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Implanter d'équerre : la méthode du 3-4-5

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro MNB | Compétence C3.2

Dernière mise à jour : 24 septembre 2026

Objectifs
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1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Implantation du restaurant scolaire d'Albertville (73)

Un géomètre-topographe a implanté sur le terrain l'emprise au sol d'un restaurant scolaire : avec sa station totale, il a planté quatre piquets aux angles. L'emprise retenue est un rectangle de 18,00 m sur 13,00 m, soit 234 m².

Avant que le maçon ne coule les fondations, l'implantation est contrôlée : il faut prouver que les angles sont droits. Un décalage de quelques degrés se paie en cloisons de travers et en menuiseries qui ne rentrent pas.

Pour ce contrôle, pas de rapporteur géant ni d'équerre de 18 m : un décamètre suffit.

« Comment garantir un angle droit avec un simple ruban de mesure ? »

2. Les outils du contrôle

Théorème de Pythagore Si un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Il permet de calculer une longueur quand on sait déjà que l'angle est droit.
Réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle \(ABC\) on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle est rectangle en \(A\).
C'est elle qu'on utilise sur le chantier : elle permet de prouver qu'un angle est droit, à partir de trois longueurs mesurées.
Méthode — utiliser la réciproque 1. Repérer la plus grande longueur : c'est elle qu'on compare à la somme des carrés des deux autres.
2. Calculer le carré de la plus grande longueur, puis la somme des carrés des deux autres.
3. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle. Sinon, il ne l'est pas.
Méthode du 3-4-5 Depuis le coin à vérifier, on mesure 3 m sur un côté et 4 m sur l'autre. Si l'angle est droit, la distance entre ces deux points vaut exactement 5 m.
Si on mesure autre chose que 5 m, l'angle n'est pas droit : on déplace le piquet jusqu'à y arriver.
Attention Sur une grande emprise, on préfère un triangle plus grand, par exemple 9-12-15, car l'erreur de lecture du décamètre pèse alors relativement moins. Ce sont les mêmes proportions : \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\).

3. L'emprise à implanter

18,00 m 13,00 m les deux diagonales

L'emprise du restaurant scolaire vue de dessus, schéma sans échelle. Le rectangle mesure 18,00 m sur 13,00 m ; les quatre points rouges sont les piquets d'angle ; les deux diagonales sont tracées en pointillés.

4. Exercices

Socle Exercice 1 — Vérifier le 3-4-5

Exemple — sur d'autres valeurs
Un triangle mesure 5 m, 12 m et 13 m ; la plus grande longueur est 13 m. 13 × 13 = 169 et 5 × 5 + 12 × 12 = 25 + 144 = 169. Les deux résultats sont égaux : le triangle est rectangle.
À toi de jouer.
Depuis un piquet, l'aide-géomètre a mesuré 3,00 m sur un côté et 4,00 m sur l'autre, puis 5,00 m entre les deux points.
  1. Calculer \(3{,}00^2 + 4{,}00^2\).
  2. Calculer \(5{,}00^2\).
  3. Les deux résultats sont-ils égaux ? Que peut-on en conclure sur l'angle ?
  1. \(9 + 16 = \mathbf{25}\)
  2. \(5{,}00^2 = \mathbf{25}\)
  3. Oui, les deux valent 25. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle : l'angle est droit.
Socle Exercice 2 — Un angle qui n'est pas droit

Exemple — sur d'autres valeurs
Un triangle mesure 6 m, 8 m et 10,30 m. 10,30 × 10,30 = 106,09, mais 6 × 6 + 8 × 8 = 36 + 64 = 100. 106,09 ≠ 100 : l'angle n'est pas droit.
À toi de jouer.
Sur un autre piquet, on mesure 3,00 m et 4,00 m, mais la distance entre les deux points vaut 5,20 m.
  1. Calculer \(3{,}00^2 + 4{,}00^2\).
  2. Calculer \(5{,}20^2\).
  3. L'angle est-il droit ? Que doit faire le géomètre ?
  1. \(9 + 16 = \mathbf{25}\)
  2. \(5{,}20^2 = \mathbf{27{,}04}\)
  3. \(27{,}04 \neq 25\) : l'angle n'est pas droit. Comme la distance mesurée est trop grande, l'angle est ouvert (plus de 90°). Le géomètre doit déplacer le piquet pour refermer l'angle, jusqu'à lire 5,00 m.
Socle Exercice 3 — La diagonale d'une pièce

Exemple — sur d'autres valeurs
Une pièce mesure 2,40 m sur 3,20 m. d² = 2,40² + 3,20² = 5,76 + 10,24 = 16, donc d = √16 = 4,00 m.
À toi de jouer.
Une pièce rectangulaire mesure 6,00 m sur 8,00 m. On cherche la longueur de sa diagonale \(d\).
  1. Écrire l'égalité de Pythagore pour la diagonale \(d\).
  2. Calculer \(d^2\).
  3. En déduire \(d\), en mètres.
  1. \(d^2 = 6{,}00^2 + 8{,}00^2\)
  2. \(d^2 = 36 + 64 = \mathbf{100}\)
  3. \(d = \sqrt{100} = \mathbf{10{,}00}\) m — c'est le triangle 6-8-10, le 3-4-5 doublé.
Standard Exercice 4 — La diagonale de contrôle

Exemple — sur d'autres valeurs
Un rectangle de 8,00 m sur 5,00 m : d² = 64 + 25 = 89, donc d = √89 ≈ 9,43 m. On mesure 9,44 m : l'écart est 9,44 − 9,43 = 0,01 m, soit 1 cm.
À toi de jouer.
L'emprise doit être un rectangle de 18,00 m sur 13,00 m. Ses côtés ont déjà été contrôlés. Le géomètre contrôle maintenant son implantation en mesurant la diagonale.
  1. Calculer la longueur de la diagonale, arrondie au centimètre.
  2. Il mesure 22,20 m sur le terrain. L'implantation est-elle correcte, sachant qu'on tolère 2 cm ?
  3. Pourquoi mesurer la diagonale plutôt que vérifier les quatre angles un par un ? Répondre en une phrase.
  1. \(d^2 = 18{,}00^2 + 13{,}00^2 = 324 + 169 = 493\), donc \(d = \sqrt{493} \approx \mathbf{22{,}20} \; \text{m}\) (22,2036 m).
  2. L'écart est \(22{,}2036 - 22{,}20 \approx 0{,}004\) m, soit moins de 1 cm : c'est moins que 2 cm, l'implantation est correcte.
  3. Les côtés étant justes, une seule mesure de diagonale contrôle d'un coup la forme de tout le rectangle, alors que vérifier les quatre angles demande quatre triangles 3-4-5, donc quatre fois plus de mesures et d'erreurs de lecture possibles.
Standard Exercice 5 — Une dalle carrée

Exemple — sur d'autres valeurs
Un carré de 5,00 m de côté : d² = 25 + 25 = 50, donc d = √50 ≈ 7,07 m. Si on lit 7,10 m sur le terrain, l'écart est 7,10 − 7,07 = 0,03 m, soit 3 cm.
À toi de jouer.
Le maçon implante au décamètre une dalle carrée de 7,00 m de côté. La tolérance sur la diagonale est de 2 cm.
  1. Calculer la longueur théorique de la diagonale, arrondie au centimètre.
  2. Sur le terrain il lit 9,95 m. Calculer l'écart avec la valeur théorique.
  3. L'implantation est-elle acceptable ?
  4. Les quatre côtés mesurent pourtant bien 7,00 m. Quelle est alors la forme réellement implantée ?
  1. \(d^2 = 7{,}00^2 + 7{,}00^2 = 49 + 49 = 98\), donc \(d = \sqrt{98} \approx \mathbf{9{,}90}\) m (9,8995 m).
  2. \(9{,}95 - 9{,}90 = \mathbf{0{,}05}\) m, soit 5 cm.
  3. Non : \(5 > 2\), l'écart dépasse la tolérance de plus du double.
  4. Quatre côtés égaux mais des diagonales fausses : c'est un losange, pas un carré. Mesurer les côtés ne prouve jamais l'équerrage — seule la diagonale le fait.
Approfondissement Exercice 6 — Choisir son triangle

Exemple — sur d'autres valeurs
Pour le triangle 9-12-15 : 9 × 9 + 12 × 12 = 81 + 144 = 225 et 15 × 15 = 225, il est rectangle. Pour un mur de 24,00 m aligné sur le côté de 12 m : 24,00 ÷ 12 = 2, une erreur est multipliée par 2 au bout du mur.
À toi de jouer.
L'équipe du maçon trace les murs au décamètre ; son ruban mesure 20 m. Les triangles utilisables sont les multiples du 3-4-5 : 3-4-5, 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20.
  1. Vérifier par le calcul que le triangle 12-16-20 est bien rectangle.
  2. Pourquoi ne peut-on pas aller au-delà, avec ce ruban ?
  3. Le mur à implanter mesure 18,00 m. Pour chacun des triangles 3-4-5 et 12-16-20, calculer le rapport \(\dfrac{18{,}00}{b}\), où \(b\) est le côté aligné sur le mur (4 m puis 16 m). Ce rapport dit par combien l'erreur d'implantation est multipliée en prolongeant jusqu'au bout du mur.
  4. Par combien l'erreur est-elle divisée en passant du 3-4-5 au 12-16-20 ?
  5. Sur un chantier encombré où l'on ne peut dérouler que 5 m, quelle précaution reste-t-il à prendre ? Une phrase.
  1. La plus grande longueur est 20 : \(20^2 = 400\) et \(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\). Les deux sont égaux, le triangle est bien rectangle.
  2. Le multiple suivant serait 15-20-25 : son hypoténuse mesure 25 m, plus long que le ruban. On ne peut pas mesurer ce qu'on ne peut pas tendre d'un seul tenant — et rabouter deux mesures ajoute une erreur au lieu d'en retirer.
  3. 3-4-5 : \(18{,}00 \div 4 = \mathbf{4{,}5}\). 12-16-20 : \(18{,}00 \div 16 = \mathbf{1{,}125}\).
  4. \(4{,}5 \div 1{,}125 = \mathbf{4}\) : l'erreur est divisée par 4. Un même écart de lecture produit, au bout du mur, un décalage quatre fois plus petit avec le grand triangle qu'avec le petit.
  5. Multiplier les contrôles : implanter au 3-4-5, puis vérifier la diagonale de l'emprise entière une fois les quatre piquets posés. Le petit triangle sert à placer, la grande diagonale sert à valider.
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