Contexte professionnel — Installation d'un ballon d'eau chaude sanitaire
Un plombier-chauffagiste installe et met en service un ballon d'eau chaude sanitaire (ECS) électrique dans un logement. Le ballon stocke l'eau et la chauffe grâce à une résistance. La consigne du thermostat est réglée sur 60 °C (température recommandée contre les légionelles), alors que l'eau du réseau arrive à environ 15 °C.
Lors de la mise en service, le client pose plusieurs questions :
« Quelle énergie faut-il pour chauffer tout le ballon ? Combien de temps met-il à chauffer ? Combien cela me coûtera-t-il dans l'année ? Et si je remplaçais ce ballon électrique par un chauffe-eau thermodynamique, est-ce vraiment plus économique ? »
2. La chaleur sensible : énergie pour chauffer de l'eau
Définition — Chaleur sensible
La chaleur sensible est l'énergie thermique \(Q\) qu'il faut apporter à une masse d'eau pour faire monter sa température. Elle se calcule par :
\[ Q = m \times c \times \Delta T \]
\(Q\) : énergie en joules (J)
\(m\) : masse d'eau en kilogrammes (kg) — pour l'eau, \(1 \text{ L} \leftrightarrow 1 \text{ kg}\)
\(\Delta T\) : écart de température, \(\Delta T = T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}}\), en °C
Propriété — Conversion en kWh et durée de chauffe
L'énergie sur la facture se compte en kilowattheures (kWh). La conversion est :
\[ 1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \text{ J} \quad\Rightarrow\quad E_{\text{(kWh)}} = \frac{Q_{\text{(J)}}}{3{,}6 \times 10^{6}} \]
La résistance, de puissance \(P\), apporte cette énergie en un temps \(t\) :
\[ Q = P \times t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{Q}{P} \]
avec \(Q\) en joules, \(P\) en watts (W) et \(t\) en secondes (s).
Propriété — Coût de l'énergie
Le coût se calcule par proportionnalité à partir de l'énergie en kWh :
\[ \text{Coût} = E_{\text{(kWh)}} \times \text{prix du kWh} \]
Exemple de tarif : 0,20 €/kWh.
Attention — Erreurs fréquentes
Oublier de convertir les litres en kilogrammes : pour l'eau, 150 L = 150 kg (sinon \(m\) est faux).
Confondre \(\Delta T\) et la température finale : \(\Delta T\) est un écart. Chauffer de 15 °C à 60 °C donne \(\Delta T = 60 - 15 = 45\) °C, et non 60 °C.
Oublier de convertir les joules en kWh avant de calculer un coût : la facture est en kWh.
3. Exemple numérique complet
Chauffer 150 L d'eau de 15 °C à 60 °C
Un plombier-chauffagiste met en service un ballon de 150 L. L'eau passe de 15 °C à 60 °C. La résistance a une puissance \(P = 2000\) W.
1. Masse d'eau et écart de température
\(m = 150 \text{ kg}\) (car 150 L d'eau) et \(\Delta T = 60 - 15 = 45\) °C.
2. Énergie nécessaire (en joules)
\[ Q = m \times c \times \Delta T = 150 \times 4180 \times 45 = 28\,215\,000 \;\text{J} \approx 2{,}82 \times 10^{7} \;\text{J} \]
3. Conversion en kWh
\[ E = \frac{Q}{3{,}6 \times 10^{6}} = \frac{28\,215\,000}{3\,600\,000} \approx 7{,}84 \;\text{kWh} \]
4. Durée de chauffe avec la résistance de 2000 W
\[ t = \frac{Q}{P} = \frac{28\,215\,000}{2000} \approx 14\,108 \;\text{s} \approx 3{,}9 \;\text{h} \]
(soit environ 3 h 55 min)
Une chauffe complète d'un ballon consomme \(E = 7{,}84\) kWh. Le prix du kWh est de 0,20 €.
Écrire la formule du coût : Coût \(= E \times \text{……}\).
Calculer le coût : Coût \(= 7{,}84 \times 0{,}20 = \text{……}\) € (arrondir au centime).
Coût \(= E \times\) prix du kWh
Coût \(= 7{,}84 \times 0{,}20 = 1{,}57\) €
SocleExercice 4 — Durée de chauffe
Pour chauffer un ballon il faut une énergie \(Q = 14\,400\,000\) J. La résistance a une puissance \(P = 2000\) W. On rappelle \(t = \dfrac{Q}{P}\), avec \(t\) en secondes.
Calculer la durée en secondes : \(t = \dfrac{14\,400\,000}{2000} = \text{……}\) s.
Convertir cette durée en heures (diviser par 3600) : \(t = \text{……}\) h.
\(t = \dfrac{14\,400\,000}{2000} = 7200\) s
\(t = \dfrac{7200}{3600} = 2\) h
StandardExercice 5 — Énergie et coût annuel d'un ballon
Un installateur en génie climatique met en service un ballon de 200 L. Chaque jour, l'eau est entièrement renouvelée et chauffée de 15 °C à 60 °C. On prend \(c = 4180\) J/(kg·°C), \(1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\) J et un prix de 0,20 €/kWh.
Calculer l'énergie \(Q\) (en J) d'une chauffe complète, puis la convertir en kWh.
En déduire le coût d'une chauffe complète.
Calculer le coût sur une année (365 jours).
\(\Delta T = 60 - 15 = 45\) °C, \(m = 200\) kg. \(Q = 200 \times 4180 \times 45 = 37\,620\,000\) J. \(E = \dfrac{37\,620\,000}{3\,600\,000} \approx 10{,}45\) kWh.
Coût \(= 10{,}45 \times 0{,}20 \approx 2{,}09\) € par chauffe.
Coût annuel \(\approx 2{,}09 \times 365 \approx \mathbf{763}\) € par an.
StandardExercice 6 — Comparer deux ballons
Un monteur en installations sanitaires hésite entre un ballon de 100 L et un ballon de 150 L. Dans les deux cas, l'eau est chauffée de 15 °C à 60 °C (\(c = 4180\) J/(kg·°C)).
Calculer l'énergie \(Q\) (en kWh) pour chaque ballon.
De combien de pour cent l'énergie augmente-t-elle en passant de 100 L à 150 L ?
\(\Delta T = 45\) °C. 100 L : \(Q = 100 \times 4180 \times 45 = 18\,810\,000\) J \(\approx 5{,}23\) kWh. 150 L : \(Q = 150 \times 4180 \times 45 = 28\,215\,000\) J \(\approx 7{,}84\) kWh.
Augmentation : \(\dfrac{7{,}84 - 5{,}23}{5{,}23} \approx 0{,}50\), soit +50 % (cohérent : le volume passe de 100 à 150 L, soit +50 %).
StandardExercice 7 — Choisir la puissance de la résistance
Un plombier-chauffagiste doit chauffer un ballon de 150 L de 15 °C à 60 °C. L'énergie nécessaire est \(Q \approx 28\,215\,000\) J. Le client souhaite que la chauffe ne dépasse pas 3 heures.
Convertir 3 heures en secondes.
La durée vaut \(t = \dfrac{Q}{P}\). En isolant \(P\), on a \(P = \dfrac{Q}{t}\). Calculer la puissance minimale de la résistance.
Parmi les résistances de 1500 W, 2000 W et 2400 W, laquelle (la plus petite) convient ?
\(t = 3 \times 3600 = 10\,800\) s.
\(P = \dfrac{28\,215\,000}{10\,800} \approx 2613\) W.
Il faut au moins ≈ 2613 W : ni 1500 W ni 2000 W ni 2400 W ne suffisent pour rester sous 3 h. La plus puissante (2400 W) s'en approche le plus, mais il faudrait soit accepter une durée un peu plus longue, soit une résistance plus puissante. (Avec 2400 W : \(t = \dfrac{28\,215\,000}{2400} \approx 11\,756\) s \(\approx 3{,}3\) h.)
ApprofondissementExercice 8 — Ballon électrique ou chauffe-eau thermodynamique ?
Un installateur de pompes à chaleur compare, pour un logement qui consomme 2500 kWh de chaleur par an pour l'eau chaude, deux solutions :
Solution A — ballon à résistance électrique : toute l'électricité consommée devient chaleur (1 kWh d'électricité → 1 kWh de chaleur).
Solution B — chauffe-eau thermodynamique (CET) de COP = 3 : il restitue 3 kWh de chaleur pour 1 kWh d'électricité consommée.
Prix de l'électricité : 0,20 €/kWh.
Pour la solution A, quelle énergie électrique faut-il par an ? En déduire le coût annuel.
Pour la solution B, l'électricité consommée vaut \(E_{\text{élec}} = \dfrac{\text{chaleur}}{\text{COP}}\). Calculer cette énergie, puis le coût annuel.
Quelle est l'économie annuelle apportée par le chauffe-eau thermodynamique ?
Solution A : \(E_{\text{élec}} = 2500\) kWh → coût \(= 2500 \times 0{,}20 = \mathbf{500}\) € / an.
Solution B : \(E_{\text{élec}} = \dfrac{2500}{3} \approx 833\) kWh → coût \(\approx 833 \times 0{,}20 \approx \mathbf{167}\) € / an.
Économie : \(500 - 167 = \mathbf{333}\) € par an environ.
ApprofondissementExercice 9 — Temps de retour de l'investissement
Un technicien en énergies renouvelables propose de remplacer un ballon électrique par un chauffe-eau thermodynamique. Le surcoût d'achat et de pose du chauffe-eau thermodynamique est de 1800 € par rapport au ballon électrique. L'économie annuelle attendue est de 333 € par an (résultat de l'exercice 8).
Le temps de retour est le nombre d'années \(n\) tel que : \(333 \times n = 1800\). Résoudre cette équation pour trouver \(n\).
Arrondir à l'année supérieure : au bout de combien d'années le surcoût est-il remboursé ?
Sur 15 ans, quelle est l'économie totale réalisée par rapport au surcoût initial ?
\(n = \dfrac{1800}{333} \approx 5{,}4\) ans.
Arrondi à l'année supérieure : le surcoût est remboursé au bout d'environ 6 ans.
Économie sur 15 ans : \(333 \times 15 = 4995\) €. En retirant le surcoût initial : \(4995 - 1800 = \mathbf{3195}\) € de gain net sur 15 ans.
ApprofondissementExercice 10 — Bilan complet d'une installation
Un technicien de maintenance énergétique étudie un ballon de 200 L chauffé chaque jour de 15 °C à 60 °C, avec une résistance de \(P = 2400\) W. On prend \(c = 4180\) J/(kg·°C), \(1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\) J, prix 0,20 €/kWh.
Calculer l'énergie quotidienne \(Q\) (en J puis en kWh).
Calculer la durée de chauffe quotidienne (en s, puis en h).
Calculer la consommation annuelle (365 jours) en kWh et le coût annuel.
Avec un chauffe-eau thermodynamique de COP = 3, quel serait le nouveau coût annuel, et l'économie réalisée ?
\(\Delta T = 45\) °C, \(m = 200\) kg. \(Q = 200 \times 4180 \times 45 = 37\,620\,000\) J ; \(E = \dfrac{37\,620\,000}{3\,600\,000} \approx 10{,}45\) kWh par jour.
\(t = \dfrac{37\,620\,000}{2400} \approx 15\,675\) s \(\approx 4{,}4\) h.