Contexte professionnel — Fondations du restaurant scolaire d'Albertville (73)
Un technicien d'études chiffre le lot gros œuvre. Le bâtiment repose sur une semelle filante : une bande de béton coulée en fond de fouille, qui suit tout le pourtour de l'emprise.
Linéaire de semelle : 62,00 m (le périmètre de l'emprise 18,00 m × 13,00 m)
Section de la semelle : 0,60 m de large sur 0,30 m de haut
Masse volumique du béton armé : 2 500 kg/m³
Deux devis sont comparés pour le béton.
Solution retenue : béton prêt à l'emploi, livré par camion toupie. Il se commande par pas de 0,5 m³ et se facture 118,00 € le m³ ; la toupie transporte au plus 6 m³ par rotation.
Devis concurrent : béton fabriqué sur place à la bétonnière. Il est dosé à 350 kg de ciment par m³, avec du ciment livré en sacs de 35 kg.
« Combien de béton faut-il commander, combien pèsera-t-il, et combien de sacs de ciment demanderait le devis concurrent ? »
2. Les outils de calcul
Volume d'un prisme droit
Un ouvrage de section constante — semelle, poutre, longrine — a pour volume :
\(V = \mathcal{A}_{\text{section}} \times L\), où \(\mathcal{A}_{\text{section}}\) est l'aire de la section droite et \(L\) le linéaire.
Masse volumique
La masse volumique \(\rho\) d'un matériau est la masse d'un mètre cube de ce matériau :
\(\rho = \dfrac{m}{V}\), d'où \(m = \rho \times V\).
Pour le béton armé, \(\rho \approx 2\,500\) kg/m³ : un seul mètre cube pèse 2,5 tonnes.
Attention — le dosage n'est pas une masse de béton
« Béton dosé à 350 kg/m³ » désigne la masse de ciment par mètre cube de béton fini, pas la masse du béton, qui est environ sept fois plus grande. Confondre les deux conduit à commander sept fois trop de ciment.
Méthode — de la quantité à la livraison
Deux contraintes différentes, à ne pas confondre. Ce qu'on paie : le béton prêt à l'emploi se commande par pas de 0,5 m³ et se facture au m³ commandé. On arrondit donc le volume calculé au demi-mètre cube supérieur, jamais à l'inférieur : une semelle interrompue faute de béton crée une reprise de bétonnage, point faible de la structure. Ce qui roule : le camion toupie a une capacité. Le nombre de rotations s'obtient en divisant le volume commandé par cette capacité, puis en arrondissant à l'entier supérieur. Une rotation de plus, c'est du temps de chantier, pas du béton payé deux fois.
3. La semelle en coupe
Coupe verticale de la semelle filante, schéma sans échelle. Le mur repose sur la semelle en béton, coulée en fond de fouille dans le terrain. La section de la semelle mesure 0,60 m de large sur 0,30 m de haut.
4. Exercices
SocleExercice 1 — L'aire de la section
Exemple — sur d'autres valeurs Une longrine a une section de 0,40 m de large sur 0,25 m de haut : A = 0,40 × 0,25 = 0,1 m².
À toi de jouer.
La semelle a une section rectangulaire de 0,60 m de large sur 0,30 m de haut.
Calculer l'aire de cette section.
Cette aire est-elle une longueur, une surface ou un volume ? Quelle unité ?
C'est une surface, en mètres carrés (m²) : elle vient du produit de deux longueurs.
SocleExercice 2 — Le volume de béton
Exemple — sur d'autres valeurs Une poutre de section 0,10 m² mesure 5,00 m de long : V = 0,10 × 5,00 = 0,5 m³. Un rectangle de 6,00 m sur 4,00 m a pour périmètre 2 × (6,00 + 4,00) = 20,00 m.
À toi de jouer.
La section vaut 0,18 m² et le linéaire de semelle est de 62,00 m.
Calculer le volume de la semelle, en m³.
Vérifier le linéaire : calculer le périmètre d'un rectangle de 18,00 m sur 13,00 m.
Exemple — sur d'autres valeurs Un béton dosé à 300 kg de ciment par m³, avec des sacs de 25 kg : pour 2 m³, il faut 300 × 2 = 600 kg de ciment, soit 600 ÷ 25 = 24 sacs.
À toi de jouer.
Pour le devis concurrent, le béton fabriqué sur place est dosé à 350 kg de ciment par m³, et le ciment est livré en sacs de 35 kg.
Pour 3 m³ de béton, quelle masse de ciment faut-il ?
Combien de sacs cela représente-t-il ?
Combien de sacs faut-il pour 1 m³ ? Le résultat est-il un nombre entier ?
\(350 \times 3 = \mathbf{1\,050}\) kg
\(1\,050 \div 35 = \mathbf{30}\) sacs
\(350 \div 35 = \mathbf{10}\) sacs par m³ : ici, c'est un nombre entier, parce que 350 est un multiple de 35. Ce n'est pas la règle : le dosage est choisi pour obtenir la résistance attendue du béton, pas pour tomber juste avec la taille des sacs. Avec un autre dosage, le nombre de sacs par m³ n'est pas forcément entier.
StandardExercice 4 — Masse et ciment
Exemple — sur d'autres valeurs Une dalle de 2,00 m³ de béton armé à 2 500 kg/m³ pèse 2 500 × 2,00 = 5 000 kg, soit 5 t. Dosée à 300 kg de ciment par m³, elle demande 300 × 2,00 = 600 kg de ciment : 600 ÷ 35 ≈ 17,1, donc 18 sacs de 35 kg.
À toi de jouer.
Le volume de béton est de 11,16 m³ et le béton armé a une masse volumique de 2 500 kg/m³. Pour le devis concurrent, le béton est dosé à 350 kg de ciment par m³, en sacs de 35 kg.
Calculer la masse totale du béton, en kg puis en tonnes.
Calculer la masse de ciment nécessaire pour le devis concurrent.
En déduire le nombre de sacs à prévoir. Justifier l'arrondi.
\(350 \times 11{,}16 = \mathbf{3\,906} \; \text{kg}\) de ciment.
\(3\,906 \div 35 = 111{,}6\) : un sac ne se coupe pas, il faut 112 sacs (arrondi à l'entier supérieur).
StandardExercice 5 — Commander le béton
Exemple — sur d'autres valeurs Pour 7,30 m³ calculés : 7,30 ÷ 0,5 = 14,6, donc 15 pas de 0,5 m³, soit 15 × 0,5 = 7,5 m³ à commander. Avec une toupie de 6 m³ : 7,5 ÷ 6 = 1,25, donc 2 rotations.
À toi de jouer.
On revient à la solution retenue. Le béton prêt à l'emploi se commande par pas de 0,5 m³ et se facture 118,00 € le m³. Le camion toupie transporte au plus 6 m³ par rotation.
Quel volume faut-il commander pour couvrir les 11,16 m³ ?
Combien de rotations du camion cette commande demande-t-elle ?
Comparer le coût du béton réellement mis en œuvre et celui du béton commandé.
\(11{,}16 \div 0{,}5 = 22{,}32\) : il faut 23 pas de 0,5 m³, soit \(23 \times 0{,}5 = \mathbf{11{,}5} \; \text{m}^3\) à commander.
\(11{,}5 \div 6 \approx 1{,}92\) : le camion fera 2 rotations. La première apporte 6 m³, la seconde \(11{,}5 - 6 = 5{,}5\) m³ : elle est presque pleine.
Béton mis en œuvre : \(11{,}16 \times 118 = 1\,316{,}88\) €. Béton commandé : \(11{,}5 \times 118 = 1\,357{,}00\) €. L'écart est de 40,12 € — le prix de la sécurité, pour 0,34 m³ de marge.
ApprofondissementExercice 6 — Élargir la semelle
Exemple — sur d'autres valeurs Une semelle de 0,50 m sur 0,30 m et de 40,00 m de long contient 0,50 × 0,30 × 40,00 = 6 m³. Élargie à 0,60 m, elle contient 0,60 × 0,30 × 40,00 = 7,2 m³, soit (7,2 − 6) ÷ 6 × 100 = 20 % de plus.
À toi de jouer.
L'étude de sol impose finalement d'élargir la semelle de 0,60 m à 0,80 m, la hauteur et le linéaire restant identiques.
Calculer le nouveau volume de béton.
De quel pourcentage le volume augmente-t-il ? Comparer au pourcentage d'augmentation de la largeur, et expliquer le résultat.
Quel volume commander désormais, et combien de rotations ? La marge payée en trop augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Le chef de chantier propose de s'en tenir à 2 rotations pour gagner du temps. Est-ce possible ? Répondre en une phrase, en utilisant la capacité du camion.
\(\dfrac{14{,}88 - 11{,}16}{11{,}16} = \dfrac{3{,}72}{11{,}16} = 0{,}333\ldots\), soit +33,3 %. La largeur augmente elle aussi de \(\dfrac{0{,}20}{0{,}60} = 33{,}3\ \%\) : les deux pourcentages sont égaux, parce que le volume est proportionnel à la largeur, la hauteur et le linéaire ne changeant pas. (Ce serait faux si l'on modifiait deux dimensions à la fois.)
\(14{,}88 \div 0{,}5 = 29{,}76\) → 30 pas, soit \(\mathbf{15{,}0} \; \text{m}^3\) à commander ; \(15 \div 6 = 2{,}5\) → 3 rotations. Marge payée en trop : \(15{,}0 - 14{,}88 = \mathbf{0{,}12} \; \text{m}^3\), contre 0,34 m³ auparavant : elle diminue. C'est le pas de commande qui la fixe, pas la capacité du camion — en revanche, il faut bien une rotation de plus, et c'est là qu'est le vrai surcoût.
Non : la toupie transporte au plus 6 m³ par rotation, donc 2 rotations apportent au plus \(2 \times 6 = 12\) m³ ; il manquerait \(14{,}88 - 12 = \mathbf{2{,}88} \; \text{m}^3\) pour couler la semelle.