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Implanter d'équerre : la méthode du 3-4-5

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro — famille Bâtiment | Compétence C3.2

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 17:18

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Implantation du restaurant scolaire d'Albertville (73)

Un géomètre-topographe implante sur le terrain l'emprise au sol d'un restaurant scolaire. L'emprise retenue est un rectangle de 18,00 m sur 13,00 m, soit 234 m².

Il plante quatre piquets. Avant que le maçon ne coule les fondations, il doit prouver que les angles sont droits — un décalage de quelques degrés se paie en cloisons de travers et en menuiseries qui ne rentrent pas.

Sur un chantier, on n'a ni rapporteur géant ni équerre de 18 m. On a un décamètre.

« Comment garantir un angle droit avec un simple ruban de mesure ? »

2. Les deux outils du géomètre

Théorème de Pythagore Si un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Il permet de calculer une longueur quand on sait déjà que l'angle est droit.
Réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle \(ABC\) on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle est rectangle en \(A\).
C'est elle qu'utilise le géomètre : elle permet de prouver qu'un angle est droit, à partir de trois longueurs mesurées.
Méthode du 3-4-5 Depuis le coin à vérifier, on mesure 3 m sur un côté et 4 m sur l'autre. Si l'angle est droit, la distance entre ces deux points vaut exactement 5 m : \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\).
Si on mesure autre chose que 5 m, l'angle n'est pas droit — et on déplace le piquet jusqu'à y arriver.
Attention Sur une grande emprise, on préfère un triangle plus grand — 6-8-10, 9-12-15 — car l'erreur de lecture du décamètre pèse alors relativement moins. Ce sont les mêmes proportions : \(6^2 + 8^2 = 100 = 10^2\).

3. L'emprise à implanter

18,00 m 13,00 m les deux diagonales Schéma sans échelle — les quatre points rouges sont les piquets

4. Exercices

Socle Exercice 1 — Vérifier le 3-4-5

Depuis un piquet, l'aide-géomètre a mesuré 3,00 m sur un côté et 4,00 m sur l'autre, puis 5,00 m entre les deux points.
  1. Calculer \(3{,}00^2 + 4{,}00^2 = \text{……} + \text{……} = \text{……}\)
  2. Calculer \(5{,}00^2 = \text{……}\)
  3. Les deux résultats sont-ils égaux ? Que peut-on en conclure sur l'angle ?
  1. \(9 + 16 = \mathbf{25}\)
  2. \(5{,}00^2 = \mathbf{25}\)
  3. Oui, les deux valent 25. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle : l'angle est droit.
Socle Exercice 2 — Un angle qui n'est pas droit

Sur un autre piquet, on mesure 3,00 m et 4,00 m, mais la distance entre les deux points vaut 5,20 m.
  1. Calculer \(3{,}00^2 + 4{,}00^2 = \text{……}\)
  2. Calculer \(5{,}20^2 = \text{……}\)
  3. L'angle est-il droit ? Que doit faire le géomètre ?
  1. \(9 + 16 = \mathbf{25}\)
  2. \(5{,}20^2 = \mathbf{27{,}04}\)
  3. \(27{,}04 \neq 25\) : l'angle n'est pas droit. Comme la distance mesurée est trop grande, l'angle est ouvert (plus de 90°). Le géomètre doit rapprocher le piquet jusqu'à lire 5,00 m.
Socle Exercice 3 — La diagonale d'une pièce

Une pièce rectangulaire mesure 6,00 m sur 8,00 m. On cherche la longueur de sa diagonale \(d\).
  1. Écrire le théorème de Pythagore : \(d^2 = 6{,}00^2 + \text{……}^2\)
  2. Calculer : \(d^2 = \text{……} + \text{……} = \text{……}\)
  3. En déduire \(d = \sqrt{\text{……}} = \text{……}\) m
  1. \(d^2 = 6{,}00^2 + 8{,}00^2\)
  2. \(36 + 64 = \mathbf{100}\)
  3. \(d = \sqrt{100} = \mathbf{10{,}00}\) m — c'est le triangle 6-8-10, le 3-4-5 doublé.
Socle Exercice 4 — Ces triangles sont-ils rectangles ?

Pour chacun des trois relevés, dire si le triangle est rectangle, en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.
  1. 5 m · 12 m · 13 m
  2. 4 m · 5 m · 6 m
  3. 9 m · 12 m · 15 m
  4. Que faut-il toujours vérifier avant d'appliquer la réciproque : quelle est la longueur à mettre à part ?
  1. \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\) et \(13^2 = 169\) : égaux → rectangle.
  2. \(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\) et \(6^2 = 36\) : \(41 \neq 36\) → pas rectangle.
  3. \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\) et \(15^2 = 225\) : égaux → rectangle. C'est le 3-4-5 multiplié par 3.
  4. Il faut isoler la plus grande longueur : c'est elle qui joue le rôle de l'hypoténuse. La comparer aux deux autres dans le mauvais sens ferait conclure n'importe quoi.
Standard Exercice 5 — La diagonale de contrôle

L'emprise doit être un rectangle de 18,00 m sur 13,00 m. Le géomètre contrôle son implantation en mesurant la diagonale.
  1. Calculer la longueur exacte de la diagonale : \(d^2 = 18{,}00^2 + 13{,}00^2\), puis \(d\), arrondi au centimètre.
  2. Il mesure 22,20 m sur le terrain. L'implantation est-elle correcte, sachant qu'on tolère 2 cm ?
  3. Pourquoi mesurer la diagonale plutôt que vérifier les quatre angles un par un ? Répondre en une phrase.
  1. \(d^2 = 324 + 169 = 493\), donc \(d = \sqrt{493} \approx \mathbf{22{,}20} \; \text{m}\) (22,2036 m).
  2. L'écart est inférieur au centimètre : l'implantation est correcte.
  3. Une seule mesure de diagonale contrôle l'ensemble du rectangle, alors qu'un angle se vérifie difficilement au décamètre — et le ruban, lui, est toujours dans la poche.
Standard Exercice 6 — Une autre emprise

Un second bâtiment, annexe, a une emprise rectangulaire de 9,60 m sur 7,20 m.
  1. Calculer la diagonale de contrôle, arrondie au centimètre.
  2. Le géomètre veut aussi équerrer les coins au ruban. Peut-il utiliser un triangle 3-4-5 sur ces côtés ? Et un 6-8-10 ? Justifier.
  1. \(d^2 = 9{,}60^2 + 7{,}20^2 = 92{,}16 + 51{,}84 = 144\), donc \(d = \sqrt{144} = \mathbf{12{,}00} \; \text{m}\) exactement.
    Remarque : 9,60 / 7,20 / 12,00 est le triangle 3-4-5 multiplié par 2,4.
  2. Oui pour les deux : il suffit que 3 m et 4 m tiennent sur les côtés, ce qui est le cas (9,60 m et 7,20 m). Le 6-8-10 tient aussi (6 \(\lt\) 7,20 et 8 \(\lt\) 9,60) et sera plus précis, car une erreur de lecture d'un centimètre pèse moitié moins sur un triangle deux fois plus grand.
Standard Exercice 7 — Une dalle carrée

Le géomètre implante une dalle carrée de 7,00 m de côté. La tolérance sur la diagonale est de 2 cm.
  1. Calculer la longueur théorique de la diagonale, arrondie au centimètre.
  2. Sur le terrain il lit 9,95 m. Calculer l'écart avec la valeur théorique.
  3. L'implantation est-elle acceptable ?
  4. Les quatre côtés mesurent pourtant bien 7,00 m. Quelle est alors la forme réellement implantée ?
  1. \(d^2 = 7{,}00^2 + 7{,}00^2 = 49 + 49 = 98\), donc \(d = \sqrt{98} \approx \mathbf{9{,}90}\) m (9,8995 m).
  2. \(9{,}95 - 9{,}90 = \mathbf{0{,}05}\) m, soit 5 cm.
  3. Non : \(5 > 2\), l'écart dépasse la tolérance de plus du double.
  4. Quatre côtés égaux mais des diagonales fausses : c'est un losange, pas un carré. Mesurer les côtés ne prouve jamais l'équerrage — seule la diagonale le fait.
Approfondissement Exercice 8 — Quand les deux diagonales ne sont pas égales

Le maçon a planté les piquets « à l'œil ». Les quatre côtés mesurent bien 18,00 m et 13,00 m deux à deux, mais les deux diagonales mesurent 22,00 m et 22,41 m.

Relation fournie : on prend le mur de 18,00 m comme ligne de référence — c'est lui qu'on implante en premier, et il est droit. Le décalage \(e\) de chaque coin opposé vaut alors
\(e \approx \dfrac{(d_2 - d_1) \times (d_2 + d_1)}{4 \times L}\), où \(L = 18{,}00\) m est la ligne de référence et \(d_1, d_2\) les deux diagonales mesurées.

  1. Quelle devrait être la valeur commune des deux diagonales si l'emprise était rectangulaire ?
  2. Les deux diagonales mesurées sont-elles compatibles avec un rectangle ? Justifier.
  3. Calculer le décalage \(e\) du coin le plus éloigné, en centimètres.
  4. Le carreleur aligne ensuite ses dalles de 60 cm sur le mur de 18,00 m. Expliquer en deux phrases ce que ce décalage produira le long d'un mur de retour de 13,00 m, et donner la largeur de la dernière coupe à chaque extrémité de ce mur, sachant qu'elle vaut 60 cm au départ.
  1. \(\sqrt{18{,}00^2 + 13{,}00^2} = \sqrt{493} \approx \mathbf{22{,}20} \; \text{m}\) — les deux diagonales d'un rectangle sont égales.
  2. Non : elles devraient être égales entre elles et valoir 22,20 m. Ici l'une est trop courte (22,00) et l'autre trop longue (22,41). La figure est un parallélogramme « écrasé », pas un rectangle.
  3. \(d_2 - d_1 = 0{,}41\) m et \(d_2 + d_1 = 44{,}41\) m, donc
    \(e \approx \dfrac{0{,}41 \times 44{,}41}{4 \times 18{,}00} = \dfrac{18{,}21}{72{,}00} \approx 0{,}253 \; \text{m}\), soit environ 25 cm.
    Un quart de mètre : c'est énorme sur une emprise de cette taille, et cela ne se rattrape pas après coulage.
  4. Le mur de retour n'est pas perpendiculaire à la ligne des dalles : la dernière rangée devra être coupée en biais. La coupe part de 60 cm à une extrémité et se termine à \(60 - 25 = \mathbf{35}\) cm à l'autre. Le défaut, invisible au milieu de la pièce, est parfaitement lisible le long du mur — et il ne se rattrape plus une fois les fondations coulées.
Approfondissement Exercice 9 — Un centimètre d'erreur sur le ruban

L'aide-géomètre lit 5,01 m au lieu de 5,00 m sur son triangle 3-4-5 : un centimètre de trop. Relation fournie : si le triangle a pour côtés \(a\), \(b\) et une hypoténuse mesurée \(c\), le décalage \(e\) du bout d'un mur de longueur \(L\) implanté depuis cet angle vaut approximativement \(e \approx L \times \dfrac{c^2 - (a^2 + b^2)}{2ab}\).
  1. Calculer \(5{,}01^2\), puis \(5{,}01^2 - (3^2 + 4^2)\).
  2. En déduire le décalage au bout d'un mur de 18,00 m, en centimètres.
  3. Reprendre le calcul avec un triangle 6-8-10 entaché de la même erreur d'un centimètre (10,01 m au lieu de 10,00 m).
  4. Comparer les deux décalages. Que gagne-t-on à doubler le triangle de contrôle ?
  5. Formuler la règle de terrain qui en découle, en une phrase.
  1. \(5{,}01^2 = 25{,}1001\) ; \(25{,}1001 - 25 = \mathbf{0{,}1001}\).
  2. \(e \approx 18{,}00 \times \dfrac{0{,}1001}{2 \times 3 \times 4} = 18{,}00 \times \dfrac{0{,}1001}{24} \approx 0{,}075\) m, soit environ 7,5 cm.
  3. \(10{,}01^2 = 100{,}2001\) ; \(100{,}2001 - 100 = 0{,}2001\). \(e \approx 18{,}00 \times \dfrac{0{,}2001}{2 \times 6 \times 8} = 18{,}00 \times \dfrac{0{,}2001}{96} \approx 0{,}038\) m, soit environ 3,8 cm.
  4. Le décalage est divisé par deux. Le même centimètre d'erreur pèse deux fois moins sur un triangle deux fois plus grand.
  5. Règle attendue : toujours prendre le plus grand triangle que le ruban et le terrain permettent — la précision de l'implantation ne dépend pas de la qualité du ruban mais de la taille du triangle de contrôle.
Approfondissement Exercice 10 — Choisir son triangle

L'équipe dispose d'un ruban de 20 m. Les triangles utilisables sont les multiples du 3-4-5 : 3-4-5, 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20.
  1. Vérifier par le calcul que le triangle 12-16-20 est bien rectangle.
  2. Pourquoi ne peut-on pas aller au-delà, avec ce ruban ?
  3. Le mur à implanter mesure 18,00 m. Pour chacun des triangles 3-4-5 et 12-16-20, calculer le rapport \(\dfrac{18{,}00}{b}\), où \(b\) est le côté aligné sur le mur (4 m puis 16 m). Ce rapport dit par combien l'erreur d'implantation est multipliée en prolongeant jusqu'au bout du mur.
  4. Par combien l'erreur est-elle divisée en passant du 3-4-5 au 12-16-20 ?
  5. Sur un chantier encombré où l'on ne peut dérouler que 5 m, quelle précaution reste-t-il à prendre ? Une phrase.
  1. \(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\) et \(20^2 = 400\) : les deux sont égaux, le triangle est bien rectangle.
  2. Le multiple suivant serait 15-20-25 : son hypoténuse mesure 25 m, plus long que le ruban. On ne peut pas mesurer ce qu'on ne peut pas tendre d'un seul tenant — et rabouter deux mesures ajoute une erreur au lieu d'en retirer.
  3. 3-4-5 : \(18{,}00 \div 4 = \mathbf{4{,}5}\). 12-16-20 : \(18{,}00 \div 16 = \mathbf{1{,}125}\).
  4. \(4{,}5 \div 1{,}125 = \mathbf{4}\) : l'erreur est divisée par 4. Un centimètre mal lu produit 4,5 cm de décalage avec le petit triangle, contre 1,1 cm avec le grand.
  5. Multiplier les contrôles : implanter au 3-4-5, puis vérifier la diagonale de l'emprise entière une fois les quatre piquets posés. Le petit triangle sert à placer, la grande diagonale sert à valider.
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