Notions mathématiques : Formule littérale, puissances de 10, conversions
Niveau : Première Bac Pro ICCER
1. Mise en situation professionnelle
Contexte professionnel — Canalisation de chauffage en sous-sol
Un technicien chauffagiste installe une canalisation de chauffage en acier de 30 m de long dans le sous-sol d'un immeuble. L'eau circule à 80 °C en hiver et le tuyau est à 15 °C lors de la pose. Le chef de chantier prévient : « Prévois des lyres de dilatation, sinon le tuyau va pousser les murs. »
2. Dilatation linéique
Définition
Quand un matériau solide est chauffé, ses dimensions augmentent. C'est la dilatation thermique. L'allongement est proportionnel à la longueur initiale et à l'écart de température.
Formule de la dilatation linéique
\[ \Delta L = L_0 \times \alpha \times \Delta T \]
\(\Delta L\) : allongement en m (ou mm)
\(L_0\) : longueur initiale en m (ou mm)
\(\alpha\) : coefficient de dilatation linéique en °C−1 (ou K−1)
\(\Delta T\) : écart de température en °C
Coefficients de dilatation
Matériau
α (×10−6 /°C)
Usage en plomberie
Acier
12
Chauffage, gaz
Cuivre
17
Eau chaude, chauffage
PER (polyéthylène)
150
Plancher chauffant
Multicouche
25
Eau chaude, chauffage
Inox
16
Industrie, ECS
Exemple — Tuyau acier de 30 m
\(L_0 = 30\) m, \(\alpha = 12 \times 10^{-6}\) /°C, \(\Delta T = 80 - 15 = 65\) °C.
\(\Delta L = 30 \times 12 \times 10^{-6} \times 65 = 0{,}0234\) m = 23,4 mm
Le tuyau s'allonge de plus de 2 cm ! Sans lyre, il pourrait casser un raccord ou fissurer un mur.
Le PER se dilate 12 fois plus que l'acier
Un tube PER de 10 m avec ΔT = 50 °C :
\(\Delta L = 10 \times 150 \times 10^{-6} \times 50 = 0{,}075\) m = 75 mm !
C'est pourquoi le PER est toujours posé en encastré (dans la dalle ou la cloison) avec des marges de mouvement.
À retenir
\(\Delta L = L_0 \times \alpha \times \Delta T\)
Acier : α = 12 × 10−6 — Cuivre : 17 — PER : 150
Solutions : lyre, joint de dilatation, compensateur à soufflet
Toujours prévoir la dilatation sur les longues canalisations
Exercices
Exercice 1Calcul de ΔL (guidé)Socle
Tube acier de 20 m, α = 12 × 10−6, ΔT = 50 °C.
\(\Delta L = 20 \times 12 \times 10^{-6} \times 50 = \ldots\) m = … mm
Correction : ΔL = 20 × 12 × 10−6 × 50 = 0,012 m = 12 mm
Exercice 2Tube cuivre (guidé)Socle
Tube cuivre de 15 m, posé à 20 °C, eau à 70 °C. 1. ΔT = … °C 2. ΔL = 15 × 17 × 10−6 × … = … mm
Correction : 1. ΔT = 50 °C 2. ΔL = 15 × 17 × 10−6 × 50 = 0,01275 m = 12,75 mm
Exercice 3Classer les matériaux (guidé)Socle
Classer du moins au plus dilatable : PER, acier, cuivre, multicouche.
Colonne montante de 12 m, ΔT = 55 °C. Comparer cuivre (α = 17) et multicouche (α = 25).
1. ΔL pour chaque matériau. 2. Lequel nécessite plus de précautions ? 3. Le multicouche est-il plus facile à poser malgré sa dilatation ? Pourquoi ?
Correction : 1. Cuivre : 12 × 17 × 10−6 × 55 = 11,2 mm. Multicouche : 12 × 25 × 10−6 × 55 = 16,5 mm. 2. Le multicouche se dilate 47 % de plus. 3. Oui, car le multicouche est flexible : il peut absorber la dilatation par des courbes naturelles dans les gaines techniques, sans lyre rigide.
Exercice 7Plancher chauffant en PERStandard
Un plancher chauffant utilise 80 m de tube PER (α = 150). L'eau passe de 20 à 40 °C.
1. Calculer ΔL. 2. Pourquoi cette dilatation ne pose-t-elle pas de problème en plancher chauffant ? 3. Pourrait-on utiliser du PER pour une colonne montante visible de 10 m ? Justifier.
Correction : 1. ΔL = 80 × 150 × 10−6 × 20 = 240 mm = 24 cm ! 2. En plancher chauffant, le tube est noyé dans la chape (béton). La dilatation est absorbée par la flexibilité du tube et par les courbes. Le tube n'est pas contraint linéairement. 3. Non : 10 m de PER en vertical avec ΔT = 20 °C → ΔL = 30 mm. C'est visible et les raccords seraient sollicités. On utilise du cuivre ou du multicouche pour les colonnes visibles.
Exercice 8Dimensionner une lyreApprofondissement
La longueur de bras d'une lyre en acier se calcule par :
\[ l = K \times \sqrt{D \times \Delta L} \]
où K = 55 (constante pour l'acier), D = diamètre extérieur du tube (mm), ΔL = dilatation (mm).
Tube acier ø ext. 42 mm, L0 = 25 m, ΔT = 60 °C.
1. Calculer ΔL. 2. Calculer la longueur de bras l de la lyre. 3. La lyre occupe un espace de l × l. Quel espace prévoir ?
Correction : 1. ΔL = 25 × 12 × 10−6 × 60 = 0,018 m = 18 mm 2. l = 55 × √(42 × 18) = 55 × √756 = 55 × 27,5 = 1 513 mm ≈ 1,5 m 3. Espace : environ 1,5 m × 1,5 m en plan. C'est pourquoi les lyres sont prévues dès la conception.
Exercice 9Joint de dilatation d'un bâtimentApprofondissement
Un bâtiment en béton (α = 10 × 10−6) fait 60 m de long. La température varie de −10 °C (hiver) à +40 °C (été).
1. Calculer ΔT entre les deux extrêmes. 2. Calculer ΔL du bâtiment. 3. Les joints de dilatation du bâtiment sont placés tous les 25 m. Combien de joints ? 4. Comment le plombier doit-il traverser un joint de dilatation avec une canalisation ?
Correction : 1. ΔT = 40 − (−10) = 50 °C 2. ΔL = 60 × 10 × 10−6 × 50 = 30 mm 3. 60 / 25 = 2,4 → 2 joints (aux positions 25 m et 50 m) 4. La canalisation doit traverser le joint avec un compensateur à soufflet ou un raccord coulissant qui permet le mouvement relatif entre les deux parties du bâtiment. Ne jamais poser un tube rigide à travers un joint de dilatation.
Exercice 10Dilatation volumique de l'eau — vase d'expansionApprofondissement
L'eau se dilate quand elle chauffe. Le coefficient de dilatation volumique de l'eau est \(\beta \approx 4 \times 10^{-4}\) /°C (moyenne entre 20 et 80 °C).
\(\Delta V = V_0 \times \beta \times \Delta T\)
Un réseau de chauffage contient 300 litres d'eau. L'eau passe de 15 °C à 80 °C.
1. Calculer ΔV (augmentation de volume en litres). 2. Le vase d'expansion a une capacité utile de 12 litres. Est-il suffisant ? 3. Si le vase est trop petit, que se passe-t-il quand l'eau chauffe ?
Correction : 1. ΔV = 300 × 4 × 10−4 × 65 = 7,8 litres 2. 7,8 < 12 → oui, suffisant (marge de 4,2 litres). 3. Si le vase est trop petit, la pression monte au-delà du tarage de la soupape de sécurité → la soupape s'ouvre → perte d'eau → le circuit se vide partiellement → risque de surchauffe et d'embouage.