Contexte professionnel — Installation d'un ballon d'eau chaude sanitaire
Un plombier-chauffagiste installe et met en service un ballon d'eau chaude sanitaire (ECS) électrique dans un logement. Le ballon stocke l'eau et la chauffe grâce à une résistance. Dans le scénario étudié, la consigne du thermostat est réglée sur 60 °C et l'eau du réseau arrive à environ 15 °C.
Lors de la mise en service, le client pose plusieurs questions :
« Quelle énergie faut-il pour chauffer l'eau ? Combien de temps met le ballon à chauffer ? Combien cela me coûtera-t-il dans l'année ? Et un chauffe-eau thermodynamique, est-ce vraiment plus économique ? »
2. La chaleur sensible : énergie pour chauffer de l'eau
Définition — Chaleur sensible
La chaleur sensible est l'énergie \(Q\) qu'il faut apporter à une masse d'eau pour faire monter sa température : \(Q = m \times c \times \Delta T\).
\(Q\) : énergie en joules (J) ; \(m\) : masse d'eau en kilogrammes (kg) — pour l'eau, \(1 \text{ L} \leftrightarrow 1 \text{ kg}\) ;
\(\Delta T = T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}}\) : écart de température, en °C.
Propriété — Conversion en kWh, durée de chauffe et coût
L'énergie de la facture se compte en kilowattheures : \(1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \text{ J}\), donc \(E_{\text{(kWh)}} = Q_{\text{(J)}} \div (3{,}6 \times 10^{6})\).
Une résistance de puissance \(P\) apporte l'énergie \(Q = P \times t\), donc \(t = \dfrac{Q}{P}\), avec \(Q\) en J, \(P\) en W et \(t\) en secondes.
Coût \(= E_{\text{(kWh)}} \times\) prix du kWh. Tarif retenu : 0,20 €/kWh.
Attention — Erreurs fréquentes et limites du modèle
Convertir les litres en kilogrammes : pour l'eau, 80 L = 80 kg.
\(\Delta T\) est un écart : chauffer de 10 °C à 55 °C donne \(\Delta T = 55 - 10 = 45\) °C, et non 55 °C.
Convertir les joules en kWh avant de calculer un coût.
Le modèle néglige les pertes de la cuve et des canalisations : la durée et le coût réels sont un peu plus grands. Le COP d'un chauffe-eau thermodynamique est supposé constant.
3. Exemple numérique complet
Chauffer 80 L d'eau de 10 °C à 55 °C avec une résistance de 1 200 W
Masse et écart : \(m = 80\) kg et \(\Delta T = 55 - 10 = 45\) °C.
Durée : \(t = 15\,048\,000 \div 1200 = 12\,540\) s, soit \(12\,540 \div 3600 \approx 3{,}5\) h.
Coût d'une chauffe : \(4{,}18 \times 0{,}20 \approx 0{,}84\) €.
4. Schéma d'un ballon d'eau chaude sanitaire
Ballon d'eau chaude sanitaire vu en coupe, schéma sans échelle. L'eau froide du réseau (≈ 15 °C) entre en bas, la résistance la chauffe jusqu'à la consigne de 60 °C, et l'eau chaude part en haut vers les robinets.
5. Repères : énergie pour chauffer un ballon
Ballon (15 → 60 °C)
Énergie \(Q\)
50 L
≈ 9,4 MJ ≈ 2,61 kWh
80 L
≈ 15,0 MJ ≈ 4,18 kWh
300 L
≈ 56,4 MJ ≈ 15,68 kWh
6. Exercices
SocleExercice 1 — Énergie pour chauffer 100 L
Exemple — sur d'autres valeurs Un ballon de 50 L passe de 15 °C à 50 °C : m = 50 kg, ΔT = 50 − 15 = 35 °C, puis Q = 50 × 4 180 × 35 = 7 315 000 J.
À toi de jouer.
Un installateur thermique met en service un ballon de 100 L. L'eau passe de 20 °C à 60 °C. On rappelle \(c = 4180\) J/(kg·°C).
Exemple — sur d'autres valeurs Une chauffe demande Q = 10 800 000 J : E = 10 800 000 ÷ 3 600 000 = 3 kWh.
À toi de jouer.
Pour chauffer un ballon, il faut une énergie \(Q = 18\,000\,000\) J. On rappelle \(1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\) J.
Par quel nombre faut-il diviser une énergie en joules pour l'obtenir en kWh ?
Convertir cette énergie en kWh.
Par \(3{,}6 \times 10^{6} = 3\,600\,000\).
\(E = \dfrac{18\,000\,000}{3\,600\,000} = 5\) kWh
SocleExercice 3 — Durée de chauffe
Exemple — sur d'autres valeurs Q = 9 000 000 J avec une résistance de 1 500 W : t = 9 000 000 ÷ 1 500 = 6 000 s, soit 6 000 ÷ 3 600 ≈ 1,7 h.
À toi de jouer.
Pour chauffer un ballon il faut une énergie \(Q = 14\,400\,000\) J. La résistance a une puissance \(P = 2000\) W. On rappelle \(t = \dfrac{Q}{P}\), avec \(t\) en secondes.
Calculer la durée de chauffe, en secondes.
Convertir cette durée en heures.
\(t = \dfrac{14\,400\,000}{2000} = 7200\) s
\(t = \dfrac{7200}{3600} = 2\) h
StandardExercice 4 — Énergie et coût annuel de l'eau chaude
Exemple — sur d'autres valeurs Un ballon réchauffe chaque jour 60 L d'eau de 15 °C à 55 °C : Q = 60 × 4 180 × 40 = 10 032 000 J, soit 10 032 000 ÷ 3 600 000 ≈ 2,79 kWh. Coût par jour : 2,79 × 0,20 ≈ 0,56 €. Sur un an : 2,79 × 365 ≈ 1 018 kWh et 0,56 × 365 ≈ 204 €.
À toi de jouer.
Dans le modèle du cours, un plombier-chauffagiste met en service un ballon de 200 L pour une famille de quatre personnes. Chaque jour, la famille utilise 130 L d'eau chaude : le ballon réchauffe donc 130 L d'eau froide de 15 °C à 60 °C. On prend \(c = 4180\) J/(kg·°C), \(1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\) J et un prix de 0,20 €/kWh.
Calculer l'énergie \(Q\) (en J) nécessaire chaque jour, puis la convertir en kWh.
En déduire le coût par jour.
Calculer l'énergie sur une année (365 jours), en kWh, puis le coût annuel.
\(\Delta T = 60 - 15 = 45\) °C, \(m = 130\) kg. \(Q = 130 \times 4180 \times 45 = 24\,453\,000\) J. \(E = \dfrac{24\,453\,000}{3\,600\,000} \approx 6{,}79\) kWh.
Coût \(= 6{,}79 \times 0{,}20 \approx 1{,}36\) € par jour.
Énergie annuelle : \(6{,}79 \times 365 \approx 2478\) kWh, soit environ 2 500 kWh. Coût annuel : \(1{,}36 \times 365 \approx \mathbf{496}\) € par an.
StandardExercice 5 — Choisir la puissance de la résistance
Exemple — sur d'autres valeurs Pour apporter 21 600 000 J en 4 heures au plus : 4 × 3 600 = 14 400 s, puis P = 21 600 000 ÷ 14 400 = 1 500 W au minimum. Parmi 1 200 W, 1 800 W et 2 400 W, la plus petite qui convient est 1 800 W.
À toi de jouer.
Un plombier-chauffagiste doit chauffer un ballon de 150 L de 15 °C à 60 °C. L'énergie nécessaire est \(Q \approx 28\,215\,000\) J. Le client souhaite que la chauffe ne dépasse pas 3 heures.
Convertir 3 heures en secondes.
La durée vaut \(t = \dfrac{Q}{P}\). En isolant \(P\), on a \(P = \dfrac{Q}{t}\). Calculer la puissance minimale de la résistance.
Parmi les résistances de 1500 W, 2000 W, 2400 W et 3000 W, laquelle (la plus petite) permet de chauffer le ballon en moins de 3 heures ?
\(t = 3 \times 3600 = 10\,800\) s.
\(P = \dfrac{28\,215\,000}{10\,800} \approx 2613\) W.
Il faut au moins ≈ 2613 W. Parmi les puissances proposées, seule la résistance de 3000 W dépasse ce minimum : c'est donc la plus petite qui convient. (Avec 3000 W : \(t = \dfrac{28\,215\,000}{3000} \approx 9405\) s \(\approx 2{,}6\) h < 3 h.) Les résistances de 1500, 2000 et 2400 W sont insuffisantes — avec 2400 W : \(t = \dfrac{28\,215\,000}{2400} \approx 11\,756\) s \(\approx 3{,}3\) h.
ApprofondissementExercice 6 — Ballon électrique ou chauffe-eau thermodynamique ?
Exemple — sur d'autres valeurs Pour 1 800 kWh de chaleur par an à 0,20 €/kWh : ballon électrique 1 800 × 0,20 = 360 € ; chauffe-eau thermodynamique de COP 2,5 : 1 800 ÷ 2,5 = 720 kWh, soit 720 × 0,20 = 144 €. Économie : 360 − 144 = 216 € par an.
À toi de jouer.
Un installateur de pompes à chaleur reprend le logement de l'exercice 4, qui consomme environ 2 500 kWh de chaleur par an pour l'eau chaude. Il compare deux solutions :
Solution A — ballon à résistance électrique : 1 kWh d'électricité donne 1 kWh de chaleur.
Solution B — chauffe-eau thermodynamique (CET) de COP = 3 : il restitue 3 kWh de chaleur pour 1 kWh d'électricité consommée.
Prix de l'électricité : 0,20 €/kWh.
Pour la solution A, quelle énergie électrique faut-il par an ? En déduire le coût annuel.
Pour la solution B, l'électricité consommée vaut \(E_{\text{élec}} = \dfrac{\text{chaleur}}{\text{COP}}\). Calculer cette énergie, puis le coût annuel.
Quelle est l'économie annuelle apportée par le chauffe-eau thermodynamique ?
Solution A : \(E_{\text{élec}} = 2500\) kWh → coût \(= 2500 \times 0{,}20 = \mathbf{500}\) € / an.
Solution B : \(E_{\text{élec}} = \dfrac{2500}{3} \approx 833\) kWh → coût \(\approx 833 \times 0{,}20 \approx \mathbf{167}\) € / an.
Économie : \(500 - 167 = \mathbf{333}\) € par an environ.