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Mesurer un ouvrage sans y monter

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro — famille Bâtiment | Compétence C3.2

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 17:04

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Relevé d'un bâtiment existant

Un géomètre-topographe doit porter la hauteur d'un bâtiment existant sur un plan de façade. Impossible de monter dessus, et le télémètre laser de l'équipe est en réparation. Il lui reste ce qu'il a toujours : un jalon et un décamètre.

Il plante un jalon de 1,60 m à côté du bâtiment et mesure, au même moment :

« Le soleil éclaire les deux de la même façon — que puis-je en tirer ? »

2. Deux triangles, un seul rapport

Ce que dit la situation Les rayons du soleil sont parallèles. Le jalon et le bâtiment sont tous deux verticaux, posés sur le même sol horizontal. Les deux triangles « objet – ombre – rayon » ont donc les mêmes angles : ils sont semblables.
Théorème de Thalès — la conséquence utile Dans deux triangles semblables, les longueurs correspondantes sont proportionnelles :
\(\dfrac{\text{hauteur du bâtiment}}{\text{ombre du bâtiment}} = \dfrac{\text{hauteur du jalon}}{\text{ombre du jalon}}\)
D'où : \(\text{hauteur du bâtiment} = \text{ombre du bâtiment} \times \dfrac{\text{hauteur du jalon}}{\text{ombre du jalon}}\)
Attention — la condition qu'on oublie Le rapport hauteur/ombre ne vaut que pour une position donnée du soleil. Il change d'heure en heure. Les deux ombres doivent donc être mesurées au même moment : une mesure prise deux heures plus tard donne un résultat faux, sans rien qui l'annonce.
Méthode
  1. Calculer le rapport du jalon : \(k = \dfrac{\text{hauteur}}{\text{ombre}}\).
  2. Multiplier l'ombre de l'ouvrage par \(k\).
  3. Contrôler l'ordre de grandeur : une ombre plus longue que l'objet donne un rapport inférieur à 1.

3. La situation en coupe

soleil 1,60 m 2,40 m ? 13,50 m Schéma sans échelle — les rayons du soleil sont parallèles

4. Exercices

Socle Exercice 1 — Le rapport du jalon

Le jalon mesure 1,60 m et son ombre 2,40 m.
  1. Calculer le rapport \(k = \dfrac{1{,}60}{\text{……}} = \text{……}\) (arrondir au millième).
  2. Ce rapport est-il plus grand ou plus petit que 1 ? Que cela dit-il de l'ombre par rapport à l'objet ?
  1. \(k = \dfrac{1{,}60}{2{,}40} \approx \mathbf{0{,}667}\)
  2. Plus petit que 1 : l'ombre est plus longue que l'objet — le soleil est encore bas.
Socle Exercice 2 — La hauteur du bâtiment

L'ombre du bâtiment mesure 13,50 m, et le rapport du jalon vaut \(\dfrac{1{,}60}{2{,}40}\).
  1. Écrire l'égalité de Thalès : \(\dfrac{h}{13{,}50} = \dfrac{1{,}60}{\text{……}}\)
  2. Calculer \(h = 13{,}50 \times \dfrac{1{,}60}{2{,}40} = \text{……}\) m
  1. \(\dfrac{h}{13{,}50} = \dfrac{1{,}60}{2{,}40}\)
  2. \(h = 13{,}50 \times 0{,}6667 = \mathbf{9{,}00}\) m — soit un rez-de-chaussée et deux étages.
Socle Exercice 3 — Le tableau du chantier

Toujours au même moment, on relève d'autres objets verticaux du chantier. Compléter le tableau, sachant qu'une ombre mesure 1,5 fois la hauteur de l'objet.
Hauteur (m)1,601,00………2,20
Ombre (m)2,40………6,00………
  1. Compléter les trois cases vides.
  2. S'agit-il d'une situation de proportionnalité ? Justifier en une phrase.
  1. \(1{,}00 \times 1{,}5 = \mathbf{1{,}50}\) m · \(6{,}00 \div 1{,}5 = \mathbf{4{,}00}\) m · \(2{,}20 \times 1{,}5 = \mathbf{3{,}30}\) m.
  2. Oui : on passe de la hauteur à l'ombre en multipliant toujours par le même nombre, 1,5. Le soleil étant à la même position pour tout le chantier, le coefficient ne dépend pas de l'objet.
Socle Exercice 4 — Deux rapports, deux usages

Le jalon mesure 1,60 m et son ombre 2,40 m.
  1. Calculer \(\dfrac{\text{hauteur}}{\text{ombre}} = \dfrac{1{,}60}{\text{……}} = \text{……}\) (arrondir au centième)
  2. Calculer \(\dfrac{\text{ombre}}{\text{hauteur}} = \dfrac{2{,}40}{\text{……}} = \text{……}\)
  3. Lequel des deux faut-il utiliser pour trouver une hauteur à partir d'une ombre ? Et pour trouver une ombre à partir d'une hauteur ?
  1. \(1{,}60 \div 2{,}40 \approx \mathbf{0{,}67}\)
  2. \(2{,}40 \div 1{,}60 = \mathbf{1{,}5}\)
  3. Pour une hauteur : multiplier l'ombre par 0,67. Pour une ombre : multiplier la hauteur par 1,5. Les deux nombres sont inverses l'un de l'autre — se tromper de sens fait passer du simple au double et quart.
Standard Exercice 5 — Un mât d'éclairage

Au même moment, sur le même chantier, le mât d'éclairage projette une ombre de 4,05 m.
  1. Peut-on réutiliser le rapport du jalon ? Justifier.
  2. Calculer la hauteur du mât.
  3. Le fournisseur annonce un mât de 2,70 m. Le relevé le confirme-t-il ?
  1. Oui : la mesure est prise au même moment, donc le soleil est dans la même position et le rapport hauteur/ombre est le même pour tout objet vertical du chantier.
  2. \(h = 4{,}05 \times \dfrac{1{,}60}{2{,}40} = \mathbf{2{,}70}\) m.
  3. Oui, exactement — le relevé confirme la fiche technique.
Standard Exercice 6 — Retrouver une ombre

Le géomètre doit prévoir l'implantation d'un panneau publicitaire de 4,80 m de haut, toujours au même moment de la journée.
  1. Quelle sera la longueur de son ombre ?
  2. Un riverain se plaint que l'ombre atteindra sa clôture, située à 7,00 m du panneau. Sa crainte est-elle fondée à cette heure-là ?
  1. \(\text{ombre} = 4{,}80 \div \dfrac{1{,}60}{2{,}40} = 4{,}80 \times \dfrac{2{,}40}{1{,}60} = \mathbf{7{,}20}\) m.
  2. Oui : 7,20 m dépasse les 7,00 m — l'ombre atteint la clôture à cette heure-là. Le riverain a raison, mais seulement pour ce moment de la journée : plus tard, le soleil monte et l'ombre raccourcit.
Standard Exercice 7 — En début d'après-midi

À 13 h, le soleil est plus haut : l'ombre du même jalon de 1,60 m ne mesure plus que 0,80 m.
  1. Calculer le nouveau rapport hauteur/ombre.
  2. Quelle est alors la longueur de l'ombre du bâtiment de 9,00 m ?
  3. Comparer à l'ombre du matin (13,50 m). Par combien a-t-elle été divisée ?
  4. À quel moment de la journée la méthode du jalon est-elle la plus précise : quand les ombres sont longues ou courtes ? Justifier en une phrase.
  1. \(1{,}60 \div 0{,}80 = \mathbf{2}\).
  2. \(9{,}00 \div 2 = \mathbf{4{,}50}\) m.
  3. \(13{,}50 \div 4{,}50 = \mathbf{3}\) : l'ombre a été divisée par 3.
  4. Quand les ombres sont longues : une erreur de quelques centimètres sur une ombre de 13,50 m pèse bien moins que la même erreur sur une ombre de 4,50 m. Tôt le matin ou en fin d'après-midi, donc.
Approfondissement Exercice 8 — L'apprenti qui a pris son temps

Un apprenti relève l'ombre du jalon à 9 h (jalon 1,60 m, ombre 2,40 m), puis part déjeuner et mesure l'ombre du bâtiment à 11 h. À 11 h, l'ombre du même jalon ne mesure plus que 1,20 m, et celle du bâtiment 6,75 m.
  1. Quelle hauteur trouve-t-il en combinant le rapport de 9 h et l'ombre de 11 h ?
  2. Quelle est la hauteur réelle, calculée correctement avec les deux mesures de 11 h ?
  3. De quel facteur s'est-il trompé ? Expliquer d'où vient l'erreur, en une phrase.
  4. Rien dans son carnet ne signale l'erreur : le calcul est juste, les mesures sont exactes. Proposer une règle de terrain, en une phrase, qui aurait empêché la faute.
  1. \(6{,}75 \times \dfrac{1{,}60}{2{,}40} = \mathbf{4{,}50}\) m.
  2. Avec les deux mesures de 11 h : \(6{,}75 \times \dfrac{1{,}60}{1{,}20} = \mathbf{9{,}00}\) m — la valeur trouvée par le géomètre.
  3. Il s'est trompé d'un facteur 2 : il annonce la moitié de la hauteur réelle. Entre 9 h et 11 h le soleil est monté, les ombres ont raccourci — le rapport hauteur/ombre a doublé, et son rapport de 9 h ne décrivait plus le soleil de 11 h.
  4. Réponse attendue : mesurer les deux ombres dans la même minute, ou relever à nouveau l'ombre du jalon juste avant celle de l'ouvrage. Toute règle imposant la simultanéité est acceptée. C'est un défaut redoutable : aucun contrôle ne l'attrape, seul le bon sens du relevé le prévient.
Approfondissement Exercice 9 — Cinq centimètres d'erreur, et alors ?

Le décamètre se lit à ± 5 cm près. On reprend le relevé du matin : jalon 1,60 m, ombre du jalon 2,40 m, ombre du bâtiment 13,50 m, hauteur trouvée 9,00 m.
  1. Recalculer la hauteur du bâtiment si l'ombre du jalon valait en réalité 2,35 m, puis 2,45 m. Arrondir au centimètre.
  2. Quel écart cela fait-il sur la hauteur annoncée ? Exprimer aussi cet écart en pourcentage de 9,00 m.
  3. Recommencer, mais en faisant porter les ± 5 cm sur l'ombre du bâtiment (13,45 m puis 13,55 m), l'ombre du jalon restant à 2,40 m. Quel écart obtient-on ?
  4. Sur laquelle des deux mesures faut-il être le plus précis ? Expliquer pourquoi en une phrase.
  1. \(1{,}60 \times 13{,}50 = 21{,}60\). Avec 2,35 : \(21{,}60 \div 2{,}35 \approx \mathbf{9{,}19}\) m. Avec 2,45 : \(21{,}60 \div 2{,}45 \approx \mathbf{8{,}82}\) m.
  2. \(9{,}19 - 8{,}82 = \mathbf{0{,}37}\) m, soit \(0{,}37 \div 9{,}00 \approx \mathbf{4{,}2\ \%}\) — près de 40 cm d'incertitude sur la hauteur.
  3. Avec 13,45 : \(1{,}60 \times 13{,}45 \div 2{,}40 \approx 8{,}97\) m. Avec 13,55 : \(\approx 9{,}03\) m. Écart : 0,07 m seulement.
  4. Sur l'ombre du jalon : c'est la plus courte, et 5 cm y pèsent proportionnellement bien plus (5 cm sur 2,40 m, soit 2 %) que sur l'ombre du bâtiment (5 cm sur 13,50 m, soit 0,4 %). L'écart final est cinq fois plus grand.
Approfondissement Exercice 10 — Choisir son jalon

Le géomètre dispose aussi d'un jalon de 3,20 m, deux fois plus haut. On reste au même moment de la journée, et le décamètre se lit toujours à ± 5 cm près.
  1. Quelle est l'ombre de ce grand jalon ?
  2. Reprendre le calcul de l'exercice 9 avec ce jalon : hauteur obtenue si son ombre vaut 4,75 m, puis 4,85 m. Quel est l'écart ?
  3. Comparer à l'écart trouvé avec le petit jalon. Que gagne-t-on à doubler la hauteur du jalon ?
  4. Pourquoi ne prend-on pas un jalon de 10 m, alors ? Donner deux raisons de terrain.
  5. Formuler en une phrase la règle générale que ces deux exercices établissent.
  1. \(3{,}20 \times 1{,}5 = \mathbf{4{,}80}\) m.
  2. \(3{,}20 \times 13{,}50 = 43{,}20\). Avec 4,75 : \(43{,}20 \div 4{,}75 \approx \mathbf{9{,}09}\) m. Avec 4,85 : \(\approx \mathbf{8{,}91}\) m. Écart : 0,19 m.
  3. L'écart passe de 0,37 m à 0,19 m : il est divisé par 2. Doubler le jalon double son ombre, donc divise par deux le poids relatif des 5 cm d'erreur.
  4. Deux raisons parmi : un jalon de 10 m ne tient pas droit sans haubanage, le moindre vent le fait pencher et fausse tout ; il est impossible à transporter et à planter seul ; sa verticalité devient elle-même une source d'erreur plus grande que celle qu'on cherche à réduire ; l'ombre de 15 m demanderait un terrain dégagé d'autant.
  5. Règle attendue : plus la grandeur de référence est grande, moins l'erreur de lecture pèse — jusqu'au point où la mise en œuvre de cette référence devient elle-même la principale source d'erreur.
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