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Mesurer un ouvrage sans y monter

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro MNB | Compétence C3.2

Dernière mise à jour : 24 septembre 2026

Objectifs
Identification de la ressource
Documents à imprimer — séance d'une heure

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Relevé d'un bâtiment existant

Un géomètre-topographe doit porter la hauteur d'un bâtiment existant sur un plan de façade. Impossible de monter dessus, et le télémètre laser de l'équipe est en réparation. Il lui reste ce qu'il a toujours : un jalon et un décamètre.

Il plante un jalon de 1,60 m à côté du bâtiment et mesure, au même moment :

« Le soleil éclaire les deux de la même façon : que puis-je en tirer ? »

2. Deux triangles, un seul rapport

Ce que dit la situation Les rayons du soleil sont parallèles. Le jalon et le bâtiment sont tous deux verticaux, posés sur le même sol horizontal. Les deux triangles « objet – ombre – rayon » ont donc les mêmes angles : ils sont semblables.
Triangles semblables — hauteur et ombre proportionnelles Les rayons étant parallèles, les deux triangles ont la même forme : hauteur et ombre sont proportionnelles.
\(\dfrac{\text{hauteur du bâtiment}}{\text{ombre du bâtiment}} = \dfrac{\text{hauteur du jalon}}{\text{ombre du jalon}}\)
D'où : \(\text{hauteur du bâtiment} = \text{ombre du bâtiment} \times \dfrac{\text{hauteur du jalon}}{\text{ombre du jalon}}\)
Si l'on plaçait le jalon pour que les deux ombres se terminent au même point, on retrouverait la figure du théorème de Thalès.
Attention — la condition qu'on oublie Le rapport hauteur/ombre ne vaut que pour une position donnée du soleil. Il change d'heure en heure. Les deux ombres doivent donc être mesurées au même moment : une mesure prise deux heures plus tard donne un résultat faux, sans rien qui l'annonce.
Méthode
  1. Calculer le rapport du jalon : \(k = \dfrac{\text{hauteur}}{\text{ombre}}\).
  2. Multiplier l'ombre de l'ouvrage par \(k\).
  3. Contrôler le résultat : l'objet qui a la plus grande ombre doit être le plus haut.

3. La situation vue de côté

soleil jalon 1,60 m 2,40 m bâtiment h = ? 13,50 m rayon du soleil

Le jalon et le bâtiment vus de côté, au même moment. Le soleil est à gauche : ses rayons, parallèles, passent par le sommet du jalon et par l'angle du toit situé du côté de l'ombre. Le jalon de 1,60 m a une ombre de 2,40 m ; le bâtiment, de hauteur h inconnue, a une ombre de 13,50 m mesurée depuis sa façade droite.

4. Exercices

Socle Exercice 1 — Le rapport du jalon

Exemple — sur d'autres valeurs
Un piquet de 1,50 m a une ombre de 1,20 m : k = 1,50 ÷ 1,20 = 1,25. Ce rapport est plus grand que 1 : l'ombre est plus courte que le piquet.
À toi de jouer.
Le jalon mesure 1,60 m et son ombre 2,40 m.
  1. Calculer le rapport k = hauteur ÷ ombre du jalon, arrondi au millième.
  2. Ce rapport est-il plus grand ou plus petit que 1 ? Que cela dit-il de l'ombre par rapport à l'objet ?
  1. \(k = \dfrac{1{,}60}{2{,}40} \approx \mathbf{0{,}667}\)
  2. Plus petit que 1 : l'ombre est plus longue que l'objet — le soleil est encore bas.
Socle Exercice 2 — La hauteur du bâtiment

Exemple — sur d'autres valeurs
Un piquet de 1,00 m a une ombre de 2,00 m ; au même moment, l'ombre d'un arbre mesure 12,00 m. h ÷ 12,00 = 1,00 ÷ 2,00, donc h = 12,00 × 1,00 ÷ 2,00 = 6,00 m.
À toi de jouer.
L'ombre du bâtiment mesure 13,50 m. Le jalon mesure 1,60 m et son ombre 2,40 m.
  1. Écrire l'égalité des rapports hauteur ÷ ombre, pour le bâtiment de hauteur \(h\) et pour le jalon.
  2. Calculer la hauteur \(h\) du bâtiment, en mètres.
  1. \(\dfrac{h}{13{,}50} = \dfrac{1{,}60}{2{,}40}\)
  2. \(h = 13{,}50 \times 1{,}60 \div 2{,}40 = 21{,}60 \div 2{,}40 = \mathbf{9{,}00}\) m — soit un rez-de-chaussée et deux étages.
Socle Exercice 3 — Le tableau des ombres

Exemple — sur d'autres valeurs
Si l'ombre mesure 2 fois la hauteur : un objet de 1,20 m a une ombre de 1,20 × 2 = 2,40 m ; une ombre de 5,00 m vient d'un objet de 5,00 ÷ 2 = 2,50 m.
À toi de jouer.
Toujours au même moment, on relève d'autres objets verticaux du site. Compléter le tableau, sachant qu'une ombre mesure 1,5 fois la hauteur de l'objet.
Hauteur (m)1,601,00………2,20
Ombre (m)2,40………6,00………
  1. Compléter les trois cases vides.
  2. S'agit-il d'une situation de proportionnalité ? Justifier en une phrase.
  1. \(1{,}00 \times 1{,}5 = \mathbf{1{,}50}\) m · \(6{,}00 \div 1{,}5 = \mathbf{4{,}00}\) m · \(2{,}20 \times 1{,}5 = \mathbf{3{,}30}\) m.
  2. Oui : on passe de la hauteur à l'ombre en multipliant toujours par le même nombre, 1,5. Le soleil étant à la même position pour tout le site, le coefficient ne dépend pas de l'objet.
Standard Exercice 4 — Un lampadaire

Exemple — sur d'autres valeurs
Avec un jalon, on a trouvé un rapport hauteur ÷ ombre de 0,8. Au même moment, un poteau a une ombre de 4,00 m : sa hauteur vaut 4,00 × 0,8 = 3,20 m.
À toi de jouer.
Au même moment, le lampadaire de la cour projette une ombre de 5,25 m.
  1. Peut-on réutiliser le rapport du jalon ? Justifier.
  2. Calculer la hauteur du lampadaire.
  3. Le fabricant annonce un mât de 3,50 m. Le relevé le confirme-t-il ?
  1. Oui : la mesure est prise au même moment, donc le soleil est dans la même position et le rapport hauteur/ombre est le même pour tout objet vertical du site.
  2. \(h = 5{,}25 \times 1{,}60 \div 2{,}40 = \mathbf{3{,}50}\) m.
  3. Oui, exactement : le relevé confirme la fiche du fabricant.
Standard Exercice 5 — Retrouver une ombre

Exemple — sur d'autres valeurs
Un jalon de 1,00 m a une ombre de 2,00 m. Au même moment, un mur de 2,50 m a une ombre de 2,50 × 2,00 ÷ 1,00 = 5,00 m. Une haie située à 4,00 m du mur est donc atteinte, car 5,00 > 4,00.
À toi de jouer.
Le géomètre doit prévoir l'implantation d'un panneau publicitaire de 4,80 m de haut, toujours au même moment de la journée.
  1. Quelle sera la longueur de son ombre ?
  2. Un riverain se plaint que l'ombre atteindra sa clôture, située à 7,00 m du panneau. Sa crainte est-elle fondée à cette heure-là ?
  1. \(\text{ombre} = 4{,}80 \times 2{,}40 \div 1{,}60 = \mathbf{7{,}20}\) m.
  2. Oui : 7,20 m dépasse les 7,00 m — l'ombre atteint la clôture à cette heure-là. Le riverain a raison, mais seulement pour ce moment de la journée : plus tard, le soleil monte et l'ombre raccourcit.
Approfondissement Exercice 6 — L'apprenti qui a pris son temps

Exemple — sur d'autres valeurs
À 10 h, un jalon de 1,00 m a une ombre de 2,00 m : rapport 1,00 ÷ 2,00 = 0,5. À 12 h, son ombre ne mesure plus que 1,25 m : rapport 1,00 ÷ 1,25 = 0,8. Une ombre de 5,00 m mesurée à 12 h donne 5,00 × 0,8 = 4,00 m ; avec le rapport de 10 h, on trouverait 5,00 × 0,5 = 2,50 m, une hauteur fausse.
À toi de jouer.
Un apprenti relève l'ombre du jalon à 9 h (jalon 1,60 m, ombre 2,40 m). Il est ensuite appelé sur une autre tâche et ne mesure l'ombre du bâtiment qu'à 11 h. À 11 h, l'ombre du même jalon ne mesure plus que 1,20 m, et celle du bâtiment 6,75 m.
  1. Quelle hauteur trouve-t-il en combinant le rapport de 9 h et l'ombre de 11 h ?
  2. Quelle est la hauteur réelle, calculée correctement avec les deux mesures de 11 h ?
  3. De quel facteur s'est-il trompé ? Expliquer d'où vient l'erreur, en une phrase.
  4. Rien dans son carnet ne signale l'erreur : le calcul est juste, les mesures sont exactes. Proposer une règle de terrain, en une phrase, qui aurait empêché la faute.
  1. \(6{,}75 \times 1{,}60 \div 2{,}40 = \mathbf{4{,}50}\) m.
  2. Avec les deux mesures de 11 h : \(6{,}75 \times 1{,}60 \div 1{,}20 = \mathbf{9{,}00}\) m — la valeur trouvée par le géomètre.
  3. Il s'est trompé d'un facteur 2 : il annonce la moitié de la hauteur réelle. Entre 9 h et 11 h le soleil est monté, les ombres ont raccourci — le rapport hauteur/ombre a doublé, et son rapport de 9 h ne décrivait plus le soleil de 11 h.
  4. Réponse attendue : mesurer les deux ombres dans la même minute, ou relever à nouveau l'ombre du jalon juste avant celle de l'ouvrage. Toute règle imposant la simultanéité est acceptée. C'est un défaut redoutable : aucun contrôle ne l'attrape, seul le bon sens du relevé le prévient.
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