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Le béton d'une fondation : volume, masse et dosage

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro — famille Bâtiment | Compétence C3.6

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 17:18

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Fondations du restaurant scolaire d'Albertville (73)

Un technicien d'études chiffre le lot gros œuvre. Le bâtiment repose sur une semelle filante — une bande de béton coulée en fond de fouille, qui suit tout le pourtour de l'emprise. « Combien de béton faut-il commander, combien pèsera-t-il, et combien de sacs de ciment cela représente-t-il ? »

2. Les outils de calcul

Volume d'un prisme droit Un ouvrage de section constante — semelle, poutre, longrine — a pour volume :
\(V = \mathcal{A}_{\text{section}} \times L\), où \(\mathcal{A}_{\text{section}}\) est l'aire de la section droite et \(L\) le linéaire.
Masse volumique La masse volumique \(\rho\) d'un matériau est la masse d'un mètre cube de ce matériau :
\(\rho = \dfrac{m}{V}\), d'où \(m = \rho \times V\).
Pour le béton armé, \(\rho \approx 2\,400\) kg/m³ : un seul mètre cube pèse 2,4 tonnes.
Attention — le dosage n'est pas une masse de béton « Béton dosé à 350 kg/m³ » désigne la masse de ciment par mètre cube de béton fini — pas la masse du béton, qui est près de sept fois plus grande. Confondre les deux conduit à commander sept fois trop de ciment.
Méthode — de la quantité à la livraison Deux contraintes différentes, à ne pas confondre.
Ce qu'on paie : le béton prêt à l'emploi se commande par pas de 0,5 m³ et se facture au m³ commandé. On arrondit donc le volume calculé au demi-mètre cube supérieur — jamais à l'inférieur : une semelle interrompue faute de béton crée une reprise de bétonnage, point faible de la structure.
Ce qui roule : le camion toupie a une capacité. Le nombre de rotations s'obtient en divisant le volume commandé par cette capacité, puis en arrondissant à l'entier supérieur. Une rotation de plus, c'est du temps de chantier, pas du béton payé deux fois.

3. La semelle en coupe

mur béton 0,60 m 0,30 m terrain Coupe — schéma sans échelle

4. Exercices

Socle Exercice 1 — L'aire de la section

La semelle a une section rectangulaire de 0,60 m de large sur 0,30 m de haut.
  1. Calculer l'aire de cette section :
    \(\mathcal{A} = 0{,}60 \times \text{……} = \text{……} \; \text{m}^2\)
  2. Cette aire est-elle une longueur, une surface ou un volume ? Quelle unité ?
  1. \(\mathcal{A} = 0{,}60 \times 0{,}30 = \mathbf{0{,}18} \; \text{m}^2\)
  2. C'est une surface, en mètres carrés (m²) : elle vient du produit de deux longueurs.
Socle Exercice 2 — Le volume de béton

La section vaut 0,18 m² et le linéaire de semelle est de 62,00 m.
  1. Calculer le volume : \(V = 0{,}18 \times \text{……} = \text{……} \; \text{m}^3\)
  2. Vérifier le linéaire : le périmètre d'un rectangle de 18,00 m sur 13,00 m vaut \(2 \times (\text{……} + \text{……}) = \text{……}\) m.
  1. \(V = 0{,}18 \times 62{,}00 = \mathbf{11{,}16} \; \text{m}^3\)
  2. \(2 \times (18{,}00 + 13{,}00) = 2 \times 31{,}00 = \mathbf{62{,}00}\) m ✔
Socle Exercice 3 — Des mètres cubes aux litres

On rappelle que 1 m³ = 1 000 L.
  1. Convertir le volume de la semelle : \(11{,}16 \; \text{m}^3 = \text{……} \; \text{L}\)
  2. Convertir le pas de commande : \(0{,}5 \; \text{m}^3 = \text{……} \; \text{L}\)
  3. Une bétonnière de chantier contient 130 L. Combien de bétonnières faudrait-il pour couler la semelle ? Arrondir à l'entier supérieur.
  1. \(11{,}16 \times 1\,000 = \mathbf{11\,160}\) L
  2. \(0{,}5 \times 1\,000 = \mathbf{500}\) L
  3. \(11\,160 \div 130 \approx 85{,}8\) : il faudrait 86 bétonnières. À une dizaine de minutes chacune, c'est plus de quatorze heures de malaxage — voilà pourquoi on commande une toupie.
Socle Exercice 4 — Le dosage en ciment

Le béton est dosé à 350 kg de ciment par m³, et le ciment est livré en sacs de 35 kg.
  1. Pour 3 m³ de béton, quelle masse de ciment faut-il ? \(350 \times \text{……} = \text{……}\) kg
  2. Combien de sacs cela représente-t-il ? \(\text{……} \div 35 = \text{……}\) sacs
  3. Combien de sacs faut-il pour 1 m³ ? Le résultat est-il un nombre entier ?
  1. \(350 \times 3 = \mathbf{1\,050}\) kg
  2. \(1\,050 \div 35 = \mathbf{30}\) sacs
  3. \(350 \div 35 = \mathbf{10}\) sacs par m³, un nombre entier — le dosage a été choisi ainsi pour que le compte tombe juste sur le chantier.
Standard Exercice 5 — Masse et ciment

Le volume de béton est de 11,16 m³. Le béton armé a une masse volumique de 2 400 kg/m³ et il est dosé à 350 kg de ciment par m³, en sacs de 35 kg.
  1. Calculer la masse totale du béton, en kg puis en tonnes.
  2. Calculer la masse de ciment nécessaire.
  3. En déduire le nombre de sacs à commander. Justifier l'arrondi.
  1. \(m = 2\,400 \times 11{,}16 = \mathbf{26\,784} \; \text{kg}\), soit environ 26,8 tonnes.
  2. \(350 \times 11{,}16 = \mathbf{3\,906} \; \text{kg}\) de ciment.
  3. \(3\,906 \div 35 = 111{,}6\) : un sac ne se coupe pas, il faut 112 sacs (arrondi à l'entier supérieur).
Standard Exercice 6 — Commander le béton

Le béton se commande par pas de 0,5 m³ et se facture 118,00 € le m³. Le camion toupie transporte au plus 6 m³ par rotation.
  1. Quel volume faut-il commander pour couvrir les 11,16 m³ ?
  2. Combien de rotations du camion cette commande demande-t-elle ?
  3. Comparer le coût du béton réellement mis en œuvre et celui du béton commandé.
  1. \(11{,}16 \div 0{,}5 = 22{,}32\) : il faut 23 pas de 0,5 m³, soit \(23 \times 0{,}5 = \mathbf{11{,}5} \; \text{m}^3\) à commander.
  2. \(11{,}5 \div 6 = 1{,}92\) : le camion fera 2 rotations (la seconde à moitié pleine).
  3. Béton mis en œuvre : \(11{,}16 \times 118 = 1\,316{,}88\) €. Béton commandé : \(11{,}5 \times 118 = 1\,357{,}00\) €. L'écart est de 40,12 € — le prix de la sécurité, pour 0,34 m³ de marge.
Standard Exercice 7 — Le coffrage

La semelle est coffrée sur ses deux faces latérales, sur toute sa hauteur de 0,30 m et tout son linéaire de 62,00 m. Donnée fournie : le coffrage revient à 22,00 € le m² de surface coffrée.
  1. Calculer la surface de coffrage.
  2. En déduire son coût.
  3. Le béton commandé (11,5 m³ à 118,00 €/m³) coûte 1 357,00 €. Calculer le coût total béton + coffrage.
  4. Quelle part le coffrage représente-t-il ? Ce résultat vous surprend-il ?
  1. \(2 \times 62{,}00 \times 0{,}30 = \mathbf{37{,}20} \; \text{m}^2\).
  2. \(37{,}20 \times 22{,}00 = \mathbf{818{,}40}\) €.
  3. \(1\,357{,}00 + 818{,}40 = \mathbf{2\,175{,}40}\) €.
  4. \(818{,}40 \div 2\,175{,}40 \approx \mathbf{37{,}6\ \%}\). C'est considérable : plus du tiers du prix d'une fondation ne part pas dans le béton mais dans ce qui sert à le contenir le temps qu'il durcisse — et qu'on démonte ensuite.
Approfondissement Exercice 8 — Élargir la semelle

L'étude de sol impose finalement d'élargir la semelle de 0,60 m à 0,80 m, la hauteur et le linéaire restant identiques.
  1. Calculer le nouveau volume de béton.
  2. De quel pourcentage le volume augmente-t-il ? Comparer au pourcentage d'augmentation de la largeur, et expliquer le résultat.
  3. Quel volume commander désormais, et combien de rotations ? La marge payée en trop augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
  4. Le chef de chantier propose de s'en tenir à 2 rotations « en tassant un peu le béton ». Répondre en une phrase, en mobilisant ce que vous savez de la masse volumique.
  1. Section : \(0{,}80 \times 0{,}30 = 0{,}24 \; \text{m}^2\) ; \(V = 0{,}24 \times 62{,}00 = \mathbf{14{,}88} \; \text{m}^3\).
  2. \(\dfrac{14{,}88 - 11{,}16}{11{,}16} = \dfrac{3{,}72}{11{,}16} = 0{,}333\ldots\), soit +33,3 %. La largeur augmente elle aussi de \(\dfrac{0{,}20}{0{,}60} = 33{,}3\ \%\) : les deux pourcentages sont égaux, parce que le volume est proportionnel à la largeur, la hauteur et le linéaire ne changeant pas. (Ce serait faux si l'on modifiait deux dimensions à la fois.)
  3. \(14{,}88 \div 0{,}5 = 29{,}76\) → 30 pas, soit \(\mathbf{15{,}0} \; \text{m}^3\) à commander ; \(15 \div 6 = 2{,}5\) → 3 rotations. Marge payée en trop : \(15{,}0 - 14{,}88 = \mathbf{0{,}12} \; \text{m}^3\), contre 0,34 m³ auparavant : elle diminue. C'est le pas de commande qui la fixe, pas la capacité du camion — en revanche, il faut bien une rotation de plus, et c'est là qu'est le vrai surcoût.
  4. Impossible : la masse volumique du béton est une propriété du matériau, pas un réglage. Tasser ne crée pas de matière — 2 rotations transportent au plus 12 m³, et il manquerait \(14{,}88 - 12 = 2{,}88 \; \text{m}^3\) de semelle.
Approfondissement Exercice 9 — La terre qu'on sort et celle qu'on remet

Avant de couler, il faut terrasser. La tranchée fait 0,80 m de large — plus que la semelle, pour que les compagnons puissent travailler — sur 0,40 m de profondeur, et suit les 62,00 m de linéaire. Donnée fournie : la terre foisonne d'un coefficient 1,25 une fois extraite.
  1. Calculer le volume de terre extraite, en place.
  2. Une fois la semelle coulée, on remblaie la tranchée avec la terre du chantier. Quel volume de remblai faut-il, en place ?
  3. Quel volume de terre reste-t-il en excédent ? Comparer ce résultat au volume de béton et expliquer la coïncidence.
  4. Cet excédent doit être évacué. Quel volume foisonné représente-t-il ?
  5. Les bennes font 8 m³. Combien en faut-il ?
  1. \(0{,}80 \times 0{,}40 \times 62{,}00 = \mathbf{19{,}84} \; \text{m}^3\).
  2. La semelle occupe désormais 11,16 m³ de la tranchée : il reste \(19{,}84 - 11{,}16 = \mathbf{8{,}68} \; \text{m}^3\) à remblayer.
  3. \(19{,}84 - 8{,}68 = \mathbf{11{,}16} \; \text{m}^3\) — exactement le volume de béton. Ce n'est pas une coïncidence : le béton a pris la place de la terre, donc le volume qu'il occupe est précisément celui qui ne peut plus être remis dans le trou.
  4. \(11{,}16 \times 1{,}25 = \mathbf{13{,}95} \; \text{m}^3\) foisonnés.
  5. \(13{,}95 \div 8 \approx 1{,}74\) : il faut 2 bennes, arrondi par excès.
Approfondissement Exercice 10 — C'est le sol qui décide de la largeur

La semelle ne fait pas 0,60 m de large par hasard : elle doit répartir la charge du mur sur une surface assez grande pour que le sol tienne.

Relations fournies : le mur transmet une charge linéaire de 90 kN par mètre de semelle. La pression exercée sur le sol vaut \(p = \dfrac{\text{charge linéaire}}{\text{largeur}}\), en kPa si la charge est en kN/m et la largeur en m. Le sol de ce terrain admet au plus 150 kPa.

  1. Calculer la pression exercée par une semelle de 0,60 m de large. Le sol tient-il ?
  2. Une étude de sol complémentaire révise la contrainte admissible à 100 kPa seulement. Écrire l'inéquation que doit vérifier la largeur \(b\), puis la résoudre.
  3. Quelle largeur de semelle faut-il désormais ?
  4. Recalculer le volume de béton avec cette nouvelle largeur, la hauteur et le linéaire restant identiques. De quel pourcentage augmente-t-il ?
  5. Un conducteur de travaux propose plutôt de garder 0,60 m et d'augmenter la hauteur de la semelle. Cela résout-il le problème ? Expliquer en deux phrases.
  1. \(p = \dfrac{90}{0{,}60} = \mathbf{150}\) kPa. C'est exactement la limite : le sol tient, sans aucune marge — la largeur de 0,60 m a été calculée pour cela.
  2. \(\dfrac{90}{b} \le 100\), donc \(90 \le 100\,b\) et \(b \ge \dfrac{90}{100} = 0{,}90\) m.
  3. Il faut une semelle de 0,90 m de large.
  4. \(V = 0{,}90 \times 0{,}30 \times 62{,}00 = \mathbf{16{,}74} \; \text{m}^3\), contre 11,16 m³ : \(\dfrac{16{,}74 - 11{,}16}{11{,}16} = 0{,}50\), soit + 50 % — comme la largeur, puisque le volume lui est proportionnel.
  5. Non. La pression sur le sol ne dépend que de la largeur de la surface d'appui, pas de la hauteur de béton : élever la semelle n'élargit pas son contact avec le sol. Pire, cela ajoute du poids propre, donc augmente légèrement la charge à répartir.
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