal et U pour chaque solution (mur + isolant + plâtre).
  2. Quelle solution est la plus isolante ?
  3. Quelle épaisseur d'isolant + plâtre est ajoutée dans chaque cas ? Quel avantage la solution B présente-t-elle pour un logement de petite surface ?
  1. Solution A : R = 0,33 + 0,12/0,035 + 0,013/0,25 = 0,33 + 3,43 + 0,05 = 3,81 m²·K/W → U = 1/3,81 ≈ 0,26 W/(m²·K)
    Solution B : R = 0,33 + 0,08/0,024 + 0,05 = 0,33 + 3,33 + 0,05 = 3,71 m²·K/W → U = 1/3,71 ≈ 0,27 W/(m²·K)
  2. La solution A est très légèrement plus isolante (U = 0,26 contre 0,27), mais les deux solutions sont quasiment équivalentes.
  3. Solution A : 12 + 1,3 = 13,3 cm ajoutés ; Solution B : 8 + 1,3 = 9,3 cm ajoutés. La solution B (polyuréthane) prend 4 cm de moins, ce qui préserve la surface habitable dans un petit logement, malgré un prix plus élevé.
Approfondissement Exercice 10 — Conformité mur et combles d'un pavillon

Un technicien en rénovation énergétique doit rendre conforme l'ensemble d'un pavillon. Les valeurs cibles en rénovation sont : murs R ≥ 3,7 m²·K/W et combles R ≥ 7 m²·K/W.

Le mur existant en brique a déjà Rbrique = 0,33 m²·K/W. On y ajoute de la laine de verre (λ = 0,035). Les combles sont nus (R = 0).
  1. Quelle épaisseur de laine de verre faut-il sur le mur pour atteindre R = 3,7 m²·K/W ?
  2. Quelle épaisseur de laine de verre faut-il dans les combles pour atteindre R = 7 m²·K/W ?
  3. Quel coefficient U obtient-on pour le mur une fois conforme ?
  1. Il faut ajouter Risolant = 3,7 − 0,33 = 3,37 m²·K/W.
    e = R × λ = 3,37 × 0,035 ≈ 0,118 m → environ 12 cm de laine de verre.
  2. Combles nus (R = 0) : il faut Risolant = 7 m²·K/W.
    e = 7 × 0,035 = 0,245 m → environ 25 cm de laine de verre.
  3. Mur conforme : Rtotal = 3,7 m²·K/W → U = 1/3,7 ≈ 0,27 W/(m²·K).
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